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2021 年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题4 分，共40 分）每小题都有代号为A、B、C、
D 四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，
填涂正确记4 分，不涂、错涂或多涂记0 分.
1．满足x≤3 的最大整数x 是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．数轴上表示数m 和m+2 的点到原点的距离相等，则m 为（ ）
A．﹣2
B．2
C．1
D．﹣1
3．如图，点O 是▱ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分别交AD，BC 于点E，F，下列结论
成立的是（ ）
A．OE＝OF
B．AE＝BF
C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
4．据统计，某班7 个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，
7，7．下列说法错误的是（ ）
A．该组数据的中位数是6
B．该组数据的众数是6
C．该组数据的平均数是6
D．该组数据的方差是6
5．端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1 元，购买10 个肉粽和5 个素粽共用去70 元，设每
个肉粽x 元，则可列方程为（ ）
A．10x+5（x﹣1）＝70
B．10x+5（x+1）＝70
C．10（x﹣1）+5x＝70
D．10（x+1）+5x＝70
6．下列运算正确的是（ ）
A．
•
＝
B．
÷
＝
C．
+
＝
D．
﹣
＝
7．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，CD＝2OE，则∠BCD 的度数为（ ）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
8．如图，在菱形ABCD 中，∠A＝60°，点E，F 分别在边AB，BC 上，AE＝BF＝2，
△DEF 的周长为3
，则AD 的长为（ ）
A．
B．2
C．
+1
D．2
﹣1
9．已知方程x2﹣2021x+1＝0 的两根分别为x1，x2，则x1
2﹣
的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2021
D．﹣2021
10．如图，在矩形ABCD 中，AB＝15，BC＝20，把边AB 沿对角线BD 平移，点A′，B′
分别对应点A，B 给出下列结论：
①顺次连接点A′，B′，C，D 的图形是平行四边形；
②点C 到它关于直线AA′的对称点的距离为48；
③A′C﹣B′C 的最大值为15；
④A′C+B′C 的最小值为9
．
其中正确结论的个数是（ ）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题4 分，共24 分）请将答案填在答题卡对应的横线
上.
11．如果x2＝4，则x＝ ．
12．在﹣2，﹣1，1，2 这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是
．
13．如图，点E 是矩形ABCD 边AD 上一点，点F，G，H 分别是BE，BC，CE 的中点，
AF＝3，则GH 的长为 ．
14．若
＝3，则
+
＝ ．
15．如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，BC＝
AB＝3BD，则AD：AC 的值为
．
16．关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0 时，抛物线与直线y＝2x+2 没有交点；
②若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边
界），则a≥1．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共9 个小题，共86 分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算
步骤。
17．（8 分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x﹣3）2，其中x＝﹣1．
18．（8 分）如图，∠BAC＝90°，AD 是∠BAC 内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD 于点
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E，CF⊥AD 于点F．求证：AF＝BE．
19．（8 分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自
选考试项目．
（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；
（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩
（百分制）的统计图表如下：
考生
自选项目
长跑
掷实心球
小红
95
90
95
小强
90
95
95
①补全条形统计图．
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分
制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．
20．（10 分）已知关于x 的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k 与
都为整数，求k 所有可能的值．
21．（10 分）如图，反比例函数的图象与过点A（0，﹣1），B（4，1）的直线交于点B
和C．
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（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；
（2）已知点D（﹣1，0），直线CD 与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写
出点E 的坐标，并求△BCE 的面积．
22．（10 分）如图，A，B 是⊙O 上两点，且AB＝OA，连接OB 并延长到点C，使BC＝
OB，连接AC．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交⊙O 于点F，G，OA＝4，求GF
的长．
23．（10 分）超市购进某种苹果，如果进价增加2 元/千克要用300 元；如果进价减少2
元/千克，同样数量的苹果只用200 元．
（1）求苹果的进价；
（2）如果购进这种苹果不超过100 千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100 千克，
超过部分购进价格减少2 元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）
之间的函数关系式；
（3）超市一天购进苹果数量不超过300 千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，
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销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣
x+12．在（2）的
条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收
入﹣购进支出）
24．（10 分）如图，点E 在正方形ABCD 边AD 上，点F 是线段AB 上的动点（不与点A
重合），DF 交AC 于点G，GH⊥AD 于点H，AB＝1，DE＝
．
（1）求tan∠ACE；
（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y 与x 的函数关系式（写出x 的取值范围）；
（3）当∠ADF＝∠ACE 时，判断EG 与AC 的位置关系并说明理由．
25．（12 分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x 轴交于点A（1，0）和B，与y
轴交于点C，对称轴为直线x＝
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B，C 重合），过点P 作y 轴的
平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状
并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E，
且∠DQE＝2∠ODQ．在y 轴上是否存在点F，得△BEF 为等腰三角形？若存在，求点F
的坐标；若不存在，请说明理由．
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