文档文本内容
三
专题
立体几何与空
向量
间
第六讲 空间的几何体的结构与度量
1.【解答】解：延长
到
，使
，延长
到
，使
，连接
、
，
可得
，结合
，可知
为三棱柱，
因为四边形
与四边形
全等，所以
，
由
，且它们两两之间的距离为1．可知：
当
为正三棱柱时，底面边长为1，高为3，此时
．
根据棱柱的性质，若
为斜三棱柱，体积也是
，
因此，
，可得该五面体的体积
．
故选：
．
2.【解答】解：设
所在截面圆心为
，连接
，
，
交球于点
，交平面
于点
，
设
，
，
由题意
，
，
，
又
，
，
在
△
中，
，
，
解得
，
所以
．
故选：
．
3.【解答】解：根据题意，圆锥的轴截面是一个边长为8 的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，
如图：
该圆锥的高
，设在该圆锥中内接一个高为
的圆柱，
该圆柱的底面半径为
，
易得
，则有
，即
，变形可得
，
所以该圆柱的侧面积为
，
当且仅当
时等号成立，
故该圆柱的侧面积的最大值为
．
故选：
．
4.【解答】解：设三棱柱
的高为
，
对于
，因为
，
，
分别是棱
，
，
的中点，
所以
，所以
，故
错误；
对于
，
，
所以
，故
正确；
对于
，
，故
正确；
对于
，
，故
错误．
故选：
．
5.【解答】解：对于
，正三棱柱
中，
，
所以正三棱柱的表面积为
，
故
正确；
对于
，过点
作
，交
于
，则
为
的中点，
依题可知平面
平面
，
且平面
平面
，
又
平面
，则
平面
，
则
为点
到平面
的距离，
正三角形
中，可求得
，
又因为
是棱
上任一点，且
平面
，
所以点
到平面
的距离等于点
到平面
的距离，
设点
到平面
的距离为
，则
，
则
，
故
正确；
对于
，
由侧面展开图所示，
△
周长
，
所以其最小值为
，
故
错误；
对于
，依题知，三棱锥
外接球与四棱锥
重合，
半径设为
，球心设为
，
为
的中点，
则
，
且
平面
，
所以当
与球外切时，球的半径最小，
此时，点
位于
的中点，
如图所示：
，
则
，
解得
，表面积为
，
故
正确．
故选：
．
【精选练习】
6.【解答】解：设圆锥的底面半径为：
，圆锥的母线长为：
，
圆柱和圆锥的侧面积相等，可得
，
解得
，圆锥的体积为：
．
故选：
．
7. 【解答】解：在圆锥
内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，其面积为
，
在圆锥
底面，小球接触到的区域是一个圆，其面积为
，
综上，圆锥
内壁上（含底面）小球能接触到的区域面积为
．
故答案为：
．
8.【解答】解：设高
，
，则
，
，
由
，可得
，即
，
可得
，
又由上下圆锥侧面积之比为
，可得
，
所以
，可得
，
联立方程
，
解得
，
所以
．
故选：
．
9.【解答】解：如图，以
为轴转动正方体，要使能装水最多，
则水面平行
且经过
，设水面与棱
、
的交点分别为
、
，
即多面体
的体积．
为棱
的中点，
可得
，
多面体
的体积：
．
故选：
．
10.【解答】解：对
选项，如图，在正方体
中，连接
，
，
，
分别是
，
的中点，
，
又
，
，
，
，
，
四点共面，
即当
与点
重合时，
，
，
，
四点共面，
选项正确；
对
选项，连接
，
，当
是
的中点时，
，
，
，
又
平面
，
平面
，
平面
，
选项正确；
对
选项，连接
，
，
，
，
，
选项错误；
对
选项，分别取
，
的中点
，
，构造长方体
，
则经过
，
，
，
四点的球即为长方体
的外接球，
设所求外接球的直径为
，则长方体
的体对角线即为所求的球的直径，
，
经过
，
，
，
四点的球的表面积为
，
选项正确．
故选：
．
第七讲 立体几何大题中的空间角与距离
1.【解答】解：（1）取
的中点
，连接
，
，由
，
，
易知
为等腰直角三角形，
此时
，又
，
所以
，
因为
，所以
，
由
，
即
，所以
，
此时，
，有
，
，
，
四点共面，
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
．
（2）由
，
，且
，所以
平面
；
由
，得
为等边三角形，
以
为原点，
，
所在直线分别为
轴，
轴，过
且与平面
垂直的直线为
轴，建立如图所
示的空间直角坐标系，
，
，1，
，
，0，
，
，1，
，
，
，
，设平面
的法向量
，
由
，即
，
取
，
，
又
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
2.【解答】（1）证明：由题意知，
，且
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
，
分别为
，
的中点，
所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，
平面
，
，
所以平面
平面
．
（2）解：连接
，则
，
因为
平面
，且
平面
，所以平面
平面
，
又平面
平面
，
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
又
，
，
，
平面
，所以
平面
，
所以
，
又
，且
，所以四边形
为菱形，
因为
，
所以四边形
为正方形，
，
以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
所以
，
设
，则
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
令
，得
，
设
与平面
所成的角为
，
则
，
，当且仅当
时，等号成立，
所以
与平面
所成角的正弦值的最大值为
．
3.【解答】解：（1）证明：不妨设
，因为
，
，
所以
，
，
，
在
中，由余弦定理得：
，
在
中，
，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
．
因为
平面
，所以
，
因为四边形
是菱形，所以
，
又因为
，且
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（2）在平面
内，过点
作
的垂线，垂足为
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为四边形
是菱形，
，所以
，
所以
，
均为等边三角形，
以点
为坐标原点，
，
所在直线及过点
平行于
的直线分别为
，
，
轴，建立空间直角坐
标系（如图），
则
，0，
，
，
，0，
，
，
所以
，
，
由（1）
平面
，所以
为平面
的一个法向量，
设平面
的法向量为
，
，
，
则
，
令
，可得
，
所以
，
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
．
4.【解答】（1）证明：取
的中点
，连接
，
，
，
因为
是棱
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，
，
，
平面
，
所以平面
平面
，
又平面
平面
，平面
平面
，所以
．
在
中，
，
，
又
是
的中点，所以
，
，
又易得
，
，所以
，
所以
，所以
，
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，
所以平面
平面
．
（2）解：因为
，点
是
的中点，所以
，
所以
，
，
两两垂直，
以
为坐标原点，
，
，
所在的直线分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
所以
，0，
，
，1，
，
，1，
，
，
，
，
，0，
，
设
，
所以
，
，
设平面
的一个法向量
，
则
，即
，
令
，解得
，
，
所以平面
的一个法向量
，
又
，
所以
，
，
，
所以
，
，
设直线
与平面
所成角的大小为
，
，
，
所以
，
，
解得
或
，
所以
或
，
即
为
或
．
5.【解答】解：（1）
△
中，点
，
分别是
，
的中点，
连接
，
，点
是
的中点，
时，
，则点
是
的中点，
中，
，
，
平面
，
平面
，
平面
．
（2）存在，点
为
的中点．
时，
，
，即
，
点
在棱
上，
取
的中点
，
是正三角形，
，
连接
，
，则
，
由已知，
平面
，
以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴，
建立如图所示空间直角坐标系：
则
，
，0，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量是
，
由
，即
，取
，得
．
设平面
的法向量是
，
由
，即
，取
，得
．
则
，
得
，得
，此时点
为
的四等分点，
存在
的四等分点
使得平面
与平面
的夹角的余弦值是
．
6.【解答】解：（1）如图：取
的中点
，
的中点
，连接
，
，
因为
为正三角形，
所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，连接
，
因为
平面
，过
交
于
，连接
，
则平面
为所求的平面，
则平面
与正三棱柱
表面的交线分别为
，
，
，
；
（2）如图，以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系，
设
，则点的
坐标为
，
则
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
所以
，令
，则
，
所以
，
又因为
，
所以
到平面
的距离
，
解得
，
因为
，
与平面
所成角
等于
与平面
所成角，
所以
．
7.【解答】（1）证明：选①，因为
，
分别为
，
的中点，
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，平面
平面
，
所以
．
选②，因为
，
是
的中点，
所以
与
不平行，
设
，则
，
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
又平面
平面
，
所以
，
所以直线
，
，
相交于一点．
（2）解：若（1）中选①，由（1）知，
平面
，知点
到平面
的距离即为直线
与平
面
的距离，
若（1）中选②，因为
，
分别为
，
的中点，
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
所以点
到平面
的距离即为直线
与平面
的距离，
连接
，
，
因为
与
均为正三角形，且
是
的中点，
所以
，
，
又平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
故以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，0，
，
，
，
，
，
，
，
所以
，0，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
，
，则
，
令
，则
，
，所以
，1，
，
所以点
到平面
的距离为
，
故直线
与平面
的距离为
．
8.【解答】解：（1）①②
③，
证明：连接
，
相交于
，连接
，
由于底面
是正方形，所以
，
又
，
，
，
平面
，
故
平面
，
平面
，故
，
由于
，
，
，故
，
因此
，
，
，
平面
，
故
平面
，（可得四棱锥
是正四棱锥），
平面
，故
，
又
，
，
，
平面
，
故
平面
；
②③
①，
证明：连接
，
相交于
，连接
，
由于底面
是正方形，所以
，
又
，
，
，
平面
，
故
平面
，
平面
，故
，
又
平面
，
平面
，故
，
，
，
平面
，故
平面
，
结合底面
是正方形，
是正方形的中心，
所以四棱锥
是正四棱锥，故
；
①③
②，
证明：连接
，
相交于
，连接
，
平面
，
平面
，故
，
由于
，
，故
，
又
，
，
，故
，
故
，
因此
，
，
，
，
平面
，
故
平面
，
故四棱锥
是正四棱锥，
由于
，又
，
，
，
平面
，
故
平面
，
平面
，
故
，
（2）无论选择哪两个条件，都可以推出四棱锥
是正四棱锥，
设四棱锥的底边边长为
，则
，
所以
，
故
，
由于
，
当且仅当
，即
时取等号，
故
，
故四棱棱锥
体积的最大值为
．
9.【解答】解：（1）证明：如图，过射线
上一点
作
交
于
点，作
交
于
点，连接
，
则
是二面角
的平面角，
在
中，由余弦定理可得，
，
在
中，由余弦定理可得，
，
两式相减得可，
，
则
，
两边同除以
，可得
；
（2）解：①由平面
平面
，可知
，
由（1）得
，
因为
，
，
所以
；
②假设在直线
上存在点
，使
平面
，
连接
，延长
至
，使
，连结
在棱柱
中，
，
，
，
，
则
，且
，
所以四边形
为平行四边形，
故
，
在四边形
中，
，
，
所以四边形
为平行四边形，
故
，
所以
，
又
平面
，
平面
，
则
平面
．
故当点
在
的延长线上，且使
时，
平面
．
【精选练习】
10.【解答】解：（1）证明：在△
中，
，
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
由折叠的性质可知
，
又
，
，
面
，
所以
面
，
又
面
，
所以
．
（2）
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，
所以
，
又因为
，
，
，
面
，
所以
面
，
又
面
，
所以
，
所以
，
，
所在直线两两垂直，
以
，
，
所在直线分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系
，0，
，
，
，
，
，0，
，
，
，
，则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，0，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量
，
，
，
所以
，
设
，则
，
，
所以
，2，
，
设平面
的法向量
，
，
，
所以
，
设
，则
，
，
所以
，
，
，
设平面
与平面
所成的二面角为
，
，
，
所以
．
11.【解答】（1）证明：因为直四棱柱
中
，
，
则△
为正三角形，
又
是线段
的中点，则
，
是线段
的中点，则
，
而
，所以
，
又
，
、
平面
，
所以
平面
；
（2）解：由（1）知△
为正三角形，则
，
在△
中，
，
，
则
，所以
，
又在直四棱柱
中，
，
，
以
为原点，建立如图空间直角坐标系
，
则
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
令
，则
，所以
，
假设在线段
上存在点
，使得
平面
，
令
，则
，
所以
，
由
平面
，得
，
所以
，
解得
，
则
，
所以
，
所以
．
即
的长为
．
12.【解答】解：（1）证明：取
中点为
．连结
，
．
因为侧面
为矩形，所以
，又
，则
，
由底面
为等边三角形，所以
．
故
平面
，
由于
平面
，故
．
又
，故
．
（2）①证明：由
，
为
的中点及
，所以
．
又
，得
，则
，
又
，
，所以
平面
，
平面
，故平面
平面
；
②以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
．
．
，
．
设平面
的一个法向量是
，
则
，令
，则
，
，所以
．
由（1）知
是平面
的一个法向量，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
．
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
．
13.【解答】解：（1）证明：
，
平面
，
平面
，
平面
，
同理可得
平面
，
又
，
平面
平面
，
平面
，
平面
．
（2）取
中点
，易知
，
，
平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
如图，建立空间直角坐标系，
则
，
从而
，得
，
又
，
设平面
的法向量
，
则
，即
，
解得
，
故
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
14.【解答】解：（1）证明：（解法一）
，
，
，
，
底面
，
面
，
，
平面
，
平面
，
平面
平面
．
（解法二）
，
，
，
以
为原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴，建立空间直角坐标系：
，0，
，
，0，
，
，则
，
，
设
是平面
的法向量，
则
，取
，
设
是平面
的法向量，
则
，取
，
所以
，
所以平面
平面
．
（2）解法一：在直角梯形
中，解得
，
过
，
作
，
分别平行于
，
，连结
，作
交
于
点，连结
，
，
，
平面
，
，
平面
，
，
，
为平面
与平面
的夹角，
，在
中解得
，
，
．
（2）解法二：在直角梯形
中，解得
，
以
为原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴，如图建立空间直角坐标系：
，
，
平面
的法向量为
，
，
设平面
的法向量为
，
，
令
，则
，
，
所以
，1，
，
所以
，
即平面
与平面
夹角的余弦值为
．
15.【解答】解：（1）证明：在梯形
中，
，
，
，
则
，
，
为直角三角形，
所以
，
因为平面
面
，平面
面
，
面
，
所以
面
，
又
面
，
所以
．
（2）证明：以
为原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系：
，0，
，
，1，
，
，0，
，
，0，
，
，0，
，
设
，0，
，则
，1，
，
，0，
，
设平面
的一个法向量
，
，
，
则
，
令
，则
，
，
因为
，0，
是平面
的一个法向量，
所以
，
，
因为
，
，
所以
，
设平面
与平面
所成的角为
，则
，
又
，
所以存在
使得
，
根据题意可得
面
，
面
，
所以
是
在平面
上的正投影，且
，
由
，即
，
可知存在线段
上的点
使得
．
16.【解答】解：（1）证明：连接
，
由题意
，
，
，
则
为等边三角形，
由余弦定理得
，所以
，
则
，
，
所以
，
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
；
（2）如图，以点
为原点，建立空间直角坐标系，
则
，
设
，
故
，
，
因为
轴垂直平面
，故可取平面
的一个法向量为
，
所以
，
化简得
，解得
或
（舍去），
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，有
，可取
，
所以点
到平面
的距离为
．
17.【解答】解：（1）证明：连接
，
，设
，则
，
由条件易得
，
，
，
同理可得
，又
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
；
（2）由（1）可得
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
又
，
，
，
平面
，
平面
，
过点
作
交
于点
，连接
．
由
，所以
为
的中点，又
，所以
，
又
，
，
平面
，
平面
，
又
平面
，
平面
平面
．
过点
作
交
于点
，连接
．
就是直线
与平面
所成的角．
面
面
，
就是直线
与面
所成的线面角．
，又
．
，
，
，
，即直线
与平面
所成角的正弦值为
．
18.【解答】（1）证明：设
，则
，
所以
，且
平面
，
故
平面
；
（2）解：因为
平面
，且
平面
，
所以
，又
，
所以
平面
，且
平面
，
因为
，又
，
所以
平面
，且
平面
，
所以
，
由已知，
为等边三角形，
故
为
中点，
在底面
上的投影为
的中点，
所以
，
以
为原点，分别以
，
所在直线为
，
轴，
以过
点且与平面
垂直的直线为
轴，
建立空间直角坐标系，
所以
，
所以
，
设
是平面
的一个法向量，
由
，
，可得
，
令
，则
，
故平面
的一个法向量为
，
因为
平面
，
所以
是平面
的一个法向量，
则
，
由图可知，二面角
是锐二面角，
所以二面角
的余弦值为
．
微专题7 “球”的问题与截面问题
1.【解答】解：由已知可得，
、
均为边长为
的等边三角形，
如图，
取
的中点
，连接
、
，则
，
，
又平面
平面
，
平面
，得
，
分别取
与
的外心
、
，过
、
分别作两平面的垂线，相交于
，
则
为四面体
的外接球的球心，由已知求得
，
，则
，
该球的表面积是
．
故选：
．
2.【解答】解：根据题意，设
，则
，圆台的内切球的半径为
，则
，
如图为该几何体的轴截面，其中圆
是等腰梯形
的内切圆，
设圆
与梯形的腰相切于点
，与上、下底分别切于点
，
，则有
，
，
注意到
与
均为角平分线，因此
，
中，
，则有
，即
，解可得
，
半径为2 的球与圆台的上、下底面均相切，则圆台的高为
，
故圆台的体积
．
故选：
．
3.【解答】解：
为等腰三角形，所以
不可能是直角，选项
错误；
如图，
直线
和
夹角为
，平面
平面
，菱形
，
所以
，
当平面
平面
时，
为直线
与平面
的平面角，
此时直线
与平面
所成角为最大角，为
，选项
正确；
为二面角
的平面角，设三棱锥
的外接球的球心为
，半径为
，
的外心
为
，
则
平分
，
，
，
所以
，三棱锥
表面积为
，选项
正确；
设正四面体的外接球球心为
，半径为
，勒洛四面体的内切球的半径为
，
则
故
，即
，解得
，
由勒洛四面体的对称性可知，内切球切在每一个球面的中心，
而顶点到切点的距离为2，
故
，选项
正确．
故答案为：
．
4.【解答】解：如图，设
，连接
，
，
，
易知
，
，
分别为
，
，
中点，
，
所以
，
，
四边形
是菱形，
，
，
为全等的正三角形，
，
；
因为
是边长为
的正三角形，记其中心为
，
则
的外接圆的半径为
，
设三棱锥
的外接球的半径为
，球心为
，
则
底面
，过
作
底面
交于
，则
，
结合图象可知
，其中
，
因为
到平面
的距离为2，即
，所以
，
易知关于
的函数
在
，
上单调递增，
所以当且仅当
时，
取得最小值，
此时，
，
，
三点共线，由
，解得
，
所以棱锥
的外接球的表面积的最小值为
．
故答案为：
．
5.【解答】解：如图所示，正方体
中，连接
、
、
、
，
，
因为
，
，且
，确定平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，
所以
，
同理可证
，
因为
，确定平面
，
所以
平面
，
即
所在平面是经过点
且以
为法向量的平面，
因此，平面
截该正方体所得截面的形状为三角形．
故选：
．
6.【解答】解：根据题意，延长
与
延长线交于点
，连接
，则直线
即为直线
，可得
，
由
，可得
，由
得
，可得
，
由平面
平面
，平面
平面
，平面
平面
，
可
得
，
结
合
，
可
得
，
，
因
此
．
故答案为：
，
．
7.【解答】解：如图1，当
时，
，
，
分别是
，
，
的中点，
，
截面
即
是等边三角形，故
正确；
当
，
，
，
时，
是三角形，
若
是平行四边形，则
，
，必有一个数大于1，不妨设
，
即
在线段
的延长线上，如图2，
设
与
交于
，
与
交于
，
与
交于
，
由图可知
是四边形
是梯形，但不是平行四边形，故
错误；
当
，
时，如图3，
，
直线
过点
，由题意得
，
，
即截面
为四边形
，且满足
，
是梯形，故
正确；
如图4，是
，
，
的一个例子，但截图
不是梯形，故
错误．
故选：
．
8.【解答】解：在棱长为2 的正方体
中，
，
，
分别为
，
，
的中点，
对于
选项，因为
，所以
在以
为直径的球面上，
又因为
、
分别是
和
的中点，结合棱切球与各个面的交点为各条棱的中点，得到该球是正方体
的棱切球，
又由
在正方体的表面上，所以
的轨迹为6 个半径为1 的圆，所以点
的轨迹长度为
，故
错误；
对于
选项，若三棱锥
的所有顶点都在球
的表面上，即求三棱锥
即
的外接
球，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，由正弦定理得
，
其中
是
外接圆半径，所以
，
因为侧棱
面
，所以外接球半径
，
所以球
的表面积为
，故
正确；
对于
选项，如图：
延长
交
的延长线于点
，可得到
，所以
，
连接
交
于点
，由
△
得
，所以
是
上靠近
的三等分点，
连接
，作
交
于点
，则
是靠近
的三等分点，连接
，则五边形
即为所
求截面，
，
，
，
，
，
所以过点
，
，
的平面截正方体
所得截面多边形的周长为
，故
正确；
对于
选项，
用一张正方形的纸把此正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，
由正方体的侧面展开图，结合上图可以看出五个正方形及上下左右四个三角形组成一个正方形，
可知要想把正方体完全包住，正方形
即为所求正方形，
对角线长为
，所以面积为
，故
正确．
故选：
．
9.【解答】解：如图，正三棱锥
的外接球的球心为
，
平面
，
因为表面积为
，则外接球的半径为
，
为底面
的中心，连接
、
，设正三棱锥
的侧棱长为
，
底面边长为
，则
，
，
，
由
得
，即
，
所以
，
，
函数
，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
在
有最大值，
即
时，
有最大值
，
此时
，
所以
，
所以底面所在平面截球的截面面积是
．
故选：
．
【精选练习】
10.【解答】解：如图：取
的中点
，连接
，
，因为
，
，
所以
，
，所以
平面
，且
，
设
，则
，且
为等边三角形，
为三棱锥
的外接球的球心，
为外接球半径，
所以
，
解得
，所以外接球的半径为
．
故选：
．
11.【解答】解：设正四棱台
的上底面的中心为
，下底面中心为
，其外接球球心为
，
，
，
，
则
，
可得
．
作出正四棱台
的轴截面
，
由
，得
，
，
则
，
，棱台外接球的半径为
，
则
，解得
．
该棱台外接球的表面积为
．
故答案为：
．
12.【解答】解：对于
，由
，可得高
，
则圆台轴截面
的面积为
，故
正确；
对于
，圆台的侧面积为
，
又
，
，
所以
，故
正确；
对于
，圆台的体积为
，故
错误；
对于
，若圆台存在内切球，则必有轴截面
存在内切圆，
由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面
不存在内切圆，故
错误．
故选：
．
13.【解答】解：对于
，如图①所示，延长
交
的延长线于
，延长
交
的延长线于
，
连接
交
于
，连接
交
于
，
连接
，
，则五边形
为平面
截正方体所得的截面，故
正确；
对于
，如图②所示，设三棱锥
底面
外心为
，
三棱锥
外接球球心为
，
且
，
，
，
在
中，
，
所以
外接圆半径为
，
所以在△
中，三棱锥
外接球半径
，
所以三棱锥
外接球球心
到
，
，
三点的距离都为
，
在
中，
，
，
所以
外接圆半径
，
所以四面体
外接球的球心不在该截面上，故
错误；
对于
，如图③所示，以
，
，
分别为
，
，
轴建立如图空间直角坐标系，
且正方体棱长为6，即
，0，
，
，3，
，
，6，
，
所以
，
，
设
，
，
为平面
的法向量，
则
，取
，
，
所以
，2，
，
又因为
平面
，
故
为平面
的法向量，
则
，
，
，
，
，
，故
正确；
对于
，如图④所示，取
中点
，连接
，
因为△
，所以
，即
，
又因为△
△
，所以
，即
，
同理，由△
△
，得
，
由△
△
，得
，
所
，
，
，
，
，
所以该截面将正方体分成两部分，较小部分体积为
，故
正确．
故选：
．
14.【解答】解：
，由正三棱锥可知
，
又
平面
，
．
，
面
，
，
面
，
，
，
正三棱锥侧面是等腰直角三角形，
以
为球心，
为半径的球面与三棱锥交于
，
，
，
则
，
，
是
，
，
中点，
，
交线长为
．
故选：
．
15.【解答】解：根据题意，设
，则
，
对于
，如图1，异面直线
与直线
所成的角，等于直线
与直线
所成的角，
连接
，则
即为直线
与直线
所成的角或其补角．
由
底面
，得
，在
中，
，
，
所以
，故
项正确；
对于
，如图2，延长
交
的延长线于
，连接
交
于点
，延长
交
的延长线于点
，
连接
交
于点
，连接
，
，则五边形
即为平面
截该四棱柱得到的截面，
因此，过
、
、
三点作该正四棱柱的截面，则截面
为五边形，所以
项不正确；
对于
，因为
，
，所以
，即
．
又因为
，所以
，可得
．
结合
，得
，所以
，
，可得
．
在
△
中，
，结合
，可得
，
，
因
此
，
截
面
的
周
长
为
，
可知
项不正确；
对于
，因为
，所以
，即△
为等腰三角形．
又因为
，所以
，
连接
，如图2 所示，则
，所以
．
因为△
，所以
，可得
，
同理可得
，所以截面
的面积等于
，故
项正确．
故选：
．
微专题8 空间中的动态问题
1.【解答】解：在棱长为1 的正方体
中，连接
，
，
，
由
平面
，
平面
，得
，
而
，
，
，
平面
，则
平面
，
又
平面
，于是
，同理
，
而
，
，
平面
因此
平面
，
因为
，则
平面
，而点
为截面
上的动点，
平面
平面
，
所以点
的轨迹是线段
，长度为
．
故选：
．
2.【解答】解：选项
，连接
，
因为点
，
分别为棱
，
的中点，
所以
，
因为
，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，即选项
正确；
选项
，由正方体的性质知，
平面
，
因为
平面
，所以
，
又
，
，
所以
，即点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的
圆弧，
所以点
的轨迹长度为
，即选项
错误；
选项
，以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，0，
，
，0，
，
，1，
，
，0，
，
所以
，0，
，
，1，
，
设平面
的法向量为
，
，
，则
，
取
，则
，所以
，2，
，
设
，
，
，则
，
，
，
，
若
面
，则
，
，
，
所以
，解得
，
，
，即
，1，
，
所以
，
所以
面
不成立，即选项
错误；
选项
，由上可知，
，
，
，且
，
，
，
，
不妨设
，
，
，
，则
，
，
，
所
以
点
到
平
面
距
离
，
其
中
，
所以点
到平面
距离的最大值为
，即选项
正确．
故选：
．
3.【解答】解：如图，
对于选项
，可知
的轨迹是以
为圆心，半径为1 的圆，
所以点
的轨迹与直四棱柱的交线为圆弧，圆弧长为
，故选项
正确；
对于选项
，可知点
在线段
上，所以当点
与点
重合时，三棱锥
体积最大，
且最大值为
，所以选项
错误；
对于选项
，可知该球的半径为1，球与直四棱柱的公共部分的体积为
，所以选项
错误；
对于选项
，经过
，
，
三点的平面截直四棱柱所得的截面为平行四边形
，其中
，可
得
，
设
的中点为
，
的中点为
，连接
，
，
，
可得
平面
，
所以
，求得
，
所以
，所以选项
正确．
故选：
．
4.【解答】解：如图所示：
对
选项，
平面
，
，
，
与平面
所成角为
，
选项正确；
对
，
选项，
点
是三角形
内的动点（含边界），
，
为以
的中点
为球心，
为直径的球与三角形
的交线
，
取
的中点
，则根据题意易知
平面
，且
，
又
，
该球的半径为
，
交线
所在圆的半径为
，又易知
为边长为1 的正三角形，
交线
所对的圆心角为
，
的长为
，
选项正确；
三棱锥
的体积最大值为
，
选项错误；
对
选项，将底面直角三角形
对称补全成正方形
，
则异面直线
与
所成角即为
与
所成角，
由图可知：当
与
重合时
与
所成角最小，即最小角为
，
与
所成角余弦值的最大值为
；
当
与
重合时
与
所成角最大，即最大角为
，
过
作
与点
，则
为
的中点，
，
，
，
，
又
，
，且易知
，
，
在
中，由余弦定理可得：
，
异面直线
与
所成角的余弦值范围是
，
，
选项正确．
故选：
．
5.【解答】解：过点
作
，垂足为
，连接
．易得
平面
，
所以点
到平面
的距离为
，
，
，
，
，
过点
作
平面
，垂足为
（图略）．当
，
，
三点共线，且
时，
取得最大值，最大值为
．
故选：
．
【精选练习】
6.【解答】解：因为
，
所以
点轨迹为以
为直径的球，
中点即为正方体中心
，球心
在每个面上的射影为面的中心，
因为
，
所以
，又因为球心
在每个面的距离
，
所以球
被正方体每个表面所截的小圆的半径
，
所以点
的轨迹是六个半径为
的圆，
故点
的轨迹长度即为
．
故选：
．
7.【解答】解：对于
，在正方体
中，平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
，故
正确；
对于
，
，
分别是棱
，
的中点，点
为
中点时，
平面
在正方体上的截面为正六边形
，
则
，
，
，
四点共面，有
，故
错误；
对于
，若
，则
为
上靠近
点的三等分点，
取
上靠近
的三等分点
，
的中点
，连接
，
，
则在正方形
中，可得
，
平面
，
平面
，则有
平面
，
同理可由
，证明
平面
，
，
平面
，
，所以平面
平面
，
点
在侧面
内，且
平面
，所以
即为点
的轨迹，
，故
正确；
对于
，若
，则
为
的中点，
平面
分割该正方体所成的两个空间几何体
和
，
平面
在正方体上的截面为正六边形
，
某球能够被整体放入
或
，该球的表面积最大时，
是以
为顶点，底面为正六边形
的正六棱锥的内切球，
正六边形
的边长为
，面积为
，
正六棱锥
，侧棱长
，每个侧面面积为
，棱锥的高为
，
设该球的半径为
，由体积法可得
，
解得
，所以该球的表面积为
，故
正确．
故选：
．
8.【解答】解：对于
，
直线
与平面
所成角为
，
，
点在以
为圆心，
为半径的圆周上运动，
点
的轨迹为圆，故
错误；
对于
，在面
内研究，
为内切球的球心，
为上底面中心，
为下底面中心，如图，
为内切球与面
的切点，
，
为球心到面
的距离，
在正方体中，
，
，
，
由题意得△
△
，
，
，解得
，
切面圆的半径
满足：
，
切面圆的面积
，故
正确；
对于
，直线
与平面
所成角为
，当
与
点的轨迹圆相切时，
最大，如图，
此时，
，故
正确；
对于
，由题意得
点为
和圆周的交点时，
最小，
此时可将面
沿着
翻折到面
所在平面，
根据长度关系，翻折后的图形如图：
当
，
，
三点共线时，
最小，
，
，
最小值为
，故
正确．
故选：
．
9.【解答】解：对于
，取
的中点
，
的中点
，又点
为
的中点，
由正方体的性质知
，
，
，
，
所以平面
平面
，又
平面
，
平面
，
故点
的轨迹为线段
，故
正确；
以
为原点，分别以
，
，
为
，
，
轴建立空间直角坐标系，
则
，0，
，
，2，
，设
，
，
，且
，
，
，
对于
，即
，
又
，
，则点
的轨迹为线段
，
且
，故
错误；
对于
，设
，
，
，且
，
，
若平面
经过点
，则
，且
，
又
，
所以
，
，
，0，
，2，
，2，
，即
，
，
，
，
，
因此
，从而
，所以
，即
时即可，
所以存在存在点
，使得平面
经过点
，故
正确；
对于
，点
关于平面
的对称点的为
，2，
，三点共线时线段和最短，
故
，故存在点
满足
，故
正确．
故选：
．
10.【解答】解：对
选项，以
，
，
所在的直线分别为
轴，
轴，
轴，建系如图：
则根据题意可得
，0，
，
，0，
，
，0，
，
，2，
，
当点
是线段
的中点时，
，0，
，
设
，2，
，
所以
，
，
，
假设存在点
，使得
平面
，
则
，
，
解得
，
所以存在点
，使得
平面
，此时点
与点
重合，故
正确；
对
选项，取
的中点
，连接
，
，
，
，
，如图所示．
则
，
，所以
，
又易得
，
，
，
所以梯形
的面积为
，故
错误；
对
选项，如图，取
的中点
，当
为
的中点时，
易知
，且
，
四边形
为菱形，
，又
，
点
到直线
的距离的最小值为
，故
选项正确；
对
选项，取
的中点
，连接
，
，
，
易得
平面
，又
平面
，
所以
，所以
，
则点
在侧面
内运动轨迹为以
为圆心，半径为2 的劣弧，
分别交
，
于
，
，
则
，则
，
所以点
的轨迹长度为
，故
选项正确．
故选：
．
11.【解答】解：对于
，取正方形
的中心
，正方形
的中心
，连接
，
，
，
则
平面
，
过点
作
于点
，则
平面
，
，
，
，
，
，
，
，
可
得
，
，根据勾股定理得
，故
项不正确；
对于
，过点
作
于点
，则
，
，
正四棱台
的侧面面积是
，故
项正确；
对于
，正四棱台
的外接球球心
在直线
上，连接
，
，则
，
设
，则
，
由勾股定理得
，
，
即
，解得
，故
项正确；
对于
，由勾股定理得
，故点
的轨迹为以
为圆心、半径
的圆在正方形
内
的部分，如图所示，
其中
，故
，又
，根据勾股定理求得
，
由于
，故
，可得
，所以动点
的轨迹长度是
，故
不正确．
故选：
．
12【解答】解：正四棱锥
的所有棱长均相等，设棱长为，
为顶点
在底面内的射影，
对于
，过
作直线
，则为平面
与平面
的交线，
取
中点
，
中点
，连接
，
，
则
为二面角
的平面角，连接
，
在
中，
，
平面
与平面
不垂直，故
错误；
对于
，取
中点
，
中点
，连接
，
，
，
则
，
，
，
，
平面
平面
，
当
时，
平面
，
这样的点有无穷多个，故
正确；
对于
，由已知可知当
在正方形
各边中点时，
与底面
所在角最大，
，
，
不存在
，使得
与底面
所在角为
，故
错误；
对于
，作
垂直于
，连接
，
则
为二面角
的平面角，
当
都无限向点
靠拢时，
，
当
，
时，
，
二面角
范围是
，
，故
正确．
故答案为：
．
13.【解答】解：因为
平面
，
，
平面
，所以
，
，
又
，
，所以
，
取
的中点
，则
，
，所以
平面
，
过
作
于
，因为
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
所以
为
与平面
所成的角的平面角（或补角），
因为
平面
，
平面
，则
，
又在
△
中，
，则
，
所以
，
，
因为
，所以
，
，
所以点
轨迹是以
为圆心，以
为半径的圆在△
内部的一部分，如图，
所以
的最小值为
，故
正确；
由于轨迹圆部分在平面
外部，所以
的最大值不等于
，故
错误；
因为
平面
，
平面
，所以
，
若
，则点
在线段
上，有且仅有一个点
满足题意，故
正确；
动线段
形成的曲面为圆锥
侧面积的一部分，
易知三棱锥
是正三棱锥，
平面
，故
为等边△
的中心，
所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以曲面面积为圆锥侧面面积的
，
圆锥
侧面积为
，
所以所有满足条件的动线段
形成的曲面面积为
，故
正确．
故选：
．
跨章节综合2 立几与导数
1.【解答】解：如图，不妨设球与顶点出发的三个平面相切，易知球心
在
上
是
中心），
与三个面的切点
，
，
分别在
，
，
上，
在
中，易知
，
，
，则
，
则
，又
，且
，
则
，故
，
故
有最大值，且为
，故
正确；
当
时，
，此时
在四面体外，故
正确；
又
，
故
，
①当
在线段
上时，
，
设
，此时
，
设
，
则
，得
，
则
在
上单调递减，在
上单调增，
由
，
，
此时
无最大值，
；
②当
在线段
外时，
，
设
，则
单调递增，
则
，
，故
有最小值无最大值，故
错误，
正确．
故选：
．
【精选练习】
2.【解答】解：如图：
设外接球半径为
，则
，
设正三棱柱的底面三角形的边长为
，则该三角形的外接圆的半径为
，
故三棱柱的高
，
所以三棱柱的体积为
，
因为
，
设
，
则
（a）
，
当
，
即函数
（a）在
为增函数，
为减函数，
所以
，
则
．
故答案为：27．
跨章节综合3 立几与三角
1.【解答】解：如图：
圆锥
中，
，
，
由题意
，所以
，
所以
，
如图，
作出圆锥及其内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为
，
易知，圆锥内切球的半径
即等于
内切圆的半径，
因为
，所以
，
所以
，故圆锥的内切球表面积
，
故选项
正确；
在圆锥底面上使
，
由于直线
，
满足
，
，
，不妨令
，
，符合题意，
以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，
如图：
则
，0，
，
，0，
，
，0，
，
，
，
，
，1，
，
设
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
由
异
面
直
线
向
量
夹
角
公
式
知
：
，
，
因为
，
，所以
，
，
所以
，所以
，故选项
错误；
所以
，故选项
错误；
，因为
，
，所以
，
，
所以
，
，所以
，故选项
正确．
故选：
．
【精选练习】
2.【解答】解（1）证明：连接
，延长与
交于点
，则
，连接
，
因为
，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）由题意，
，建立空间直角坐标系如图所示，
设
，则
，0，
，
，
，
，
，1，
，
，
，
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，则
，
，故
，
同理可求得平面
的法向量为
，
所以
，
则
．
跨章节综合4 立体几何与解析几何
1.【解答】解：（1）因为平面
，平面
，
平面
，
，所以
，
所以直线
在
内的射影为直线
，所以直线
与
所成角为
，
过
作
，垂足为
，
因为
平分
，
，所以
，
又
，所以
，所以
，
又
，
，所以
，
因为
，
所以
；
（2）
曲线
是椭圆，理由如下：
由（1）可知，
，
，所以
是
的中点，
设
的中点为
，所以
，
又
，所以
，
在
内过
作
，所以
，
，
以
为原点，
，
，
所在的方向分别为
轴，
轴，
轴的正方向，建立空间直角坐标系
，
如图所示．因为
，
，所以
，
设
，
，
，又
，1，
，
，
则
，
，
因为
，又
，
所以
，化简得
，
即
，所以曲线
是椭圆；
设
，
，
，
，
，
，
在平面
内，因为与
不重合，可设
，
联立
，整理可得：
，
所以
，
，
由对称性知，若存在定点
满足条件，则
必在平面
与
的交线
上，
故可设
，，
，若
，则
，
即
，
，
，
，
所以
，
当
时，上式恒成立，所以
符合题意；
当
时，有
，
所以
，
所以
，
因为
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
即
，
因为上式对于任意的
恒成立，所以
．
综上，存在点
，3，
或
，9，
满足
或
，符合题意．
【精选练习】
【解答】解：如图，过
作
面
于
，过
作
，
，
，
因为
面
，
面
，所以
，又
，
，
面
，
所以
面
，又
面
，所以
，故
为二面角的平面角，
由题知，
，同理可得
，
所以
，即
为三角形的内心，
设
，则
，得到
，所以
，
三棱锥
的体积为
，
又因为
，所以点
在以
，
为焦点的椭圆上，
如图，以
所在直线为
轴，
的中垂线为
轴，建立平面直角坐标系，
则
，
，由题知，椭圆中的
，
所以椭圆的标准方程为
，设
，因为
是直角三角形，
当
时，易知
，此时
，
所以
，得到
，
当
时，易知
，此时
，
所以
，得到
，
又因为
，故以
为圆心，1 为半径的圆与椭圆没有交点，
即
，综上所述，
．
故答案为：
．
3.【解答】解：因为
，由椭圆的定义知点
的轨迹方程为
，
又因为
，由双曲线的定义知点
的轨迹方程为
（双曲线的一支），
如图，过点
作
，
因为
，又
，
，
面
，
所以
面
，设
为
中点，则二面角
为
，
所以不妨设
，
则由椭圆的方程可得
，则
，
所以
，
所以
，令
，
，
所以
，
等号成立当且仅当
，
所以当且仅当
时，
．
故选：
．
