（精校版）高一数学期末考试集（50套）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

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高一年级数学期末考试集
目录
2019-2020 学年浙江省浙南名校联盟（温州九校）高一（上）期末数学试卷..............2
2019-2020 学年浙江省温州市十校联合体高一（上）期末数学试卷............................10
2019-2020 学年浙江省金华市十校高一（上）期末数学试卷........................................17
2019-2020 学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一（上）期末数学试卷........27
2019-2020 学年天津市静海一中、宝坻一中、杨村一中等六校联考高一（上）期末数学试卷
35
2019-2020 学年四川省攀枝花市高一（上）期末数学试卷............................................42
2019-2020 学年四川省绵阳市高一（上）期末数学试卷................................................51
2019-2020 学年四川省泸州市高一（上）期末数学试卷................................................58
2019-2020 学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷................................................65
2019-2020 学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷................................................74
2019-2020 学年上海市青浦区高一（上）期末数学试卷................................................80
2019-2020 学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷............................................86
2019-2020 学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷............................................92
2019-2020 学年上海市嘉定区高一（上）期末数学试卷..............................................101
2019-2020 学年上海市黄浦区大同中学高一（上）期末数学试卷............................. 108
2019-2020 学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷..............................................115
2019-2020 学年陕西省西安中学高一（上）期末数学试卷......................................... 122
2019-2020 学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷..............................................131
2019-2020 学年山东省菏泽市高一（上）期末数学试卷（A 卷）..............................140
2019-2020 学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷..............................................147
2019-2020 学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷..............................................155
2019-2020 学年江苏省盐城市高一（上）期末数学试卷..............................................162
2019-2020 学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷..............................................170
2019-2020 学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷..............................................179
2019-2020 学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷..............................................187
2019-2020 学年江苏省南通市通州区、海门市、启东市高一（上）期末数学试卷. 195
2019-2020 学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷..............................................204
2019-2020 学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷............................. 213
2019-2020 学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷..............................................222
2019-2020 学年河南省豫南九校联考高一（上）期末数学试卷................................. 229
2019-2020 学年广东省珠海市高一（上）期末数学试卷..............................................238
2019-2020 学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷..............................................246
2019-2020 学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷（文科）............................. 256
2019-2020 学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷（理科）............................. 264
2019-2020 学年广东省江门市高一（上）期末数学试卷..............................................272
2019-2020 学年广东省惠州市高一（上）期末数学试卷..............................................280
2019-2020 学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷................................. 288
2019-2020 学年广东省广州市番禺区六校联考高一（上）期末数学试卷................. 298
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2019-2020 学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷..............................................305
2019-2020 学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷..............................................313
2019-2020 学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷..............................................321
2019-2020 学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷..............................................331
2019-2020 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷..............................................340
2019-2020 学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷..............................................349
2019-2020 学年安徽省合肥市六校联盟高一（上）期末数学试卷............................. 356
2018-2019 学年陕西省咸阳市高一（上）期末数学试卷..............................................364
2018-2019 学年陕西省西安市长安一中高一（上）期末数学试卷............................. 370
2018-2019 学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷..............................................379
2018-2019 学年山东省济南市历城区高一（上）期末数学试卷................................. 390
2019-2020 学年浙江省浙南名校联盟（温州九校）高一（上）期末数学试卷
一.选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）cos150°＝（
）
A．
B．
C．
D．
2．（4 分）下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是（
）
A．f（x）＝|x|
B．
C．f（x）＝2x﹣2
﹣x
D．f（x）＝tanx
3．（4 分）将函数y＝sin2x 的图象沿x 轴向右平移
个单位，得到函数y＝f（x）的图象，则y＝f（x）是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（4 分）已知点A＝（1，0），B＝（3，2），向量
，则向量
＝（
）
A．（0，﹣1）
B．（1，﹣1）
C．（1，0）
D．（﹣1，0）
5．（4 分）若tanx＜0，则（
）
A．sinx＜0
B．cosx＜0
C．sin2x＜0
D．cos2x＜0
6．（4 分）已知向量
，
，t 为实数，则
的最小值是（
）
A．1
B．
C．
D．
7．（4 分）若m 是函数
的零点，则m 在以下哪个区间（
）
A．[0，1]
B．
C．
D．[2，3]
8．（4 分）已知t 为常数，函数
在区间[﹣1，1]上的最大值为2，则t 的值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（4 分）在△ABC 中，AB＝2，若
，则∠A 的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（4 分）已知函数f（x）是偶函数，且f（5﹣x）＝f（5+x），若g（x）＝f（x）sinπx，h（x）＝f（x）cosπx，
则下列说法错误的是（
）
A．函数y＝h（x）的最小正周期是10
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B．对任意的x∈R，都有g（x+5）＝g（x﹣5）
C．函数y＝h（x）的图象关于直线x＝5 对称
D．函数y＝g（x）的图象关于（5，0）中心对称
二.填空题（本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分）
11．（6 分）已知向量
，则
＝
；
的夹角为
．
12．（6 分）已知
，且
，则
＝
；sinα＝
．
13．（6 分）已知函数
，则f（x）的最小正周期是
；f（x）的对称中心是
．
14．（6 分）已知二次函数f（x）＝x2+mx﹣3 的两个零点为1 和n，则n＝
；若f（a）≤f（3），则a 的取值
范围是
．
15．（4 分）已知对数函数f（x）的图象过点（4，﹣2），则不等式f（x﹣1）﹣f（x+1）＞3 的解集
．
16．（4 分）函数
，若方程f（x）＝a 恰有三个不同的解，记为x1，x2，x3，
则x1+x2+x3 的取值范围是
．
17．
（4 分）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点E，F 分别为边AB，DC 上动点，则
的取值范围是
．
三.解答题（本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（14 分）已知A＝{x|x2+ax﹣3＜0}，B＝{x|log2x＜1}，
（Ⅰ）当a＝2 时，求B∩（∁RA）；
（Ⅱ）若[2，3]⊆A，求实数a 的取值范围．
19．（15 分）已知向量
．
（Ⅰ）求
的取值范围；
（Ⅱ）若
，求
的值．
20．（15 分）已知函数
为偶函数，
（Ⅰ）求实数t 的值；
（Ⅱ）是否存在实数b＞a＞0，使得当x∈[a，b]时，函数f（x）的值域为
？若存在请求出实数a，
b 的值，若不存在，请说明理由．
21．（15 分）已知函数f（x）＝sin4x+asinx•cosx+cos4x．
（Ⅰ）当a＝1 时，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若方程f（x）＝2 有解，求实数a 的取值范围．
22．（15 分）已知函数
在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数．若函数
（a∈R），
利用上述性质，
（Ⅰ）当a＝1 时，求f（x）的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）；
（Ⅱ）设f（x）在区间（0，2]上最大值为g（a），求y＝g（a）的解析式；
（Ⅲ）若方程|f（x）﹣a|＝2 恰有四解，求实数a 的取值范围．
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2019-2020 学年浙江省浙南名校联盟（温州九校）高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分）
1．【解答】解：cos150°＝cos（180°﹣30°）＝﹣cos30°＝﹣
，
故选：B．
2．【解答】解：A．f（﹣x）＝|﹣x|＝|x|＝f（x），则f（x）是偶函数；
B．由
得
，即x＝1，即函数的定义域为{1}，
则函数定义域关于原点不对称，则f（x）为非奇非偶函数，
C．f（﹣x）＝2
﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2
﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数；
D．f（x）＝tanx 是奇函数，
故选：B．
3．【解答】解：将函数y＝sin2x 的图象沿x 轴向右平移
个单位，得到函数y＝f（x）＝sin（2x﹣
）的图象，
故选：D．
4．【解答】解：
，
；
∴
．
故选：A．
5．【解答】解：∵tanx＜0，
∴x 位于第二或第四象限，
若x 位于第二象限，则sinx＞0，cosx＜0，此时sin2x＝2sinxcosx＜0，
若x 位于第四象限，则sinx＜0，cosx＞0，此时sin2x＝2sinxcosx＜0，
综上sin2x＜0，
故选：C．
6．【解答】解：
；
∴
；
∵
；
∴
；
∴
的最小值为
．
故选：B．
7．【解答】解：由
，
得f（1）＝1﹣2+2＝1＞0，
f（2）＝
﹣4+2＝
﹣2＜0，
f（
）＝
﹣
+2＝
﹣2
+2≈
﹣2×1.414+2＝1.224﹣2.828+2＝3.224﹣2.828＞0，
即f（
）f（2）＜0，
则在
内函数f（x）存在零点，
故选：C．
8．【解答】解：设g（x）＝x﹣
﹣t，易知函数g（x）在[﹣1，1]上为增函数，
∴x﹣
﹣t∈[﹣3﹣t，
﹣t]，
当|﹣3﹣t|＞|
﹣t|，则|﹣3﹣t|＝2，解得t＝﹣1，或t＝﹣5，当t＝﹣5 时，|﹣3+5|＜|
+5|，故t＝﹣5 舍去，
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当|﹣3﹣t|≤|
﹣t|，则|
﹣t|＝2，解得t＝﹣
，或t＝
，当t＝
时，|﹣3﹣
|＞|
+
|，故t＝
舍去，
故t＝﹣1 或t＝﹣
，
故选：A．
9．【解答】解：∵
，
∴abcosC＝﹣
，
由余弦定理可得，ab×
＝﹣
，
∴a2+b2＝3，
由余弦定理可得，cosA＝
＝
＝
＝
＝
当且仅当
即b＝
时取等号，此时cosA 取得最小值，
根据余弦函数y＝cosx 在（0，π）上单调递减可知，此时A 取得最大
，
则∠A 的最大值是
，
故选：B．
10．【解答】解：由f（x）是偶函数，且f（5﹣x）＝f（5+x），
得f（5﹣x）＝f（5+x）＝f（x﹣5），即f（10+x）＝f（x），
则f（x）是周期为10 的周期函数，所以h（x+10）＝f（x+10）cos（πx+10π）＝f（x）cosπx＝h（x），
则y＝h（x）是的最小正周期为10，故排除A‘
g（x+5）＝f（x+5）sin（π（x+5））＝f（5﹣x）sin（πx+5π）＝f（5﹣x）（﹣sinπx）＝﹣f（x﹣5）（﹣sinπx）
＝f（x﹣5）sinπx＝g（x﹣5），故排除B；
h（5﹣x）＝f（5﹣x）cos（5π﹣5x）＝f（5+x）cos（5x﹣5π）＝f（5+x）cos（5x﹣5π+10π）＝f（5+x）cos（5x+5π）
＝h（5+x），
所以函数y＝h（x）的图象关于直线x＝5 对称，故排除C
故选：D．
二.填空题（本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分）
11．【解答】解：∵向量
，则
＝
﹣
＝﹣
，且| |＝| |＝1．
设
的夹角为θ，θ∈[0，π]，则﹣
＝1×1×cosθ，求得cosθ＝﹣
，
∴θ＝
，
故答案为：﹣
；
．
12．【解答】解：∵
，且
，
可得：
∈（﹣
，0），
∴
＝﹣
＝﹣
．
∴sinα＝sin[（
）+
]＝sin（
）cos
+cos（
）sin
＝
×（﹣
+
）＝﹣
．
故答案为：﹣
，﹣
．
13．【解答】解：由
，
得
；
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令
，求得x＝
，k∈Z，
可得f（x）的对称中心是（
，0），k∈Z．
故答案为：4π；（
，0），k∈Z．
14．【解答】解：根据韦达定理可得：
若二次函数f（x）＝x2+mx﹣3 的两个零点为1 和n，
则1+n＝﹣m，且1•n＝﹣3，
解得：n＝﹣3，m＝2，
则f（a）≤f（3）可化为：a2+2a﹣3≤12，
解得：a∈[﹣5，3]
故答案为：﹣3，[﹣5，3]
15．【解答】解：令f（x）＝logax，
∵函数f（x）的图象过点（4，﹣2），
∴loga4＝﹣2，
解得：a＝
∴f（x）＝
，
不等式f（x﹣1）﹣f（x+1）＞3 可化为：
，
即
，
解得：x∈
，
故答案为：
．
16．【解答】解：设x1＜x2＜x3，
作出函数f（x）的图象如图：
由2x+
＝
+2kπ，k∈Z，
得x＝kπ﹣
，
则当k＝1 时，x＝π﹣
＝
，即函数的一条对称轴为x＝
，
要使方程f（x）＝a 恰有三个不同的解，
则1＜a＜2，此时x2，x3，关于x＝
对称，
则
＝
，即x2+x3＝
，
当
＝2 时，x＝﹣1，
即﹣1＜x1＜0，
则x1+x2+x3＝x1+
，
∵﹣1＜x1＜0，∴
﹣1＜x1+
＜
，
即
﹣1＜x1+x2+x3＜
，
则x1+x2+x3 的取值范围是（
﹣1，
），
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故答案为：（
﹣1，
）．
17．【解答】解：以A 为原点，以AB，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，
设E（a，0），F（b，1），0≤a≤1，0≤b≤1．
则
＝（﹣a，0），
＝（b﹣a，1），
∴
＝a2﹣ab＝（a﹣
）2﹣
，
∴当a＝
，b＝1 时，
取得最小值﹣
，
当a＝1，b＝0 时，
取得最大值1．
故答案为：[﹣
，1]．
三.解答题（本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．【解答】解：（Ⅰ）解不等式log2x＜1 得：0＜x＜2，即B＝（0，2），
当a＝2 时，由x2+2x﹣3＜0 得：﹣3＜x＜1 则A＝（﹣3，1），
所以∁RA＝（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），
所以B∩（∁RA）＝[1，2），
（Ⅱ）若[2，3]⊆A，
等价于当x∈[2，3]时，x2+ax﹣3＜0 恒成立，
令f（x）＝x2+ax﹣3，
则
，
解得：a＞2．
19．【解答】解：（Ⅰ）
；
∴
＝
；
∴
；
∴
；
（Ⅱ）若
则，（sinx+cosx）2＝1+sin2x＝0；
∴sin2x＝﹣1；
∴cos2x＝0；
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∴
．
20．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若函数
为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），
即
，
解得：t＝1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，
，则f（x）在[a，b]上是增函数，
若当x∈[a，b]时，函数f（x）的值域为
则
，
解得a＝b＝1；
又由b＞a，所以不存在满足要求的实数a，b．
21．【解答】（本题满分为15 分）
解：（Ⅰ）当a＝1 时，
，…（3 分）
令t＝sin2x，可得：
，t∈[﹣1，1]，…（4 分）
则
，
所以f（x）的值域为
，…（7 分）
（Ⅱ）法一：
令t＝sin2x，可得：
，t∈[﹣1，1]，…（8 分）
①当
，即a≥2 时，
，解得a≥3，…（10 分）
②
，即﹣2＜a＜2 时，
，无解，…（12 分）
③当
，即a≤﹣2 时，
，解得a≤﹣3，…（14 分）
综上所述a≤﹣3 或a≥3，…（15 分）
法二：
，
令t＝sin2x，
，…（9 分）
当t＝0，不合题意，
∴t≠0，
∴
，t∈[﹣1，0）∪（0，1]，…（11 分）
∵
在[﹣1，0），（0，1]递减，
∴
，…（14 分）
∴a≤﹣3 或a≥3，…（15 分）
22 ．【解答】解：（Ⅰ）当
a ＝1
时，
（2
分）；
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f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（0，+∞）（4 分）
（Ⅱ）∵x∈（0，2]
①当a≥2 时，
，g（a）＝f（1）（5 分）
②当a≤0 时，
，g（a）＝f（2），g（a）＝f（2）（6 分）
③当0＜a＜2 时，
，
g（a）＝max{f（1），f（2）}，
当
，即
时，g（a）＝f（1）
当
，即
时，g（a）＝f（2）（8 分）
综上所述
（10 分）
（Ⅲ）x＞a 时，方程为
，且
，
；
，
所以对任意实数a，方程
有且只有两正解（12 分）；
x≤a 时，方程为
（14 分）
所以a＞1 时，|f（x）﹣a|＝2 恰有四解（15 分）
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日期：2019/12/26 22:09:17；用户：17888821690 ；邮箱：17888821690 ；学号：24433374
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2019-2020 学年浙江省温州市十校联合体高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）cos
＝（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
2．（5 分）已知函数
，则f（x）的值域是（
）
A．
B．
C．
D．（0，+∞）
3．（5 分）要得到函数y＝sin（2x+
）的图象，只需将函数y＝sin2x 的图象（
）
A．向左平移
个单位
B．向左平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向右平移
个单位
4．（5 分）函数y＝x2﹣2|x|（x∈R）的部分图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）已知tanθ＝2，则
＝（
）
A．7
B．
C．
D．1
6．（5 分）已知定义域为R 的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（1）＝2，则不等式f（log2x）＞2 的解
集为（
）
A．（2，+∞）
B．
C．
D．
7．（5 分）在△ABC 中，
，
，
，则
在
方向上的投影是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）若函数f（x）＝3sinωx（ω＞0）能够在某个长度为3 的闭区间上至少三次出现最大值3，且在
上是单调函数，则整数ω的值是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
9．（5 分）设函数y＝f（x）在R 上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp（x）＝
，则称
函数fp（x）为f（x）的“p 界函数”若给定函数f（x）＝x2﹣2x﹣1，p＝2，则下列结论不成立的是（
）
A．fp[f（0）]＝f[fp（0）]
B．fp[f（1）]＝f[fp（1）]
C．fp[fp（2）]＝f[f（2）]
D．fp[f（3）]＝f[f（3）]
10．（5 分）已知函数f（x）＝x2+ax+b 在x∈（﹣1，2）上有两个不同的零点，则（a+1）2﹣2b 的范围是（
）
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A．（﹣1，4）
B．（﹣1，1）
C．（1，7）
D．（﹣1，7）
二、填空题（每题5 分，满分30 分，将答案填在答题纸上）
11．（5 分）已知U＝R，集合A＝{x|﹣3≤x≤3}，B＝{x|x≥2}，则A∩B＝
，（∁UA）∪B＝
．
12．（5 分）已知向量
，
，则
＝
，与方向相反的单位向量＝
．
13．（5 分）（1）计算
＝
，
（2）若xlog32＝1，则4x+2
﹣x＝
．
14．（5 分）已知扇形的周长为8，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角α等于
rad．
15．（5 分）已知函数
，当x1≠x2 时，
，则a 的取值范围是
．
16．（5 分）已知平面向量
与
的夹角为锐角，
，
，且
的最小值为
，若向量
满足
，则
的取值范围为
．
三、解答题（本大题共4 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知平面上三点A，B，C，
，
．
（1）若
，求实数k 的值．
（2）若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，求实数k 的值．
18．已知函数f（x）＝2sin（ωx+θ），
的部分图象如图所示，函数图象与y 轴的交点为（0，
1），并且与x 轴交于M，N 两点，点P 是函数f（x）的最高点，且△MPN 是等腰直角三角形．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）若函数f（x）﹣a＝0 在[0，2]上有两个不同的解，求a 的取值范围．
19．已知函数
，a 为常数．
（1）若a＝﹣2，求证f（x）为奇函数；并指出f（x）的单调区间．
（2）若对于
，不等式
恒成立，求实数m 的取值范围．
20．若函数f（x）＝|x﹣a|﹣1，a 为常数．
（1）若f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为3，求a 的值．
（2）已知g（x）＝x•f（x）+a﹣m，若存在实数a∈（﹣1，2]，使得函数g（x）有三个零点，求m 的取值范围．
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2019-2020 学年浙江省温州市十校联合体高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：cos
＝﹣cos
＝﹣
，
故选：D．
2．【解答】解：∵x2+2≥2；
∴
；
∴f（x）的值域为
．
故选：C．
3．【解答】解：由于函数y＝sin（2x+
）＝sin2（x+
），
∴将函数y＝sin2x 的图象向左平移
个单位长度，可得函数y＝sin（2x+
）的图象，
故选：B．
4．【解答】解；显然原函数是偶函数，立即排除B，D．取x＝0，则y＝﹣1．排除A．
故选：C．
5．【解答】解：∵tanθ＝2，
∴
＝
＝
＝
＝﹣
．
故选：C．
6．【解答】解：f（x）是R 的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，所以f（x）在[0，+∞）上是增函数，
所以f（log2x）＞2＝f（1）⇔f（|log2x|）＞f（1）⇔|log2x|＞1；
即log2x＞1 或log2x＜﹣1；
解可得x＞2 或
．
故选：B．
7．【解答】解：∵
，∴|
+
|＝|
﹣
|，
两边平方得：
•
＝0，∴
⊥
，
∴A＝
，∴BC＝
，∴cosC＝
，
∴
在
方向上的投影为|
|cosC＝
故选：D．
8．【解答】解：函数y＝sinωx 能够在某个长度为3 的区间上至少三次出现最大值3，
如果起点为最高点，到下一个最高点，刚好一个周期，可两次获得最大值3，
由三角函数的图象与性质可知：即：2•
≤3；
解得：ω≥
；
又x∈[﹣
，
]上为单调函数，
∴﹣
≤ωx≤
，且
，
解得ω≤5；
综上可得，正整数ω＝5．
故选：B．
9．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣2x﹣1，p＝2，
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∴f2（x）＝
，
∴A．fp[f（0）]＝f2（﹣1）＝2，f[fp（0）]＝f（﹣1）＝1+2﹣1＝2，故A 成立；
B．fp[f（1）]＝f2（﹣2）＝2，f[fp（1）]＝f（﹣2）＝4+4﹣1＝7，故B 不成立；
C．f[f（2）]＝f（﹣1）＝2，fp[fp（2）]＝f2（﹣1）＝2，故C 成立；
D．f[f（3）]＝f（2）＝﹣1，fp[fp（3）]＝f2（2）＝﹣1，故D 成立．
故选：B．
10．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2+ax+b 在x∈（﹣1，2）上有两个不同的零点，设两个零点为x1，x2，
且﹣1＜x1＜2，﹣1＜x2＜2，x1≠x2，
即方程x2+ax+b＝0 的两个根为x1，x2，
则有（x1+x2）＝﹣a，x1x2＝b，
则（a+1）2﹣2b＝[1﹣（x1+x2）]2﹣2（x1x2）＝（x1﹣1）2+（x2﹣1）2﹣1，
又由﹣1＜x1＜2，﹣1＜x2＜2，x1≠x2；
将x1 作为横坐标，将x2 作为纵坐标，将（x1，x2）看成如图正方形区域内部且排除y＝x 之外的任意一点，
则
表示区域内任意一点与点（1，1）的距离，
分析可得：0＜
＜2
，
则有﹣1＜（x1﹣1）2+（x2﹣1）2﹣1＜7；
即（a+1）2﹣2b 的范围是（﹣1，7）；
故选：D．
二、填空题（每题5 分，满分30 分，将答案填在答题纸上）
11．【解答】解：A∩B＝[2，3]，∁UA＝（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），（∁UA）∪B＝（﹣∞，﹣3）∪[2，+∞）．
故答案为：[2，3]，（﹣∞，﹣3）∪[2，+∞）．
12．【解答】解：向量
，
，∴
＝（1，8），
则
＝
＝
，
与方向相反的单位向量＝﹣
＝﹣
＝
．
故答案为：
，
．
13．【解答】解：（1）
＝1+lg100
＝3．
故答案为：3．
（2）∵xlog32＝1，∴x＝log23，
∴4x+2
﹣x＝
+
＝9+
＝
．
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故答案为：
．
14．【解答】解：设半径为r，则2r+rα＝8，
∴S 扇形＝
r2α＝
×r2×（
﹣2）＝4r﹣r2＝4﹣（r﹣2）2≤4，
当且仅当r＝2 时取等号，此时α＝2．
故答案为：2．
15．【解答】解：由题意得函数f（x）在R 递减，
故
，
解得：0＜a≤
，
故答案为：（0，
]．
16．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，由图知：
当
＝t
时，即OE⊥EB 时，
取最小值，
由|OB|＝2，|OE|＝
，得：∠OEB＝
，即∠BOA＝
，
即
＝| || |cos
＝4，|
|＝
＝2
，
所以由
，
得：
﹣（
）
+
＝0，
即
2+4＝（
）
≤|
|| |，
即
2﹣2
| |+4≤0，
即
≤| |
，
故答案为：[
，
]．
三、解答题（本大题共4 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．【解答】解：（1）由于
，则
，
解得
．
故答案为：2±
；
（2）由
，
．得
＝
＝（k，1），
由题意得A 为直角，则
，
即2k+4＝0，解得：k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
18．【解答】
解：（1）因为P 是函数f（x）的最高点，所以yp＝2．
又∵△PMN 为等腰直角三角形，∴MN＝4．
∴
，即T＝8，由T＝
，求得；
．
又因为过点（0，1），所以2sinθ＝1．∵
，∴
．
所以
．
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故答案为：
（2）∵x∈[0，2]，∴
．
因为f（x）＝a 有两个交点，
函数y＝g（x）＝2sinx
x∈[
，
]的图象如图所示，
直线y＝a 与y＝g（x）＝2sinx
x∈[
，
]的图象有两个交点，
则
．
故答案为：[
，2）．
19．【解答】解：（1）当a＝﹣2 时，
．f（x）的定义域为
．
当
时，
f（﹣x）+f（x）＝
＝
＝
＝0．
∴f（﹣x）+f（x）＝0∴f（x）是奇函数．f（x）的单调区间为
．
（2）由
，∴
．
令
，只需要g（x）min＞m．
由（1）知g（x）在
上是增函数，
所以
．
则m 的取值范围是
．
20．【解答】解：（1）法一、
当a≥0 时，f（x）max＝f（﹣1）＝3，∴a＝3．
当a＜0 时，f（x）max＝f（1）＝3，∴a＝﹣3．
综上，a＝3 或a＝﹣3．
法二、由绝对值函数知，f（x）关于x＝a 对称，∴f（x）max＝max{f（1），f（﹣1）}＝3．
故必有f（1）＝3 且f（﹣1）≤3，或f（﹣1）＝3 且f（1）≤3．
综上，a＝3 或a＝﹣3．
（2）g（x）＝x|x﹣a|﹣x+a﹣mg（x）有三个零点
⇔g（x）＝0 有三个不同实根⇔函数x|x﹣a|﹣x+a 与直线y＝m 有三个不同交点．
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令h（x）＝x|x﹣a|﹣x+a﹣m，则
．
①当1≤a≤2 时，h（x）在
上单增，在
上单减，在
上单增．∴
，即
．∵a∈[1，2]，∴
．
②当﹣1＜a＜1 时，h（x）在
上单增，在
上单减，
在
上单增．∴
，即
．
∵a∈（﹣1，1），∴﹣1＜m＜1．
综上：
．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/12/26 22:09:23；用户：17888821690 ；邮箱：17888821690 ；学号：24433374
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2019-2020 学年浙江省金华市十校高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共4 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（4 分）设全集U＝{0，1，2，3，4，5），集合A＝{1，2，4}，B＝{2，3，5}，则（∁UA）∪B＝（
）
A．{2}
B．{3，5}
C．{0，2，3，5}
D．{1，2，3，4，5}
2．（4 分）在正方形中，点E 为CD 边的中点，则（
）
A．
＝
+
B．
＝
﹣
C．
＝
+
D．
＝﹣
+
3．（4 分）最小正周期为π，且图象关于直线
对称的一个函数是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（4 分）以下给出的对应关系f，能构成从集合A＝（﹣1，1）到集合B＝（﹣1，1）的函数的是（
）
A．f：x→2x
B．f：x→|x|
C．f：x→x
D．f：x→tanx
5．（4 分）要得到函数y＝sin（2x+
）的图象，只需将函数y＝sinx 的图象（
）
A．先向左平移
个单位，再横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标保持不变
B．先向左平移
个单位，再横坐标缩短为原来的
，纵坐标保持不变
C．先横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标保持不变，再向左平移
个单位
D．先横坐标缩短为原来的
，纵坐标保持不变，再向左平移
个单位
6．（4 分）函数f（x）＝ln|x|﹣
|x|+
的图象大致为（
）
A．
B．
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C．
D．
7．（4 分）已知在梯形ABCD 中，AB⊥BC，AD∥BC，且AB＝3，BC＝4，点M 为CD 中点，则（
）
A．
•
是定值
B．
•
是定值
C．
是定值
D．
是定值
8．（4 分）已知函数f（x）＝（x﹣a）k，角A，B，C 为锐角△ABC 的三个内角，则（
）
A．当k＝1，a＝2 时，f（sinA）＜f（cosB）
B．当k＝1，a＝2 时，f（cosA）＞f（sinB）
C．当k＝2，a＝1 时，f（sinA）＞f（cosB）
D．当k＝2，a＝1 时，f（cosA）＞f（sinB）
9．（4 分）在平面内，已知向量＝（1，0），＝（0，1），＝（1，1），若非负实数x，y，z 满足x+y+z＝1，且
＝x +2y +3z ，则（
）
A．| |的最小值为
B．| |的最大值为2
C．| |的最小值为
D．| |的最大值为3
10．（4 分）若对任意实数x∈[a，b]，均有sinxcosx﹣m（sinx+cosx）+m2≤0 恒成立，则下列结论中正确的是（
）
A．当m＝1 时，b﹣a 的最大值为
B．当m＝
时，b﹣a 的最大值为π
C．当m＝
时，b﹣a 的最大值为π
D．当m＝
时，b﹣a 的最大值为
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每小题6 分，单空题每小题6 分，共36 分
11．（6 分）计算：8
+2
﹣2＝
；log210﹣log
0.4＝
．
12．（6 分）函数f（x）＝
的定义域为
；函数y＝2
﹣|a|的值域为
．
13．（6 分）已知f（x）＝
，则f（2）＝
；f（﹣2）＝
．
14．（6 分）已知两个向量＝（1，
），＝（2，t），
（1）若⊥，则t＝
；
（2）若，的夹角为30°，则t＝
．
15．（4 分）关于x 的方程sinx+
cosx+1＝0 在[0，2π]的解是
．
16．（4 分）已知函数f（x）＝
，若函数有g（x）＝f（x）﹣
+2019 有三个零点p，q，r（p＜
q＜r），则f2（p）f（q）f（r）＝
．
17．（4 分）已知函数f（x）＝x2+x+a，若存在实数x∈[﹣1，1]使得f（f（x）+a）＞4af（x）成立，则实数a 的取
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值范围是
．
三、解答題：本大題共5 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14 分）设集合A＝{x|x2﹣ax﹣6a2≤0），B＝{x|log2（x+2）≤3}．
（Ⅰ）求集合B；
（Ⅱ）若A∩B＝B，求实数a 的取值范围．
19．（15 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边与单位圆分别交于点A，
B，x 轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△MOB＝
．
（Ⅰ）求sin2β；
（Ⅱ）求
•（
+
）的最大值．
20．（15 分）设平面向量＝（cosx，sinx），＝（
，
），| ﹣|＝
．
（Ⅰ）求cos（x﹣
）的值；
（Ⅱ）若x∈[
，
]，求cos2x 的值．
21．（15 分）已知a，b∈R 函数f（x）＝
满足y＝f（x）﹣b 为奇函数；
（Ⅰ）求实数a，b 的关系式；
（Ⅱ）当b＝3 时若不等式f（log5t）＞
成立，求实数t 可取的最小整数值．
22．（15 分）已知f（x）＝（x﹣1）|x﹣a|．
（Ⅰ）若a＝
，求f（x）在x∈[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）≤|ax﹣1|在x∈[0，2]上恒成立，求实数a 的取值范围．
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2019-2020 学年浙江省金华市十校高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共4 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．【解答】解：全集U＝{0，1，2，3，4，5），集合A＝{1，2，4}，
∴∁UA＝{0，3，5}，
又B＝{2，3，5}，
∴（∁UA）∪B＝{0，2，3，5}．
故选：C．
2．【解答】解：∵点E 为CD 边的中点，
∴
，
而
，
∴
＝
，
故选：C．
3．【解答】解：由于函数y＝sin（
+
）的最小正周期为
＝4π，故排除A；
由于函数y＝sin（2x+
）的最小正周期为
＝π，当x＝
时，y＝
，不是最值，故函数的图象不关于直
线
对称，故排除B；
由于函数y＝sin（2x﹣
）的最小正周期为
＝π，当x＝
时，y＝1，是最大值，故函数的图象关于直线
对称，故C 正确；
由于函数y＝sin（2x﹣
）的最小正周期为
＝π，当x＝
时，y＝0，不是最值，故函数的图象不关于直
线
对称，故排除D，
故选：C．
4．【解答】解：对于A，x＝﹣1 和x＝1 时，通过对应关系f：x→2x，B 中不能找出唯一的值与它对应，
不能构成从集合A＝（﹣1，1）到集合B＝（﹣1，1）的函数；
对于B，x＝﹣1 和x＝1 时，通过对应关系f：x→|x|，B 中都能找出唯一的值1 与它对应，
所以能构成从集合A＝（﹣1，1）到集合B＝（﹣1，1）的函数；
对于C，x＝﹣1 时，通过对应关系f：x→
，B 中不能找出唯一的值与它对应，
不能构成从集合A＝（﹣1，1）到集合B＝（﹣1，1）的函数；
对于D，x＝﹣1 和x＝1 时，通过对应关系f：x→tanx，B 中不能找出唯一的值与它对应，
不能构成从集合A＝（﹣1，1）到集合B＝（﹣1，1）的函数．
故选：B．
5．【解答】解：y＝sin（2x+
）＝sin2（x+
），
将函数sinx 的图象先横坐标缩短为原来的
，纵坐标保持不变，得到y＝sin2x，
再向左平移
个单位，得到y＝sin2（x+
），
故选：D．
6．【解答】解：f（﹣x）＝ln|﹣x|﹣
|﹣x|+
＝ln|x|﹣
|x|+
＝f（x），则函数f（x）是偶函数，排除B，
当x＞0 时，f（x）＝lnx﹣
x+
，则f（1）＝0，即x＝1 是函数的一个零点，
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则f（e）＝lne﹣
e+
＝1﹣
e+
＞0，排除A，
f（e2）＝lne2﹣
e2+
＝2﹣
e2+
＜0，排除D，
故选：C．
7．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；
则A（0，3），B（0，0），C（4，0），设D（a，3），则M（
，
），
∴
＝（
，
），
＝（0，﹣3），
•
＝﹣
，为定值．
故选：A．
8．【解答】解：A、B、C 为锐角△ABC 的三个内角，因为A+B
，所以
A
＞0，
∴sinA
，
．且sinA、sinB、cosA、cosB∈（0，1）
当k＝1，a＝2 时，函数f（x）＝x﹣2 单调递增
∴f（sinA）＞f（cosB），f（cosA）＜f（sinB），故A，B 错；
当k＝2，a＝1 时，函数f（x）＝（x﹣1）2 在（0，1）单调递减
∴f（sinA）＜f（cosB），f（cosA）＞f（sinB），故C 错，D 正确；
故选：D．
9．【解答】解：设向量＝
＝（1，0），＝
＝
（0，1），＝
＝（1，1），
＝x
+2y
+3z
，如图
设D（0，2），E（3，3），则
＝2
，
＝3
＝x
+2y
+3z
，
又x+y+z＝1，∴x＝1﹣y﹣z
＝（1﹣y﹣z）
+2y
+3z
，
∴
﹣
＝y（2
﹣
）+z（3
﹣
），
∴
＝y（
﹣
）+z（
﹣
）＝y
+z
，
∵y≥0，z≥0 且y+z＝1﹣x≤1，
∴P 点位于△ADE 内部或其边界上，
| |＝|
|的最小值等于坐标原点到△ADE 一点的最距离，即原点到AD 的最小距离，
|AD|＝
＝
，
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第22页（共397页）
由等积法得：
|OA|×|OD|＝
|AD|×| |，
＝
×
，
∴| |的最小值为：
，
故选：A．
10．【解答】解：令t＝sinx+cosx＝
sin（x+
）∈[﹣
，
]，
∵t2＝1+2sinxcosx，
∴对任意实数x∈[a，b]，均有sinxcosx﹣m（sinx+cosx）+m2≤0 恒成立，
∴
﹣mt+m2≤0，即t2﹣2mt+2m2﹣1≤0 恒成立，
令g（t）＝t2﹣2mt+2m2﹣1，
∴
，即
，
解得m＝
，
故选：B．
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每小题6 分，单空题每小题6 分，共36 分
11．【解答】解：
，
＝
．
故答案为：
．
12．【解答】解：由f（x）有意义得
，解得x∈（1，2）∪（2，+∞）；
因为﹣|a|≤0，所以2
﹣|a|∈（0，1]，
故答案为∈（1，2）∪（2，+∞）；（0，1]．
13．【解答】解：∵f（x）＝
，
∴f（2）＝22+1＝5；
f（﹣2）＝2f（﹣1）＝4f（0）＝8f（1）＝8（1+1）＝16．
故答案为：5，16．
14．【解答】解：（1）∵⊥，
∴• ＝2+
t＝0，
解得t＝﹣
；
（2）∵cos30°＝
＝
，
∴2+
t＝
•
，
两边平方，解得t＝
．
故答案为：（1）﹣
，（2）
．
15．【解答】解：关于x 的方程sinx+
cosx+1＝0，化为：sin（x+
）＝﹣
，
∵x∈[0，2π]，∴（x+
）∈
，
∴x+
＝
或
，
解得x＝
或
．
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故答案为：
或
．
16．【解答】解：函数f（x）＝
的图象如图所示：
令t＝f（x），则g（x）＝f（x）﹣
+2019＝t﹣
+2019，
若t﹣
+2019＝0，即有﹣2019＝t﹣
，由y＝t﹣
在t＜0 递增，
t＞0 递增，
则t1＜﹣1，0＜t2＜1，且t2+2019t﹣1＝0，t1t2＝﹣1，
故函数g（x）＝f（x）﹣
+2019 的三个零点p，q，r
（p＜q＜r）满足p＜0，0＜q＜1＜r，
故f（p）＝﹣p2＝t1，
故f2（p）＝t12，
f（q）＝f（r）＝t2，
f2（p）f（q）f（r）＝（t1t2）2＝1．
故答案为：1．
17．【解答】解：由题意，设f（x）+a＝t，可得f（t）＞4a（t﹣a）；
存在实数x∈[﹣1，1]
可得f（x）∈[a﹣
，2+a]
那么t∈[2a﹣
，2+2a]；
得t2+t+a＞4a（t﹣a）；
即t2+t（1﹣4a）+a+4a2＞0
令h（t）＝t2+t（1﹣4a）+a+4a2（t∈[2a﹣
，2+2a]）
可得其对称轴t＝
，
∴t∈[2a﹣
，2+2a]时，h（t）单调递增，
那么h（t）max＝h（2+2a）＝3a+6≥0，
解得：a≥﹣2．
故答案为：[﹣2，﹣∞）．
三、解答題：本大題共5 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．【解答】解：（Ⅰ）B＝{x|log2（x+2）≤3}＝{x|0＜x+2≤8}＝{x|﹣2＜x≤6}．
（Ⅱ）∵A＝{x|x2﹣ax﹣6a2≤0}＝{x|（x﹣3a）（x+2a）≤0}，B＝{x|﹣2＜x≤6}．A∩B＝B，
∴B⊆A，
当a≥0 时，A＝{x|﹣2a≤x≤3a}，
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则
，解得a≥2；
当a＜0 时，A＝{x|3a≤x≤﹣2a}，
则
，解得a≤﹣3．
综上，实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．
19．【解答】解：（Ⅰ）在单位圆中，|OM|＝1，S△MOB＝
，
∴yB＝
，
∴点B（﹣
，
），
∴cosβ＝﹣
，sinβ＝
，
∴sin2β＝2sinβcosβ＝﹣
；
（Ⅱ）
•（
+
）＝（cosα，sinα）•（
，
）
＝
cosα+
sinα
＝sin（α+
），
又α∈（0，
），
∴sin（α+
）∈（
，1]，
∴α＝
时，
•（
+
）取得最大值为1．
20．【解答】解：（Ⅰ）∵＝（cosx，sinx），＝（
，
），| ﹣|＝
，
∴﹣＝（cosx﹣
，sinx﹣
），
∴
＝
+
＝2﹣
（sinx+cosx）＝2﹣2cos（x﹣
）＝
，
∴cos（x﹣
）＝﹣
．
（Ⅱ）若x∈[
，
]，∴x﹣
∈[
，
]，
∵cos（x﹣
）＜0，
∴x﹣
为钝角，∴sin（x﹣
）＝
＝
．
∴cos2x＝﹣sin（2x﹣
）＝﹣2sin（x﹣
）cos（x﹣
）＝
．
21．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝
满足y＝f（x）﹣b 为奇函数，
即f（﹣x）﹣b＝﹣[f（x）﹣b]＝﹣f（x）+b，
即f（﹣x）+f（x）＝2b，
即2b＝
+
＝
+
＝
＝4+a，
则4+a＝2b．
（Ⅱ）当b＝3 时，4+a＝6，则a＝2，
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则f（x）＝
＝
＝
＝4﹣
，
∵y＝3x+1 是增函数，∴y＝
是减函数，y＝4﹣
是增函数，
由4﹣
＝
得
＝
，得3x＝
得x＝﹣1，即f（log5t）＞
等价为f（log5t）＞f（﹣1），
则log5t＞﹣1，则t＞
，
∴实数t 可取的最小整数值为1．
22．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝（x﹣1）|x﹣
|＝
∴当0≤x
时，f（x）max＝f（
）＝
，
当
≤x≤2 时，f（x）max＝f（2）＝
，
∴f（x）在x∈[0，2]上的最大值为
．
（Ⅱ）f（x）≤|ax﹣1|在x∈[0，2]上恒成立，即（x﹣1）|x﹣a|≤|ax﹣1|在x∈[0，2]上恒成立，
（1）当x∈[0，1）时，显然成立；
（2）当x∈[1，2]时令g（x）＝|ax﹣1|，∵f（1）＝0，g（1）＝|a﹣1|，∴f（1）≤g（1），
∴要使（x﹣1）|x﹣a|≤|ax﹣1|恒成立，必须f（2）≤g（2）恒成立
由|2﹣a|≤|2a﹣1|，解得a≤﹣1 或a≥1
注意到：f（x）＝（x﹣1）|x﹣a|＝
①若a≤﹣1，g（x）＝|ax﹣1|＝
函数f（x）、g（x）的图象如图所示：
x∈'1，2\时，函数f（x）、g（x）均单调递增，且f（1）≤g（1），f（2）≤g（2）
∴a≤﹣1 时，（x﹣1）|x﹣a|≤|ax﹣1|在x∈[1，2]上恒成立，
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②若a≥1 时，g（x）＝|ax﹣1|＝
函数f（x）、g（x）的图象如图所示：
x∈[1，2]时函数g（x）单调递增，函数f（x）在[1，
]，[a，2]上单调递增，在（
，a）上单调递减，则
有f（1）≤g（1），f（2）≤g（2），且ax﹣1≥﹣x2+（a+1）x﹣a 在x∈[1，a]上恒成立，
容易验证a≥1 时上述均成立，
∴a≥1 时，（x﹣1）|x﹣a|≤|ax﹣1|在x∈[1，2]上恒成立
综上，若f（x）≤|ax﹣1|在x∈[0，2]上恒成立，实数a 的取值范围是a≤﹣1 或a≥1
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2019-2020 学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一（上）期末数学试
卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（4 分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，6}，那么A∩B＝（
）
A．{1，6}
B．{2，3}
C．{1，2，3}
D．{1，2，3，6}
2．（4 分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），则tanα＝（
）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
3．（4 分）在△ABC 中，点D 为边AB 的中点，则向量
＝（
）
A．
B．
C．
D．
4．（4 分）设
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．b＜c＜a
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．a＜b＜c
5．（4 分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上为增函数的是（
）
A．
B．y＝tanx
C．y＝2x
D．y＝sinx
6．（4 分）若函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）局部图象如图所示，则函数y＝f（x）的解析式
为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（4 分）已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且2x+1＝f（x）+g（x），则g（1）＝（
）
A．
B．2
C．
D．4
8．（4 分）已知函数
，则y＝f（x）的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（4 分）已知向量
满足
，则
的最小值是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
10．（4 分）若函数f（x）＝x|x|+a|x|+3 在区间[3，+∞）和（﹣∞，﹣1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是（
）
A．[﹣3，1]
B．[﹣6，1]
C．[﹣3，2]
D．[﹣6，2]
二、填空题（本大题共7 小题，每小题4 分，共28 分.）
11．（4 分）计算：
＝
．
12．（4 分）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法
一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20 米，径长（两段半径的和）为24 米，
则该扇形田的面积为
平方米．
13．（4 分）求值：
＝
．
14．（4 分）已知幂函数f（x）＝xα（0＜α＜1）满足
，则f（4）＝
．
15．（4 分）已知平面向量
，向量
夹角为
，则
＝
．
16．（4 分）已知
，则
＝
．
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17．（4 分）已知函数
的最小值为与t 无关的常数，则t 的范围是
．
三、解答题（本大题共4 小题，共52 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（12 分）已知函数f（x）＝（sinx+cosx）2+2sin2x；
（1）求
的值；
（2）求函数y＝f（x）的周期及单调递增区间；
19．（12 分）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，向量
（1）若C 是AB 所在直线上一点，且OC⊥AB，求C 的坐标．
（2）若
，当
，求λ的值．
20．（14 分）已知函数
（1）求函数f（x）的定义域及其值域．
（2）若函数y＝2x﹣mf（x）有两个零点，求m 的取值范围．
21．（14 分）已知函数f（x）＝ax2﹣x+1﹣a．
（1）当a＝1 时，求函数y＝f（x）在[﹣3，3]上的最大值与最小值．
（2）当a＞0 时，记
，若对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]，总有
，求a 的取值
范围．
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2019-2020 学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，6}；
∴A∩B＝{2，3}．
故选：B．
2．【解答】解：∵已知角α的终边经过点P（3，﹣4），
∴x＝3，y＝﹣4，则
tanα＝
＝
＝﹣
，
故选：B．
3．【解答】解：如图，
∵点D 为边AB 的中点；
∴
；
∴
．
故选：A．
4．【解答】解：∵
，
a＝log25＞log24＝2，
0＜b＝（
）5＜（
）0＝1，
log5
＜log51＝0，
∴a，b，c 的大小关系为c＜b＜a．
故选：B．
5．【解答】解：A．f（﹣x）＝﹣x3+
＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，∵y＝x3 和y＝﹣
在（0，+∞）上都
是增函数，∴f（x）是增函数，满足条件．
B．y＝tanx 在（0，+∞）上不单调，不满足条件．
C．y＝2x 是增函数，但不是奇函数，不满足条件．
D．y＝sinx 是奇函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件．
故选：A．
6．【解答】解：∵
T＝
﹣
＝
，
∴ω＝
＝2；
又由图象可得：A＝
，可得：f（x）＝
sin（2x+φ），
f（
）＝
sin（2×
+φ）＝
，
∴
+φ＝kπ+
，k∈Z．
∴φ＝kπ﹣
，（k∈Z），
又∵|φ|≤π，
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∴当k＝0 时，可得：φ＝﹣
，此时，可得：f（x）＝
sin（2x﹣
）．
故选：D．
7．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且2x+1＝f（x）+g（x），
∴f（1）+g（1）＝21+1＝4，①
f（﹣1）+g（﹣1）＝2
﹣1+1＝20＝1，
即﹣f（1）+g（1）＝1
②
由①+②得2g（1）＝5，
则g（1）＝
，
故选：C．
8．【解答】解：∵cosx＝2cos2
﹣1＝1﹣2sin2
，
∴
＝
|cos
|+
|sin
|，
当2kπ≤x≤π+2kπ，
∴kπ≤
≤
+kπ，
当k 为偶数时，cos
≥0，sin
≥0，
此时f（x）＝
cos
+
sin
＝2
sin（
+
）≤2
，
当k 为奇数时，cos
≤0，sin
≤0，
此时f（x）＝﹣
cos
﹣
sin
＝﹣2
sin（
+
）≤2
，
当2kπ+π≤x≤2π+2kπ，
∴kπ+
≤
≤π+kπ，
当k 为偶数时，cos
＜0，sin
＞0，
此时f（x）＝﹣
cos
+
sin
＝2
sin（
﹣
）≤2
，
当k 为奇数时，cos
＞0，sin
＜0，
此时f（x）＝
cos
﹣
sin
＝﹣2
sin（
﹣
）≤2
，
综上所述，最大值为2
，
故选：C．
9．【解答】
解：不妨设如图所示的直角坐标系，
＝（1，0），＝（x，y），
＝x，
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因为|
|≥2，
所以x≤﹣2 或x≥2，
即所对应的点B 在直线x＝﹣2 的左边区域（含边界）或在直线x＝2 的右边区域（含边界），
又
的结合意义为与所对应的点A 与B 的距离，
由图知：当B（2，0）时，|AB|最短，且为1，
故
的最小值是1，
故选：D．
10．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x|x|+a|x|+3＝
，
当x≥0 时，f（x）＝x2+ax+3，若f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，则有﹣
≤3，解可得a≥﹣6；
当x＜0 时，f（x）＝﹣x2﹣ax+3，若f（x）在区间（﹣∞，﹣1]上为增函数，则有﹣
≥﹣1，解可得a≤2；
综合可得：﹣6≤a≤2，即a 的取值范围为[﹣6，2]；
故选：D．
二、填空题（本大题共7 小题，每小题4 分，共28 分.）
11．【解答】解：由
＝cos（4π﹣
）＝cos
＝
．
故答案为：
．
12．【解答】解：由题意可得：弧长l＝20，半径r＝12，
扇形面积S＝
lr＝
×20×12＝120（平方米），
故答案为：120．
13．【解答】解：原式＝4﹣3log32log23＝
．
故答案为：1．
14．【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα（0＜α＜1）满足
，
∴f（4）＝
＝2．
故答案为：2．
15．【解答】解：由|
|＝
，
所以
2
2
＝3，
又
＝| || |cos
＝﹣
，
所以
2﹣| |﹣2＝0，
所以| |＝2，
故答案为：2．
16．【解答】解：已知
，∴α+
还是锐角，∴sin（α+
）＝
＝
，
则
＝sin[（α+
）+
]＝sin（α+
）cos
+cos（α+
）sin
＝
+
＝
，
故答案为：
．
17．【解答】解：f（x）＝|x2﹣t|+
，
设x2＝m，则m＞0，
∴函数转化为f（m）＝|m﹣t|+
的最小值为与t 无关的常数，m＞0
①当t≤0 时，f（m）＝m﹣t+
，函数在（0，+∞）单调递增，无最小值，
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②当t＞0 时，m≤t 时，f（m）＝﹣m+t+
，函数在（0，t]单调递减，f（m）min＝﹣t+t+1＝1，
当m＞t 时，f（m）＝m﹣t+
，
∴f（m）＝1﹣
＝
，
令f（m）＝0，解得m＝
，
（i）若
≥t，即0＜t≤1 时，
当t＜m＜
时，f′（m）＜0，函数f（m）单调递递减，
当m＞
时，f′（m）＞0，函数f（m）单调递递增，
∴f（m）min＝f（
）＝
﹣t+
＝2
﹣t，
∵要使函数y＝f（x）的最小值为与t 无关的常数，
∴2
﹣t≥1，即（
﹣1）2≤0
解得t＝1，
（ii）若
＜t，即t＞1 时，f（m）在（t，+∞）单调递递增，
∴f（m）min＝﹣t+t+1＝1，
综上所述：t 的范围是[1，+∞）
三、解答题（本大题共4 小题，共52 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．【解答】解：∵f（x）＝（sinx+cosx）2+2sin2x，
∴
，
（1）
；
（2）函数f（x）的周期
，
由
，
可得
．
∴函数f（x）的周期T＝π，单调递增区间为
．
19．【解答】解：
，
因为C 是AB 所在直线上一点，
设
，可得C（1﹣3λ，2﹣λ），
又因为OC⊥AB，
所以
，
解得
，
所以
，
故答案为：（﹣
，
）
，
显然λ≠0，所以
，
，
又
所以
即
，
所以
，
所以﹣20λ2+10λ＝﹣10
即2λ2﹣λ﹣1＝0，
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解得：
，
故答案为：﹣
或1．
20．【解答】解：（1）由题意可知2x﹣1≥0，∴x≥0，函数f（x）的定义域为[0，+∞），
，函数f（x）的值域为[1，+∞）；
（2）∵
，∴
，
令
，
可得2x＝1+（t﹣1）2＝t2﹣2t+2，
所以原函数转化为y＝t2﹣（m+2）t+2（t≥1），记h（t）＝t2﹣（m+2）t+2（t≥1），
要使得函数y＝2x﹣mf（x）有两个零点，
即方程h（t）＝t2﹣（m+2）t+2＝0 在[1，+∞）上有两个根，
所以
，解得
，
所以当
时，函数y＝2x﹣mf（x）有两个零点．
21．【解答】解：（1）当a＝1 时，
，
∵
，
∴当x＝﹣3 时，f（x）max＝12，
当
时，
（2）由题意可知：
要使得对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]，总有
只需当x∈[﹣3，﹣1]时，
①当a≥1 时，g（x）在[﹣3，﹣1]上单调递增
即：
，所以
，
所以
，不合题意）
②当0＜a＜1 时
（Ⅰ）当
时，g（x）在[﹣3，﹣1]上单调递增，解得
（Ⅱ）
时，g（x）在
上单调递增，
上单调递减
可得
，
解得
（Ⅲ）
，g（x）在[﹣3，﹣1]上单调递减，所以
，
即
综上
≤a≤
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2019-2020 学年天津市静海一中、宝坻一中、杨村一中等六校联考高一（上）
期末数学试卷
一、选择题：（本大题共8 个小题，每小题4 分，共32 分）
1．（4 分）集合
，则M∩N＝（
）
A．{1，2，3}
B．{0，1，2}
C．{1，2}
D．{x|﹣1＜x＜3}
2．（4 分）函数
在区间（k，k+1）（k∈N）内有零点，则k＝（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（4 分）设x，y∈R，向量＝（x，1），＝（2，y），
，
，
，则
＝（
）
A．5
B．
C．
D．10
4．（4 分）若函数f（x）＝log0.3（5+4x﹣x2）在区间（a﹣1，a+1）上单调递减，且b＝log20.1，c＝20.2，则（
）
A．c＜b＜a
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c
5．（4 分）设函数
（a＞0，且a≠1）是R 上的减函数，则a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（4 分）已知定义在R 上的函数f（x）满足f（x+3）＝﹣
，且y＝f（x+3）为偶函数，若f（x）在（0，3）
内单调递减，则下面结论正确的是（
）
A．f（﹣4.5）＜f（3.5）＜f（12.5）
B．f（3.5）＜f（﹣4.5）＜f（12.5）
C．f（12.5）＜f（3.5）＜f（﹣4.5）
D．f（3.5）＜f（12.5）＜f（﹣4.5）
7．（4 分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|
）的部分图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则
只要将g（x）＝cos2x 的图象（
）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
8．（4 分）已知A 是函数
的最大值，若存在实数x1，x2 使得对任意实
数x 总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1﹣x2|的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：（本大题共6 个小题，每小题4 分，共24 分）
9．（4 分）已知
，则tanα+
等于
．
10．（4 分）如图，在矩形ABCD 中，已知AB＝6，AD＝4，且
，则
＝
．
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第36页（共397页）
11．（4 分）在△ABC 中，若
，且
，则△ABC 的形状为
三
角形．
12．（4 分）已知函数f（x+2）＝
，则
＝
．
13．（4 分）设函数y＝f（x+1）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，y＝f（x）在区间（﹣∞，1）是减函
数，且图象过点原点，则不等式（x﹣1）f（x）＜0 的解集为
．
14．（4 分）给出下列说法，正确的有
．
①与
共线单位向量的坐标是
；
②集合A＝{x∈Z|x＝2k﹣1，k∈Z}与集合B＝{x∈Z|x＝2k+1，k∈Z}是相等集合；
③函数y＝
的图象与y＝|x2﹣1|的图象恰有3 个公共点；
④函数f（|x|﹣1）的图象是由函数f（x）的图象水平向右平移一个单位后，将所得图象在y 轴右侧部分沿y 轴
翻折到y 轴左侧替代y 轴左侧部分图象，并保留右侧部分而得到．
三、解答题：（共计64 分）
15．（12 分）设全集为U＝R，集合A＝{x|（x+3）（x﹣6）≥0}，B＝{x||x﹣6|＜6}．
（Ⅰ）求A∩∁RB；
（Ⅱ）已知C＝{x|2a＜x＜a+1}，若C∪B＝B，求实数a 的取值范围．
16．（12 分）已知函数
．
（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）当
时，求f（x）值域．
17．（13 分）已知
，
（Ⅰ）求f（x）的单增区间和对称轴方程；
（Ⅱ）若
，
，求
18．（13 分）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x，y∈R 有f（x+y）＝f（x）+f（y）．当x＞0 时，f（x）
＞0，f（1）＝2．
（Ⅰ）求f（0）并证明f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性并证明；
（Ⅲ）求f（3）；若f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞6 对任意x∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．
19．（14 分）已知a∈R，函数
．
（Ⅰ）当a＝1 时，解不等式f（x）＞1；
（Ⅱ）若关于x 的方程f（x）+2x＝0 的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；
（Ⅲ）设a＞0，若对任意t∈[﹣1，0]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的和不大于log26，求a 的
取值范围．
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2019-2020 学年天津市静海一中、宝坻一中、杨村一中等六校联考高一（上）期
末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共8 个小题，每小题4 分，共32 分）
1．【解答】解：M＝{1，2，3}，N＝{x|﹣1＜x＜3}；
∴M∩N＝{1，2}．
故选：C．
2．【解答】解：函数
，函数为连续函数，
由f（2）＝4﹣
﹣4＝﹣
＜0，f（3）＝9﹣
﹣4＞0 及零点定理知，f（x）的零点在区间（2，3）上，
∴零点所在的一个区间（k，k+1）（k∈Z）是（2，3）
∴k＝2，
故选：B．
3．【解答】解：∵⊥，∴• ＝0，∴x＝1，
∵∥，∴﹣2＝y，
∴＝（1，1），＝（2，﹣2），
∴（+ ）2＝（
）2＝10，
故选：D．
4．【解答】解：由5+4x﹣x2＞0，得﹣1＜x＜5，
又函数t＝5+4x﹣x2 的对称轴方程为x＝2，
∴复合函数f（x）＝log0.3（5+4x﹣x2）的减区间为（﹣1，2），
∵函数f（x）＝log0.3（5+4x﹣x2）在区间（a﹣1，a+1）上递减，
∴
，则0≤a≤1．
而b＝log20.1＜0，c＝20.2＞1，
∴b＜a＜c．
故选：D．
5．【解答】解：∵函数f（x）（a＞0 且a≠1）是R 上的减函数，
∴0＜a＜1，且﹣1≥a0﹣3a，
∴
≤a＜1．
故选：A．
6．【解答】解：根据题意，定义在R 上的函数f（x）满足f（x+3）＝﹣
，
则有f（x+6）＝﹣
＝f（x），则函数f（x）是周期为6 的周期函数，
又由y＝f（x+3）为偶函数，则函数f（x）关于直线x＝3 对称，
则f（3.5）＝f（2.5），f（﹣4.5）＝f（1.5），f（12.5）＝f（0.5），
又由f（x）在（0，3）内单调递减，则f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5），
则有f（3.5）＜f（﹣4.5）＜f（12.5）；
故选：B．
7．【解答】解：由图知：A＝1，由
＝
＝
，即T＝π，则
，
又f（
）＝0，即sin（
φ）＝0，所以
φ＝kπ，即φ＝kπ﹣
（k∈Z），
又|φ|
，
所以φ＝
，
即f（x）＝sin（2x+
），
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将g（x）＝cos2x 的图象向右平移
个单位长度得y＝cos2（x﹣
）＝cos（2x﹣
）＝sin（2x+
）＝f（x），
故选：B．
8．【解答】解：
＝2sin（2018x+
）+cos[（2018x+
）﹣
]＝3sin
（2018x+
），
所以A＝3，周期T＝
＝
，
|x1﹣x2|min＝
＝
，
所以A•|x1﹣x2|的最小值为
，
故选：C．
二、填空题：（本大题共6 个小题，每小题4 分，共24 分）
9．【解答】解：∵已知
＝
＝cosα﹣sinα，
平方可得1﹣2sinαcosα＝
，∴sinαcosα＝
，
则tanα+
＝
+
＝
＝
，
故答案为：
．
10．【解答】解：如图：建立直角坐标系：
则A（0，0），B（6，0），E（6，2），F（2，4），
则
＝（6，2），
＝（﹣4，4），
∴
•
＝（6，2）•（﹣4，4）＝﹣24+8＝﹣16
故答案为：﹣16
11．【解答】解；△ABC 中，若
，∴tan（A+B）＝
＝
，∴A+B＝
，
C＝
．
∵
＝
sin2B，∴sin2B＝
．
结合B＜
，可得2B＝
，B＝
，∴A＝
﹣B＝
，
则△ABC 的形状为等腰三角形，
故答案为：等腰．
12．【解答】解：∵函数f（x+2）＝
，
∴
＝tan
＝1，
f（﹣6）＝f（﹣8+2）＝log28＝3，
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∴
＝1×3＝3．
故答案为：3．
13．【解答】解：根据题意，函数y＝f（x+1）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，则函数f（x）的图象
关于直线x＝1 对称，且f（x）的定义域为{x|x≠1}，
y＝f（x）在区间（﹣∞，1）是减函数，且图象过点原点，则当x＜0 时，f（x）＞0，当0＜x＜1 时，f（x）＜0，
又由函数f（x）的图象关于直线x＝1 对称，则当1＜x＜2 时，f（x）＜0，当x＞2 时，f（x）＞0，
（x﹣1）f（x）＜0⇒
或
，
解可得：x＜0 或1＜x＜2，
即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（1，2）；
故答案为：（﹣∞，0）∪（1，2）．
14．【解答】解：①与
共线单位向量的坐标是±
，故①错误，
②集合A＝{x∈Z|x＝2k﹣1，k∈Z}与集合B＝{x∈Z|x＝2k+1，k∈Z}是相等集合，
都表示所有的奇数，故②正确，
③当﹣1≤x≤1 时，f（x）＝﹣x2+1，则直线y＝
过点（0，1），
f′（x）＝﹣2x，则f′（0）＝0，而直线y＝
的斜率为
，则y＝
的图象与y＝|x2﹣1|的图象在（﹣
1，1）内有两个交点，
即两个函数共有4 个交点，故③错误，
④f（|x|﹣1）是偶函数，图象关于y 轴对称，当x≥0 时，f（|x|﹣1）＝f（x﹣1），
即由函数f（x）的图象水平向右平移一个单位后，得到f（x﹣1），然后将所得图象在y 轴右侧部分沿y 轴翻折
到y 轴左侧替代y 轴左侧部分图象，并保留右侧部分而得到，故④正确，
故正确的是②④，
故答案为：②④
三、解答题：（共计64 分）
15．【解答】解：（Ⅰ）解二次不等式（x+3）（x﹣6）≥0 得：x≤﹣3 或x≥6，
即A＝{x|x≤﹣3 或x≥6}，
解绝对值不等式|x﹣6|＜6 得：0＜x＜12，
即B＝{x|0＜x＜12}，
所以∁RB＝{x|x≤0 或x≥12}，
所以A∩∁RB＝{x|x≤﹣3 或x≥12}，
故答案为：{x|x≤﹣3 或x≥12}；
（Ⅱ）因为C∪B＝B，即C⊆B
①若C＝φ时，即2a≥a+1 即a≥1 满足题意．
②若C≠φ时，2a＜a+1 即a＜1，
若C⊆B，则
，即0≤a≤11，
又a＜1，
所以0≤a＜1，
综合①②可得：实数a 的取值范围为：a≥0，
故答案为：a≥0．
16．【解答】解：（Ⅰ）对于函数
，
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由
，可得f（x）的定义域为
．
∵
，
所以f（x）的最小正周期
．
（Ⅱ）由
，得
，
又∵
，∴
，
∴
，∵
，
，∴
．
17．【解答】解：（1）已知
＝
﹣
sinx＝
﹣sin（x+
）．
令2kπ+
≤x+
≤2kπ+
，求得2kπ+
≤x≤2kπ+
，可得函数的增区间为[2kπ+
，2kπ+
]，k∈Z．
令x+
＝kπ+
，求得x＝
+kπ，可得函数的图象的对称轴方程
．
（2）由
，可得sin（x+
）＝
＜
，易知
，
∴
，∴
，
∴
＝2sin（x+
）cos（x+
）＝
．
18．【解答】解：（1）f（0）＝f（0+0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0，
又因为f（x）的定义域为R 关于原点对称f（0）＝f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x），
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数．……………………．（4 分）
（2）∀x1＞x2，f（x1﹣x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2），
因为x1﹣x2＞0∴f（x1﹣x2）＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0f（x）单调递增．…………………（8 分）
（3）f（x+y）＝f（x）+f（y）．当x＞0 时，f（x）＞0，f（1）＝2．f（2）＝f（1）+f（1）＝2f（1）．
f（3）＝f（2）+f（1）＝3f（1）＝6．
f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＝f（4x﹣a+6+2x+1）＞f（3），4x﹣a+6+2x+1＞3，
所以a＜（2x）2+2•2x+3＝（2x+1）2+2，
∴a≤3…………………………………．（13 分）
19．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1 时，
，
∴
，得0＜2x＜1，
∴解集为（﹣∞，0）．
（Ⅱ）方程f（x）+2x＝0，即为
，
∴
，∴
，
令
，则m+a＝m2，即a＝m2﹣m 在（0，+∞）上只有一解，
∴a≥0 或
．
法（二）方程f（x）+2x＝0，即为
，
∴2x+a（2x）2＝1，
令m＝2x（m＞0），则am2+m﹣1＝0 在（0，+∞）上只有一解，
①当a＝0 时，只有一解m＝1，满足条件；
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②当a＞0 时，g（m）＝am2+m﹣1 在（0，+∞）上单调递增，且g（0）＝﹣1＜0，所以有一解；
③当a＜0 时，△＝1+4a＝0，得
．
∴a≥0 或
．
（Ⅲ）∵
在R 上单调递减，∴函数
在定义域内单调递减，
∴函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为
，最小值为
，
∴
，
∴
，令
，
∴（2h+a）（h+a）≤6，即2h2+3ah+a2≤6，
∵y＝2h2+3ah+a2 在
上单调递增，
∴
，解得﹣4≤a≤1，
∴a 的取值范围是（0，1]．
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2019-2020 学年四川省攀枝花市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）若sinα＜0 且tanα＞0，则α是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
2．（5 分）已知集合A＝{1，2}，非空集合B 满足A∪B＝{1，2}，则集合B 有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．（5 分）下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为增函数的是（
）
A．
B．y＝2x3
C．
D．
4．（5 分）如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y＝
的图象是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
5．（5 分）下列两个函数是相等函数的是（
）
A．函数y＝x 和
B．函数
和
C．函数y＝ln（x2﹣1）与y＝ln（x﹣1）+ln（x+1）
D．函数y＝ln（1﹣x2）与y＝ln（1﹣x）+ln（1+x）
6．（5 分）已知x＝1.10.1，y＝0.91.1，z＝
，则x，y，z 的大小关系是（
）
A．x＞y＞z
B．y＞x＞z
C．y＞z＞x
D．x＞z＞y
7．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中卷一《方田》记载：“今有宛田，下周八步，
径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长8 步，其所在圆的直径是4 步，则
这块田的面积是（
）
A．8 平方步
B．6 平方步
C．4 平方步
D．16 平方步
8．（5 分）已知tan（α﹣β）＝
，tan（
﹣β）＝
，则tan（α﹣
）等于（
）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）已知sinα、cosα是关于x 的方程3x2+ax﹣1＝0 的两根，则实数a＝（
）
A．3
B．
C．
D．
10．（5 分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则下列有关f（x）性质的描
述正确的是（
）
A．
为其减区间
B．f（x）向左移
可变为偶函数
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C．
D．
为其所有对称轴
11．（5 分）已知定义在R 上的函数f（x）满足
，当x∈（0，1]时，f（x）＝2x，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）已知函数
，若方程f（x）＝m 有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3
＜x4），不等式
恒成立，则实数k 的最大值为（
）
A．2
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．（5 分）求值：
＝
．
14．（5 分）已知函数f（2x﹣1）＝4x+3，若f（t）＝11，则t＝
．
15．（5 分）求值：sin50°（1+
tan10°）＝
．
16．（5 分）已知函数f（x）＝ex﹣2（x＜0）与g（x）＝ln（x+a）的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取
值范围是
．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）（Ⅰ）已知角α的终边经过点（﹣3，4），求
的值；
（Ⅱ）求值：
．
18．（12 分）已知集合A＝{x|﹣7≤2x﹣1≤1}，
．
（Ⅰ）求A∪B 及（∁RA）∩B；
（Ⅱ）若C＝{x|a≤x≤2a+2}，且C⊆A，求实数a 的取值范围．
19．（12 分）已知函数
．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间
上的最大值为6，求常数m 的值．
20．（12 分）已知函数
是定义在（0，+∞）上的函数．
（Ⅰ）用定义法证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若关于x 的不等式
恒成立，求实数m 的取值范围．
21．（12 分）攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76 种，探明储量39 种，其中钒、钛
资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研
单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y（y 值越大产品的
性能越好）与这种新合金材料的含量x（单位：克）的关系为：当0≤x＜7 时，y 是x 的二次函数；当x≥7 时，
．测得部分数据如表：
x（单位：克）
0
2
6
10
…
y
﹣4
8
8
…
（Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式y＝f（x）；
（Ⅱ）求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳．
22．（12 分）已知函数
为偶函数．
（Ⅰ）求b 的值；
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（Ⅱ）若
，求a 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数
在R 上只有一个零点，求实数k
的取值范围．
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2019-2020 学年四川省攀枝花市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限．
故选：C．
2．【解答】解：∵集合A＝{1，2}，非空集合B 满足A∪B＝{1，2}，
∴B＝{1}，B＝{2}或B＝{1，2}．
∴集合B 有3 个．
故选：C．
3．【解答】解；根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝
，为反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；
对于B，y＝2x3，既是奇函数，又在定义域内为增函数，符合题意；
对于C，y＝
﹣x，有f（﹣x）＝
﹣（﹣x）＝﹣（
﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，但在其定义域上不是增函
数，不符合题意；
对于D，y＝x+
，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）为增函数，不符合题意；
故选：B．
4．【解答】解：幂函数y＝
为增函数，且增加的速度比较缓慢，
只有④符合．
故选：D．
5．【解答】解：A．y＝x 和
的解析式不同，两函数不相等；
B.
的定义域为R，
的定义域为（0，+∞），定义域不同，两函数不相等；
C．y＝ln（x2﹣1）的定义域为{x|x＜﹣1，或x＞1}，y＝ln（x﹣1）+ln（x+1）的定义域为{x|x＞1}，定义域不同，
两函数不相等；
D．y＝ln（1﹣x2）的定义域为（﹣1，1），y＝ln（1﹣x）+ln（1+x）＝ln（1﹣x2）的定义域为（﹣1，1），定义
域和解析式都相同，两函数相等．
故选：D．
6．【解答】解：∵x＝1.10.1＞1.10＝1，
0＜y＝0.91.1＜0.90＝1，
z＝
＜
1＜0，
∴x，y，z 的大小关系为x＞y＞z．
故选：A．
7．【解答】解：∵弧长8 步，其所在圆的直径是4 步，
∴由题意可得：S＝
×2×8＝8（平方步），
故选：A．
8．【解答】解：∵tan（α﹣β）＝
，tan（
﹣β）＝
，
∴tan（α﹣
）＝tan[（α﹣β）﹣（
﹣β）]＝
＝
＝
．
故选：C．
9．【解答】解：由sinα、cosα是关于x 的方程3x2+ax﹣1＝0 的两根，由韦达定理可得：
sinαcosα＝﹣
，﹣
＝sinα+cosα，
所以（﹣
）2＝1+2sinαcosα＝
，
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所以a＝
，
故选：D．
10．【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象，
可得
•
＝
﹣
，∴ω＝2．
再根据五点法可得2•
+φ＝π，∴φ＝
，∴f（x）＝Asin（2x+
）．
令2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，求得kπ+
≤x≤kπ+
，
可得函数的减区间为[kπ+
≤x≤kπ+
]，k∈Z，故A 错误；
把f（x）向左移
可得y＝Asin（2x+
）＝Acos2x，为偶函数，
故B 正确；
根据φ＝
，可得C 错误；
由2x+
＝kπ+
，求得x＝
+
，k∈Z，故函数f（x）的图象的对称轴为x＝
+
，k∈Z，故D 错误，
故选：B．
11．【解答】解：∵函数f（x）满足
，∴f（x+2）＝
＝
＝f（x），可得f（x）是最小正
周期为2 的周期函数，
当x∈（0，1]时，f（x）＝2x，
∵8＜9＜16，2＞1
∴log28＜log29＜log216，即log29∈（3，4）
因此f（2018）＝f（0）＝
＝
f（log2
）＝f（log23﹣4）＝f（log23）＝
＝
．
则
＝
．
故选：C．
12．【解答】解：由函数
，
得：y＝f（x）的图象如图所示，且关于直线x＝2 对称，
设方程f（x）＝m 的解为：x1，x2，x3，x4，
则x1x2＝1，x1+x4＝x2+x3＝4，
x1+x2+x3+x4＝8，
x12+x22+x32+x42＝x12+（4﹣x1）2+x22+（4﹣x2）2
＝2（x12+x22）﹣8（x1+x2）+32＝2（x1+x2）2﹣）
﹣8（x1+x2）+28＝2（x1+x2﹣2）2+20，
四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），
不等式
恒成立，
则k≤
恒成立，
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又x1+x2﹣2＞2
＝0，
即
，
即k
，
即实数k 的最大值为：
故选：B．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．【解答】解：sin
．
故答案为：
14．【解答】解：设2x﹣1＝t，则x＝
，
∴f（t）＝2（t+1）+3＝2t+5
∵f（t）＝11，∴2t+5＝11，
解得t＝3．
故答案为：3．
15．【解答】解：原式＝sin50°•
＝cos40°
＝
＝
＝1
故答案为：1
16．【解答】解：函数f（x）与g（x）图象上存在关于y 轴有对称的点，
就是f（﹣x）＝g（x）有解，
也就是函数y＝f（﹣x）与函数y＝g（x）有交点，
在同一坐标系内画函数y＝f（﹣x）＝e
﹣x﹣2（x＞0）与函数y＝g（x）＝ln（x+a）的图象：
∴函数y＝g（x）＝ln（x+a）的图象是把由函数y＝lnx 的图象向左平移
且平移到过点（0，﹣1）后开始，两函数的图象有交点，
把点（0，﹣1）代入y＝ln（x+a）得，﹣1＝lna，∴a＝
，
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∴a＜
，
故答案为：（﹣∞，
）．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解答】解：（Ⅰ）由题意角α的终边经过点（﹣3，4），得到
，
∴
＝
．
（Ⅱ）
．
18．【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|﹣3≤x≤1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}；
∴A∪B＝{x|﹣3≤x≤2}，∁RA＝{x|x＜﹣3，或x＞1}；
∴（∁RA）∩B＝{x|1＜x≤2}；
（Ⅱ）∵C⊆A，
∴①当C＝∅时，则a＞2a+2；
∴a＜﹣2；
②当C≠∅时，则
；
解得
；
综上所述，实数a 的取值范围是
．
19．【解答】解：（Ⅰ）
＝
令
，解得
，
所以f（x）的单调递增区间
；
（Ⅱ）由
，
所以当
，即x＝
时，
，
所以
，
解得m＝3．
20．【解答】（本小题满分12 分）
解：（Ⅰ）任取0＜x1＜x2，
＝
＝
＝
，
∵0＜x1＜x2
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∴x2﹣x1＞0，
，
即f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（0，+∞）上是减函数．………………………（6 分）
（Ⅱ）已知函数f（x）在其定义域内是减函数，且f（1）＝0
当x∈（0，+∞）时，原不等式恒成立等价于
恒成立，………………………（8 分）
即
恒成立，即m＞﹣x2﹣x，
∵当x∈（0，+∞）时，
，
∴m≥0．………………………（12 分）
21．【解答】（本小题满分12 分）
解：（Ⅰ）当0≤x＜7 时，y 是x 的二次函数，可设y＝ax2+bx+c（a≠0），
由x＝0，y＝﹣4 可得c＝﹣4，由x＝2，y＝8，即4a+2b＝12，
由x＝6，y＝8，可得36a+6b＝12，解得a＝﹣1，b＝8，
即有y＝﹣x2+8x﹣4；………………………（4 分）
当x≥7 时，
，由x＝10，
，可得m＝8，即有
；
综上可得
．………………………（6 分）
（Ⅱ）当0≤x＜7 时，y＝﹣x2+8x﹣4＝﹣（x﹣4）2+12，
即有x＝4 时，取得最大值12；
当x≥7 时，
递减，可得y≤3，当x＝7 时，取得最大值3．
综上可得当x＝4 时产品的性能达到最佳．………………………（12 分）
22．【解答】（本小题满分12 分）
解：（Ⅰ）由题意x∈R 时f（﹣x）＝f（x），
∴
，
∴
，∴
，故b＝1．………………………（3 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，∴
，
∴
，显然
，∴
，
解得
或a＝2，
又a＞0 且a≠1，所以a＝2．………………………（6 分）
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下
＝
＝0，
∴
在R 上只有一个零点，
令t＝2x，则t＞0，即关于t 的方程
只有一个正实根，………………………8
令
，
①当k＝1 时，
，满足条件；
②当k＞1 时，函数h（t）的图象是开口向上的抛物线，又h（0）＝﹣1，
所以方程h（t）＝0 有一正一负两根，满足条件；
………………………（10 分）
③当0＜k＜1 时，函数h（t）的图象是开口向下的抛物线，又h（0）＝﹣1，
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∴
时满足题意，解得
，
故实数k 的取值范围为k≥1 或
．………………………（12 分）
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2019-2020 学年四川省绵阳市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题4 分，共48 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4 分）如果全集U＝{x∈N*|x＜5}，M＝{1，2}，则∁UM＝（
）
A．∅
B．{1，2}
C．{3，4}
D．{0，3，4}
2．（4 分）下列图象是函数图象的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（4 分）下列函数是奇函数，且在区间（0，+∞）上是增函数的是（
）
A．f（x）＝sinx
B．f（x）＝x3+x
C．f（x）＝
D．f（x）＝x+
4．（4 分）一个扇形的面积是1cm2，它的半径是1cm，则该扇形圆心角的弧度数是（
）
A．
B．1
C．2
D．2sin1
5．（4 分）如果角α的终边在第二象限，则下列结论正确的是（
）
A．cosα＞0
B．sin2α＜0
C．sinα＜0
D．tan2α＞0
6．（4 分）设角α的终边经过点P（﹣3，4），那么cos（
﹣2α）＝（
）
A．
B．
C．
D．
7．（4 分）已知函数f（x）对任意实数x 都满足f（x+1）＝﹣f（x），若f（1）＝1，则f（10）＝（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
8．（4 分）函数
的零点的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
9．（4 分）已知xlog32＝1，则2x+2
﹣x 的值是（
）
A．1
B．3
C．
D．
10．（4 分）若函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在[2，4]上的最大值为4，且函数g（x）＝（1﹣m）ax 在R 上
是减函数，则实数m 的取值范围为（
）
A．m＞1
B．m＜1
C．m＞0
D．m＜0
11．（4 分）已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜
），若f（
）＝f（
），且当x∈[﹣
]时，f（x）
∈[﹣1，2]，则θ的取值范围是（
）
A．{
}
B．[
]
C．[
]
D．（﹣
]
12．（4 分）已知函数f（x）＝ex﹣e
﹣x（e 为自然对数的底数），若对任意a∈R，不等式f（ta2+1）+f（1﹣ta）＞0 都
成立，则实数t 的取值范围是（
）
A．（0，4]
B．[0，4]
C．[0，8）
D．[0，8]
二、填空题：本大题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
13．（3 分）tan240°＝
．
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14．（3 分）设函数f（x）＝
，则f（f（﹣1））＝
．
15．（3 分）已知幂函数f（x）的图象经过点（3，
），且满足条件f（﹣a）＞f（a+1），则实数a 的取值范围是
．
16．（3 分）已知函数f（x）＝|log2x|，实数a，b 满足0＜a＜b，且f（a）＝f（b），若f（x）在[a2，b]上的最大值为
2，则
+b＝
．
三、解答题：共40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10 分）已知函数f（x）＝lg（2﹣x）+
的定义域为A．
（1）求A；
（2）设集合B＝{x|a2x﹣7＞a4x﹣a（a＞0，且a≠1）}，若A∩B＝∅，求实数a 的取值范围．
18．（10 分）某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计
划共投入72 万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15 万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社
养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡的收益N 与投入a（单位：万元）满足M＝
，N＝
a+20．设甲合作社的投入为x（单位：万元），两个合作社的总收益为f（x）（单
位：万元）．
（1）当甲合作社的投入为25 万元时，求两个合作社的总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？
19．（10 分）已知函数f（x）＝
sin（2x+
）﹣4cos2x，将函数f（x）的图象向左平移
个单位，再向上平移
2 个单位，得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在[
]上的最大值和最小值．
20．（10 分）已知函数f（x）＝2x﹣
（a∈R）．
（1）若f（x）在[1，2]上是减函数，求a 的取值范围；
（2）设a＝﹣1，g（x）＝f（x）﹣m•2x+
m，若函数g（x）有且只有一个零点，求实数m 的取值范围．
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2019-2020 学年四川省绵阳市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题4 分，共48 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【解答】解：∵U＝{x∈N*|x＜5}＝{1，2，3，4}，
∴∁UM＝{3，4}．
故选：C．
2．【解答】解：A 在x＝0 处有两个函数值，不满足函数值对应的唯一性，不是函数图象
B．在x＝0 处有两个函数值，不满足函数值对应的唯一性，不是函数图象
C．在x＞0 处有两个函数值，不满足函数值对应的唯一性，不是函数图象
D．满足函数的定义，是函数图象，
故选：D．
3．【解答】解：A．f（x）＝sinx 在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；
B．y＝x3 和y＝x 在（0，+∞）上都是增函数；
∴f（x）＝x3+x 在（0，+∞）上是增函数；
∴该选项正确；
C.
在x＝1 处没定义；
∴该函数在（0，+∞）上不是增函数；
∴该选项错误；
D.
在（0，+∞）上没有单调性；
∴该选项错误．
故选：B．
4．【解答】解：∵扇形的面积为1，半径为1，
∴S＝
l×1＝1，即扇形的弧长l＝2，
则弧度数α＝
＝2，
故选：C．
5．【解答】解：若α是第二象限，则sinα＞0，cosα＜0，
则sin2α＝2sinαcosα＜0，
故选：B．
6．【解答】解：角α的终边经过点P（﹣3，4），∴x＝﹣3，y＝4，r＝|OP|＝
＝5，
∴sinα＝
＝
，cosα＝
＝﹣
，
那么cos（
﹣2α）＝sin2α＝2sinαcosα＝﹣
，
故选：D．
7．【解答】解：由f（x+1）＝﹣f（x），得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），
即函数的周期是2，
则f（10）＝f（0），
∵f（1）＝1，
∴当x＝0 时，f（1）＝﹣f（0）＝1，
即f（0）＝﹣1，
则f（10）＝﹣1，
故选：A．
8．【解答】解：
＝0，得（
）x＝2﹣x2，设y＝（
）x，y＝2﹣x2
分别作出两个函数的图象，如图：
由图象可知两个函数有2 交点，即2﹣x2 的零点个数为2 个．
故选：C．
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第54页（共397页）
9．【解答】解：∵xlog32＝1，∴x＝log23，
∴2x+2
﹣x＝
+
＝3+
＝
．
故选：D．
10．【解答】解：∵f（x）在[2，4]上的最大值为4；
∴①a＞1 时，loga4＝4；
∴
；
∴ax 在R 上是增函数；
又g（x）＝（1﹣m）ax 在R 上是减函数；
∴1﹣m＜0；
∴m＞1；
②0＜a＜1 时，loga4＝2；
∴a＝2，不满足0＜a＜1；
∴这种情况不存在；
∴m＞1．
故选：A．
11．【解答】解：∵函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜
），若f（
）＝f（
），∴函数的周期为
＝π，
且函数的图象关于直线x＝
＝
对称．
∵当x∈[﹣
]时，2x+φ∈[φ﹣
，2θ+φ]，此时，f（x）∈[﹣1，2]，∴sin（2x+φ）∈[﹣
，1]，
∴φ﹣
＝﹣
，且
≤2θ+φ≤
，
即φ＝
，2θ+φ＝2θ+
∈[
，
]，∴θ∈[
，
]，满足f（x）的图象关于直线x＝
对称，
故选：B．
12．【解答】解：f（x）＝ex﹣e
﹣x，
则f′（x）＝ex+e
﹣x＞0，
故f（x）在R 递增，
而f（﹣x）＝e
﹣x﹣ex＝﹣（ex﹣e
﹣x）＝﹣f（x），
故f（x）是奇函数，
若对任意a∈R，不等式f（ta2+1）+f（1﹣ta）＞0 都成立，
即f（ta2+1）＞f（ta﹣1），故ta2+1＞ta﹣1，
故ta2﹣ta+2＞0 对∀a∈R 恒成立，
t＝0 时，显然成立，
若t≠0，则t＞0，且△＝t2﹣8t＜0，
解得：0＜t＜8，
综上，t∈[0，8），
故选：C．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
13．【解答】解：tan240°＝tan（180°+60°）＝tan60°＝
故答案为
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第55页（共397页）
14．【解答】解：∵函数f（x）＝
，
∴f（﹣1）＝21﹣（﹣1）＝22＝4，
f（f（﹣1））＝f（4）＝1﹣log24＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．【解答】解：∵幂函数f（x）＝xa 的图象经过点（3，
），
∴f（3）＝3a＝
，解得a＝
，
∴f（x）＝
，
∵f（﹣a）＞f（a+1），
∴
，解得﹣1
．
∴实数a 的取值范围是[﹣1，
）．
故答案为：[﹣1，
）．
16．【解答】解：因为f（x）＝|log2 x|，且f（a）＝f（b），
∴0＜a＜1＜b 且﹣log2a＝log2b，ab＝1，
所以当x∈[a2，b]时，f（x）先递减后递增，
∴f（x）max＝max{f（a2），f（b）}，
当f（a2）＝2 时，﹣log2 a2＝2，解得a＝
，得b＝2，f（b）＝f（2）＝1＜2 符合，此时
+b＝2+2＝4；
当f（b）＝2 时，|log2 b|＝2，解得b＝4，得a＝
，f（a2）＝f（
）＝4＞2 不符合题意．
综上得：
+b＝4．
故答案为：4
三、解答题：共40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．【解答】解：（1）由2﹣x＞0，解得：x＜2，
由x+1≥0，解得：x≥﹣1，
故A＝{x|x＜2}∩{x|x≥﹣1}＝{x|﹣1≤x＜2}；
（2）当a＞1 时，函数y＝ax 在R 递增，
∵a2x﹣7＞a4x﹣a，
∴2x﹣7＞4x﹣a，即x＜
，
故B＝{x|x＜
}，
要使A∩B＝∅，则满足
≤﹣1，解得：a≤5，
故1＜a≤5，
当0＜a＜1 时，函数y＝ax 在R 递减，
∵a2x﹣7＞a4x﹣a，
∴2x﹣7＜4x﹣a，即x＞
，
于是B＝{x|x＞
}，
要使A∩B＝∅，则满足
≥2，解得：a≥11 与0＜a＜1 矛盾，
故a∈∅，
综上，实数a 的范围是（1，5]．
18．【解答】解：（1）当甲合作社投入为25 万元时，乙合作社投入为47 万元，此时两个个合作社的总收益为：
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第56页（共397页）
f（25）＝4
+25+
＝88.5 （万元＞；
（2）甲合作社的投入为x 万元（l5≤x≤57），则乙合作社的投入为72﹣x 万元，
当15≤x≤36 时，则36≤72﹣x≤57，
f（x）＝4
+25+
（72﹣x）+20＝﹣
x+4
+81．
令t＝
，得
≤t≤6，
则总收益为g（t）＝﹣
t2+4t+81＝﹣
（t﹣4）2+89，
显然当t＝4 时，函数取得最大值g（t）＝89＝f（16），
即此时甲投入16 万元，乙投入56 万元时，总收益最大，最大收益为89 万元、
当36＜x≤57 时，则15＜72﹣x≤36，
则f（x）＝49+
（72﹣x）+20＝﹣
x+105，
则f（x）在（36，57]上单调递减，
∴f（x）＜f（36）＝87．
即此时甲、乙总收益小于87 万元．
又89＞87，
∴该公司在甲合作社投入16 万元，在乙合作社投入56 万元，总收益最大，最大总收益为89 万元．
19．【解答】（本题满分为10 分）
解：（1）∵f（x）＝
sin（2x+
）﹣4cos2x
＝
（sin2xcos
+cos2xsin
）﹣4×
，…2 分
＝
sin2x+
cos2x﹣2cos2x﹣2
＝
sin2x﹣
cos2x﹣2
＝sin（2x﹣
）﹣2…4 分
∴由题意可得：g（x）＝sin[2（x+
）﹣
]﹣2+2＝sin（2x+
），…6 分
（2）∵x∈[
]，可得：2x+
∈[
，
]，…7 分
∴sin（2x+
）∈[﹣
，1]，…9 分
∴当x＝
时，函数g（x）由最大值1；
当x＝
时，函数g（x）由最小值﹣
…10 分
20．【解答】解：（1）由题设，若f（x）在[1，2]递减，
则任取x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，
都有f（x1）＞f（x2），即f（x1）﹣f（x2）＞0 成立，
∵f（x1）﹣f（x2）
＝
﹣
﹣（
﹣
）
＝（
﹣
）（1+
）
＝（
﹣
）（
）＞0，
又y＝2x 在R 递增，且y＞0，
故由x1＜x2，得
＜
，
即
﹣
＜0，且
＞0，
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第57页（共397页）
故只需
+a＜0，即a＜﹣
，
由x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，知x1+x2∈（2，4），
故4＜
＜16，即﹣16＜﹣
＜﹣4，
故a≤﹣16，
故f（x）在[1，2]递减，
实数a 的范围是（﹣∞，﹣16]；
（2）由题意知方程2x+
＝m•2x﹣
m 有且只有1 个实数根，
令t＝2x＞0，则关于t 的方程（m﹣1）t2﹣
mt﹣1＝0（*）有且只有1 个正根，
若m＝1，则t＝﹣
，不合题意，舍，
若m≠1，则方程（*）两根异号或有2 个相等的正根，
方程（*）两根异号等价于
，解得：m＞1，
方程（*）有2 个相等的正根等价于
，解得：m＝﹣3，
综上，实数m 的范围是{﹣3}∪（1，+∞）．
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2019-2020 学年四川省泸州市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共有12 个小题，每小题5 分，共60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．（5 分）60°的弧度数是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（5 分）下列关系中，正确的是（
）
A．0∈N+
B．
Z
C．π∉Q
D．0⊆∅
3．（5 分）半径为2 的扇形OAB 中，已知弦AB 的长为2，则
的长为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）若tanα•cosα＜0，则角α终边所在象限是（
）
A．第一或第二象限
B．第一或第三象限
C．第二或第三象限
D．第三或第四象限
5．（5 分）函数f（x）＝x3+lnx 的零点所在的区间为（
）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
6．（5 分）已知函数f（x）＝ex﹣（
）x，则下列判断正确的是（
）
A．函数f（x）是奇函数，且在R 上是增函数
B．函数f（x）是偶函数，且在R 上是增函数
C．函数f（x）是奇函数，且在R 上是减函数
D．函数f（x）是偶函数，且在R 上是减函数
7．（5 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边OP
交单位圆O 于点P，则点P 的坐标为（
）
A．（﹣sin θ，cosθ）
B．（﹣cos θ，sin θ）
C．（sin θ，﹣cosθ）
D．（cosθ，sin θ）
8．（5 分）已知幂函数f（x）的图象过点（2，
），则f（8）的值为（
）
A．
B．
C．2
D．8
9．（5 分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣
＜φ＜
）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）已知a＝log23，b＝（
）
，c＝tan2，则下列关系中正确的是（
）
A．a＞c＞b
B．b＞a＞c
C．a＞b＞c
D．c＞a＞b
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11．（5 分）函数f（x）满足：①y＝f（x+1）为偶函数：②在[1，+∞）上为增函数．若x2＞﹣1，且x1+x2＜﹣2，
则f（﹣x1）与f（﹣x2）的大小关系是（
）
A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）
B．f（﹣x1）＜f（x2）
C．f（﹣x1）≤f（﹣x2）
D．不能确定
12．（5 分）用区[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.8]＝1，[﹣1.3]＝﹣2，设{x}＝x﹣[x]，若方程{x}+kx﹣1＝0 有
且只有3 个实数根，则正实数k 的取值范围为（
）
A．[
）
B．（
]
C．[
）
D．（
]
二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分
13．（5 分）已知函数f（x）＝ax（其中a＞0 且a≠1）的图象过定点（m，n），则m+n 的值为
．
14．（5 分）当0＜x＜π时，使tanx＜﹣1 成立的x 的取值范围为
．
15．（5 分）函数f（x）＝x+
（a∈R）在[1，2）上存在零点，则实数a 的取值范围是
．
16．（5 分）设函数f（x）＝2﹣
和函数g（x）＝ax+a﹣1，若对任意x1∈[0，+∞）都有x2∈（﹣∞，1]使得f
（x1）＝g（x2），则实数a 的取值范围为
．
三、解答題：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10 分）计算下列各式的值．
（1）（
）
+（
）
+
；
（2）log3
﹣log3
﹣log23•log94．
18．（12 分）已知2sinα＝cosα．
（1）若α在第三象限，求cos（π﹣α）的值．
（2）求
的值．
19．（12 分）已知集合A＝{y|y＝（
）2x，x≥﹣1 且x∈R}和集合B＝{x|y＝
}．
（Ⅰ）求A∪B；
（Ⅱ）若全集U＝R，集合C＝{x|log2（2x﹣a）＜l}，且C∩（∁UB）＝∅，求a 的取值范围．
20．（12 分）某种树木栽种时高度为A 米（A 为常数），记栽种x 年后的高度为f（x），经研究发现，f（x）近似地
满足f（x）＝
，（其中
＝
，a，b 为常数，x∈N），已知f（0）＝A，栽种三年后该树木的高度为栽种
时高度的3 倍．
（Ⅰ）求a，b 的值；
（Ⅱ）求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的5 倍（参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝04771）．
21．（12 分）已知函数f（x）＝2sin（
）（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数（x）的图象向右平移
个单位长度后，所得的图象对应的函数为g（x），且当x1∈（﹣3，﹣2），
x2∈（0，1）时，g（x1）+g（x2）＝0，求g（x1﹣x2）的值．
22．（12 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x≥0 时，f（x）＝x+log2（2x+1）﹣1．
（Ⅰ）求函数f（x）在R 上的解析式；
（Ⅱ）若x∈[﹣1，0]，函数g（x）＝（
）f（x）﹣1+m•
﹣2m，是否存在实数m 使得g（x）的最小值为
，若
存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．
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2019-2020 学年四川省泸州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12 个小题，每小题5 分，共60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．【解答】解：与60°相等的弧度数是π•
＝
．
故选：C．
2．【解答】解：选项A：0∉N+，错误；
选项B，
∉Z，错误；
选项C，π∉Q，正确；
选项D，0∉∅，错误；
故选：C．
3．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，
∵半径为2 的扇形OAB 中，弦AB 的长为2，
∴α＝
∴则l＝2×
＝
．
故选：C．
4．【解答】解：∵tanα•cosα＝
＜0，且tanα存在，
∴角α终边所在象限是第三或第四象限．
故选：D．
5．【解答】解：函数f（x）＝x3+lnx 的定义域为（0，+∞），
且f′（x）＝3x2+
＞0，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，
又f（
）＝
，f（1）＝1＞0，
∴函数f（x）＝x3+lnx 的零点所在的区间为（0，1）．
故选：A．
6．【解答】解：f（x）的定义域为R，且
；
∴f（x）是奇函数；
又y＝ex 和
都是R 上的增函数；
∴
是R 上的增函数．
故选：A．
7．【解答】解：设P（x，y），由任意角的三角函数的定义得，
sinθ＝y，cosθ＝x．
∴点P 的坐标为（cosθ，sinθ）．
故选：D．
8．【解答】解：∵幂函数f（x）＝xa 的图象过点（2，
），
∴
＝2α，
∴α＝﹣
，
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∴f（x）＝x
，
∴f（8）＝
＝
，
故选：A．
9．【解答】解：∵在同一周期内，函数在x＝
时取得最大值，x＝
时取得最小值，
∴函数的周期T 满足
＝
﹣
＝
，
由此可得T＝
＝π，解得ω＝2，
得函数表达式为f（x）＝2sin（2x+φ）
又∵当x＝
时取得最大值2，
∴2sin（2•
+φ）＝2，可得
+φ＝
+2kπ（k∈Z）
∵
，∴取k＝0，得φ＝﹣
故选：A．
10．【解答】解：a＝log23∈（0，1），b＝（
）
∈（0，1），c＝tan2＜0，
则下列关系中正确的是：a＞b＞c．
故选：C．
11．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足y＝f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的对称轴为x＝1，则有f（x）
＝f（2﹣x），
又由f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，
若x2＞﹣1，则﹣x2＜1，
又由x1+x2＜﹣2，则x1+2＜﹣x2，
则有f（x1+2）＞f（﹣x2），
又由f（﹣x1）＝f（2﹣x1），则f（﹣x1）＞f（﹣x2），
故选：A．
12．【解答】解：方程{x}+kx﹣1＝0 有且只有3 个实数根等价于y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1 的图象
有且只有3 个交点，
当0≤x＜1 时，{x}＝x，当1≤x＜2 时，
{x}＝x﹣1，当2≤x＜3 时，{x}＝x﹣2，
当3≤x＜4 时，{x}＝x﹣3，以此类推
如上图所示，实数k 的取值范围为：
﹣
≤﹣k
，
即实数k 的取值范围为：（
，
]，
故选：B．
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二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分
13．【解答】解：函数f（x）＝ax（其中a＞0 且a≠1）的图象过定点（m，n），
∴m＝0，n＝1，
则m+n＝1，
故答案为：1．
14．【解答】解：由正切函数的图象知，当0＜x＜π时，
若tanx＜﹣1，
则
＜x＜
，
即实数x 的取值范围是（
，
），
故答案为：（
，
）．
15．【解答】解：由f（x）＝x+
＝0，得x2+a＝0，即a＝﹣x2．
由1≤x＜2，得1≤x2＜4，∴﹣4＜﹣x2≤﹣1．
∵函数f（x）＝x+
（a∈R）在[1，2）上存在零点，
∴﹣4＜a≤﹣1．
即实数a 的取值范围是（﹣4，﹣1]．
故答案为：（﹣4，﹣1]．
16．【解答】解：f（x）＝2﹣
是[0，+∞）上的递减函数，f（x）的值域为（﹣∞，0]，
令A＝（﹣∞，0]，令g（x）＝ax+a﹣1 的值域为B，
因为对任意x1∈[0，+∞）都有x2∈（﹣∞，1]使得f（x1）＝g（x2），则有A⊆B，
因为g（x）＝ax+a﹣1，
当a＝0 时，g（x）＝﹣1，不满足A⊆B，
当a＞0 时，g（x）在（﹣∞，1]上单调递增，B＝（﹣∞，2a﹣1]，故2a﹣1≥0，a
，
当a＜0 时，g（x）在（﹣∞，1]上单调递减，B＝[2a﹣1，+∞），不满足A⊆B，
综上所述a
，
故答案为：a≥
．
三、解答題：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．【解答】解：（1）原式＝
；
（2）原式＝
．
18．【解答】解：（1）由于2sinα＝cosα．
所以tan
，
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α在第三象限，
故：sin
，cos
，
则：cos（π﹣α）＝﹣cos
．
（2）由于：tan
，
所以：
＝
＝
19．【解答】解：（Ⅰ）由y＝（
）2x，x≥﹣1，得0＜y≤4，即A＝（0，4]，
解不等式1﹣2x＞0，得x＜
，即B＝（
），
所以A∪B＝（﹣∞，4]，
（Ⅱ）解不等式log2（2x﹣a）＜l 得：
，即C＝（
），
又∁UB＝[
，+∞），
又C∩（∁UB）＝∅，
所以
，解得：a≤﹣1，
20．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝
，∴f（0）＝
＝A，∴a+b＝9
①，
又f（3）＝3A，即
＝3A，∴a+t3b＝3 ②，
联立①②解得a＝1，b＝8，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）＝
，由f（x）≥5A 得tx≤
，xlgt≤lg
＝﹣1，
∴x≥
＝
＝
＝
≈4.98．
故栽种5 年后，该树木的高度将不低于栽种时的5 倍．
21．【解答】解：（Ⅰ）由2k
≤
，
解得：6k+2≤x≤6k+5，
即函数f（x）的单调递减区间为：[6k+2，6k+5]，k∈Z；
（Ⅱ）将函数（x）的图象向右平移
个单位长度后，所得的图象对应的函数为g（x），
得g（x）＝2sin[
（x
）﹣
]＝2sin（
x﹣
），
由x1∈（﹣3，﹣2），x2∈（0，1），
得：
x1﹣
∈（﹣
，﹣π），
x2﹣
∈（﹣
，0），
又g（x1）+g（x2）＝0，
所以（
x1﹣
）﹣（
x2﹣
）＝﹣π，
所以x1﹣x2＝﹣3，
所以g（x1﹣x2）＝g（﹣3）＝
，
22．【解答】解：（Ⅰ）若x＜0，则﹣x＞0，
∵当x≥0 时，f（x）＝x+log2（2x+1）﹣1．且f（x）是奇函数，
∴当﹣x＞0 时，f（﹣x）＝﹣x+log2（2
﹣x+1）﹣1＝﹣f（x），
即当x＜0 时，f（x）＝x﹣log2（2
﹣x+1）+1，
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则f（x）＝
．
（Ⅱ）若x∈[﹣1，0]，g（x）＝（
）f（x）﹣1+m•
﹣2m＝（
）x﹣log2（2﹣x+1）+m•
﹣2m
＝（
）x•2log2（2﹣x+1）+m•
﹣2m＝（
）x[（
）x+1]+m•
﹣2m＝[（
）x]2+（
）x+m•
﹣2m，
设t＝（
）x，∵x∈[﹣1，0]，∴t∈[1，2]，
则g（x）等价为h（t）＝t2+t+mt﹣2m＝t2+（1+m）t﹣2m，
对称轴为t＝﹣
，
①若t＝﹣
＜1，即m＞﹣3 时，h（t）在[1，2]上为增函数，此时当t＝1 时，最小，
即h（1）＝2﹣m＝
，即m＝
成立，
②若t＝﹣
＞2，即m＜﹣5 时，h（t）在[1，2]上为减函数，此时当t＝2 时，最小，
即h（2）＝6≠
，此时不成立，
③若1≤﹣
≤2，即﹣5≤m≤﹣3 时，h（t）在[1，2]上不单调，此时当t＝﹣
时，最小，
即h（﹣
）＝（﹣
）2+（1+m）（﹣
）﹣2m＝
+6，
此时y＝
+6 在﹣5≤m≤﹣3 时是减函数，当m＝﹣3 时取得最小值为y＝﹣1+6＝5≠
，即此时不满
足条件．
综上只有当m＝
才满足条件．
即存在存在实数m＝
使得g（x）的最小值为
．
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2019-2020 学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，则∁UA＝（
）
A．{1，3，5}
B．{2，4，6}
C．{1，2，3}
D．{4，5，6}
2．（5 分）已知向量＝（1，2），＝（﹣1，1），则2 ﹣＝（
）
A．（3，0）
B．（2，1）
C．（﹣3，3）
D．（3，3）
3．（5 分）半径为3，圆心角为
的扇形的弧长为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）下列四组函数中，f（x）与g（x）相等的是（
）
A．f（x）＝1，g（x）＝x0
B．f（x）＝lnx2，g（x）＝2lnx
C．f（x）＝x，g（x）＝（
）2
D．f（x）＝x，g（x）＝
5．（5 分）若函数y＝loga（x+3）（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P 的坐标是（
）
A．（﹣2，0）
B．（0，2）
C．（0，3）
D．（﹣3，0）
6．（5 分）已知tanα＝3，则
的值是（
）
A．
B．1
C．﹣1
D．﹣
7．（5 分）已知关于x 的方程x2﹣ax+3＝0 有一根大于1，另一根小于1，则实数a 的取值范围是（
）
A．（4，+∞）
B．（﹣∞，4）
C．（﹣∞，2）
D．（2，+∞）
8．（5 分）设a＝50.4，b＝0.45，c＝log50.4，则a，b，c 的大小关系是（
）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
9．（5 分）若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，那么下列命题中正确
的是（
）
A．函数f（x）在区间（0，1）内有零点
B．函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点
C．函数f（x）在区间[2，16）内无零点
D．函数f（x）在区间（1，16）内无零点
10．（5 分）如图，在正方形ABCD 中，F 是边CD 上靠近D 点的三等分点，连接BF 交AC 于点E，若
＝m
+n
（m，n∈R），则m+n 的值是（
）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
11．（5 分）已知ω＞0，|φ|
，在函数f（x）＝sin（ωx+φ），g（x）＝cos（ωx+φ）的图象的交点中，相邻两
个交点的横坐标之差的绝对值为
，当x∈（﹣
，
）时，函数f（x）的图象恒在x 轴的上方，则φ的取值
范围是（
）
A．（
，
）
B．[
，
]
C．（
）
D．[
]
12．（5 分）已知函数f（x）＝
和g（x）＝a（a∈R 且为常数）．有以下结论：①当a＝4 时，存在
实数m，使得关于x 的方程f（x）＝g（x）有四个不同的实数根；②存在m∈[3，4]，使得关于x 的方程f（x）
＝g（x）有三个不同的实数根；③当x＞0 时，若函数h（x）＝f2（x）+bf（x）+c 恰有3 个不同的零点x1，x2，
x3，则x1x2x3＝1；④当m＝﹣4 时，关于x 的方程f（x）＝g（x）有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1
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＜x2＜x3＜x4，若f（x）在[x ，x4]上的最大值为ln4，则sin（3x1+3x2+5x3+4x4）π＝1．其中正确结论的个数是
（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）
13．（5 分）cos
＝
．
14．（5 分）已知幂函数f（x）＝xa（a 为常数）的图象经过点（3，
），则a 的值是
．
15．（5 分）若将函数f（x）＝sin（ωx+
）（0＜ω＜7）的图象向右平移
个单位后恰与f（x）的图象重合，则ω
的值是
．
16．（5 分）已知f（x）是定义在R 上的奇函数，且当x≥0 时，f（x）＝
．若对任意的x∈R，不等
式f（x）＞f（x﹣
）恒成立，则实数a 的取值范围是
．
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．计算：（1）（
）0+
+（
）
；
（2）2lg5+lg
+2
．
18．已知函数f（x）＝
．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．
19．某公司在2018 年承包了一个工程项目，经统计发现该公司在这项工程项目上的月利润P 与月份x 近似的满足
某一函数关系．其中2 月到5 月所获利润统计如表：
月份（月）
2
3
4
5
所获利润（亿元）
89
90
89
86
（1）已知该公司的月利润P 与月份x 近似满足下列中的某一个函数模型：①P（x）＝ax2+bx+c；②P（x）＝a
•bx+c
；③P（x）＝alogbx+c．请以表中该公司这四个月的利润与月份的数据为依据给出你的选择（需要说明选择该模
型的理由），并据此估计该公司2018 年8 月份在这项工程项目中获得的利润；
（2）对（1）中选择的函数模型P（x），若该公司在2018 年承包项目的月成本符合函数模型Q（x）＝
（单位：亿元），求该公司2018 年承包的这项工程项目月成本的最大值及相应的月份．
20．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，得到y＝g（x）函数的图象．求
当x∈[0，π]时，函数y＝g（x）的单调递增区间．
21．已知点O（0，0），B（0，1），C（mcosx，sinx），其中m≠0，x∈[﹣
]．
（1）若|
|＝|
|，求x 的值；
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（2）若函数f（x）＝
的最小值为g（m），求g（m）的表达式．
22．已知定义在R 上的偶函数f（x）和奇函数g（x），且f（x）+g（x）＝ex．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）设函数F（x）＝
+1，记H（n）＝F（
）+F（
）+F（
）+……+F（
）（n∈N*，n≥2）．探
究是否存在正整数n（n≥2），使得对任意的x∈（0，1]，不等式g（2x）＞H（n）•g（x）恒成立？若存在，求
出所有满足条件的正整数n 的值；若不存在，请说明理由．
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2019-2020 学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：∵集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，
∴∁UA＝{4，5，6}．
故选：D．
2．【解答】解：
．
故选：D．
3．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，
则l＝αr＝3×
＝
．
故选：C．
4．【解答】解：A．g（x）＝x0＝1，x≠0，两个函数的定义域不相同，不是相等函数
B．f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域为{x|x＞0}，两个的定义域不相同，不是相等函数，
C．g（x）的定义域为{x|x≥0}，两个的定义域不相同，不是相等函数
D．g（x）＝
＝x，两个函数的定义域，对应法则相同，是相等函数
故选：D．
5．【解答】解：对于函数y＝loga（x+3）（a＞0，且a≠1），令x+3＝1，求得x＝﹣2，y＝0，
可得函数y＝loga（x+3）（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P（﹣2，0），
故选：A．
6．【解答】解：∵tanα＝3，
∴
＝
．
故选：C．
7．【解答】解：设f（x）＝x2﹣ax+3，
若方程x2﹣ax+3＝0 有一根大于1，另一根小于1，
则只需要f（1）＜0，
即f（1）＝1﹣a+3＜0，得a＞4，
即实数a 的取值范围是（4，+∞），
故选：A．
8．【解答】解：50.4＞50＝1，0＜0.45＜0.40＝1，log50.4＜log51＝0；
∴c＜b＜a．
故选：D．
9．【解答】解：∵函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，
∴函数f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，
∴函数f（x）在区间[2，16）内无零点，
故选：C．
10．【解答】解：∵在正方形ABCD 中，F 是边CD 上靠近D 点的三等分点，
∴
＝
＝
，∴
＝
．
又
＝
+
，
∴
＝
+
＝﹣
+
，
∵
＝m
+n
（m，n∈R），
∴m＝﹣1，n＝
．
则m+n＝﹣
．
故选：C．
11．【解答】解：由f（x）＝g（x），得sin（ωx+φ）＝cos（ωx+φ），
即tan（ωx+φ）＝1，
即ωx+φ＝kπ+
，
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则ωx＝kπ+
﹣φ，x＝
，
当k＝0 时，x1＝
，当k＝1 时，x2＝
，
∵相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为
，
∴x2﹣x1＝
﹣
＝
＝
，
即ω＝2，
则f（x）＝sin（2x+φ），
当x∈（﹣
，
）时，函数f（x）的图象恒在x 轴的上方，即此时f（x）＞0，恒成立，
由f（x）＞0，得2kπ＜2x+φ＜2kπ+π，k∈Z，
得kπ﹣
＜x＜kπ﹣
+
，
则
，得
，得
，
当k＝0 时，得
，得
≤φ≤
，
则φ的取值范围是[
，
]，
故选：D．
12．【解答】解：①当x≤0 时，f（x）＝﹣x2+mx＝﹣（x2﹣mx）＝﹣（x﹣
）2+
，
当对称轴
＜0 且
＞4，即m＜0 且m2＞16，
即m＜﹣4 时，f（x）＝g（x）＝4 有四个不同的实数根，故①正确，
②若m＞0，则函数的对称轴
＞0，此时当x≤0 时，函数f（x）为增函数，且f（x）≤0，
此时当m∈[3，4]，使得关于x 的方程f（x）＝g（x）不可能有三个不同的实数根，故②错误
③当x＞0 时，设t＝f（x）＝|lnx|，若f2（x）+bf（x）+c＝0 有三个不同的根，
则t2+bt+c＝0 有两个不同的实根，其中t1＝0，t2＞0，
当t1＝0 时，对应一个根x1＝1，
当t2＞0 时，对应两个根x2，x3，且0＜x2＜1＜x3，
则|lnx2|＝|lnx3|，即﹣lnx2＝lnx3，
则lnx2+lnx3＝0，即ln（x2x3）＝0，
则x2x3＝1，即x1x2x3＝1，故③正确，
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④当m＝﹣4 时，作出f（x）的图象如图，由对数的性质知x3x4＝1，
x ＜
＜x3，即f（x）在[x ，x4]上的最大值为f（x ）＝|lnx |＝2|lnx3|＝﹣2lnx3＝ln4＝2ln2，
得lnx3＝﹣ln2，得x3＝
，则x4＝2，
由对称性知
，即x1+x2＝﹣4，
则sin（3x1+3x2+5x3+4x4）π＝sin（﹣12+
+8）π＝sin（﹣4π+
π）＝sin
π＝sin
＝1，故④正确，
故正确的是①③④，共3 个，
故选：C．
二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）
13．【解答】解：cos
＝cos（π﹣
）＝﹣cos
＝﹣
，
故答案为：﹣
14．【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xa，a∈R，
函数图象过点（3，
），
则3a＝
，解得a＝
．
故答案为：
．
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15．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+
）（0＜ω＜7）的图象向右平移
个单位后，
得到：g（x）＝sin（
）恰与f（x）的图象重合，
故：
（k∈Z），
解得：ω＝6k（k∈Z），
由于：0＜ω＜7，
当k＝1 时，ω＝6．
故答案为：6．
16．【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图示：
若对任意的x∈R，不等式f（x）＞f（x﹣
）恒成立，
即函数f（x）的图象始终在函数f（x﹣
a）的图象的上方，
当a＜0 时，将函数f（x）的图象向左平移，不能满足题意，故a＞0，
将函数f（x）的图象向右平移时的临界情况是当D 点和B 点重合，且临界情况不满足题意，
由图可知向右平移的
a 个单位应大于6 即可，即
a＞6，解得：a＞3
，
故答案为：（3
，+∞）．
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．【解答】解：（1）原式＝1+π﹣3+2＝π；
（2）原式＝
．
18．【解答】解：（1）函数的定义域{x|x≠0}，
则f（﹣x）＝
＝
＝f（x），则函数f（x）是偶函数，
（2）当x＞0 时，设0＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝
＝
＝
，
∵0＜x1＜x2，
∴0＜x1+x2，x2﹣x1＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＝
＞0，
则f（x1）＞f（x2），
即函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．
19．【解答】解：（1）由题意知a≠0，
由于P（x）＝a•bx+c 或P（x）＝alogbx+c 是单调函数，由所给数据，不具备单调性，
故②③函数不满足条件．
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故选择①函数，选择表格中的前三组数据，代入解析式得
，
即该公司的月利润P 与月份x 近似满足下列中的某一个函数模型为P（x）＝﹣x2+6x+81，
（x∈[1，12]且x∈N）
当x＝8 时，P（8）＝﹣64+48+81＝65 亿元．
即估计该公司2018 年8 月份在这项工程项目中获得的利润为65 亿元．
（2）Q（x）＝
＝
＝
＝
，
即当x＝2 时，Q（x）取得最大值为
＝11，此时对应的月份在2 月份．
20．【解答】解：（1）由图象知
＝
﹣
＝
，
即周期T＝
＝
，即ω＝3，
则f（x）＝2sin（3x+φ），
由五点对应法得3×
+φ＝π，即φ＝
，
则f（x）＝2sin（3x+
）．
（2）若将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍，
得到y＝g（x）函数的图象，
即g（x）＝2sin（
x+
）．
由2kπ﹣
≤
x+
≤2kπ+
，k∈Z，
得
kπ﹣
≤x≤
kπ+
，k∈Z，
当k＝0 时，得﹣
≤x≤
，
当k＝1 时，得
≤x≤
，
∵x∈[0，π]时，∴0≤x≤
或
≤x≤π，
即数y＝g（x）的单调递增区间为[0，
]，[
，π]．
21．【解答】解：（1）由|
|＝|
|得
＝
，
即sinx＝
，又x∈[﹣
，
]，∴x＝
，
（2）f（x）＝
•
＝（mcosx）2+sinx（sinx﹣1）＝（1﹣m2）sin2x﹣sinx+m2
令sinx＝t，t∈[﹣1，1]，
则h（t）＝（1﹣m2）t2﹣t+m2
①当m＝±1 时，h（t）＝1﹣t，
∴g（m）＝h（t）min＝0
②当m≠±1 时，
（i）当1﹣m2＜0，即m＞1 或m＜﹣1 时，对称轴t＝
＜0
∴g（m）＝h（t）min＝0；
（ii）当1﹣m2＞0，
（Ⅰ）当0＜
＜1，即﹣
＜m＜
时，
∴g（m）＝h（t）min═h（
）＝
；
（Ⅱ）当
≥1，即﹣1＜m
或
≤m＜1 时，
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∴g（m）＝h（t）min＝h（1）＝0，
综上所述：g（m）＝
22．【解答】解：（1）∵f（x）为定义在R 上的偶函数
∴f（﹣x）＝f（x）
又∵g（x）为定义在R 上的奇函数
g（﹣x）＝﹣g（x）
由f（x）+g（x）＝ex，
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝e
﹣x，
∴g（x）＝
（ex﹣e
﹣x），f（x）＝
（ex+e
﹣x），
（2）易知
为奇函数，其函数图象关于（0，0）成中心对称，
∴函数F（x）＝
+1 的图象关于点（
，1）成中心对称，
即对任意x∈R，F（1﹣x）+F（x）＝2 成立，
∵H（n）＝F（
）+F（
）+F（
）+……+F（
），
∴H（n）＝F（
）+F（
）+F（
）+……+F（
），
两式相加可得2H（n）＝[F（
）+F（
）]+[F（
）+F（
）]+……+F[（
）+F（
）]＝2（n﹣1）
∴H（n）＝n﹣1，
∴g（2x）＞H（n）•g（x），即e2x﹣e
﹣2x＞（n﹣1）（ex﹣e
﹣x），
∴（ex﹣e
﹣x）[（ex+e
﹣x）﹣（n﹣1）]＞0，
∵x∈（0，1]，
∴ex﹣e
﹣x＞0，
∴ex+e
﹣x+1＞n 恒成立，
令t＝ex，t∈（1，e]，
则y＝t+
+1 在（1，e]上单调递增，
∴y＞1+1+1＝3，
∴n≤3，
又已知n≥2，
∴n＝2，3．
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2019-2020 学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题满分40 分，1～8 题每小题3 分，9～12 题每小题3 分）
1．（3 分）函数y＝log2（x﹣2）的定义域是
．
2．（3 分）函数f（x）＝x﹣1 的零点为
．
3．（3 分）若函数f（x）＝ax+1（a＞0，a≠1）过点A（2，10），则a＝
．
4．（3 分）计算
的值是
．
5．（3 分）若4x﹣2x+1＝0，则x＝
．
6．（3 分）若函数
（x≠1）的反函数为f
﹣1（x），则
＝
．
7．（3 分）若x＞1，则函数f（x）＝
+x 的最小值为
．
8．（3 分）方程log2（x2﹣4）＝log23x 的解x＝
．
9．（4 分）若f（x）＝x2+|x﹣a|是定义在R 上的偶函数，则a＝
．
10．（4 分）函数f（x）＝
（x≠0），若f（a）＞a，则实数a 的取值范围是
．
11．（4 分）如果函数y＝（m2﹣9m+19）x
是幂函数，且图象不经过原点，则实数m＝
．
12．（4 分）已知函数f （x）＝|x2﹣2ax+b|（x∈R），给出下列命题：
①f（x）必为偶函数；
②若f（0）＝f（2），则f（x）的图象关于直线x＝1 对称；
③若a2﹣b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数；
④f（x）有最大值|a2﹣b|．
其中正确命题的序号是
．
（填出所有你认为正确的命题的序号）
二、选择题（本大题满分16 分，每小题4 分）
13．（4 分）下列函数中，奇函数是（
）
A．y＝
B．y＝x2﹣2x
C．y＝2x
D．y＝log3x
14．（4 分）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y＝f
（x）的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
15．（4 分）函数f（x）＝
x2+1（x＞2）的反函数是（
）
A．y＝
（1≤x＜3）
B．y＝
（x＞3）
C．y＝﹣
（1≤x＜3）
D．y＝﹣
（x＞3）
16．（4 分）函数f（x）的定义域为D，若满足：（1）f（x）在D 内是单调函数；（2）存在[a，b]⊆D（a＜b）使得f
（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称y＝f（x）为闭函数；若f（x）＝k+
是闭函数，则实数k 的取值范围
是（
）
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A．
B．
C．
D．
三、解答题：（本大题共5 题，满分44 分）
17．（6 分）已知函数f（x）＝log4（7+6x﹣x2）．
（1）求函数的定义域：
（2）求函数的单调递增区间
18．（8 分）已知A＝{x||x﹣a|＜4}，B＝{x||x﹣2|＞3}．
（I）若a＝1，求A∩B；
（II）若A∪B＝R，求实数a 的取值范围．
19．（8 分）已知f（x）是定义在R 上的奇函数，当x≥0 时，f（x）＝ax﹣1．其中a＞0 且a≠1．
（1）求f（2）+f（﹣2）的值；
（2）求f（x）的解析式．
20．（10 分）运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶300 千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/小时），
假设柴油的价格是每升6 元，而汽车每小时耗油（4+
）升，司机的工资是每小时46 元．
（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式（总费用为油费与司机工资的总和）；
（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
21．（12 分）已知函数f（x）＝
+
．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）设F（x）＝
•[f2（x）﹣2]+f（x）（a 为实数），求F（x）在a＜0 时的最大值g（a）；
（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+
≤g（a）对a＜0 所有的实数a 及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值
范围．
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2019-2020 学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分40 分，1～8 题每小题3 分，9～12 题每小题3 分）
1．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣2＞0，
即x＞2，
∴函数的定义域为（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）．
2．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x﹣1，若f（x）＝x﹣1＝0，
解可得x＝1，
即函数f（x）的零点为1；
故答案为：1．
3．【解答】解：∵函数f（x）＝ax+1（a＞0，a≠1）过点A（2，10），
∴10＝a2+1，
∴a2＝9，
解得a＝3，a＝﹣3（舍去），
故答案为：3
4．【解答】解：
＝
＝
＝
．
故答案为：
．
5．【解答】解：∵4x﹣2x+1＝0，
∴2x（2x﹣2）＝0，
∴2x﹣2＝0，
解得x＝1．
故答案为：1
6．【解答】解：根据互为反函数的性质，令
，解得x＝3，
∴
．
故答案为：3．
7．【解答】解：x＞1，则函数f（x）＝
+x＝
+x﹣1+1≥2
+1＝2
+1，
当且仅当
＝x﹣1 时，即x＝1+
时取等号，
故函数f（x）＝
+x 的最小值为2
+1，
故答案为：2
+1
8．【解答】解：由方程log2（x2﹣4）＝log23x，
得：
，
解得：x＝4，
故答案为：4
9．【解答】解：∵f（x）是定义在R 上的偶函数；
∴f（﹣x）＝f（x）；
∴x2+|x+a|＝x2+|x﹣a|；
∴|x+a|＝|x﹣a|；
∴（x+a）2＝（x﹣a）2；
∴x2+2ax+a2＝x2﹣2ax+a2；
∴2ax＝﹣2ax；
∴2a＝﹣2a；
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第77页（共397页）
∴a＝0．
故答案为：0．
10．【解答】解：
；
∴由f（a）＞a 得，
；
解得0＜a＜1，或a＜﹣1；
∴实数a 的取值范围是{a|a＜﹣1，或0＜a＜1}．
故答案为：{a|a＜﹣1，或0＜a＜1}．
11．【解答】解：根据题意，得
；
解m2﹣9m+19＝1，
得m＝3，或m＝6；
当m＝3 时，2m2﹣7m﹣9＝﹣5≤0，满足题意；
当m＝6 时，2m2﹣7m﹣9＝11＞0，不满足题意；
∴m＝3．
故答案为：3．
12．【解答】解：当a≠0 时，f（x）不具有奇偶性，①错误；
令a＝0，b＝﹣2，则f（x）＝|x2﹣2|，
此时f（0）＝f（2）＝2，
但f（x）＝|x2﹣2|的对称轴为y 轴而不关于x＝1 对称，②错误；
又∵f（x）＝|x2﹣2ax+b|＝|（x﹣a）2+b﹣a2|，图象的对称轴为x＝a．
根据题意a2﹣b≤0，即f（x）的最小值b﹣a2≥0，
f（x）＝（x﹣a）2+（b﹣a2），显然f（x）在[a，+∞）上是增函数，
故③正确；
又f（x）无最大值，故④不正确．
答案：③．
二、选择题（本大题满分16 分，每小题4 分）
13．【解答】解：
是奇函数，y＝x2﹣2x，y＝2x 和y＝log3x 都是非奇非偶函数．
故选：A．
14．【解答】解：设某地区起始年的绿化面积为a，
∵该地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，
∴经过x 年，绿化面积g（x）＝a（1+10.4%）x，
∵绿化面积与原绿化面积之比为y，则y＝f（x）＝
＝（1+10.4%）x＝1.104x，
∵y＝1.104x 为底数大于1 的指数函数，故可排除A，
当x＝0 时，y＝1，可排除B、C；
故选：D．
15．【解答】解：由y＝
x2+1 得x＝
，（y＞3）
∴f
﹣1（x）＝
，（x＞3）
故选：B．
16．【解答】解：
是单调增函数
∴
即使方程x2﹣x﹣k＝0 有两个相异的非负实根
令f（x）＝x2﹣x﹣k
∴
解得k∈
故选：D．
三、解答题：（本大题共5 题，满分44 分）
17．【解答】解：（1）对于函数f（x）＝log4（7+6x﹣x2），可得7+6x﹣x2＞0，求得﹣1＜x＜7，
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可得函数的定义域为（﹣1，7）；
（2）本题即求函数y＝7+6x﹣x2 在定义域内的增区间，
再利用二次函数的性质可得y＝7+6x﹣x2 在定义域内的增区间为（﹣1，3]．
18．【解答】解：（I）当a＝1 时，则由|x﹣1|＜4，即﹣4＜x﹣1＜4，解得﹣3＜x＜5，
由|x﹣2|＞3，即x﹣2＞3 或x﹣2＜﹣3，解得x＜﹣1 或x＞5，
∴A＝{x|﹣3＜x＜5}．B＝{x|x＜﹣1 或x＞5}．
∴A∩B＝{x|﹣3＜x＜﹣1}．
（II）由|x﹣a|＜4 得，a﹣4＜x＜a+4，则A＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，
因B＝{x|x＜﹣1 或x＞5}，且A∪B＝R，用数轴表示如下：
∴
，解得1＜a＜3，
∴实数a 的取值范围是（1，3）．
19．【解答】解：（1）因f（x）是奇函数，所以有f（﹣2）＝﹣f（2），
所以f（2）+f（﹣2）＝0．
（2）当x＜0 时，﹣x＞0
∴f（﹣x）＝a
﹣x﹣1
由f（x）是奇函数有，f（﹣x）＝﹣f（x），
∴﹣f（x）＝a
﹣x﹣1
∴f（x）＝1﹣a
﹣x
∴f（x）＝
20．【解答】解：（1）设行车所用的时间为t，则t＝
小时，行车总费用为y；
根据行车总费用＝耗费柴油的费用+司机的工资，可得：
y＝
×6×（4+
）+46×
，50≤x≤100，
化简整理可得，y＝
+
，50≤x≤100，
故这次行车总费用y 关于x 的表达式为：y＝
+
，50≤x≤100；
（2）由（1）可知，y＝
+
，50≤x≤100，
∴y≥2
＝2×300＝600，
当且仅当
＝
，即x＝70 时取“＝”，
∴当x＝70 时，y 取得最小值为600，
故当x＝70 时，这次行车的总费用最低为600 元．
21．【解答】解：（1）由1+x≥0 且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，
所以函数的定义域为[﹣1，1]，
又[f（x）]2＝2+2
∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[
，2]，
所以函数值域为[
，2]；
（2）因为F（x）＝
＝a
+
+
，
令t＝f（x）＝
+
，则
＝
﹣1，
∴F（x）＝m（t）＝a（
﹣1）+t＝
，t∈[
，2]，
由题意知g（a）即为函数m（t）＝
，t∈[
，2]的最大值．
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注意到直线t＝﹣
是抛物线m（t）＝
的对称轴．
因为a＜0 时，函数y＝m（t），t∈[
，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
①若t＝﹣
∈（0，
]，即a≤﹣
，则g（a）＝m（
）＝
；
②若t＝﹣
∈（
，2]，即﹣
＜a≤﹣
，则g（a）＝m（﹣
）＝﹣a﹣
；
③若t＝﹣
∈（2，+∞），即﹣
＜a＜0，则g（a）＝m（2）＝a+2，
综上有g（a）＝
，
（3）易得
，
由﹣
≤g（a）对a＜0 恒成立，即要使﹣
≤gmin（a）＝
恒成立，
⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）＝﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0 成立，
只需
，
解得m 的取值范围是m≤﹣2 或m＝0，或m≥2．
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2019-2020 学年上海市青浦区高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题满分36 分.本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3 分，否则一律得零分）
1．（3 分）设集合A＝{2，3}，集合B＝{3，4，5}，则A∪B＝
．
2．（3 分）写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题
．
3．（3 分）不等式|x+1|＜2 的解集为
．
4．（3 分）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，32），则f（x）的解析式为
．
5．（3 分）函数y＝3x+1 的反函数是
．
6．（3 分）函数
的定义域为
．
7．（3 分）函数
的值域是
．
8．（3 分）方程4x﹣10•2x+16＝0 的解集是
．
9．（3 分）已知函数
，若f（a﹣1）+f（2a2）≤0，则实数a 的取值范围是
．
10．（3 分）若函数
，则y＝f（x）图象上关于原点O 对称的点共有
对．
11．（3 分）设实数x＞0，y＜0，且
，则2x+y 的取值范围是
．
12．（3 分）函数y＝f（x）是定义域为R 的偶函数，当x≥0 时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组
成（如图所示）．如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b﹣a 的最大值是
．
二、选择题（本大题满分12 分，本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论其中有且只有一个
结论是正确的，每题答对得3 分，否则一律得零分）
13．（3 分）已知x∈R，则“x≥0”是“x＞1”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
14．（3 分）若loga2＜0（a＞0，且a≠1），则函数f（x）＝loga（x+1）的图象大致是（
）
A．
B．
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C．
D．
15．（3 分）已知x0 是函数f（x）＝2x+
的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（
）
A．f（x1）＜0，f（x2）＜0
B．f（x1）＜0，f（x2）＞0
C．f（x1）＞0，f（x2）＜0
D．f（x1）＞0，f（x2）＞0
16．（3 分）对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R 上的奇函数，则称f（x）是位差值为m
的“位差奇函数”．判断下列三个函数：
①f（x）＝2x+1；②f（x）＝x2﹣2x+1；③g（x）＝2x 中是位差奇函数的个数有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
三、解答题（本大题满分52 分.本大共有5 题，解答下列各必须写出必要的步骤）
17．（8 分）已知集合
，集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0，x∈R}．
（1）求集合A；
（2）若B∩（∁UA）＝B，求实数a 的取值范围．
18．（10 分）某高速公路收费站的拋物线拱顶如图所示，该拱顶的跨度AB＝40 米，P 为AB 的中点，拱高OP⊥AB，
OP＝10 米，在建造时每隔8 米需用一个支柱支撑，支柱分别为A1B1、A2B2、A3B3、A4B4，求支柱A2B2 的长度．
19．（10 分）已知函数f（x）＝a•2x+b 的图象过点
．
（1）求函数y＝f（x）解析式；
（2）若
，求使得F（x）≤0 成立的x 的取值范围．
20．（10 分）已知函数
．
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（2）若f（x）+2x≥0 在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数a 的取值范围．
21．（14 分）定义在D 上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M 成立，则称f
（x）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）＝1+a•（
）x+（
）x
（1）当a＝1，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请
说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3 为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．
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2019-2020 学年上海市青浦区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分36 分.本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3 分，否则一律得零分）
1．【解答】解：∵A＝{2，3}，B＝{3，4，5}；
∴A∪B＝{2，3，4，5}．
故答案为：{2，3，4，5}．
2．【解答】解：命题“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题为若am2≥bm2，则a≥b，
故答案为：若am2≥bm2，则a≥b
3．【解答】解：由不等式|x+1|＜2 可得﹣2＜x+1＜2，
∴﹣3＜x＜1，
故不等式|x+1|＜2 的解集为（﹣3，1），
故答案为（﹣3，1）．
4．【解答】解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数），由题意得32＝2α，∴α＝5．
∴f（x）＝x5．
故答案为f（x）＝x5．
5．【解答】解：由y＝3x+1 得x+1＝log3y，即：x＝﹣1+log3y，
又∵原函数的值域是y＞0，
∴函数y＝3x+1（x∈R）的反函数是y＝﹣1+log3x（x＞0）．
故答案为：y＝﹣1+log3x（x＞0）．
6．【解答】解：由lg（1﹣2x）≥0，得1﹣2x≥1，即x≤0．
∴函数
的定义域为（﹣∞，0]．
故答案为：（﹣∞，0]．
7．【解答】解：f（x）＝
＝
﹣
＝1﹣
，
则当x≥1 时，f（x）为增函数，
则f（1）≤f（x）＜1，
即0≤f（x）＜1，
即函数的值域为[0，1），
故答案为：[0，1）．
8．【解答】解：由4x﹣10•2x+16＝0 得（2x）2﹣10⋅2x+16＝0，
设t＝2x，则t＞0，
则原方程等价为t2﹣10t+16＝0，即（t﹣2）（t﹣8）＝0，
解得t＝2 或t＝8．
由t＝2x＝2，解得x＝1．
由t＝2x＝8，解得x＝3．
故方程的解集为{1，3}．
故答案为：{1，3}．
9．【解答】解：∵函数y＝x3，y＝3x，y＝﹣3
﹣x 在R 上为单调递增，∴函数f（x）＝x3+3x﹣3
﹣x 在R 上递增；
又f（﹣x）+f（x）＝0，可得f（x）为奇函数，
则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，
即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）
由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），
f（2a2）≤f（1﹣a），
即有2a2≤1﹣a，
解得﹣1≤a≤
，
故答案为：[﹣1，
]．
10．【解答】解：当x≤1 时，f（x）＝x2+2x 关于原点对称的函数为﹣y＝x2﹣2x，即y＝﹣x2+2x，x≥﹣1，
若函数图象上关于原点对称的点，
等价为当x≥﹣1 时，f（x）＝|lg（x﹣1）|与y＝﹣x2+2x，x≥﹣1
的交点个数即可，
作出函数f（x）和y＝﹣x2+2x，x≥﹣1 的图象如图，由图象知，
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当x＞1 时，两个函数图象的交点个数有2 个，
即函数图象上关于原点对称的点有2 对，
故答案为：2
11．【解答】解：由
，可得
，∵x＞0，y＜0，由
，可得0＜x＜1，则0＜1﹣x＜1，
所
以
，
＝
，
当且仅当
，即当
时，等号成立，
所以，2x+y 的取值范围是
．
故答案为：
．
12．【解答】解：根据题意，当x≥0 时，抛物线的图象的对称轴为x＝1，且最高点坐标为过（1，2），
设抛物线的方程为f（x）＝a（x﹣1）2+2，
又由其经过点（0，1），则a＝﹣1；
则f（x）＝﹣x2+2x+1，
若f（x）＝1，解可得x＝0 或2，
射线经过点（3，﹣2）和（5，0），其方程为g（x）＝x﹣5，（x≥3），
若g（x）＝x﹣5＝1，则x＝6，
故在[0，+∞）上，满足y∈[﹣2，1]的最大区间为[2，6]，
又由函数为偶函数，则对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，则[a，b]＝[﹣6，﹣2]
那么b﹣a 的最大值是（﹣2）﹣（﹣6）＝4；
故答案为：4．
二、选择题（本大题满分12 分，本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论其中有且只有一个
结论是正确的，每题答对得3 分，否则一律得零分）
13．【解答】解：∵x≥0 推不出x＞1，
x＞1⇒x≥0，
∴“x≥0”是“x＞1”的必要非充分条件．
故选：B．
14．【解答】解：∵loga2＜0，∴0＜a＜1，
先作出f（x）＝logax 的图象，
再向左平移1 个单位长度，
得到f（x）＝loga（x+1）的图象，
故选：B．
15．【解答】解：∵x0 是函数f（x）＝2x+
的一个零点∴f（x0）＝0
∵f（x）＝2x+
是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），
∴f（x1）＜f（x0）＝0＜f（x2）
故选：B．
16．【解答】解：根据题意，依次分析3 个函数；
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第84页（共397页）
对于①，f（x）＝2x+1，有f（x+m）﹣f（m）＝2（x+m）+1﹣（2m+1）＝2x，
则对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，
即f（x）是位差值为任意实数m 的“位差奇函数”；
对于②，f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，则f（x+m）﹣f（m）＝x2+2（m﹣1）x，
设h（x）＝x2+2（m﹣1）x，不会是奇函数，
则f（x）＝x2﹣2x+1 不是“位差奇函数”；
对于③，g（x）＝2x，记h（x）＝g（x+m）﹣g（m）＝2x+m﹣2m＝2m（2x﹣1），
由h（x）+h（﹣x）＝2m（2x﹣1）+2m（2
﹣x﹣1）＝0，当且仅当x＝0 等式成立，
则对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；
故选：B．
三、解答题（本大题满分52 分.本大共有5 题，解答下列各必须写出必要的步骤）
17．【解答】解：（1）由
得，
；
解得﹣1＜x≤2；
∴A＝{x|﹣1＜x≤2}；
（2）∁UA＝{x|x≤﹣1，或x＞2}；
∵B∩（∁UA）＝B；
∴B⊆∁UA；
且B＝{x|a﹣1≤x≤a+1}；
∴a﹣1＞2，或a+1≤﹣1；
∴a＞3，或a≤﹣2；
∴实数a 的取值范围为{a|a≤﹣2，或a＞3}．
18．【解答】解：以O 为原点，
直线PO 方向为y 轴方向建立坐标系，设抛物线方程为
x2＝﹣2py，p＞0，
设B（20，﹣10），代入抛物线方程可得400＝20p，解得p＝20，
即有抛物线的方程为x2＝﹣40y，
由题意可设B2（﹣4，m），
可得16＝﹣40m，解得m＝﹣0.4，
即有支柱A2B2 的长度为10﹣0.4＝9.6 米．
19．【解答】解：（1）f（x）＝a•2x+b 的图象过点
，
则
，
解得a＝
，b＝
，
故f（x）＝
•2x+
，
（2）F（x）＝log2（2x﹣1）﹣log2f（x）＝log2
，
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第85页（共397页）
由F（x）≤0，可得
≤1，且2x﹣1＞0，
解得0＜x≤log2
，
故x 的范围为（0，log2
）．
20．【解答】解：（1）f（x）在（0，+∞）递减，
证明如下：
设0＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝﹣
+
+
﹣
＝
＞0，
故f（x）在（0，+∞）递增；
（2）f（x）+2x≥0 在（0，+∞）上恒成立，
即
+2x﹣
≥0 在（0，+∞）上恒成立，
整理得：
+2x≥
，
根据基本不等式，得
+2x≥2
＝4，
∴不等式
+2x≥
（0，+∞）上恒成立，
即4≥
，解之得a＜0 或a≥
．
综上所述，得a 的取值范围为（﹣∞，0）∪[
，+∞）．
21．【解答】解：（1）当a＝1 时，f（x）＝1+1•（
）x+（
）x．
令t＝•（
）x，由x＜0 可得t＞1，f（x）＝h（t）＝t2+t+1＝
+
，
∵h（t）在（1，+∞）上单调递增，故f（t）＞f（1）＝3，故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M 成立，
故函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3 为上界的有界函数，
则当x≥0 时，|f（x）|≤3 恒成立．
故有﹣3≤f（x）≤3，即﹣3≤1+a•（
）x+（
）x≤3，即﹣4﹣
≤a
≤2﹣
，
∴[﹣4•2x﹣
]≤a≤[2•2x﹣
]．
∴当x＝0 时，[﹣4•2x﹣
]的最大值为﹣4﹣1＝﹣5，[2•2x﹣
]的最小值为2﹣1＝1，
故有﹣5≤a≤1，
即a 的范围为[﹣5，1]．
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2019-2020 学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题满分36 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3 分，否则一律得零分.
1．（3 分）不等式|x﹣3|＜4 的解集是
．
2．（3 分）若整数x、y 能使{2x，x+y}＝{7，4}成立，则xy＝
．
3．（3 分）已知集合M＝{y|y＝1﹣2x}，集合N＝{y|y＝lg（x2+1）}，则M∩N＝
．
4．（3 分）函数
的零点个数为
．
5．（3 分）函数f（x）＝4+loga（x﹣1）（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，则点A 的坐标是
．
6．（3 分）如果45x＝3，45y＝5，那么2x+y＝
．
7．（3 分）方程
的解集是
．
8．（3 分）关于x 的方程
有负根，则a 的取值范围是
．
9．（3 分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣
，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α
＝
．
10．（3 分）若lgx+lgy＝2，则
的最小值为
．
11．（3 分）若
若f（2）＝4，则a 的取值范围是
．
12．（3 分）设f
﹣1（x）为f（x）＝2x﹣2+
，x∈[0，2]的反函数，则y＝f（x）+f
﹣1（x）的最大值为
．
二、选择题（本大题满分12 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一
个结论是正确的，每题答对得3 分，否则一律得零分.
13．（3 分）如果a＜0＜b，那么下列不等式中正确的是（
）
A．﹣
B．a2＜b2
C．a3＜b3
D．ab＞b2
14．（3 分）对于函数
，下面叙述正确的是（
）
A．定义域为[0，+∞）
B．值域为（0，+∞）
C．在定义域内是增函数
D．偶函数
15．（3 分）下列四个函数中，图象关于y 轴对称的两个函数是（
）
（1）y＝4x（2）y＝2.5x（3）y＝0.4x（4）y＝0.25x
A．（1）和（2），（3）和（4）
B．（1）和（3），（2）和（4）
C．（1）和（4），（2）和（3）
D．没有关于y 轴对称的
16．（3 分）下列三个命题：
（1）0 是{0，1，2}的真子集；
（2）函数
在定义域内是减函数；
（3）存在反函数的函数一定是单调函数．
正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
三、解答题（本大题满分52 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．（6 分）写出命题：“若x＞1，则x＞0”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出各个命题的真假．
18．（10 分）已知函数f（x）＝ax+b 的图象经过点（1，7），反函数f
﹣1（x）的图象经过点（4，0）．
（1）求y＝f（x）的解析式；
（2）求证：F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）是增函数．
19．（10 分）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b 时，min{a，b}＝b；当a＜b 时，min{a，b}＝a．如：min{1，
﹣2}＝﹣2，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．若函数F（x）＝min{2﹣x2，x}．
（1）求函数F（x）的解析式及其单调区间；
（2）求函数F（x）的值域．
20．（12 分）已知函数f（x）＝lg（x+1）．
（1）求y＝f（x）的反函数；
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（2）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x 的取值范围．
21．（14 分）某地的出租车价格规定：起步费11 元，可行驶3 千米；3 千米以后按每千米2.1 元计价，可再行驶7
千米；以后每千米都按3.15 元计价．
（1）写出车费y（元）与行车里程x（千米）之间的函数关系式．
（2）在右侧的坐标系中画出（1）中函数的图象．
（3）现某乘客要打车到14 千米的地方，有三个不同的方案打出租车．甲方案：每次走完起步费的路程后就重新
打出租车，直到走完全部路程；乙方案：先乘出租车走完10 千米的路程，再重新打出租车一直走完剩下的路程；
丙方案：只乘一辆出租车到底．试比较哪种方案乘客省钱？
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参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分36 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3 分，否则一律得零分.
1．【解答】解：由不等式|x﹣3|＜4 可得﹣4＜x﹣3＜4，
解可得﹣1＜x＜7，
即不等式|x﹣3|＜4 的解集是{x|﹣1＜x＜7}；
故答案为：{x|﹣1＜x＜7}．
2．【解答】解：∵{2x，x+y}＝{7，4}，且x，y 为整数；
∴
；
解得
；
∴xy＝10．
故答案为：10．
3．【解答】解：∵集合M＝{y|y＝1﹣2x}＝{y|y＜1}，
集合N＝{y|y＝lg（x2+1）}＝{y|y≥0}，
∴M∩N＝{y|0≤y＜1}＝[0，1）．
故答案为：[0，1）．
4．【解答】解：函数
，函数是连续减函数，f（0）＝1＞0，f（1）＝
＜0，
f（0）f（1）＜0．
所以函数的零点为1 个，
故答案为：1．
5．【解答】解：由对数的性质可知：x﹣1＝1，可得x＝2，
当x＝2 时，y＝4．
∴图象恒过定点A 的坐标为（2，4）．
故答案为（2，4）
6．【解答】解：由45x＝3，得（45x）2＝9，45y＝5，
则452x×45y＝9×5＝45＝1．
∴2x+y＝1．
故答案为：1．
7．【解答】解：由方程
，
得：（log3x）2＝2﹣
（1+log3x），
即：（log3x）2+
log3x﹣
＝0，
解得：log3x＝1 或log3x＝﹣
，
即x＝3 或x＝
，
故答案为：
．
8．【解答】解：因为关于x 的方程
有负根，即x＜0，∴0＜5x＜1
即
⇒﹣3＜a＜1
故答案为：﹣3＜a＜1．
9．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣
，1，2，3}，
幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，
∴a 是奇数，且a＜0，
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∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
10．【解答】解：由lgx+lgy＝lgxy＝2，得到xy＝102＝100，且x＞0，y＞0，
∴
＝
≥
＝
＝
，当且仅当x＝y 时取等号，
则
的最小值为
．
故答案为：
11．【解答】解：∵
，f（2）＝4，
∴f（2）＝22＝4，此时x＜a，
∴a＞2．
∴a 的取值范围是（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．
12．【解答】解：由f（x）＝2x﹣2+
在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[
]，
可得y＝f
﹣1（x）在[
]上为增函数，
因此y＝f（x）+f
﹣1（x）在[
]上为增函数，
∴y＝f（x）+f
﹣1（x）的最大值为f（2）+f
﹣1（2）＝1+1+2＝4．
故答案为：4．
二、选择题（本大题满分12 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一
个结论是正确的，每题答对得3 分，否则一律得零分.
13．【解答】解：∵a＜0＜b，函数y＝x3 在R 上单调递增，
∴a3＜b3．
故选：C．
14．【解答】解：根据题意，f（x）＝
＝
，为幂函数，
对于A，f（x）＝
＝
，其定义域为R，A 错误，
对于B，f（x）＝
＝
，其值域为[0，+∞），B 错误；
对于C，f（x）＝
＝
，在（﹣∞，0）上为减函数，C 错误；
对于D，f（﹣x）＝
═
＝f（x），则函数f（x）为偶函数，D 正确；
故选：D．
15．【解答】解：由指数函数的性质：y＝ax 与y＝（
）x 的图象关于y 轴对称，
对于（1）y＝4x，其底数为4；
对于（2）y＝2.5x＝（
）x，其底数为
；
对于（3）y＝0.4x＝（
）x，其底数为
；
对于（4）y＝0.25x＝（
）x，其底数为
；
则图象关于y 轴对称的两个函数是（1）和（4），（2）和（3）；
故选：C．
16．【解答】解：（1）{0}是{0，1，2}的真子集，而0 是一个元素，故（1）错误；
（2）函数
在定义域内不具备单调性，不是减函数，故（2）错误；
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（3）y＝
存在反函数，但此函数不是单调函数．故（3）错误，
故正确的个数为0 个，
故选：A．
三、解答题（本大题满分52 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．【解答】解：逆命题：若x＞0，则x＞1；假命题．
否命题：若x≤1，则x≤0；假命题．
逆否命题：若x≤0，则x≤1；真命题．
18．【解答】解：由题意可得：
，∴
，
（1）∴f（x）＝4x+3，
（2）F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝4x﹣4
﹣x，
任取x1、x2∈R 且x1＜x2，
＝
，
∵x1＜x2
∴
，
又
∴
，
∴F（x1）＜F（x2）
∴F（x）是增函数．
19．【解答】解：（1）由2﹣x2≥x⇒x∈[﹣2，1]……………………………………………………（1 分）
由2﹣x2＜x⇒x∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）……………………………………………（2 分）
∴
………………………………………（4 分）
∴函数F（x）在（﹣∞，1]上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．（………………6 分）
（2）当x∈[﹣2，1]时，F（x）＝x∈[﹣2，1]………………………………………………（7 分）
当x∈（﹣∞，﹣2）时，F（x）＝2﹣x2∈（﹣∞，﹣2），………………………………………（8 分）
当x∈（1，+∞）时，F（x）＝2﹣x2∈（1，﹣∞），……………………………………………（9 分）
∴F（x）的值域为（﹣∞，1]．…………………………………………………………………（10 分）
20．【解答】解：（1）由f（x）＝lg（x+1）得x＝10y﹣1，
互换x、y 得：y＝10x﹣1，
∴函数y＝f（x）的反函数是y＝10x﹣1；
（2）由
得﹣1＜x＜1，
由
，得
，
因为x+1＞0，所以x+1＜2﹣2x＜10x+10，解得
，
由
．
21．【解答】解：（1）y＝
，
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（2）
（3）甲方案：需要5 次打车，共计打车费用为55 元；
乙方案：10 千米的路程费用为y＝2.1×10+4.7＝25.7（元），
剩下的4 千米的费用：y＝2.1×4+4.7＝13.1（元）
乙方案共计费用为25.7+13.1＝38.8（元），
丙方案：3.15×14﹣5.8＝38.3（元）
所以，丙方案乘客省钱．
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2019-2020 学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共12 题，1-6 题每题4 分，7-12 题每题5 分，满分54 分）
1．（4 分）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{2，3}，若A∪B＝{1，2，3}，则实数m＝
．
2．（4 分）“
成立”是“x＜2 成立”的
条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、
非充分非必要）
3．（4 分）函数
的定义域为
．
4．（4 分）若函数
的反函数是其本身，则实数a＝
．
5．（4 分）函数f（x）＝2|x﹣3|﹣1，则不等式f（x）＜1 的解集为
．
6．（4 分）函数f（x）＝9x﹣3x+1﹣10 的零点为
．
7．（5 分）已知x，y∈R+，且满足xy﹣x﹣2y＝0，则x+y 的最小值为
．
8．（5 分）若定义在R 上的函数
（其中a＞0，a≠1）有最大值，则函数
的单调
递增区间为
．
9．（5 分）集合A＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}，集合B＝{x|x2+lgx≤1000}，且满足A∩∁RB＝∅，则实数a 的取值
范围是
．
10．（5 分）已知函数y＝f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0 且a≠1）的图象关于直线y＝x 对称，记g（x）＝f（x）
[f（x）+f（2）﹣1]．若y＝g（x）在区间[
，2]上是增函数，则实数a 的取值范围是
．
11．（5 分）下列四个命题中正确的是
．
①已知定义在R 上是偶函数y＝f（1+x），则f（1+x）＝f（1﹣x）；
②若函数y＝f（x），x∈D，值域为A（A≠D），且存在反函数，则函数y＝f（x），x∈D 与函数x＝f
﹣1（y），y∈A
是两个不同的函数；
③已知函数
，x∈N*，既无最大值，也无最小值；
④函数f（x）＝（2|x|﹣1）2﹣5（2|x|﹣1）+6 的所有零点构成的集合共有4 个子集．
12．（5 分）已知函数f（x）＝x2+ex（x＜0）与函数
图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的
取值范围是
．
二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，满分20 分）
13．（5 分）设U 为全集，A，B 是集合，则“存在集合C 使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（
）
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．（5 分）已知实数x，y 满足ax＜ay（0＜a＜1），[x]表示不超过x 的最大整数，则下面关系式恒成立的是（
）
A．
B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
C．
D．[x]≥[y]
15．（5 分）函数y＝﹣x4+x2+2 的图象大致为（
）
A．
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B．
C．
D．
16．（5 分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值
的年平均增长率为（
）
A．
B．
C．pq
D．
﹣1
三、简答题
17．（14 分）解关于x 的不等式kx2﹣（k+2）x+2＜0．
18．（14 分）动物园需要用篱笆围成两个面积均为50m2 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），
并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m，每个长方形平行于墙的边长也不小
于2m．
（1）设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x．试用解析式将l 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义
域；
（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？
19．（14 分）已知函数y＝f（x）是函数
的反函数，函数
的图象关于直线y＝x 对
称，记F（x）＝f（x）+g（x）．
（1）求函数f（x）的解析式和定义域；
（2）在F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A，B，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求A，B 的坐
标；若不存在，说明理由．
20．（16 分）已知函数f（x﹣2）＝ax2﹣（a﹣3）x+a﹣2（a 为负整数），y＝f（x）的图象经过点（m﹣2，0）（m∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝bx+2，若g（x）≥f（x）在x∈[1，3]上解集非空，求实数b 的取值范围；
（3）证明：方程
有且仅有一个解．
21．（18 分）若实数x、y、m（x≠m，y≠m）满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称y 比x 接近m．
（1）若x2﹣1 比1 接近0，求x 的取值范围；
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（2）对正实数a，b，如果
比
接近2，求证：当x＞0 时，
比
接近2；
（3）已知函数f（x）等于
和|x﹣a|中接近0 的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的单调区间（结
论不要求证明）．
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2019-2020 学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12 题，1-6 题每题4 分，7-12 题每题5 分，满分54 分）
1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，m}，集合B＝{2，3}，A∪B＝{1，2，3}
根据集合并集运算的定义，可知，集合A 中元素最多和A∪B 中元素一致，
∴m＝3
故答案为：3．
2．【解答】解：由
得0＜x＜2，
则“
成立”是“x＜2 成立”的充分不必要条件，
故答案为：充分非必要
3．【解答】解：要使函数有意义，则
≥0，
当x＝1 时，不等式成立，
当x≠1 时，不等式等价为
≥0，
即x＞2 或x≤﹣1，
综上x＞2 或x≤﹣1 或x＝1，
即函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪{1}∪（2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪{1}∪（2，+∞）
4．【解答】解：由y＝
得x＝
，所以f（x）的反函数为f
﹣1（x）＝
，
依题意可得a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
5．【解答】解：不等式f（x）＜1 即2|x﹣3|＜2，
故|x﹣3|＜1，解得：2＜x＜4，
故答案为：（2，4）．
6．【解答】解：由f（x）＝9x﹣3x+1﹣10＝0 得（3x）2﹣3•3x﹣10＝0，
即（3x+2）（3x﹣5）＝0，
∵3x＞0，∴3x﹣5＝0，
即3x＝5，即x＝log35，
即函数零点为x＝log35，
故答案为：x＝log35
7．【解答】解：由题知x，y，满足xy﹣x﹣2y＝0，则xy＝x+2y，
同除xy，得
＝1，
x+y＝（x+y）（
）＝3+
≥3+2
，当且仅当x＝2+
，y＝
+1 时取到等号．
故答案为：3+2
．
8．【解答】解：∵x2+1 有最小值为1，定义在R 上的函数
（其中a＞0，a≠1）有最大值，
∴0＜a＜1．
则函数
的单调递增区间，即函数t＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＞0 时的减区间，
为（﹣∞，0），
故答案为：（﹣∞，0）．
9．【解答】解：解不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0 得：a＜x＜a+1 即A＝[a，a+1]，
解不等式x2+lgx≤1000 得：（2+lgx）lgx﹣3≤0，即
≤x≤10，即B＝[
，10]，即∁RB＝（﹣∞，
）
∪（10，+∞），
又A∩∁RB＝∅，
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得
，即
，
即实数a 的取值范围是[
]，
故答案为：[
]
10．【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0 且a≠1）的图象关于直线y＝x 对称，
∴f（x）＝logax（x＞0）．
g（x）＝f（x）[f（x）+f（2）﹣1]＝logax（logax+loga2﹣1）
＝（logax+
）2﹣
，
①当a＞1 时，y＝logax 在区间[
，2]上是增函数，∴logax∈[loga
，loga2]．
由于y＝g（x）在区间[
，2]上是增函数，∴
，化为loga2≤﹣1，
解得a
，舍去．
②当0＜a＜1 时，y＝logax 在区间[
，2]上是减函数，∴logax∈[loga2，loga
]．
由于y＝g（x）在区间[
，2]上是增函数，∴
，解得0＜a
．
综上可得：0＜a
．
故答案为：（0，
]．
11．【解答】解：①已知定义在R 上是偶函数y＝f（1+x），设F（x）＝f（1+x），可得F（﹣x）＝F（x），
则f（1+x）＝f（1﹣x），故①正确；
②若函数y＝f（x），x∈D，值域为A（A≠D），且存在反函数，
则函数y＝f（x），x∈D 与函数x＝f
﹣1（y），y∈A，即y＝f
﹣1（x），x∈A，由于A≠D
是两个不同的函数，故②正确；
③已知函数
，x∈N*，由f（x）在1≤x＜3 递减，x＞3 递减，可得x＝2 时，f（2）取得最小值﹣1，
故③错误；
④函数f（x）＝（2|x|﹣1）2﹣5（2|x|﹣1）+6，由f（x）＝0，可得2|x|﹣1＝2 或3，解得x＝±log23 或x＝±2，
f（x）的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16 个子集，故④错误．
故答案为：①②．
12．【解答】解：由题意，存在x＞0，
使f（﹣x）＝g（x），即x2+ln（x+a）+
＝x2+e
﹣x，
即ln（x+a）+
＝（
）x，
即ln（x+a）＝﹣
+（
）x，
设h（x）＝﹣
+（
）x，h（0）＝﹣
+1＝
，
当y＝ln（x+a）经过点（0，
）时，
则lna＝
，得a＝
＝
，
作出y＝ln（x+a）和h（x）的图象，
要使两个图象恒有交点，
则a＜
．
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即实数a 的取值范围是a∈（﹣∞，
）．
故答案为：（﹣∞，
）．
二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，满分20 分）
13．【解答】解：由题意A⊆C，则∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC，可得“A∩B＝∅”；若“A∩B＝∅”能推出存在集合C 使
得A⊆C，B⊆∁UC，
∴U 为全集，A，B 是集合，则“存在集合C 使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分必要的条件．
故选：C．
14．【解答】解：当0＜a＜1 时，由ax＜ay 得x＞y，
A．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y 但
＝
，故A 错误，
B．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y，ln（x2+1）＝ln（y2+1），但ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立，故B 错误，
C．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y，但x﹣y＝1+1＝2，
﹣
＝1+1＝2，则
不成立，故C 错误，
D．∵x＞y，∴[x]≥[y]成立，故D 正确
故选：D．
15．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．
函数的导数f′（x）＝﹣4x3+2x＝﹣2x（2x2﹣1），
由f′（x）＞0 得2x（2x2﹣1）＜0，
得x＜﹣
或0＜x＜
，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0 得2x（2x2﹣1）＞0，
得x＞
或﹣
＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，
也可以利用f（1）＝﹣1+1+2＝2＞0，排除A，B，
故选：D．
16．【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，
则（1+p）（1+q）＝（1+x）2，
解得x＝
﹣1，
故选：D．
三、简答题
17．【解答】解：将原不等式化为（kx﹣2）（x﹣1）＜0，
（1）当k＝0 时，有x＞1；
（2）当k＞0 时，有k（x﹣
）（x﹣1）＜0，∴（x﹣
）（x﹣1）＜0，
∵1﹣
＝
，
当k＞2 时
＜1，∴
＜x＜1；
当k＝2 时，
＝1，∴x∈R，且x≠1；
当0＜k＜2 时，有
＞1，∴1＜x＜
；
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（3）当k＜0 时，（x﹣
）（x﹣1）＞0，有
＜1，所以x＜
或x＞1．
综上，k＝0 时，不等式的解集为{x|x＞1}；
0＜k＜2 时，不等式的解集为{x|1＜x＜
}；
当k＝2 时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当k＞2 时，不等式的解集为{x|
＜x＜1}；
当k＜0 时，不等式的解集为{x|x＜
或x＞1}
18．【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为x，则每个长方形平行于墙的边长
，
则l＝3x+
，
∵x≥2 且
≥2，
∴2≤x≤25，
由x 可得函数的定义域为[2，25]；
（2）l＝3x+
≥2
＝20
，当且仅当3x＝
，即x＝
时取等号，
故当垂直于墙的边长为
m 时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是20
m．
19．【解答】解：（1）由y＝
﹣1 得10x＝
，x＝lg
，∴f（x）＝lg
，
∵g（x）＝
，∴g
﹣1（x）＝
，依题意得g（x）＝g
﹣1（x），∴a＝1，∴g（x）＝
，
∴F（x）＝lg
+
，定义域为（﹣1，1），
（2）设F（x）的图象上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且﹣1＜x1＜x2＜1，
则y1﹣y2＝F（x1）﹣F（x2）＝lg
+
﹣lg
﹣
＝lg（
•
）+（
﹣
）
＝lg（
•
）+
，
∵﹣1＜x1＜x2＜1，则
＞1，
＞1，x2﹣x1＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，
∴lg（
•
）＞0，
＞0，
∴y1＞y2，
故F（x）在（﹣1，1）上单调递减，
故不存在A，B 两点，使AB 与y 轴垂直．
20．【解答】解：（1）在f（x﹣2）＝ax2﹣（a﹣3）x+a﹣2 中令x＝m 得f（m﹣2）＝am2﹣（a﹣3）m+a﹣2＝0，
∴a＝﹣
，因为a 为负整数，所以
为正整数，
当
≥2 时，2m2﹣5m+4≤0，因为△＝（﹣5）2﹣4×2×4＝﹣7＜0，所以2m2﹣5m+4≤0 无解，
所以
＝1，解得m＝1．m＝3，所以a＝﹣1，
∴f（x﹣2）＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴f（x）＝﹣x2+1
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（2）g（x）≥f（x）在x∈[1，3]上解集非空⇔b≥﹣（x+
）在[1，3]上有解，
令h（x）＝﹣（x+
），则b≥h（x）min，
∵h′（x）＝﹣1+
≤0 在x∈[1，3]上恒成立，
所以x＝3 时，h（x）min＝h（3）＝﹣
，
故b≥﹣
．
（3）证明：即证y＝
与y＝﹣x2+1 的图象有且只有一个交点，
当x＞0 时，
﹣（﹣x2+1）＝
+x2﹣1＝
+
+x2﹣1≥3
﹣1＝3
﹣1＝
﹣1＞0，
即x＞0 时，y＝
与y＝﹣x2+1 的图象无交点，
当x＜0 时，令y＝
+x2﹣1，y′＝﹣
+2x＜0 恒成立，所以y＝
+x2﹣1 在（﹣∞，0）上为递减函数，
又x＝﹣
时，y＝﹣3+
＜0，x＝1 时，y＝1＞0，根据零点存在性定理知：
+x2﹣1＝0 在（﹣∞，0）上有且
只有一个零点，
综上得
﹣f（x）＝0 有且只有一个解．
21．【解答】解：（1）由题意得，
∴
，
∴x 的范围为：（﹣
，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，
）；
（2）∵
比
接近2，
∴|a+
﹣2|＜|b+
﹣2|，
∵a＞0，b＞0，
∴a+
≥2，b+
≥2，
∴a+
﹣2＜b+
﹣2，即a+
＜b+
，
∴|ax+
﹣2|＜|bx+
﹣2|，
当x＞0 时，
比
接近2；
（3）当a≤﹣1 时，f（x）＝|x﹣a|，此时f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；
a＞﹣1 时，
，
当﹣1＜a＜0 时，f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；
当a≥0 时，f（x）在（﹣∞，a+2﹣2
）上单调递减，在（a+2﹣2
）上单调递增．
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2019-2020 学年上海市嘉定区高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题满分54 分），本大题共有12 小题，只要求直接填写毕要，前6 题每题4 分，后6 题每题5 分.
1．（4 分）函数f（x）＝x2﹣3x+2 的零点之和为
．
2．（4 分）设集合A＝{4，log2（a+3）}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{3}，则在A∪B＝
．
3．（4 分）设A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，B＝（﹣∞，n]，如果A∩B＝∅，则实数n 的取值范围是
．
4．（4 分）已知二次函数y＝ax2+ax+1 图象永远在横轴上方，则实数a 的取值范围为
．
5．（4 分）设函数
的反函数是f
﹣1（x），若f
﹣1（3）＝4，则实数a＝
．
6．（4 分）若
，则
的最小值
．
7．（5 分）幂函数
（k 是常数，k∈Q）在区间[0，4]上的值域为
．
8 ．（5 分）已知函数
，
，若存在函数F （x ），G （x ）满足：
，学生甲认为函数F（x），G（x）一定是同一函数，乙认为函数F（x），
G（x）一定不是同一函数，丙认为函数F（x），G（x）不一定是同一函数，观点正确的学生是
．
9．（5 分）写出命题“若x＝﹣1 且y＝﹣1，则x+y＝﹣2”的逆否命题：
．
10．
（5 分）已知区间（0，+∞）为函数
的单调递增区间，则a，b 满足的条件是
．
11．（5 分）已知函数
具有对称中心为P，则点P 的坐标为
．
12．（5 分）已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，g（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，若存在实数n，使得不等式g（x﹣2）+n≤f（x）
对于任意x∈R 的恒成立，则n 的最大值是
．
二、选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题
选对得5 分．
13．（5 分）德国数学家希尔伯特说：“谁也不把我们从为我们创造的花园中赶走”，赞赏在1871 年提出了集合论的
某位数学家（划线部分所示），请问是下列哪位数学家（
）
A．德．摩根
B．高斯
C．欧拉
D．康托尔
14．（5 分）请问下列集合关系式：（1）0∈∅（2）∅⊆{0}（3）{0}⊆N 中，正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
15．（5 分）若函数y＝f（x）存在反函数y＝f
﹣1（x），则函数y＝f（x）和y＝f
﹣1（x）（
）
A．不能关于原点对称
B．单调性不可能相反
C．不可能同时是奇函数
D．如果图象存在交点，则交点一定在y＝x 直线
16．（5 分）已知函数f（x）的定义域A，值域是B＝[a，b]；g（x）定义域C，值域是D＝[c，d]，其中实数a，b，
c，d，满足a＜b，c＜d
甲：如果任意x1∈A，存在x2∈C，使得f（x1）＝g（x2），那么B⊆D
乙：如果存在x1∈A，存在x2∈C，使得f（x1）＝g（x2），那么B＝D，
丙：如果任意x1∈A，任意x2∈C，使得f（x1）＝g（x2），那么B＝D
丁：如果存在x1∈A，任意x2∈C，使得f（x1）＝g（x2），那么b＞d，
请判断上述四个命题中，假命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
三、解答题（本大题满分76 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤，
17．（14 分）已知两个正数x，y，证明：这两个正数的算术平均数不小于这两个正数的几何平均数，并指出何时相
等．
18．（14 分）设a∈R，函数
．
（1）求a 的值，使得f（x）为奇函数；
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（2）若a≤1 且
对任意x∈R 均成立，求a 的取值范围．
19．（14 分）已知存在常数a＞0，那么函数
在
上是减函数，在
上是增函数，再由
函数的奇偶性可知在
上是增函数，在
上是减函数
（1）判断函数
的单调性，并证明：
（2）将前述的函数f（x）和g（x）推广为更为一般形式的函数h（x），使f（x）和g（x）都是h（x）的特例，
研究h（x）的单调性（只须归纳出结论，不必推理证明）
20．
（16 分）2018 年8 月31 日下午，关于修改个人所得税法的决定经十三届全国人大常委会第五次会议表决通过．2018
年10 月1 日起施行最新起征点和税率．个税起征点提高至每月5000 元．
设个人月应纳税所得额为x 元，个人月工资收入为A 元，三险金（养老保险、失业保险、医疗保险、住房公积
金）及其它各类免税额总计为B 元，则x＝A﹣B﹣5000．设月应纳税额为f（x），个税的计算方式一般是分级计
算求总和（如图表所示，共分7 级）．
比如：小陈的应纳税所得额为x1＝20000 元，月应交纳税额为f（x1）＝3000•3%+9000•10%+8000•20%＝2590
元
税级
月应纳税所得额x
税率
1
x 中不超过3000 元的部分
3%
2
x 中超过3000 元至12000 元（含12000 元）的部分
10%
3
x 中超过12000 元至25000 元（含25000 元）的部分
20%
4
x 中超过25000 元至35000 元（含35000 元）的部分
25%
5
x 中超过35000 元至55000 元（含55000 元）的部分
30%
6
x 中超过55000 元至80000 元（含80000 元）的部分
35%
7
x 中超过80000 元的部分
45%
（1）小王的应纳税所得额x2＝30000 元，求f（x2）；
（2）小张的应纳税所得额x3 元，若f（x3）＝8010 元，求x3；
（3）当x＞35000 时，写出f（x）的解析式（请写成分段函数的形式）．
21．（18 分）已知a∈R，函数
．
（1）当a＝3 且k＝1 时，解不等式|f（x）|＞1；
（2）当k＝2 时，将函数f（x）在区间[1，2]的最小值表示为函数h（a），求函数h（a）的最小值；
（3）当
时，若关于x 的方程
的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围．
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2019-2020 学年上海市嘉定区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分54 分），本大题共有12 小题，只要求直接填写毕要，前6 题每题4 分，后6 题每题5 分.
1．【解答】解：设函数f（x）＝x2﹣3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
∴函数f（x）＝x2﹣3x+2 的零点之和为：1+2＝3．
故答案为：3．
2．【解答】解：∵A∩B＝{3}；
∴3∈A，3∈B；
∴log2（a+3）＝3；
∴a+3＝23；
∴a＝5，b＝3；
∴A＝{3，4}，B＝{3，5}；
∴A∪B＝{3，4，5}．
故答案为：{3，4，5}．
3．【解答】解：解二次不等式x2﹣3x+2≤0 得：1≤x≤2，即A＝[1，2]，
又B＝（﹣∞，n]，A∩B＝∅，
则n＜1，
故答案为：n＜1
4．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+ax+1 图象永远在横轴上方，
∴y＝ax2+ax+1＞0 恒成立，
∴
，
解得0＜a＜4．
∴实数a 的取值范围是（0，4）．
故答案为：（0，4）．
5．【解答】解：依题意得f（4）＝3，即点（4，3）在f（x）的图象上，
∴3＝2×4+a，∴a＝﹣5，
故答案为﹣5．
6．【解答】解：lgx﹣lg
＝2，即lgx+lgy＝2，
∴xy＝100，
∴
≥2•
＝
，当且仅当x＝y＝10 时取等号，
故答案为：
7．【解答】解：幂函数
（k 是常数，k∈Q），
∴k﹣1＝1，
即k＝2，
∴f（x）＝
，
∴f（x）在区间[0，4]上是单调增函数，
∵f（0）＝0，f（4）＝2，
∴函数在[0，4]的值域为[0，2]，
故答案为：[0，2]．
8．【解答】解：要使F（x）由意义则
得x≥2，即F（x）的定义域为[2，+∞），
要使
＝|g（x）|有意义，则
，即x≥2，G（x）的定义域为[2，+∞），
且F（x）＝|
|•
＝
•
＝
＝
，（x≥2），
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由使
＝|g（x）|得G（x）＝f（x）|g（x）|）＝
•|
|＝
•
＝
＝
，（x≥2），
则函数F（x），G（x）的定义域相同，对应法则相同，故函数F（x），G（x）是同一函数，
故观点正确的是甲，
故答案为：甲．
9．【解答】解：“若x＝﹣1 且y＝﹣1，则x+y＝﹣2”的逆否命题是“若x+y≠﹣2，则x≠﹣1，或y≠﹣1”，
故答案为：“若x+y≠﹣2，则x≠﹣1，或y≠﹣1”
10．【解答】解：区间（0，+∞）为函数
的单调递增区间，
f′（x）＝a﹣
＝
≥0．
①a＝0 时，f′（x）＝﹣
＞0，解得b＜0．
②a≠0 时，f′（x）＝
，
a＞0，b＜0 时，f′（x）＞0．满足条件．
a＜0，b＞0 时，f′（x）＜0．不满足条件．
a＞0，b＞0 时，f′（x）＝
．在区间
内单调递减，不满足条件，舍去．
a＜0，b＜0 时，f′（x）＝
．在区间
内单调递减，不满足条件，舍去．
综上可得：a≥0，b＜0 时，满足条件．
故答案为：a≥0，b＜0．
11．【解答】解：对于函数
，令3x﹣1﹣3＝0，求得x＝2．
又当x＝1 时，f（1）＝﹣2；当x＝3 时，f（3）＝
；∴
＝﹣
，
可得它的对称中心为P（2，﹣
），
故答案为：（2，﹣
）．
12．【解答】解：∵f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，g（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，
∴g（x﹣2）+n≤f（x）⇔|x﹣1|﹣|x﹣4|+n≤|x+1|+|x﹣2|，
即n≤|x+1|﹣|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣4|．
令h（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣4|＝
．
作出函数h（x）的图象如图：
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由图可知，f（x）的最小值为4，
若存在实数n，使得不等式g（x﹣2）+n≤f（x）对于任意x∈R 的恒成立，则n 的最大值是4．
故答案为：4．
二、选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题
选对得5 分．
13．【解答】解：提出了集合论的数学家是康托尔，
故选：D．
14．【解答】解：在（1）中，0∉∅，故（1）错误；
在（2）中，∅⊆{0}，故（2）正确；
在（3）中，{0}⊆N，故（3）正确，
∴正确的个数是2．
故选：C．
15．【解答】解：若f（x）＝x 存在反函数f
﹣1 （x）＝x，
此时y＝f（x）与y＝
﹣1 （x）的图象关于原点对称，排除A；
此时y＝f（x）与y＝
﹣1 （x）同时为奇函数，排除C；
若f（x）＝
存在反函数f
﹣1 （x）＝
，
此时y＝f（x）与y＝f
﹣1 （x）的图象重合，它们有无数个交点不在直线y＝x 上，排除D．
故选：B．
16．【解答】解：对于甲：如果任意x1∈A，存在x2∈C，使得f（x1）＝g（x2），那么B⊆D，故甲正确；
对于乙：如果存在x1∈A，存在x2∈C，使得f（x1）＝g（x2），那么B∩D≠∅，故乙错误，
对于丙：如果任意x1∈A，任意x2∈C，使得f（x1）＝g（x2），那么B＝D，故丙正确；
对于丁：如果存在x1∈A，任意x2∈C，使得f（x1）＝g（x2），可得D⊆B，那么b≥d，故丁错误．
故选：C．
三、解答题（本大题满分76 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤，
17．【解答】解：两个正数x、y 的算术平均数为
，几何平均数为
．
由于
＝
．
当且仅当
时，即当x＝y 时，等号成立．
因此，这两个正数的算术平均数不小于这两个正数的几何平均数．
18．【解答】解：（1）∵函数
的定义域为R，且f（x）为奇函数，
∴f（0）＝
，即a＝﹣1．
当a＝﹣1 时，
，此时
＝
，
满足f（x）为奇函数，故a＝﹣1；
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（2）
＝
＝
．
当a＝1 时，f（x）＝1，
当a＜1 时，f（x）f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，且f（x）＜1．
∴f（x）≤1．
由
对任意x∈R 均成立，得
，即a＞0，
又a≤1，
∴a 的取值范围是（0，1]．
19．【解答】解：（1）设0＜x1＜x2，
则g（x2）﹣g（x1）＝
﹣
＝（
）（1﹣
）＝
（x2﹣x1）（x1+x2）（
﹣a）．
当
＜x1＜x2 时，g（x2）＞g（x1），函数在（
，+∞）上递增；
当0＜x1＜x2＜
时，g（x2）＜g（x1），函数在（0，
）上递减．
又∵g（x）是偶函数，∴该函数在（﹣
，0）上递增：在（﹣∞，﹣
）上递减．
（2）h（x）＝xn+
常数a＞0，其中n 是正整数．
当n 是奇数时，h（x）在（0，
）上是减函数，在（
，+∞）上是增函数；
在（﹣∞，﹣
）上是增函数，在（﹣
，0）上是减函数；
当n 是偶数时，h（x）在（0，
）上是减函数，在（
，+∞）上是增函数；
在（﹣∞，﹣
）上是增函数，在（﹣
，0）上是减函数．
20．【解答】解：（1）x2＝30000 元，
月应交纳税额为f（x2）＝3000•3%+9000•10%+13000•20%+5000•25%＝4840；
（2）由个税的计算表格可得到税级4 时，
可得3000•3%+9000•10%+13000•20%+10000•25%＝6090，
则x3＞35000，由8010﹣6090＝1920，1920÷30%＝6400，
则x3＝3000+9000+13000+10000+6400＝41400 元；
（3）当35000＜x≤55000 时，f（x）＝6090+0.3（x﹣35000）＝0.3x﹣4410；
当55000＜x≤80000 时，f（x）＝6090+20000×0.3+0.35（x﹣55000）＝0.35x﹣7160；
当x＞80000 时，f（x）＝6090+6000+25000×0.35+0.45（x﹣80000）＝0.45x﹣15160．
综上可得f（x）＝
．
21．【解答】解：（1）当a＝3 且k＝1 时，f（x）＝3+
，由|f（x）|＞1，
可得
+3＞1 或
+3＜﹣1，
即为
＞0 或
＜0，
解得x＞0 或x＜﹣
或﹣
＜x＜0，
即解集为{x|x＞0 或x＜﹣
或﹣
＜x＜0}；
（2）当k＝2 时，f（x）＝（a+
）2，由1≤x≤2 可得
≤
≤1，
当﹣a≤
，即a≥﹣
时，f（x）的最小值为h（a）＝（a+
）2；
当﹣a≥1，即a≤﹣1 时，f（x）的最小值为h（a）＝（a+1）2；
当
＜﹣a＜1 即﹣1＜a＜﹣
时，f（x）的最小值为h（a）＝0，
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即有h（a）＝
；
可得h（a）的最小值为0；
（3）当
时，关于x 的方程
，
即为
＝
，
可得a+
＝（a﹣3）x+2a﹣4＞0，即为（a﹣3）x2+（a﹣4）x﹣1＝0，
若a＝3 则﹣x﹣1＝0，即x＝﹣1，成立；
若a≠3，由△＝（a﹣4）2+4（a﹣3）＝（a﹣2）2，可得x1＝﹣1，x2＝
，
若解集中元素为﹣1，可得a﹣1＞0，且a+a﹣3≤0，即为1＜a≤
；
若解集中元素为
，可得a﹣1≤0，且a+a﹣3＞0，无解；
若x1＝x2＝﹣1，即a＝2，成立，
综上可得a 的取值范围是1＜a≤
或a＝2 或a＝3．
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2019-2020 学年上海市黄浦区大同中学高一（上）期末数学试卷
一、填空题（4×10＝40）
1．（4 分）与﹣600°终边相同的最小正角的弧度数是
．
2．（4 分）若一个扇形的圆心角为2，半径为1，则该扇形的面积为
．
3．（4 分）设常数，函数f（x）＝2x+a，若f（x）的反函图象经过点（8，1），则a＝
．
4．（4 分）函数f（x）＝
的定义域是
．
5．（4 分）若tanθ＝2，且θ是第三象限角，则
＝
．
6．（4 分）已知sinα+cosα＝
，则sinαcosα＝
．
7．（4 分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣
，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α
＝
．
8．（4 分）若f（x）＝loga（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是
．
9．（4 分）若函数f（x）＝
（a＞0，且a≠1）的值域是R，则实数a 的取值范围是
．
10．（4 分）已知函数f（x）＝m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）＝3x﹣3 同时满足以下两个条件：
①对任意实数x 都有f（x）＜0 或g（x）＜0；
②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0 成立．
则m 的取值范围是
．
二、选择题（4×4＝16）
11．（4 分）已知函数f（x）＝xk（k 为常数，k∈Q），在下列函数图象中，不是函数y＝f（x）的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（4 分）“b＜1”是“函数f（x）＝x2﹣2bx，x∈[1，+∞）有反函数”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
13．
（4 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为θ（θ≠kπ+
，
k∈Z），若将OA 绕O 点顺时针旋转
至OB，则点B 的坐标为（
）
A．（﹣cosθ，sinθ）
B．（cosθ，﹣sinθ）
C．（﹣sinθ，cosθ）
D．（sinθ，﹣cosθ）
14．（4 分）若关于x 的方程|f（|x|）|＝a，当a＞0 时总有4 个解，则f（x）可以是（
）
A．x2﹣1
B．
C．2x﹣2
D．log2x﹣2
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第109页（共397页）
三、解答题（8’+8’+8’+8’+12’＝44’）
15．（8 分）设函数f（x）＝3x，g（x）＝9x
（1）解方程：g（x）﹣8f（x）﹣g（1）＝0；
（2）令
，求
的值．
16．（8 分）已知cosα＝﹣
，α∈（π，2π）．
（1）求sin2α的值：
（2）若角β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，且终边经过点（3，﹣1），求tan（α﹣β）的值．
17．（8 分）已知函数f（x）＝log2（x﹣m），其中m∈R．
（1）若函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，求m 的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[1，t]（t＞1）上的最大值与最小值之差为2，且f（t）＞0，求m 的取值范围．
18．（8 分）设a＞0，函数
（1）若a＝1，求f（x）的反函数f
﹣1（x）
（2）求函数y＝f（x）•f（﹣x）的最大值（用a 表示）
（3）设g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，求a 的取值范围
19．（12 分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b 使得h（x）＝a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）
为f1（x），f2（x）的生成函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；
第一组：f1（x）＝lg
，f2（x）＝lg（10x），h（x）＝x2﹣x+1；
第二组：f1（x）＝x2﹣x，f2（x）＝x2+x+1，h（x）＝x2﹣x+1；
（2）设f1（x）＝log2x；
x，a＝2，b＝1 生成函数h（x），若不等式3h2（x）+2h（x）+t≤0 在x∈[2，
4]上有解，求实数t 的取值范围；
（3）设f1（x）＝x（x＞0），f2（x）＝
，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点为（2，8），
若对于任意的正实数x1，x2，且x1+x2＝1，试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m 恒成立？如果存
在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由．
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2019-2020 学年上海市黄浦区大同中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（4×10＝40）
1．【解答】解：﹣600°＝﹣720°+120°，
与﹣600°终边相同的最小正角为120°，
120°＝
，
故答案为：
．
2．【解答】解：∵扇形的圆心角θ＝2，半径r＝1，
∴该扇形的面积S＝
．
故答案为：1．
3．【解答】解：若f（x）的反函数图象经过点（8，1），则f（1）＝8，代入得：
2a+1＝8，所以a＝2．
故答案为：2．
4．【解答】解：由函数的解析式可得log2x≠0，即
，解得函数的定义域为{x|0＜x＜1 或x＞1}，
故答案为{x|0＜x＜1 或x＞1}．
5．【解答】解：tanθ＝2，θ是第三象限角，
可得sinθ＝2cosθ，sin2θ+cos2θ＝1．
可得：cos2θ＝
，
解得cosθ＝﹣
，
故
＝cosθ＝﹣
，
故答案为：﹣
．
6．【解答】解：∵sinα+cosα＝
，
∴两边平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα＝
，
∴1+2sinαcosα＝
，则sinαcosα＝
．
故答案为：
．
7．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣
，1，2，3}，
幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，
∴a 是奇数，且a＜0，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
8．【解答】解：因为f（x）在[0，1]上是x 的减函数，所以f（0）＞f（1），
即loga2＞loga（2﹣a）．
∴
⇔1＜a＜2
故答案为：1＜a＜2．
9．【解答】解：当x≤
时，f（x）＝
≥
＝2，
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∵函数f（x）＝
（a＞0，且a≠1）的值域是R，
∴f（x）＝logax 为减函数，且loga
≥2＝logaa2，
∴a2≥
，
解得
≤a＜1，
故答案为：
10．【解答】解：对于①∵g（x）＝3x﹣3，当x＜1 时，g（x）＜0，
又∵①∀x∈R，f（x）＜0 或g（x）＜0
∴f（x）＝m（x﹣m）（x+m+2）＜0 在x≥1 时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在（1，0）的左面，
即
，可得﹣3＜m＜0
又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0
∴此时g（x）＝3x﹣3＜0 恒成立
∴f（x）＝m（x﹣m）（x+m+2）＞0 在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，
则只要﹣2 比x1，x2 中的较小的根大即可，
（i）当﹣1＜m＜0 时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2 不成立，
（ii）当m＝﹣1 时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，
（iii）当﹣3＜m＜﹣1 时，较小的根为m，即m＜﹣2 成立．
综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
二、选择题（4×4＝16）
11．【解答】解：函数f（x）＝xk（k 为常数，k∈Q）为幂函数，图象不过第四象限，
所以C 中函数图象，不是函数y＝f（x）的图象．
故选：C．
12．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2bx，x∈[1，+∞）有反函数，
则函数f（x）＝x2﹣2bx，x∈[1，+∞）上具有单调性，
∴b≤1．
∴“b＜1”是“函数f（x）＝x2﹣2bx，x∈[1，+∞）有反函数”的充分不必要条件．
故选：A．
13．【解答】解：A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为θ（θ≠kπ+
，k∈Z），
若将OA 绕O 点顺时针旋转
至OB，则点B 的横坐标为cos（﹣
+θ）＝﹣sinθ，
点B 的纵坐标为sin（﹣
+θ）＝cosθ，故点B 的坐标为（﹣sinθ，cosθ），
故选：C．
14．【解答】解：对于A，f（x）＝x2﹣1，∴f（|x|）＝x2﹣1，
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∴|f（|x|）|＝|x2﹣1|＝
；
方程|f（|x|）|＝a，当1＞a＞0 时有4 个解，
当a＝1 时有3 个解，当a＞1 时有2 个解，∴A 不满足题意；
对于B，f（x）＝
，∴f（|x|）＝
，
∴|f（|x|）|＝|
|＝
；
方程|f（|x|）|＝a，当1＞a＞0 时有2 个解，
当a＝1 时无解，当a＞1 时有2 个解，∴B 不满足题意；
对于C，f（x）＝2x﹣2，∴f（|x|）＝2|x|﹣2，
∴|f（|x|）|＝|2|x|﹣2|＝
；
方程|f（|x|）|＝a，当1＞a＞0 时有4 个解，
当a＝1 时有3 个解，当a＞1 时有2 个解，∴C 不满足题意；
对于D，f（x）＝log2x﹣2，∴f（|x|）＝log2|x|﹣2，
∴|f（|x|）|＝|log2|x|﹣2|＝
；
方程|f（|x|）|＝a，当a＞0 时恒有4 个解，∴D 满足题意．
故选：D．
三、解答题（8’+8’+8’+8’+12’＝44’）
15．【解答】解：函数f（x）＝3x，g（x）＝9x，
（1）g（x）﹣8f（x）﹣g（1）＝0，化为：9x﹣8•3x﹣9＝0，解得3x＝9，
可得x＝2．
（2）令
＝
，
所以h（x）+h（1﹣x）＝
+
＝
+
＝1．
所以
＝
＝
×2018＝1009．
16．【解答】解：（1）∵cosα＝﹣
，α∈（π，2π），
∴sinα＝
，
∴sin2α＝2sinαcosα＝2×
；
（2）由题意，tanβ＝
，
由（1）知，tanα＝
＝
，
则tan（α﹣β）＝
＝3．
17．【解答】解：（1）由log2（x﹣m）＝0，得m＝x﹣1，
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由2＜x＜3 得：1＜x﹣1＜2，
故m 的范围是（1，2）；
（2）f（x）在[1，t]（t＞1）递增，
∴f（t）﹣f（1）＝2，
∴log2（t﹣m）﹣log2（1﹣m）＝2，
∴log2
＝log24，
∴t＝4﹣3m，
由f（t）＞0，得t＞m+1，
∴4﹣3m＞m+1，
解得：m＜
．
18．【解答】解：（1）当a＝1 时，f（x）＝
，
∴1+2x＝
，
即2x＝
﹣1＝
，则0＜y＜1，
∴x＝log2（
）；
故f（x）的反函数f
﹣1（x）＝log2（
），x∈（0，1）
（2）∵y＝f（x）•f（﹣x）＝
•
＝
，
设y＝2x+2
﹣x，易知，函数y＝2x+2
﹣x 在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
则当x＝0 时，y＝2x+2
﹣x 有最小值，最小值为2，
∴当x＝0 时，y＝f（x）•f（﹣x）有最大值，
∴ymax＝
＝
；
（3）g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝
﹣
，令t＝a•2x，∵x∈（﹣∞，0]，a＞0，∴0＜t≤a．
∴h（t）＝
，
当
时h（t）在（0，a]上单调递减，所以
∵对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，且g（0）＝
﹣
，
∴
恒成立，∴0
当
时，
，令
＝
不恒成立，舍去
综上，a 的取值范围是（0，
]．
19．【解答】解：（1）第一组：∵f1（x）＝lg
，f2（x）＝lg（10x），h（x）＝x2﹣x+1，
∴alg
+blg（10x）＝algx﹣a+b+blgx＝（a+b）lgx+b﹣a≠x2﹣x+1，
∴第一组函数h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．
第二组：设a（x2+x）+b（x2+x+1）＝x2﹣x+1，
即（a+b）x2+（a+b）x+b＝x2﹣x+1，
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则
，该方程组无解．
∴h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．
（2）∵f1（x）＝log2x；
x，a＝2，b＝1 生成函数h（x），
∴h（x）＝a•f1（x）+b•f2（x）＝2log2x+
x＝log2x，
∵3h2（x）+2h（x）+t≤0 在x∈[2，4]上有解，
∴
+2log2x+t＝3（log2x+
）2+t﹣
≤0 在x∈[2，4]上有解，
∵x∈[2，4]，∴log2x+
∈[
，
]
∴t＝﹣3（log2x+
）2+
在[2，4]上单调递减，
∴
＝﹣5，
＝﹣
．
∴实数t 的取值范围是[﹣
，﹣5]．
（3）由题意得，h（x）＝ax+
，x＞0，则h（x）＝ax+
，
故
，解得
，∴h（x）＝2x+
，x＞0，
假设存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m 恒成立．
于是设μ＝h（x1）h（x2）＝
＝4x1x2+
+16•
＝
+16（
）＝4
+16•
＝
＝
，
设t＝x1x2，则t＝x1x2≤
＝
，即t∈（0，
]，
设
﹣32，t∈（0，
]，
∵
＜0，t∈（0，
]，∴
﹣32 在（0，
]上单调递减，从而μ≥μ（
）＝289．
故存在最大的常数m＝289．
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2019-2020 学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷
一、填空题
1．（3 分）函数
的定义域为
．
2．（3 分）函数f（x）＝2x﹣1（x∈R）的值域是
．
3．（3 分）函数f（x）＝x2（x≥0），则f
﹣1（x）＝
．
4．（3 分）已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a﹣2b 的取值范围为
．
5．（3 分）函数f（x）＝x3+2x，如果f（1）+f（a）＞0，则实数a 的范围是
．
6．（3 分）已知函数f（x）＝
若f（a）＝
，则a＝
．
7．（3 分）函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，则此函数的最小值为
．
8．（3 分）直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为
．
9．（3 分）已知函数f（x）＝logax（a＞0 且a≠1），若f（x1•x2•x3）＝8，则f（x12）+f（x22）+f（x32）＝
．
10．（3 分）若命题“存在x∈R，使得ax2+2x+a≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为
．
11．（3 分）（A 组题）已知f（x）＝
，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+f（c）的取
值范围是
．
12．（3 分）（A 组题）已知函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2，g（x）＝x2﹣2ax+a2﹣a+2，若存在实数x1，x2，使得f（x1）
＝g（x2）＝0，且|x1﹣x2|≤1，则实数a 的取值范围是
．
13．（B 组题）已知f（x）＝x2﹣2|x|+2，若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则a+b+c+d 的值等
于
．
14．（B 组题）已知f（x）＝lgx，则实数y＝f（f（x）的零点x0 等于
．
二、选择题
15．（3 分）已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（
）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
16．（3 分）对于实数a，α：
＞0，β：关于x 的方程x2﹣ax+1＝0 有实数根，则α是β成立的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
17．（3 分）已知函数y＝f（x），记A＝{（x，y）|y＝f（x）}，B＝{（x，y）|x＝0，y∈R}，则A∩B 的元素个数（（
）
A．至多一个元素
B．至少一个元素
C．一个元素
D．没有元素
18．（3 分）（A 组题）已知f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1 恒成立，则实数a 的取值范
围是（
）
A．0≤a≤1
B．0＜a＜1
C．a≤0 或a≥1
D．a＜0 或a＞1
19．（B 组题）函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a 的取值范围是（
）
A．a≥
B．a＞
C．a≤
D．a＜
三、解答题
20．已知A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}，B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}，求A∩B，A∪B．
21．已知函数f（x）＝10x﹣10
﹣x．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断f（x）在R 上的单调性，并说明理由．
22．矩形ABCD 的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”．
（1）当矩形ABCD 是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围；
（2）就矩形ABCD 的一边长x 的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？
23．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，且x≥0 时有f（x）＝x2﹣4x．
（1）写出函数f（x）的单调区间（不要证明）；
（2）（A 组题）解不等式f（x）≥3；
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（3）（A 组题）求函数f（x）在[﹣m，m]上的最大值和最小值．
（2）（B 组题）求函数f（x）的解析式；
（3）（B 组题）解不等式f（x）≥3．
24．已知f（x）是定义在R 上且满足f（x+2）＝f（x）的函数．
（1）如果0≤x＜2 时，有f（x）＝x，求f（3）的值；
（2）（A 组题）如果0≤x≤2 时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0，求f（a）的取值范围；
（3）（A 组题）如果g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，求g（x）在[﹣2，4]的值域．
（2）（B 组题）如果0≤x≤2 时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0 且f（a）＝0，求a 的值；
（3）（B 组题）如果0≤x≤2 时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤4，求f（a）的取值范围．
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2019-2020 学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．【解答】解：由x﹣2≥0，得x≥2．
∴函数
的定义域为[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
2．【解答】解：因为y＝2x 的值域为（0，+∞），∴y＝2x﹣1 的值域为（﹣1，+∞）
故答案为：（﹣1，+∞）．
3．【解答】解：令y＝f（x）＝x2，由于x≥0，则y≥0，所以
，因此，
，
故答案为：
．
4．【解答】解：方法一、∵1≤a≤2，3≤b≤6，
∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，
则﹣9≤3a﹣2b≤0，
即3a﹣2b 的取值范围为[﹣9，0]
方法2：设z＝3a﹣2b，
则b＝
a﹣
，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则平移直线b＝
a﹣
，由图象知当直线经过点C（1，6）时，
直线的截距最大，此时z 最小，
最小z＝3﹣2×6＝3﹣12＝﹣9，
当直线经过点A（2，3）时，直线的截距最小，此时z 最大，
最小z＝3×2﹣2×3＝6﹣6＝0，
即3a﹣2b 的取值范围为[﹣9，0]．
故答案为：[﹣9，0]
5．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+2x，
有f（﹣x）＝（﹣x）3+2（﹣x）＝﹣（x3+2x）＝﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，
f′（x）＝3x2+2＞0，
则函数f（x）在R 上为增函数；
如果f（1）+f（a）＞0，
则f（a）＞﹣f（1）＝f（﹣1），
故a＞﹣1，
故答案为：a＞﹣1．
6．【解答】解：当a＞0 时，log2a＝
∴a＝
，
当a≤0 时，2a＝
＝2
﹣1，
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∴a＝﹣1．
∴a＝﹣1 或
．
故答案为：﹣1 或
．
7．【解答】解：∵|x﹣a|几何意义表示数轴上坐标为x 与坐标为a 的点的距离，
∴f（x）＝|x+1|+|x﹣2|表示X 轴上的点X 到点﹣1，2 的距离和，
∴最小值为此两点线段上的点，
即当﹣1≤x≤2 时，f（x）最小值为3，
故答案为：3．
8．【解答】解：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为s，周长L＝2，
由于a+b+
＝L≥2
+
．（当且仅当a＝b 时取等号）
∴
≤
．
∴S＝
ab≤
（
）2
＝
•[
]2＝
L2＝
．
故答案为：
．
9．【解答】解：∵f（x）＝logax 且f（x1x2x3）＝8
∴loga（x1x2x3）＝8
又
＝
＝2[loga（x1）+loga（x2）+loga（x3）]
＝2[loga（x1•x2•x3]＝2loga（x1x2x3）＝2×8＝16
故答案为：16
10．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得ax2+2x+a≤0”是假命题，
则命题“∀x∈R，使得ax2+2x+a＞0”是真命题，
a＝0 时不满足条件，舍去．
a≠0 时，a＞0，△＝4﹣4a2＜0，解得a＞1．
实数a 的取值范围是：（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
11．【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图所示，
若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），
∴a+b＝0，1＜f（c）＜2，
∴a+b+f（c）的范围为（1，2），
故答案为：（1，2）
12．【解答】解：函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2 的导数为f′（x）＝ex﹣1+1＞0，
f（x）在R 上递增，由f（1）＝0，可得f（x1）＝0，解得x1＝1，
存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0．且|x1﹣x2|≤1，
即为g（x2）＝0 且|1﹣x2|≤1，
即x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0 在0≤x≤2 有解，
即x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0 在0≤x≤2 有解，
∴△＝4a2﹣4（a2﹣a+2）≥0，
解得a≥2．
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故a 的范围为[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
13．【解答】解：根据题意，f（x）＝x2﹣2|x|+2，则f（﹣x）＝x2﹣2|x|+2＝f（x），即函数f（x）为偶函数，
f（x）＝x2﹣2|x|+2＝
，
则直线y＝m 与函数f（x）最多只有4 个交点；
若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则有a+d＝b+c＝0，
故a+b+c+d＝0；
故答案为：0
14．【解答】解：根据题意，f（x）＝lgx，则f（f（x））＝lg（lgx），
若f（f（x0））＝lg（lgx0）＝0，即lgx0＝1，解可得x0＝10，
即函数y＝f（f（x）的零点x0 等于10；
故答案为：10．
二、选择题
15．【解答】解：∵幂函数y＝xa 的图象经过点（9，3），
∴9a＝3，
解得a＝
，
∴此函数是y＝
，是非奇非偶函数．
故选：D．
16．【解答】解：α：
＞0 得a＞1 或a＜﹣1，
β：关于x 的方程x2﹣ax+1＝0 有实数根，
则判别式△＝a2﹣4≥0，得a≥2 或a≤﹣2，
∵{a|a≥2 或a≤﹣2}⊊{a|a＞1 或a＜﹣1}，
∴α是β成立的必要不充分条件，
故选：B．
17．【解答】解：设函数y＝f（x）定义域是F，
当0∈F，A∩B 中所含元素的个数为1．
∴A∩B 中所含元素的个数是1．
故选：A．
18．【解答】解：f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m＝（3a﹣2）m﹣a+1
①3a﹣2＝0，即a＝
时，f（m）＝
＜1，符合题意；
②3a﹣2＞0，即a＞
时，f（m）max＝f（1）＝2a﹣1
∵2a﹣1≤1，∴a≤1，∴
＜a≤1；
③3a﹣2＜0，即a＜
时，f（m）max＝f（0）＝﹣a+1
∵﹣a+1≤1，∴a≥0，∴0≤a＜
；
综上可知：实数a 的取值范围是[0，1]；
故选：A．
19．【解答】解：函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），
则函数f（x）在[﹣2，3]上为减函数，
则3a﹣2＜0，解得a＜
，
故选：D．
三、解答题
20．【解答】解：A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}＝{x|x≤1}，
B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜﹣1 或1＜x＜2}，
∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜﹣1}，
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A∪B＝{x|x＜2}．
21．【解答】解：（1）f（﹣x）＝10
﹣x﹣10x＝﹣（10x﹣10
﹣x）＝﹣f（x）；
∴f（x）为奇函数；
（2）∵y＝10x 和y＝﹣10
﹣x 在R 上都是增函数；
∴f（x）＝10x﹣10
﹣x 在R 上是增函数．
22．【解答】解：（1）设AB＝x，则BC＝
，故而矩形ABCD 的周长为2（AB+BC）＝2（x+
）≥2•2
＝8，
当且仅当x＝
即x＝2 时取等号．
又矩形ABCD 是“美观矩形”，故而矩形的周长不大于10．
∴当矩形ABCD 是“美观矩形”时，矩形周长的取值范围是[8，10]．
（2）设矩形ABCD 的周长为f（x），则f（x）＝2（x+
）（x＞0），
令f（x）≤10 得x2﹣5x+4≤0，解得：1≤x≤4，
∴当x∈[1，4]时，矩形是“美观矩形”，当x∈（0，1）∪（4，+∞）时，矩形不是“美观矩形”．
23．【解答】解：（1）根据题意，f（x）是定义在R 上的奇函数，且x≥0 时有f（x）＝x2﹣4x；
则f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2]或[2，+∞），递减区间为[﹣2，2]；
（2）（A 组题）f（x）是定义在R 上的奇函数，且x≥0 时有f（x）＝x2﹣4x，
设x＜0，则﹣x＞0，
则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，
则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，
综合可得：f（x）＝
，
若f（x）≥3⇒
或
，
解可得：﹣3≤x≤﹣1 或x≥2+
，
则不等式f（x）≥3 的解集为[﹣3，﹣1]∪[2+
，+∞）；
（3）（A 组题）由（2）的结论，f（x）＝
，在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）
上为减函数，在（2，+∞）为增函数；
对于区间[﹣m，m]，必有m＞﹣m，解可得m＞0；
故当0＜m≤2 时，f（x）max＝﹣m2+4m，f（x）min＝m2﹣4m，
当2＜m≤4 时，f（x）max＝4，f（x）min＝﹣4，
当m＞4 时，f（x）max＝m2﹣4m，f（x）min＝﹣m2+4m，
（2）（B 组题）f（x）是定义在R 上的奇函数，且x≥0 时有f（x）＝x2﹣4x，
设x＜0，则﹣x＞0，
则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，
则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，
综合可得：f（x）＝
，
（3）（B 组题）由（2）的结论，f（x）＝
，
若f（x）≥3⇒
或
，
解可得：﹣3≤x≤﹣1 或x≥2+
，
则不等式f（x）≥3 的解集为[﹣3，﹣1]∪[2+
，+∞）．
24．【解答】解：（1）f（3）＝f（1+2）＝f（1）＝1；
（2）（A 组题）若﹣2≤a≤0，则0≤a+2≤2，∴f（a）＝f（a+2）＝（a+2﹣1）2＝（a+1）2∈[0，1]；
（3）（A 组题）因为g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，所以f（x）在[0，2]上的值域为[3，6]，
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所以g（x）在[﹣2，4]上的值域为[1，10]；
（2）（B 组题）根据（2）（A 组题）可得f（a）＝（a+1）2＝0，可得a＝﹣1；
（3）（B 组题）由题意，当0≤a≤2 时，f（a）＝（a﹣1）2∈[0，1]；
当﹣2≤a≤0 时，则0≤a+2≤2，可得f（a）＝（a+1）2∈[0，1]，
当2≤a≤4 时，则0≤a﹣2≤2，可得f（a）＝（a﹣3）2∈[0，1]，
故得当﹣2≤a≤4，f（a）的取值范围是[0，1]．
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2019-2020 学年陕西省西安中学高一（上）期末数学试卷
一.选择题（本大题包括10 小题，每小题4 分，共40 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．（4 分）过两点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为45°，则y＝（
）
A．﹣
B．
C．﹣1
D．1
2．（4 分）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且有一个三角形面
上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，
则在①、②、③处可依次写上（
）
A．乐、新、快
B．快、新、乐
C．新、乐、快
D．乐、快、新
3．（4 分）已知A（2，5，﹣6），点P 在y 轴上，|PA|＝7，则点P 的坐标是（
）
A．（0，8，0）
B．（0，2，0）
C．（0，8，0）或（0，2，0）
D．（0，﹣8，0）
4．（4 分）已知直线l1：ax+4y﹣2＝0 与直线l2：2x﹣5y+b＝0 互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c 的值为（
）
A．﹣4
B．20
C．0
D．24
5．（4 分）设m，n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m∥α，则m∥γ；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
其中正确命题的序号是（
）
A．①
B．②和③
C．③和④
D．①和④
6．（4 分）平行于直线2x+y+1＝0 且与圆x2+y2＝5 相切的直线的方程是（
）
A．2x+y+5＝0 或2x+y﹣5＝0
B．2x+y+
＝0 或2x+y﹣
＝0
C．2x﹣y+5＝0 或2x﹣y﹣5＝0
D．2x﹣y+
＝0 或2x﹣y﹣
＝0
7．（4 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．
B．3π
C．
D．6π
8．（4 分）已知点A（1，3）、B（﹣2，﹣1），若过点P（2，1）的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取
值范围是（
）
A．k≥
B．k≤﹣2
C．k
或k≤﹣2
D．﹣2≤k≤
9．（4 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（
）
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A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．AC⊥面SBD
D．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角
10．（4 分）对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平
行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l1：ax+3y+6
＝0，l2：2x+（a+1）y+6＝0，和圆C：x2+y2+2x＝b2﹣1（b＞0）的位置关系是“平行相交”，则b 的取值范围为
（
）
A．（
，
）
B．（0，
）
C．（0，
）
D．（
，
）∪（
，+∞）
二.填空题（本大题包括5 小题，每小题4 分，共20 分，把答案填在答题卡的相应位置上.）
11．（4 分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线l：x﹣y+3＝0，当直线l 被C 截得弦长为
时，
则a＝
．
12．（4 分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱柱）高为4，体积为16，
则这个球的表面积是
．（参考公式：球的表面积S＝4πR2）
13．（4 分）方程
＝x+k 有惟一解，则实数k 的范围是
．
14．（4 分）正方体AC1 中，E，F 分别是DD1，BD 的中点，则直线AD1 与EF 所成角的余弦值是
．
15．（4 分）正三棱锥P﹣ABC 的底面边长为1，E，F，G，H 分别是PA，AC，BC，PB 的中点，四边形EFGH 的
面积为S，则S 的取值范围是
．
三.解答题（本大题包括5 小题，每小题12 分，共60 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．（12 分）求满足下列条件的直线方程．
（1）经过点A（﹣1，﹣3），且斜率等于直线3x+8y﹣1＝0 斜率的2 倍
（2）过点M（0，4），且与两坐标轴围成三角形的周长为12．
17．（12 分）有一圆与直线l：4x﹣3y+6＝0 相切于点A（3，6），且经过点B（5，2），求此圆的方程．
18．（12 分）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB＝
，CE＝EF＝1．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．
19．（12 分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4＝0．
（1）若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；
（2）设过点P 的直线ll 与圆C 交于M、N 两点，当|MN|＝4 时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；
（3）设直线ax﹣y+1＝0 与圆C 交于A，B 两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2 垂直平分弦AB？
若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
20．（12 分）如图1，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，D，E 分别为AC，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将
△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使A1F⊥CD，如图2．
（1）求证：DE∥平面A1CB；
（2）求证：A1F⊥BE；
（3）线段A1B 上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
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2019-2020 学年陕西省西安中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题包括10 小题，每小题4 分，共40 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．【解答】解：经过两点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的斜率为k＝
．
又直线的倾斜角为45°，
∴
＝tan45°＝1，即y＝﹣1．
故选：C．
2．【解答】解：根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，
故选：B．
3．【解答】解：由题意设P（0，y，0），
因为|PA|＝7，
所以
＝7，
所以y＝2 或y＝8，
所以点P 的坐标为：（0，2，0）或（0，8，0）．
故选：C．
4．【解答】解；∵直线l1：ax+4y﹣2＝0 与直线l2：2x﹣5y+b＝0 互相垂直
∴﹣
×
＝﹣1
解得：a＝10
∴直线l1：5x+2y﹣1＝0
∵（1，c）在直线5x+2y﹣1＝0 上
∴5+2c﹣1＝0 解得：c＝﹣2
又∵（1，﹣2）也在直线l2：2x﹣5y+b＝0 上
∴2×1+5×2+b＝0
解得：b＝﹣12
∴a+b+c＝10﹣12﹣2＝﹣4
故选：A．
5．【解答】解：②中m 可能在γ内；③中m，n 可能相交或异面；④中α，β可能相交；①正确．
故选：A．
6．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b＝0，则，
所以
＝
，所以b＝±5，
所以所求直线方程为：2x+y+5＝0 或2x+y﹣5＝0
故选：A．
7．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1 高为6 的圆柱，被截的一部分，如图
所求几何体的体积为：
＝3π．
故选：B．
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8．【解答】解：点A（1，3）、B（﹣2，﹣1），
若过点P（2，1）的直线l 与线段AB 相交，
∴kAP＝
＝﹣2，kBP＝
＝
，
∴直线l 的斜率﹣2≤k≤
故选：D．
9．【解答】解：A．∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC．
∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD．
又∵SD∩DB＝D．
∴AC⊥平面SDB，∴AC⊥SB．
B．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB∥DC，
又AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
∴AB∥平面SCD．
C．由A 可知：AC⊥平面SDB．
D．∵AB∥DC，∴∠SCD（为锐角）是AB 与SC 所成的角，∠SAB（为直角）是DC 与SA 所成的角；
而∠SCD≠∠SAB．
∴AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角不正确；
故选：D．
10．【解答】解：圆C 的标准方程为（x+1）2+y2＝b2，
由两直线平行得a（a+1）﹣6＝0，
解得a＝2 或a＝﹣3，
又当a＝2 时，直线l1，l2 重合，舍去，
此时两平行线方程分别为x﹣y﹣2＝0 和x﹣y+3＝0，
由直线x﹣y﹣2＝0 与圆（x+1）2+y2＝b2 相切，得b＝
，
由直线x﹣y+3＝0 与圆相切，得b＝
，
当两直线与圆都相离时，b＜
，
∴“平行相交“时，b 满足：
，
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∴b 的取值范围是：（
）∪（
）．
故选：D．
二.填空题（本大题包括5 小题，每小题4 分，共20 分，把答案填在答题卡的相应位置上.）
11．【解答】解：由题意可得圆心C（a，2）半径r＝2
则圆心（a，2）到直线x﹣y+3＝0 的距离d＝
＝
Rt△CBM 中由勾股定理可得，d2+BM2＝BC2
∵a＞0
∴
或a＝
（舍去）
故答案为：
12．【解答】解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，
它的底面边长是：2，所以它的体对角线的长是：
，
球的直径是：
，
所以这个球的表面积是：
故答案为：24π
13．【解答】解：方程
＝x+k 有惟一解等价于f（x）＝
的图象与直线y＝x+k 只有一个交点，
函数f（x）＝
的图象与直线y＝x+k 的图象如图所示，
由图可知：实数k 的范围是：k＝
或﹣1≤k＜1，
故答案为：k＝
或﹣1≤k＜1．
14．【解答】解：取AD 中点G，连接EG，FG，
则EG∥AD1，
则∠GEF（或其补角）为直线AD1 与EF 所成角，
设DE＝a，则EG＝
a，GF＝a，EF＝
，
在△EFG 中由余弦定理得：
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cos∠GEF＝
＝
，
故答案为：
15．【解答】解：∵棱锥P﹣ABC 为底面边长为1 的正三棱锥
∴AB⊥PC
又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD 的中点，
∴EH＝FG＝
AB＝
，EF＝HG＝
PC
则四边形EFGH 为一个矩形
又∵PC＞
，
∴EF＞
，
，
∴四边形EFGH 的面积S 的取值范围是（
，+∞），
故答案为：（
，+∞）
三.解答题（本大题包括5 小题，每小题12 分，共60 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．【解答】解：（1）因为3x+8y﹣1＝0 可化为y＝﹣
x+
．所以直线3x+8y﹣1＝0 的斜率为﹣
则所求直线的斜率k＝2×（﹣
）＝﹣
．又直线经过点（﹣1，﹣3）
因此所求直线的方程为y+3＝﹣
（x+1）即3x+4y+15＝0．
（2）设直线与x 轴的交点为（a，0）
因为点M（0，4）在y 轴上，所以由题意有4+
+|a|＝12
解得a＝±3．所以所求直线的方程为
+
＝1 或
+
＝1
即4x+3y﹣12＝0 或4x﹣3y+12＝0．
17．【解答】解：设圆的圆心为C（a，b），半径为r，则圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2．
∵直线l：4x﹣3y+6＝0 相切于点A（3，6），∴点A（3，6）在圆上，且AC⊥l，
可得（3﹣a）2+（6﹣b）2＝r2，…①
由直线l 的斜率为
，可得
…②
又∵点B（5，2）在圆上，可得（5﹣a）2+（2﹣b）2＝r2，…③
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∴联解①②③，可得a＝5、b＝
、r＝
．
因此所求圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣
）2＝
．
18．【解答】证明：（Ⅰ）设AC 于BD 交于点G．
因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝
AC＝1，
所以四边形AGEF 为平行四边形，
所以AF∥EG，
因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，
所以AF∥平面BDE．
（Ⅱ）连接FG．因为EF∥CG，EF＝CG＝1，
且CE＝1，所以平行四边形CEFG 为菱形．所以CF⊥EG．
因为四边形ABCD 为正方形，所以BD⊥AC．
又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF．
所以CF⊥BD．又BD∩EG＝G，
所以CF⊥平面BDE．
19．【解答】解：（1）设直线l 的斜率为k（k 存在）则方程为y﹣0＝k（x﹣2）．
又圆C 的圆心为（3，﹣2），半径r＝3，
由
＝1，解得k＝﹣
．
所以直线方程为y＝﹣
（x﹣2），即3x+4y﹣6＝0；
当l 的斜率不存在时，l 的方程为x＝2，经验证x＝2 也满足条件；
（2）由于|CP|＝
，而弦心距d＝
，
所以d＝|CP|＝
，所以P 为MN 的中点，
所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为
|MN|＝2，
故以MN 为直径的圆Q 的方程为（x﹣2）2+y2＝4；
（3）把直线ax﹣y+1＝0 即y＝ax+1．代入圆C 的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9＝0．
由于直线ax﹣y+1＝0 交圆C 于A，B 两点，
故△＝36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．
则实数a 的取值范围是（﹣∞，0）．
设符合条件的实数a 存在，
由于l2 垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2 上．
所以l2 的斜率kPC＝﹣2，
而
，
所以a＝
．
由于
∉（﹣∞，0），
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2 垂直平分弦AB．
20．【解答】解：（1）∵D，E 分别为AC，AB 的中点，
∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，
∴DE∥平面A1CB．
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（2）由已知得AC⊥BC 且DE∥BC，
∴DE⊥AC，
∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，
∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，
∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，
∴A1F⊥平面BCDE，
∴A1F⊥BE．
（3）线段A1B 上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B 的中点P，Q，则PQ∥
BC．
∵DE∥BC，
∴DE∥PQ．
∴平面DEQ 即为平面DEP．
由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC，
∴DE⊥A1C，
又∵P 是等腰三角形DA1C 底边A1C 的中点，
∴A1C⊥DP，
∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，
故线段A1B 上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．
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2019-2020 学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）满足条件M∪{a}＝{a，b}的集合M 的个数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
2．（5 分）函数f（x）＝
的定义域是（
）
A．（﹣1，+∞）
B．（﹣1，2）∪（2，+∞）
C．（﹣1，2）
D．[﹣1，2）∪（2，+∞）
3．（5 分）已知函数f（x）＝
，则f（f（
））的值为（
）
A．1
B．2
C．2
D．4
4．（5 分）已知x＝log5
，y＝（
）0.1，z＝2
，则（
）
A．x＜y＜z
B．x＜z＜y
C．y＜x＜z
D．z＜x＜y
5．（5 分）下列函数中与函数y＝﹣2|x|的奇偶性相同，且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（
）
A．y＝log3|x|
B．y＝x3﹣1
C．y＝﹣
D．y＝1﹣x2
6．（5 分）若圆x2+y2﹣2ax+2by+1＝0 的圆心在第一象限，则直线ax+y﹣b＝0 一定不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7．（5 分）设α，β为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，则下列说法正确的是（
）
A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
D．若n∥β，m⊥n，α⊥β，则m⊥α
8．（5 分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的表面积为24，则四棱锥A1﹣ABC1D1 的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）已知直线l1：3x﹣6y+1＝0，l2：x﹣my+2＝0，l3：nx+y+3＝0，若l1∥l2，且11⊥l3，则m﹣n 的值为
（
）
A．4
B．﹣4
C．2
D．0
10．（5 分）函数y＝logax（a＞0 且a≠1）与函数y＝（a﹣1）x2﹣2x﹣1 在同一坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
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C．
D．
11．（5 分）《九章算术》是世界数学发展史上的一颗璀璨明珠，书中《商功》有如下问题：今有委菽依垣，下周三
丈，高七尺，问积及为菽各几何？其意思为：现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3 丈，高7 尺，
问这堆大豆的体积是多少立方尺？应有大豆是多少斛？
主人欲卖掉该堆菽，已知圆周率约为3，一丈等于十尺，1 斛约为2.5 立方尺，1 斛菽卖300 钱，一两银子等于
1000 钱，则主人可得银子（
）两
A．40
B．42
C．44
D．45
12．（5 分）已知函数f（x）＝
，则函数y＝f（x）﹣1gx 的零点的个数是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．（5 分）计算lg
+21g2﹣（
）
﹣1+8
＝
．
14．（5 分）直线x+2y﹣1＝0 和直线2x+4y+3＝0 的距离是
．
15．（5 分）四面体PABC 中，PA＝PB＝PC，底面△ABC 为等腰直角三角形，AC＝BC，O 为AB 中点，请从以下
平面中选出两个相互垂直的平面
．（只填序号）
①平面PAB②平面ABC③平面PAC④平面PBC⑤平面POC
16．（5 分）已知函数g（x）＝
（m＞0）在区间[0，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围是
．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）已知全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤1}，集合B＝{x|m＜x＜m+3}．
（1）若m＝1，求A∪B，A∩∁UB；
（2）若A∪B＝B，求实数m 的取值范围．
18．（12 分）四边形ABCD 是圆柱OO1 的轴截面，E 为底面圆周上的一点，AE＝2
，BE＝4，AD＝5．
（1）求证：BE⊥平面ADE；
（2）求圆柱的表面积．
19．（12 分）已知△ABC 的顶点坐标为A（1，1），B（2，4），直线l 经过点B 且与直线x﹣y+1＝0 平行，点A 和
点C 关于直线l 对称．
（1）求直线AC 的方程；
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（2）求△ABC 外接圆的方程．
20．（12 分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1＝2AC，D，E 分别为AA1，BC1 的中点，DC1⊥BD．
求证：（1）DE∥平面ABC；
（2）DC1⊥BC．
21．（12 分）当今社会，以信息化、网络化智能化为主要特征的信息技术浪潮正在形成一场人工智能革命，智能化
时代的到来，为经济发展注入了新的活力，人工智能技术的进步和智能装备制造业的发展，从根本上减少了制造
领域对劳动力的需求．
某工厂现有职工320 人，平均每人每年可创利20 万元该工厂打算购进一批智能机器人（每购进一台机器人，需
要有一名职工下岗）．据测算，如果购进智能机器人不超过100 台，每购进一台机器人，所有留岗职工（机器人
视为机器，不作为职工看待）在机器人的帮助下，每人每年多创利2 千元，每台机器人购置费及日常维护费用折
合后平均每年2 万元，工厂为体现对职工的关心给予下岗职工每人每年4 万元补贴；如果购进智能机器人数量超
过100 台，则工厂的年利润y＝8202+1gx 万元（x 为机器人台数且x＜320）．
（1）写出工厂的年利润y 与购进智能机器人台数x 的函数关系；
（2）为使工厂获得最大经济效益，工厂应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年利润是多少？（参考数据
lg2＝0.3010）
22．（12 分）已知函数f（x）＝logax+a﹣2（a＞0 且a≠1）过点（a，1）．
（1）求实数a 的值；
（2）设集合A 为函数g（x）定义域的一个非空子集，若存在x0∈A，使g（x0）＝x0，则称x0 为函数g（x）在
集合A 上的不动点．已知函数g（x）＝af（x+1）+mx2+（m﹣3）x．
（i）若函数g（x）在（0，+∞）上有两个不同的不动点，求实数m 的取值范围；
（ii）若函数g（x）在区间[0，2]上存在不动点，求实数m 的取值范围．
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2019-2020 学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：满足条件M∪{a}＝{a，b}的集合M 可以为：{b}，{a，b}，共2 个．
故选：C．
2．【解答】解：要使f（x）有意义，则：
；
∴x＞﹣1，且x≠2；
∴f（x）的定义域是：（﹣1，2）∪（2，+∞）．
故选：B．
3．【解答】解：∵函数f（x）＝
，
∴f（
）＝
＝﹣4，
f（f（
））＝f（﹣4）＝4
＝2．
故选：C．
4．【解答】解：∵x＝log5
＜log51＝0，
0＜y＝（
）0.1＜
z＝2
＞20＝1，
∴x＜y＜z．
故选：A．
5．【解答】解：函数y＝﹣2|x|是偶函数，当x＜0 时，y＝﹣2|x|＝y＝﹣2
﹣x＝﹣（
）x，为增函数，
A．y＝log3|x|是偶函数，当x＜0 时y＝log3（﹣x）是减函数，不满足条件．
B．函数是奇函数不满足条件．
C．函数是奇函数不满足条件．
D．y＝1﹣x2 是偶函数，当x＜0 时，函数为增函数，满足条件．
故选：D．
6．【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣2ax+2by+1＝0 的圆心为（a，﹣b），
若其圆心在第一象限，则
，即
；
直线ax+y﹣b＝0，即y＝﹣ax+b，斜率﹣a＜0，在y 轴上截距b＜0，一定不经过第一象限，
故选：A．
7．【解答】解：A
如图可否定A；
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C
如图可否定C；
D
如图可否定D，
故选：B．
8．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的表面积为24，
∴正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长AB＝2，
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），
＝（0，2，0），
＝（﹣2，0，2），
＝（0，0，2），
设平面ABC1D1 的法向量＝（x，y，z），
则
，取x＝1，得＝（1，0，1），
点A1 到平面ABC1D1 的距离d＝
＝
，
＝AB×AD1＝2×
＝4
，
∴四棱锥A1﹣ABC1D1 的体积为：
＝
＝
．
故选：C．
9．【解答】解：直线l1：3x﹣6y+1＝0，l2：x﹣my+2＝0，l3：nx+y+3＝0，
若l1∥l2，则
＝
≠
，解得m＝2；
若11⊥l3，则n﹣m＝0，解得n＝2；
所以m﹣n＝0．
故选：D．
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10．【解答】解：函数y＝（a﹣1）x2﹣2x﹣1 过定点（0，﹣1），排除B，D，
对应A 抛物线开口向上，则a﹣1＞0，得a＞1，函数y＝logax 为增函数，
函数的对称轴为x＝﹣
＝
＞0，则A 图象不满足，排除A，
C．抛物线开口向下，则a﹣1＜0，得0＜a＜1，函数y＝logax 为减函数，
函数的对称轴为x＝﹣
＝
＜0，则C 图象满足，
故选：C．
11．【解答】解：∵现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3 丈，高7 尺，圆周率约为3
∴2πR＝60，解得R＝
≈10（尺），
∴这堆大豆的体积V＝
＝350（立方尺），
350÷2.5＝140（斛），
主人欲卖掉该堆菽，则主人可得银子：
＝42（两）．
故选：B．
12．【解答】
解：函数f（x）＝
，
函数y＝f（x）﹣1gx 的零点的个数，就是函数y＝f（x）与y＝1gx 两个函数的图象的交点个数，
在坐标系中画出两个函数的图象如图：
可知；两个函数的图象由9 个交点，所以函数的零点有9 个．
故选：C．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．【解答】解：lg
+21g2﹣（
）
﹣1+8
＝
﹣2+4
＝1﹣2+4
＝3．
故答案为：3．
14．【解答】解：∵直线x+2y﹣1＝0，即2x+4y﹣2＝0，它和直线2x+4y+3＝0 的距离为
＝
，
故答案为：
．
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15．【解答】解：∵四面体PABC 中，PA＝PB＝PC，
底面△ABC 为等腰直角三角形，AC＝BC，O 为AB 中点，
∴CO⊥AB，PO⊥AB，CO∩PO＝O，
∴AB⊥平面POC，
∵AB⊂平面ABC，AB⊂平面PAB，
∴平面POC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面POC，
∴两个相互垂直的平面为②⑤或①⑤．
故答案为：②⑤或①⑤．
16．【解答】解：根据题意，g（x）＝
（m＞0），
在[0，m）上，g（x）＝x，为增函数，且g（x）＜g（m）＝m，
在[m，+∞）上，g（x）＝
x2，为增函数，且g（x）≥g（m）＝
m2，
若函数g（x）＝
（m＞0）在区间[0，+∞）上是增函数，
则有m≤
m2，
解可得m≥4，
即m 的取值范围为[4，+∞）；
故答案为：[4，+∞）．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解答】解：（1）全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤1}＝{x|0＜x≤2}，
m＝1 时，集合B＝{x|m＜x＜m+3}＝{x|1＜x＜4}，
∴A∪B＝{x|0＜x＜4}，
∁UB＝{x|x≤1 或x≥4}；
∴A∩∁UB＝{x|0＜x≤1}；
（2）若A∪B＝B，则A⊆B，
∴
，
解得﹣1＜m≤0，
∴实数m 的取值范围是（﹣1，0]．
18．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是圆柱OO1 的轴截面，E 为底面圆周上的一点，
∴BE⊥AE，BE⊥AD，
∵AD∩AE＝A，∴BE⊥平面ADE．
解：（2）∵AE＝2
，BE＝4，AD＝5．
∴AB＝
＝6，∴r＝
，
∴圆柱的表面积：
S＝2πr2+2πr•AD＝2π×9+2π×3×5＝48π．
19．【解答】解：（1）由题意可得直线l 的方程为y﹣4＝1•（x﹣2），即x﹣y+2＝0．
∵A（1，1），点A 和点C 关于直线l 对称，故点C 的坐标为（﹣1，3），
故直线AC 的方程为
＝
，即x+y﹣2＝0．
（2）设△ABC 外接圆的方程为x2+y2+dx+ey+f＝0，把A（1，1），B（2，4），（﹣1，3）的坐标代入，
可得
，求得
，
∴△ABC 外接圆的方程为x2+y2﹣
x+
y﹣17＝0．
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20．【解答】证明：（1）取CC1 中点O，连结DO，EO，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1＝2AC，D，E 分别为AA1，BC1 的中点，
∴DO∥AC，OE∥BC，
∵AC∩BC＝C，DO∩OE＝O，∴平面ABC∥平面DOE，
∵DE⊂平面DOE，∴DE∥平面ABC．
解：（2）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1＝2AC，
∴AD2+AC2＝CD2＝
+
＝
＝2AD2，
∴CD
＝4AD2＝
，∴CD⊥DC1，
∵DC1⊥BD，BD∩CD＝D，∴DC1⊥平面BDC，
∵BC⊂平面BDC，∴DC1⊥BC．
21．【解答】解：（1）当购进智能机器人台数x≤100 时，
工厂的利润y＝（320﹣x）（20+0.2x）﹣4x﹣2x＝﹣0.2x2+38x+6400，
∴y＝
，
（2）由（1）可知，当0≤x≤100 时，y＝﹣
（x﹣95）2+825，
当x＝95 时，ymax＝8205，
当x＞100 时，y＝8202+lgx 为增函数，
8202+lgx＜8202+lg320＝8202+1+5lg2≈8204.55＜8205，
综上所述可得，工厂购进95 台智能机器人时或的最大利益，最大利润为8205 万元．
22．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝logax+a﹣2 过点（a，1），∴f（a）＝loga a+a﹣2＝a﹣1＝1，解得a＝2，∴f
（x）＝log2 x；
（2）（i）函数g（x）＝2
+mx2+（m﹣3）x＝x+1+mx2+（m﹣3）x＝mx2+（m﹣2）x+1，
由题意知函数g（x）在（0，+∞）上有两个不同的不动点，
即g（x）＝x 在（0，+∞）上有两个不同的实数解，
令h（x）＝g（x）﹣x＝mx2+（m﹣3）x+1，则h（x）在（0，+∞）上有两个不同的实数解，
又h（0）＝1，∴必有m＞0．
∴
，解得0＜m＜1
∴实数m 的取值范围是（0，1）．
（ii）由（i）知：g（x）在区间[0，2]上存在不动点，即函数h（x）在区间[0.2]上存在零点，
①若m＝0，h（x）＝﹣3x+1，零点为
，符合题意；
②若m＜0，∵h（0）＝1，如果满足题意，必有h（2）≤0 成立，即4m+2（m﹣3）+1≤0，解得m≤
，
∴m＜0 符合题意．
③若m＞0，则h（2）≤0 或
，
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即m≤
或
，解得0＜m≤1，
综上，m 的取值范围是（﹣∞，1]．
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2019-2020 学年山东省菏泽市高一（上）期末数学试卷（A 卷）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5}，则集合A∩B 的元素个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（5 分）若一个圆锥的轴截面是面积为1 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（
）
A．
B．2
C．2π
D．4π
3．（5 分）下列命题中，正确的命题是（
）
A．任意三点确定一个平面
B．三条平行直线最多确定一个平面
C．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行
D．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行
4．（5 分）若幂函数f（x）的图象过点
，则函数g（x）＝f（x）﹣3 的零点是（
）
A．
B．9
C．
D．（9，0）
5．（5 分）已知直线l 过点（1，1）且平行于直线4x+y﹣8＝0，则直线l 的方程是（
）
A．x﹣4y+3＝0
B．x﹣4y﹣5＝0
C．4x+y+5＝0
D．4x+y﹣5＝0
6．（5 分）已知函数f（x）＝ln（4﹣x），则
的定义域为（
）
A．（﹣∞，1）∪（1，8）
B．（﹣∞，1）∪（1，2）
C．（0，1）∪（1，8）
D．（0，1）∪（1，2）
7．（5 分）已知α，β是不同的平面，m，n 是不同的直线，则下列命题不正确的是（
）
A．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β
B．若m∥n，α∩β＝m，则n∥α，n∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
8．（5 分）已知点P 与点Q（1，﹣2）关于直线x+y﹣1＝0 对称，则点P 的坐标为（
）
A．（3，0）
B．（﹣3，2）
C．（﹣3，0）
D．（﹣1，2）
9．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 与圆O：x2+y2＝1 外切，且与直线x﹣2y+5＝0 相切，则圆C 的面积的
最小值为（
）
A．
B．
C．
π
D．
10．（5 分）已知函数f（x）在[3，+∞）上单调递减，且f（x+3）是偶函数，则a＝f（log32），b＝f（30.5），c＝f（log264）
的大小关系是（
）
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．b＞a＞c
11．（5 分）如图，多面体ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体，则下面结论正确的是（
）
A．A1B∥B1C
B．平面CB1D1⊥平面A1B1C1D1
C．平面CB1D1∥平面A1BD
D．异面直线AD 与CB1 所成的角为30°
12．（5 分）若直线l：y＝kx 与曲线M：y＝1+
有两个不同交点，则k 的取值范围是（
）
A．（
]
B．[
）
C．[
）
D．[0，
）
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答题卡中的横线上．
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13．（5 分）点P（1，﹣2）到直线l：3x+4y﹣2＝0 的距离为
．
14．（5 分）已知正方体的体积为64，则这个正方体的内切球的体积为
．
15．（5 分）已知函数
在R 上存在最小值，则m 的取值范围是
．
16．（5 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，若过A 作AD⊥BC 于点D，连接PD，那么
从P，A，B，C，D 这五个点中任取三点共能构成
个直角三角形．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
17．（10 分）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|0≤x＜5}，C＝{x|x＜m}，全集为R．
（1）求A∩（∁RB）；
（2）若（A∪B）⊆C，求实数m 的取值范围．
18．（12 分）已知直线l1 的方程为x+2y﹣4＝0，若l2 在x 轴上的截距为
，且l1⊥l2．
（1）求直线l1 和l2 的交点坐标；
（2）已知直线l3 经过l1 与l2 的交点，且在y 轴上截距是在x 轴上的截距的2 倍，求l3 的方程．
19．（12 分）已知圆C 的圆心坐标为（a，0），且圆C 与y 轴相切．
（1）已知a＝1，M（4，4），点N 是圆C 上的任意一点，求|MN|的最小值．
（2）已知a＜0，直线l 的斜率为
，且与y 轴交于点
．若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．
20．（12 分）已知函数f（x）＝loga（ax﹣1）（a＞0 且a≠1）．
（1）当a＝3 时，f（x）＜1，求实数x 的取值范围．
（2）若f（x）在[3，6]上的最大值大于0，求a 的取值范围．
21．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，△PAD 为等边三角形，M，N 分别是AB，AD 的中
点，且平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：CM⊥平面PNB；
（2）设点E 是棱PA 上一点，若PC∥平面DEM，求
．
22．（12 分）已知f（x）是定义在[﹣5，5]上的奇函数，且f（﹣5）＝﹣2，若对任意的m，n∈[﹣5，5]，m+n≠0，
都有
．
（1）若f（2a﹣1）＜f（3a﹣3），求a 的取值范围．
（2）若不等式f（x）≤（a﹣2）t+5 对任意x∈[﹣5，5]和a∈[﹣3，0]都恒成立，求t 的取值范围．
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2019-2020 学年山东省菏泽市高一（上）期末数学试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5}，
∴A∩B＝{（x，y）|
}＝{（﹣
+1，﹣
+1），（
+1，
+1）}，
∴集合A∩B 的元素个数为2．
故选：C．
2．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
由题意知，r＝h＝
l，
则轴截面的面积为
•
＝1，
解得r＝1，所以l＝
；
所以该圆锥的侧面积为S 圆锥侧＝πrl＝
π．
故选：A．
3．【解答】解：在A 中，不共线的三点确定一个平面，故A 错误；
在B 中，三条平行直线最多确定三个平面，故B 错误；
在C 中，不同的两条直线均垂直于同一个平面，
则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行，故C 正确；
在D 中，一个平面中的两条相交直线与另一个平面都平行，
则这两个平面平行，故D 错误．
故选：C．
4．【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象过点
，
∴f（2）＝2α＝
，解得
，
∴f（x）＝
，
∴函数g（x）＝f（x）﹣3＝
﹣3，
由g（x）＝f（x）﹣3＝
﹣3＝0，得x＝9．
∴函数g（x）＝f（x）﹣3 的零点是9．
故选：B．
5．【解答】解：设与直线4x+y﹣8＝0 平行的直线方程为4x+y+c＝0，
∵直线4x+y+c＝0 过（1，1），
∴4+1+c＝0，
即c＝﹣5，
则直线方程为4x+y﹣5＝0，
故选：D．
6．【解答】解：要使f（x）有意义，则4﹣x＞0；
∴x＜4；
∴f（x）的定义域为（﹣∞，4）；
∴函数g（x）满足：
；
∴x＜2，且x≠1；
∴g（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．
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故选：B．
7．【解答】解：由α，β是不同的平面，m，n 是不同的直线，知：
在A 中，若m⊥α，m∥n，n⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故A 正确；
在B 中，若m∥n，α∩β＝m，则n∥α，n∥β或n⊂α，或n⊂β，故B 错误；
在C 中，若m∥n，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故C 正确；
在D 中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D 正确．
故选：B．
8．【解答】解：设P 的坐标为（a，b），则PQ 的中点坐标为（
，
），
若点P 与Q（1，﹣2）关于x+y﹣1＝0 对称，则
，
解得：a＝3，b＝0，
则点P 的坐标为（3，0）．
故选：A．
9．【解答】解：如图，
圆心O 到直线x﹣2y+5＝0 的距离d＝
，
则所求圆的半径r＝
，
圆C 面积的最小值为S＝
．
故选：C．
10．【解答】解：根据题意，函数f（x+3）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝3 对称，则f（6）＝f（0），
又由函数f（x）在[3，+∞）上单调递减，则f（x）在（﹣∞，3]上为增函数，
又由0＜log32＜1＜30.5，则f（0）＜f（log32）＜f（30.5），
则b＞a＞c；
故选：D．
11．【解答】解：在A 中，若A1B∥B1C，由A1B∥CD1，得C1C∥CD1，矛盾，故A 错误；
在B 中，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴平面BB1D1D⊥平面A1B1C1D1，
则平面CB1D1⊥平面A1B1C1D1 也是错误的，故B 错误；
在C 中，∵A1B∥CD1，A1D∥CB1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，故C 正确；
在D 中，多面体ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体，∴∠BCB1＝45°，
又AD∥BC，∴AD 与CB1 所成角为45°，故D 错误．
故选：C．
12．【解答】解：由y＝1
，
得：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，（y≥1），
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如图所示，符合题意得直线夹在OA，OB 之间，
显然，OA 的斜率为
，
由tan∠MON＝
，
∠BON＝2∠MON，
结合二倍角正切公式可得：
tan
，
故选：B．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．【解答】解：点P（1，﹣2）到直线l：3x+4y﹣2＝0 的距离：
d＝
＝
．
故答案为：
．
14．【解答】解：设正方体的内切球的半径为r，则正方体的棱长为2r，则正方体的体积为（2r）3＝64，得r＝2，
因此，这个正方体的内切球的体积为
．
故答案为：
．
15．【解答】解：当x≤0 时，f（x）＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2≥﹣2，
即有x＝﹣1 时，取得最小值﹣2，
当x＞0 时，f（x）＝3x+m 递增，
可得f（x）＞1+m，
由题意可得1+m≥﹣2，
解得m≥﹣3，
故答案为：[﹣3，+∞）．
16．【解答】解：因为PA⊥面ABC，所以PA⊥BC，又AD⊥BC，
所以BC⊥面PAD，
所以BC⊥PD，
故图中的直角三角形有△PAB，△PAC，△PAD，△BAC，△ADB，△ADC，△PDB，△PDC，共8 个．
故答案为：8．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
17．【解答】解：（1）∁RB＝{x|x＜0，或x≥5}；
∴A∩（∁RB）＝{x|﹣3＜x＜0}；
（2）A∪B＝{x|﹣3＜x＜5}；
∴（A∪B）⊆C；
∴m≥5；
∴实数m 的取值范围为[5，+∞）．
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18．【解答】解：（1）∵l1⊥l2，∴
＝
＝2．
∴直线l2 的方程为：y﹣0＝2（x﹣
），化为：y＝2x﹣3．
联立
，解得
．
∴直线l1 和l2 的交点坐标为（2，1）．
（2）当直线l3 经过原点时，可得方程：y＝
x．
当直线l3 不经过过原点时，设在x 轴上截距为a≠0，则在y 轴上的截距的2a 倍，
其方程为：
+
＝1，把交点坐标（2，1）代入可得：
+
＝1，解得a＝
．
可得方程：2x+y＝5．
综上可得直线l3 的方程为：x﹣2y＝0，2x+y﹣5＝0．
19．【解答】解：（1）当a＝1 时，圆C 的方程为（x﹣1）2+y2＝1，
又|MC|＝
，
∴|MN|的最小值为5﹣1＝4；
（2）∵直线l 的斜率为
，且与y 轴交于点
，
∴直线l 的方程为
，即4x﹣3y﹣2＝0．
∵直线l 与圆C 相离，
∴
＞|a|，又a＜0，则2﹣4a＞﹣5a，解得a＞﹣2．
∴a 的取值范围为（﹣2，0）．
20．【解答】解：（1）当a＝3 时，f（x）＜1 可化为：log3（3x﹣1）＜1
即0＜3x﹣1＜3，
解得：x∈（
，
）
（2）∵a＞0 且a≠1，故y＝ax﹣1 在[3，6]上单调递增，
当a＞1 时，函数f（x）＝loga（ax﹣1）在[3，6]上单调递增，
则loga（6a﹣1）＞0，
即6a﹣1＞1，解得a＞
∴a＞1
当0＜a＜1 时，函数f（x）＝loga（ax﹣1）在[3，6]上单调递减，
则loga（3a﹣1）＞0，
即0＜3a﹣1＜1，解得
＜a＜
∴
＜a＜
，
综上可得：a 的取值范围为（
，
）∪（1，+∞）．
21．【解答】证明：（1）在正方形ABCD 中，M，N 分别是AB，AD 的中点，
∴BM＝AN，BC＝AB，∠MBC＝∠NAB＝90°，
∴△MBC≌△NAB，∴∠BCM＝∠NAB，
又∠NBA+∠BMC＝90°，∴∠NBA+∠BMC＝90°，
∴CM⊥BN，
∵△PAD 为等边三角形，N 是AD 的中点，
∴PN⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，PN⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PN⊥平面ABCD，
又CM⊂平面ABCD，∴CM⊥PN，
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∵BN，PN⊂平面PNB，BN∩PN＝N，
∴CM⊥平面PNB．
解：（2）连结AC，交DM 于点Q，连结EQ，
∵PC∥平面DEM，PC⊂平面PAC，平面PAC∩平面DEM＝EQ，
∴PC∥EQ，
∴PE：EA＝CQ：QA，
在正方形ABCD 中，AM∥CD，且CD＝2AM，
∴CQ：QA＝CD：AM＝2，
∴
＝2．
22．【解答】解：设任意x1，x2 满足﹣5≤x1＜x2≤5，由题意可得：
f（x1）﹣f（x2）＝
即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在定义域[﹣5，5]，上是增函
数，
由f（2a﹣1）＜f（3a﹣3），得
，解得2＜a≤
，
故a 的取值范围为（2，
]；
（2）由以上知f（x）是定义在[﹣5，5]上的单调递增的奇函数，且f（﹣5）＝﹣2，
得在[﹣5，5]上f（x）max＝f（5）＝﹣f（﹣5）＝2．
在[﹣5，5]上不等式f（x）≤（a﹣2）t+5 对a∈[﹣3，0]都恒成立，
所以2≤（a﹣2）t+5 即at﹣2t+3≥0，对a∈[﹣3，0]都恒成立，
令g（a）＝at﹣2t+3，a∈[﹣3，0]，则只需
，即
．
解得t≤
故t 的取值范围（﹣∞，
]．
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2019-2020 学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把
正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（5 分）与角﹣390°终边相同的最小正角是（
）
A．﹣30°
B．30°
C．60°
D．330°
2．（5 分）函数f（x）＝3x﹣8 的零点是（
）
A．log38
B．log83
C．（log38，0）
D．（log83，0）
3．（5 分）要得到函数y＝sin（2x+
）的图象，只要将函数y＝sin2x 的图象（
）
A．向左平移
单位
B．向右平移
单位
C．向右平移
单位
D．向左平移
单位
4．（5 分）已知角A，B 是△ABC 中的两个内角，则“A＜B”是“cosA＞cosB”的（
）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．既不充分又不必要
D．充要
5．（5 分）已知函数f（x）＝2x+x﹣10 的零点x0∈（k，k+1），则整数k 的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
6．（5 分）一个单摆如图所示，以OA 为始边，OB 为终边的角与时间t（s）的函数满足：
，则
单摆完成5 次完整摆动所花的时间为（
）
A．5
B．10
C．
D．5π
7．（5 分）已知
，若角α的终边经过点P（1，
），则f（f（cosα））的值为（
）
A．
B．
C．4
D．﹣4
8．（5 分）已知函数
，g（x）＝lnx，则方程f（x）+|g（x）|＝0 解的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（本大题共8 小题，每小题5 分，共计40 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位
置上．）
9．（5 分）已知圆心角为60°的扇形，其半径为3，则该扇形的面积为
．
10．（5 分）若点P（2，4），Q（3，y0）均在幂函数y＝f（x）的图象上，则实数y0＝
．
11．（5 分）已知
，则tanx＝
．
12．（5 分）计算：
＝
．
13．（5 分）已知函数f（x）＝2ksinx+3，若对任意x∈[
，
]都有f（x）≥0 恒成立，则实数k 的取值范围
为
．
14．（5 分）求值：
＝
．
15．（5 分）已知
，x∈（
，π），则cos2x＝
．
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16．（5 分）某辆汽车以xkm/h 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，
每小时的油耗（所需要的汽油量）为
L，其中k 为常数．若汽车以120km/h 的速度行驶时，每小
时的油耗为11.5L．欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x 的取值范围为
．
三、解答题（本大题共6 小题，共计70 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．）
17．（10 分）设全集U＝R，集合A＝{x|lg（x﹣a）＞0}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}．
（1）当a＝1 时，求集合A∩B；
（2）若A∪B＝A，求实数a 的取值范围．
18．（12 分）已知A，B 均为锐角，sinA＝
，cos（A+B）＝
．
（1）求cos2A 的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
19．（12 分）某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，
）在某一个周期内的图
象时，列表并填入了部分数据，如表：
x
ωx+φ
0
π
2π
Asin（ωx+φ）
2
（1）求函数f（x）的解析式，并补全表中其它的数据；
（2）在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数y＝f（x）在一个周期内的图象；
（3）写出函数y＝f（x）（x∈R）的单调减区间．
20．（12 分）已知函数f（x）＝lnx．
（1）若g（x）＝f2（x）﹣4f（x）+6 的定义域为[
，e3]（e 是自然对数的底数），求函数g（x）的最大值和最
小值；
（2）求函数h（x）＝f（x2）+|x|的零点个数．
21．（12 分）开发商现有四栋楼A，B，C，D．楼D 位于楼BC 间，到楼A，B，C 的距离分别为1200m，600m，
400m，且从楼D 看楼A，B 的视角为90°．如图所示，不计楼大小和高度．
（1）试求从楼A 看楼B，C 视角大小；
（2）开发商为谋求更大开发区域，拟再建三栋楼M，P，N，形成以楼AMPN 为顶点的矩形开发区域．规划要
求楼B，C 分别位于楼MP 和楼PN 间，如图所示，记∠MAB＝θ，当θ等于多少时，矩形开发区域面积最大？
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第149页（共397页）
22．（12 分）已知函数f（x）＝3x+3
﹣x．
（1）解不等式：
；
（2）求函数f（x）的奇偶性，并求函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）若对任意x∈[﹣2，1]，不等式f（3x）≥mf2（x）恒成立，求实数m 的取值范围．
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2019-2020 学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把
正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．【解答】解：﹣390°＝﹣2×360°+330°，
即与角﹣390°终边相同的最小正角是330°，
故选：D．
2．【解答】解：解方程3x﹣8＝0，解得：x＝log38，
故函数f（x）＝3x﹣8 的零点是log38，
故选：A．
3．【解答】解：由于函数y＝sin（2x+
）＝sin2（x+
），
故只要将函数y＝sin2x 的图象相左平移
个单位，即可得到函数y＝sin（2x+
）的图象，
故选：D．
4．【解答】解：在三角形中，0＜A，B＜π，
则由cosA＞cosB 得A＜B，
即“A＜B”是“cosA＞cosB”的充要条件，
故选：D．
5．【解答】解：函数f（x）为增函数，
∵f（2）＝22+2﹣10＝6﹣10＝﹣4＜0，
f（3）＝32+3﹣10＝12﹣10＝2＞0，
∴f（2）f（3）＜0，
即函数在（2，3）内存在一个零点x0，
∵零点x0∈（k，k+1），
∴k＝2，
故选：C．
6．【解答】解：∵T＝
＝π，即完成一次完整的摆动需时π，
∴单摆完成5 次完整摆动需要时间t＝5T＝5π．
故选：D．
7．【解答】解：∵已知
，若角α的终边经过点P（1，
），∴cosα＝
＝
，f（f（cosα））
的值．
∴f（cosα）＝f（
）＝
＝﹣1，
则f（f（cosα））＝f（﹣1）＝4
﹣1＝
，
故选：A．
8．【解答】解：由已知有：
＝
，
其图象关于点（3，﹣1）对称，
h（x）＝﹣f（x）＝
其图象关于点（3，1）对称，
方程f（x）+|g（x）|＝0 解的个数等价于y＝h（x）
与y＝|g（x）|的图象的交点个数，
由图可知，y＝h（x）与y＝|g（x）|的图象的交点个数为3，
故选：C．
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第151页（共397页）
二、填空题（本大题共8 小题，每小题5 分，共计40 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位
置上．）
9．【解答】解：圆心角为
，
则弧长l＝3×
＝π
则扇形的面积S＝
lr＝
＝
，
故答案为：
10．【解答】解：∵点P（2，4），Q（3，y0）均在幂函数y＝f（x）＝xα的图象上，
∴2α＝4，解得α＝2，∴f（x）＝x2，
∴
＝9．
∴实数y0＝9．
故答案为：9．
11．【解答】解：∵
∴
＝2
∴tanθ＝3
故答案为：3
12．【解答】解：
＝cos（﹣
）+sin
＝cos
+sin
＝
，
故答案为：
．
13．【解答】解：∵x∈[
，
]，
∴sinx∈[﹣
，
]，
∴2sinx∈[﹣1，1]，
当k＞0 时，f（x）∈[﹣k+3，k+3]，
∵对任意x∈[
，
]都有f（x）≥0 恒成立，
∴﹣k+3≥0，即0＜k≤3
当k＜0 时，f（x）∈[k+3，﹣k+3]，
∵对任意x∈[
，
]都有f（x）≥0 恒成立，
∴k+3≥0，即﹣3≤k＜0，
当k＝0 时，f（x）＝3≥0 恒成立，
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综上所述实数k 的取值范围为[﹣3，3]，
故答案为：[﹣3，3]
14 ．【解答】解：
＝
＝
＝4 •
＝
＝4，
故答案为：4
15．【解答】解：∵已知
，x∈（
，π），∴2x∈（π，2π），1+2sinxcosx＝
，
∴sinxcosx＝﹣
＜0，故sinx﹣cosx＝
＝（sinx+cosx）2﹣4sinxcosx＝
，
∴cos2x＝（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）＝
•（﹣
）＝﹣
，
故答案为：﹣
．
16．【解答】解：设每小时的油耗（所需要的汽油量）为y，
由题意可得y＝
，
当x＝120 时，y＝11.5，
∴11.5＝
（120﹣k+
），解得k＝100，
∴y＝
（x﹣100+
）
∵每小时的油耗不超过9L，
∴
（x﹣100+
）≤0，
即x2﹣145x+4500≤0，解得45≤x≤100，
又60≤x≤120，可得60≤x≤100，
每小时的油耗不超过9 升，x 的取值范围为[60，100]，
故答案为：[60，100]
三、解答题（本大题共6 小题，共计70 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．）
17．【解答】解：（1）当a＝1 时，由于lg（x﹣1）＞0＝lg1，即x﹣1＞1，所以A＝（2，+∞）
由于x2﹣3x﹣4＜0，即（x+1）（x﹣4）＜0，所以B＝（﹣1，4）
所以A∩B＝（2，4）；
（2）因为A∪B＝A，所以B⊆A，
由于A＝（a+1，+∞），则a+1≤﹣1，
所以a≤﹣2，所以实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]．
18．【解答】解：（1）∵A，B 均为锐角，sinA＝
，cos（A+B）＝
，∴cos2A＝1﹣2sin2A＝
．
（2）由题意cosA＝
＝
，sin2A＝2sinAcosA＝
，sin（A+B）＝
＝
，
∴sin（A﹣B）＝sin[2A﹣（A+B）]＝sin2A•cos（A+B）﹣cos2A•sin（A+B）＝
•
﹣
•
＝
．
19．【解答】解：（1）根据用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，
）的步骤方法，
由所给的表格可得A＝2，ω•
+φ＝
，且ω•
+φ＝2π，
∴ω＝2，φ＝﹣
，∴f（x）＝2sin（2x﹣
），
可得表格应为：
x
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第153页（共397页）
ωx+φ
0
π
2π
Asin（ωx+φ）
0
2
0
﹣2
0
（2）根据五点法作图，作出函数的一个周期内的图象，
如图：
（3）根据函数的图象以及周期性可得它的减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈Z．
20．【解答】解：（1）y＝g（x）＝ln2x﹣4lnx+6 的定义域是[
，e3]，
则设t＝lnx∈[﹣1，3]，
则y＝s（t）＝t2﹣4t+6＝（t﹣2）2+2 在[﹣1，2]递减，在[2，3]递增，
故ymin＝s（2）＝2，
∵s（﹣1）＞s（3），则ymax＝s（﹣1）＝11；
（2）函数h（x）＝f（x2）+|x|＝2ln|x|+|x|，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∵h（﹣x）＝2ln|﹣x|+|﹣x|＝2ln|x|+|x|＝h（x），故h（x）是偶函数，
当x＞0 时，h（x）＝2lnx+x 在（0，+∞）连续不断，且单调递增，
又h（1）＝2ln1+1＝1＞0，h（
）＝﹣2+
＜0，
则函数h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，
由于函数h（x）是偶函数，则函数h（x）在（﹣∞，0）上也存在唯一的零点，
综上，函数h（x）在定义域内零点的个数是2 个．
21．【解答】解：（1）因为楼D 到楼B、C 的距离分别为600m 和400m，到楼A 的距离为1200m，
所以AD＝12 百米，BD＝6 百米，CD＝4 百米，
因为从楼D 看楼A、B 的视角为90°，则∠ADB＝90°，
则tan∠BAD＝
＝
，tan∠CAD＝
＝
，
所以tan∠BAC＝tan（∠BAD+∠CAD）＝
＝
＝1，
又0＜∠BAD+∠CAD＜π，即∠BAC∈（0，π），
所以∠BAC＝
，
则从楼A 看楼B，C 视角的大小为
；
（2）在Rt△ABD 和Rt△ACD 中，AB＝
＝6
，
AC＝
＝4
，
则在Rt△ABM 中，AM＝ABcosθ＝6
cosθ，
在Rt△ACN 中，AN＝ACcos（
﹣θ）＝4
cos（
﹣θ），
记矩形开发区AMPN 的面积为f（θ），
则f（θ）＝AM•AN＝4
cos（
﹣θ）×6
cosθ＝120
cosθcos（
﹣θ）；
又f（θ）＝120cosθ（cosθ+sinθ）＝60+60（sin2θ+cos2θ）＝60+60
sin（2θ+
）；
当2θ+
＝
时，即θ＝
时，矩形开发区域AMPN 的面积最大．
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22．【解答】解：（1）∵函数f（x）≤
∴3x+3
﹣x≤
，
即9•（3x）2﹣82×3x+9≤0，
即（9•3x﹣1）（3x﹣9）≤0
解得
≤3x≤9，
解得﹣2≤x≤2，
故不等式的解集为[﹣2，2]．
（2）∵函数f（x）的定义域为R，
∴f（﹣x）＝3
﹣x+3x＝f（x），
∴f（x）为偶函数，
（2）函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．
证明如下：在[0，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝
+
﹣
﹣
＝（
﹣
）•
∵0≤x1＜x2，
∴
﹣
＜0，
﹣1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．
（3）对任意x∈[﹣2，1]，不等式f（3x）≥mf2（x）恒成立，即33x+3
﹣3x≥m（3x+3
﹣x）2，
从而有（3x+3
﹣x）（32x+3
﹣2x+1）≥m（3x+3
﹣x）2 恒成立，
∵3x+3
﹣x＞0，
则等价于32x+3
﹣2x+1≥m（3x+3
﹣x）恒成立，
令t＝3x+3
﹣x，则32x+3
﹣2x＝t2﹣2，
由于f（x）为偶函数，由（2）可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，
则函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
∵{f（x）|x∈[﹣2，1]}＝{f（x）|x∈[0，2]}，
∴f（0）≤f（x）≤f（2），
∴2≤t≤
，
则原不等式等价于t2﹣3≥mt，t∈[2，
]，
即m≤t﹣
在t∈[2，
]上恒成立，
设g（t）＝t﹣
，则g（t）在[2，
]上为增函数，
∴g（t）≥g（2）＝
，
∴m≤
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2019-2020 学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）设集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{﹣1，1}，则A∩B＝（
）
A．{1}
B．{﹣1，1}
C．{﹣1，0}
D．{﹣1，0，1}
2．（5 分）sin
＝（
）
A．
B．
C．
D．
3．（5 分）若幂函数f（x）＝xn 的图象经过点（2，
），则f（4）＝（
）
A．﹣
B．
C．
D．2
4．（5 分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（
）
A．y＝|x|
B．y＝tanx
C．
D．y＝x3
5．（5 分）设向量
，且
，则m＝（
）
A．3
B．﹣2
C．1 或﹣2
D．1 或3
6．（5 分）为了得到函数
的图象，只需将函数y＝sin2x 的图象上每一点（
）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
7．（5 分）
的值为（
）
A．﹣1
B．
C．3
D．﹣5
8．（5 分）如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
9．（5 分）若函数f（x）＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则b﹣a 的最小值为（
）
A．
B．3
C．2
D．
10．（5 分）已知函数
，其中M，N 为非空集合，且满足M∪N＝R，则下列结论中一定正确的
是（
）
A．函数f（x）一定存在最大值
B．函数f（x）一定存在最小值
C．函数f（x）一定不存在最大值
D．函数f（x）一定不存在最小值
二、填空题（本题共6 小题，每小题5 分，共30 分）
11．（5 分）若扇形的圆心角为
（弧度），弧长为2π（单位：cm），则扇形面积为
（单位：cm2）．
12．（5 分）函数
定义域为
．
13．（5 分）若函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示，则函数的解析
式f（x）＝
．
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14．（5 分）如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B
在直径上，顶点C，D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为
（单位：cm2）．
15．（5 分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是CD 边上靠近D 的三等分点．若AB＝
3，BC＝2，
，则
＝
．
16．（5 分）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a+2，g（x）＝2x+1，若关于x 的不等式f（x）＞g（x）恰有两个整数解，
则实数a 的取值范围是
．
三、解答题（本大题共6 小题，计70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10 分）已知全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|x﹣a＞0}．
（1）若a＝2，求A∪B，A∩∁UB；
（2）若A∩B＝A，求实数a 的取值范围．
18．（12 分）已知向量
，
，
（1）若
，求
的值；
（2）若
，x∈（0，π），求sinx﹣cosx 的值．
19．（12 分）已知
，其中α∈（0，π），β∈（0，π）．
（1）求tanβ的值；
（2）求α+β的值．
20．（12 分）已知函数
（1）求该函数的最小正周期及对称中心；
（2）求该函数在[0，π]上的单调增区间．
21．（12 分）已知函数
是定义在R 上的奇函数，
（1）求实数m 的值；
（2）如果对任意x∈R，不等式
恒成立，求实数a 的取值范围．
22．（12 分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c 满足下列3 个条件：①f（x）的图象过坐标原点；②对于任意x∈R
都有
；
③对于任意x∈R 都有f（x）≥x﹣1，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）＝f（x）+x|x﹣4m|﹣x2+5x，（其中m 为参数）
①求函数g（x）的单调区间；
②设m＞1，函数g（x）在区间（p，q）上既有最大值又有最小值，请写出实数p，q 的取值范围．
（用m 表示出p，q 范围即可，不需要过程）
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参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：∵集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{﹣1，1}，
∴A∩B＝{1}．
故选：A．
2．【解答】解：sin
＝sin（π+
）＝﹣sin
＝﹣
，
故选：C．
3．【解答】解：将点的坐标带入函数，
得2n＝
＝
，
∴n＝﹣
，
∴f（4）＝
＝
．
故选：B．
4．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝|x|＝
，为偶函数，不符合题意；
对于B，y＝tanx，是正切函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；
对于C，y＝（
）x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于D，y＝x3，为幂函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数，符合题意；
故选：D．
5．【解答】解：
；
∵
；
∴
；
解得m＝1 或﹣2．
故选：C．
6．【解答】解：将函数y＝sin2x 的图象上每一点向左平移
个单位长度，
可得函数y＝sin2（x+
）＝2sin（2x+
）的图象，
故选：B．
7．【解答】解：原式＝lg2+lg5﹣2﹣2+2＝lg10﹣2＝1﹣2＝﹣1．
故选：A．
8．【解答】解：∵点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，
∴
，
∴角θ所在的象限是第二象限．
故选：B．
9．【解答】解：函数f（x）＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，
由f（1）＝0，f（4）＝f（
）＝2，
可得a＝
，b＝1 时，b﹣a 取得最小值1﹣
＝
．
故选：A．
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10．【解答】解：∵函数
，其中M，N 为非空集合，且满足M∪N＝R，
∴由y＝x3 的值域为（﹣∞，+∞），
y＝x2 的值域为[0，+∞），
且M∪N＝R，
若M＝（0，+∞），N＝（﹣∞，0]，
则f（x）的最小值为0，故D 错；
若M＝（﹣∞，0），N＝[0，+∞），
则f（x）无最小值，故B 错；
由M∪N＝R，可得图象无限上升，
则f（x）无最大值．
故选：C．
二、填空题（本题共6 小题，每小题5 分，共30 分）
11．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，
则由l＝rα，可得：2π＝r•
，可得：r＝6，
扇形的面积为S＝
lr＝
＝6π．
故答案为：6π．
12．【解答】解：由
，解得1≤x＜3 且x≠2．
∴函数
定义域为[1，2）∪（2，3）．
故答案为：[1，2）∪（2，3）．
13．【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象，
可得A＝2，
•
＝
+
，∴ω＝2．
再根据五点法作图，可得2•（﹣
）+φ＝0，可得φ＝
，故f（x）＝2sin（2x+
），
故答案为：2sin（2x+
）．
14．【解答】解：如下图所示，
连接OC，设|OB|＝x（0＜x＜4），则
，|AB|＝2|OB|＝2x，
所以，由基本不等式可得，矩形
ABCD
的面积为
＝
，
当且仅当16﹣x2＝x2 时，即当
时，等号成立，
故答案为：16．
15．【解答】解：∵平行四边形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是CD 边上靠近D 的三等分点，
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∴
＝
＝
，
＝
＝
，
∵AB＝3，BC＝2，
，
∴
•
＝
＝
＝﹣2
∴
＝﹣3，
则
＝
＝
＝
＝
，
故答案为：
．
16．【解答】解：由函数f（x）＝﹣x2+ax+a+2，g（x）＝2x+1 可得f（x），g（x）的图象均过（﹣1，1），且f（x）
的对称轴为x＝
当a＞0 时，对称轴大于0，由题意可得f（x）＞g（x）恰有0，1 两个整数解，
可得
，即有
，解得
＜a
，
当a＜0 时，对称轴小于0，由题意可得f（x0＞g（x）恰有﹣3，﹣2 两个整数解，
可得
，即有
，解得﹣
≤a﹣
，
综上可得a 的取值范围是
≤a
或﹣
≤a﹣
，
故答案为：
≤a
或﹣
≤a﹣
．
三、解答题（本大题共6 小题，计70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x＞a}；
（1）当a＝2 时，B＝{x|x＞2}，A∪B＝{x|x≥﹣1}，∁UB＝{x|x≤2}；
∴A∩∁UB＝{x|﹣1≤x≤2}；
（2）∵A∩B＝A；
∴A⊆B；
∴a＜﹣1；
∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣1）．
18．【解答】解：（1）因为
，
，
，
所以4sinx+3cosx＝0，即
，
显然cosx≠0，否则若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x+cos2x＝1 矛盾，
所以
．
（2）因为
，
，
，
所以
．即
．
所以
，
因为x∈（0，π），所以sinx＞0，又sinxcosx＜0，所以cosx＜0，所以sinx﹣cosx＞0，
所以
．
19．【解答】解：（1）因为
，α∈（0，π），
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所以
……（2 分）
所以
……（4 分）
所以
，……（6 分）
（2）
……（8 分）
因为
，α∈（0，π），所以
，
因为
，β∈（0，π），所以
，
所以
……（10 分）
所以
……（12 分）
20．
【解答】解：
（1）∵
＝
＝
＝
．…（4 分）
所以，该函数的最小正周期
．…（6 分）
令
，则
，所以对称中心为
．…（8 分）
（2）令
，即
．
当k＝0 时，
，解得
．
当k＝1 时，
，解得
，
所以，函数在[0，π]上单增区间是[
]，
．…（14 分）
21．【解答】解：（1）因为f（x）是定义在R 上的奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），即
，
即2m﹣2＝0，即m＝1．
（2）
，
任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝
＝
，
因为x1＜x2，所以
，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以函数f（x）在R 上是增函数．
因为
，且f（x）是奇函数．
所以
，
因为f（x）在R 上单调递增，所以
，
即
对任意x∈R 都成立，
由于﹣cos2x﹣4sinx+7＝（sinx﹣2）2+2，其中﹣1≤sinx≤1，
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所以（sinx﹣2）2+2≥3，即最小值为3．
所以
，
即
，解得
，
由
，得
．
故实数a 的取值范围
．
22．【解答】解：（1）因为f（0）＝0，所以c＝0．
因为对于任意x∈R 都有
，
所以对称轴为
，即
，即b＝﹣a，所以f（x）＝ax2﹣ax，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2 分）
又因为f（x）≥x﹣1，所以ax2﹣（a+1）x+1≥0 对于任意x∈R 都成立，
所以
，即
，所以a＝1，b＝﹣1．
所以f（x）＝x2﹣x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4 分）
（2）g（x）＝x|x﹣4m|+4x，
当x≥4m 时，g（x）＝x2+（4﹣4m）x＝[x﹣（2m﹣2）]2﹣（2m﹣2）2
若2m﹣2＞4m，即m＜﹣1，则g（x）在（4m，2m﹣2）上递减，在（2m﹣2，+∞）上递增，
若2m﹣2≤4m，即m≥﹣1，则g（x）在（4m，+∞）上递增，
当x＜4m 时，g（x）＝﹣x2+（4+4m）x＝﹣[x﹣（2m+2）]2+（2m+2）2，
若2m+2＜4m，即m＞1，则g（x）在（﹣∞，2m+2）上递增，在（2m+2，4m）上递减，
若2m+2≥4m，即m≤1，则g（x）在（﹣∞，4m）上递增，
综上得：
当m＞1 时，g（x）的增区间为（﹣∞，2m+2），（4m，+∞），减区间为（2m+2，4m）；
当m＜﹣1 时，g（x）的增区间为（﹣∞，4m），（2m﹣2，+∞），减区间为（4m，2m﹣2）；
当﹣1≤m≤1 时，g（x）的增区间为（﹣∞，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）
（3）
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）
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2019-2020 学年江苏省盐城市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把
正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（5 分）下列四个集合中，是空集的是（
）
A．{x|x+3＝3}
B．{（x，y）|y2＝﹣x2，x，y∈R}
C．{x|x2﹣x+1＝0，x∈R}
D．{x|x2≤0}
2．（5 分）若函数y＝loga（x+b）（a＞0，a≠1）的图象过两点（﹣1，0）和（0，1），则（
）
A．a＝2，b＝2
B．a＝3，b＝2
C．a＝2，b＝1
D．a＝2，b＝3
3．（5 分）下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（
）
A．y＝|x|
B．y＝3﹣x
C．y＝
D．y＝﹣x2+4
4．（5 分）向量与不共线，若
与
平行，则m 等于（
）
A．﹣2
B．2
C．
D．
5．（5 分）已知
，则sin2x 的值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）函数y＝|x2﹣1|与y＝a 的图象有4 个交点，则实数a 的取值范围是（
）
A．（0，+∞）
B．（﹣1，1）
C．（0，1）
D．（1，+∞）
7．（5 分）设f（x）＝3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8＝0 在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）
＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（
）
A．（1，1.25）
B．（1.25，1.5）
C．（1.5，2）
D．不能确定
8．（5 分）要得到函数y＝sinx 的图象，只需将函数
的图象（
）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向左平移
个单位
9．（5 分）已知
，
，那么cosα﹣sinα的值是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）已知向量＝（cosθ，sinθ），向量＝（
，﹣1）则|2 ﹣|的最大值，最小值分别是（
）
A．4
，0
B．4，4
C．16，0
D．4，0
11．（5 分）已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y＝f（x）又是减函数，且f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0，则a 的取值范
围是（
）
A．
B．
C．
D．（﹣2，3）
12．（5 分）P 是△ABC 所在平面上一点，若
，则P 是△ABC 的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位
置上．）
13．（5 分）已知θ的终边过点P（﹣12，5），则cosθ＝
．
14．（5 分）已知向量＝（1，2），＝（﹣2，3），＝（4，1），且
，则m+n＝
．
15．（5 分）已知函数f（x）＝
，若f（x0）≥1，则x0 的取值范围为
．
16．（5 分）设向量
满足
，若
，则
的值
是
．
三、解答题（本大题共6 小题，共计80 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．）
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17．（10 分）已知0＜α＜
＜β＜π，tan
＝
，cos（β﹣α）＝
．
（1）求sinα的值；
（2）求β的值．
18．（12 分）（1）已知| |＝4，| |＝3，（2 ﹣3 ）•（2 + ）＝61，求与的夹角θ；
（2）设
＝（2，5），
＝（3，1），
＝（6，3），在
上是否存在点M，使
，若存在，求出点M
的坐标，若不存在，请说明理由．
19．（12 分）已知函数
的值域为集合A，关于x 的不等式
的
解集为B，集合
，集合D＝{x|m+1≤x＜2m﹣1}（m＞0）
（1）若A∪B＝B，求实数a 的取值范围；
（2）若D⊆C，求实数m 的取值范围．
20．（12 分）已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+2
sin2ωx﹣
（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值及函数f（x）的单调减区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移
个单位，再向上平移1 个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g
（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10 个零点，求b 的最小值．
21．（12 分）一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC＝BD＝1 米．
（1）设∠BOD＝θ，试将L 表示为θ的函数；
（2）求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义．
22．（12 分）已知函数
（1）求函数f（x）的反函数f
﹣1（x）；
（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说
明理由；
（3）若方程
的三个实数根x1、x2、x3 满足：x1＜x2＜x3，且x3﹣
x2＝2（x2﹣x1），求实数a 的值．
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2019-2020 学年江苏省盐城市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把
正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．【解答】解：∵x+3＝3，∴x＝0，A＝{0}；A 不是空集，A 不正确．
∵y2＝﹣x2，x，y∈R∴x＝0，y＝0；B＝{（0，0）}；B 不是空集，B 不正确．
∵x2﹣x+1＝0，x∈R，△＜0，∴C＝∅；C 是空集，正确．
∵x2≤0∴x＝0；D＝{0}．D 不是空集，D 不正确．
故选：C．
2．【解答】解：∵函数y＝loga（x+b）（a＞0，a≠1）的图象过两点（﹣1，0）和（0，1），
∴loga（﹣1+b）＝0，loga（0+b）＝1
∴a＝2，b＝2
故选：A．
3．【解答】解：由题意可知：
对A：y＝|x|＝
，易知在区间（0，1）上为增函数，故正确；
对B：y＝3﹣x，是一次函数，易知在区间（0，1）上为减函数，故不正确；
对C：y＝
，为反比例函数，易知在（﹣∞，0）和（0，+∞）为单调减函数，所以函数在（0，1）上为减函数，
故不正确；
对D：y＝﹣x2+4，为二次函数，开口向下，对称轴为x＝0，所以在区间（0，1）上为减函数，故不正确；
故选：A．
4．【解答】解：∵向量与不共线，且
与
平行，
∴存在实数λ，使得
＝λ（
）＝
﹣2
，
∴
，即m＝
．
故选：D．
5．【解答】解：法1：由已知得
，
两边平方得
，求得
；
法2：令
，则
，
所以
．
故选：D．
6．【解答】解：函数y＝|x2﹣1|与y＝a 的图象有4 个交点，由图可知：
实数a 的取值范围是：0＜a＜1，
故选：C．
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7．【解答】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，
由零点存在定理，得，
∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．
故选：B．
8．【解答】解：函数y＝sinx 化为y＝cos（x﹣
），要得到此函数的图象，
只需将函数
的图象向右平移
个单位，得到
＝cos（x﹣
）＝sinx．
故选：C．
9．【解答】解：已知
，
，∴α＝π+
，那么cosα﹣sinα＝cos（π+
）﹣sin（π+
）
＝﹣cos
+sin
＝
，
故选：B．
10．【解答】解：2 ﹣＝（2cosθ﹣
，2sinθ+1），
|2 ﹣|＝
＝
，最大值为4，最小值为0．
故选：D．
11．【解答】解：∵函数是定义域为（﹣1，1）的奇函数
∴﹣f（x）＝f（﹣x）
又∵y＝f（x）是减函数，
∴不等式f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0 可化为：
f（a﹣3）＜﹣f（9﹣a2）
即f（a﹣3）＜f（a2﹣9）
即
解得a∈
故选：A．
12．【解答】解：∵
，
则由
得：
，∴PB⊥AC
同理PA⊥BC，
PC⊥AB，
即P 是垂心
故选：D．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位
置上．）
13．【解答】解：∵θ的终边过点P（﹣12，5），
∴x＝﹣12，y＝5，∴r＝13，
由任意角的三角函数的定义得cosα＝
＝﹣
．
故答案为：
．
14．【解答】解：∵
，
∴
，
解得：m＝2，n＝﹣1．
∴m+n＝1．
故答案为：1．
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15．【解答】解：∵f（x）＝
，又f（x0）≥1，
∴当x0≤0 时，
≥1＝30，
∴0≥x0≥﹣1；
当与x0＞0，log2x0≥1，
∴x0≥2．
综上所述，﹣1≤x0≤0 或x0≥2．
故答案为：﹣1≤x0≤0 或x0≥2
16．【解答】解：由+ + ＝0 得到＝﹣﹣，因为（﹣）⊥，⊥，
所以得：
解得• ＝• ，• ＝0，| |＝| |＝1，而
＝
＝
+
﹣2 • ＝1+1＝2，
所以
＝1+1+2＝4
故答案为4
三、解答题（本大题共6 小题，共计80 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．）
17．【解答】解：（1）∵tan
＝
，∴tanα＝
＝
＝
，
由
解得sinα＝
（sinα＝﹣
舍去）；
（2）由（1）知cosα＝
＝
，又0＜α＜
＜β＜π，∴β﹣α∈（0，π），
而cos（β﹣α）＝
，
∴sin（β﹣α）＝
＝
＝
，
于是sinβ＝sin[α+（β﹣α）]＝sinαcos（β﹣α）+cosαsin（β﹣α）＝
×
+
×
＝
．
又β∈（
，π），∴β＝
．
18．【解答】解：（1）∵（2 ﹣3 ）•（2 + ）＝61
∴
又∵| |＝4，| |＝3
∴• ＝﹣6．…3 分
∴
∴θ＝120°．…6 分
（2）设存在点M，且
∴
．…8 分
∵
∴
∴（2﹣6λ）（3﹣6λ）+（5﹣3λ）（1﹣3λ）＝0，…10 分
∴
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∴
∴存在M（2，1）或
满足题意．…16 分．
19．【解答】解：（1）因为f（x）在[
，4]上，单调递增，
∵f（
）＝
＝﹣2，f（4）＝log44＝1，
所以，A＝[﹣2，1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2 分）
又由关于x 的不等式
可得（2）
﹣3x﹣a＞2x，﹣3x﹣a＞x，即x＜﹣
，
所以，B＝（﹣∞，﹣
）．﹣﹣﹣﹣﹣（4 分）
又A∪B＝B，∴A⊆B．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5 分）
所以，﹣
＞1，a＜﹣4，即实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣4）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6 分）
（2）因为
，所以有
，所以﹣1＜x≤5，所以，C＝（﹣1，5]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8 分）
对于集合D＝{x|m+1≤x＜2m﹣1}（m＞0），若D⊆C，有：
①当m+1≥2m﹣1 时，即0＜m≤2 时，D＝∅，满足D⊆C．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）
②当
m+1＜2m﹣1 时，即m＞2 时，D≠∅，所以有：
，解得﹣2＜m≤3，又m＞2，2＜m≤3．﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13 分）
综上：由①②可得：实m 的取值范围为（0，3]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14 分）
20．【解答】解：（1）由题意得：f（x）＝2sinωxcosωx+2
sin2ωx﹣
＝sin2ωx﹣
cos2ωx＝2sin（2ωx
）
由最小正周期为π＝
，得ω＝1，
得f（x）＝2sin（2x
）
令2kπ+
≤2x﹣
≤2kπ+
，k∈Z．
整理得kπ+
≤x≤kπ+
，k∈Z，
所以函数f（x）的单调减区间是
，k∈Z．
（2）将函数f（x）的图象向左平移
个单位长度，再向上平移1 个单位长度，得到y＝2sin2x+1 的图象，
∴g（x）＝2sin2x+1．
令g（x）＝0，得x＝kπ+
或x＝kπ+
（k∈Z），
∴y＝g（x）在[0，π]上恰好有两个零点，
若y＝g（x）在[0，b]上至少有10 个零点，
则b 不小于第10 个零点的横坐标即可，
即b 的最小值为4π+
＝
．
21．【解答】解：（1）由题意知，∠OAC＝∠BOD＝θ，
∴AO＝
＝
，
BO＝
＝
，
将L 表示为θ的函数是
L＝AO+BO＝
+
＝
，其中θ∈（1，
）；
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（2）设x＝sinθ+cosθ＝
sin（θ+
），θ∈（0，
），
则x∈（1，
]；
所以sinθcosθ＝
，此时L（x）＝
，
任取x1、x2∈（1，
]，且x1＜x2，
则L（x1）﹣L（x2）＝
﹣
＝
；
因为x1、x2∈（1，
]，且x1＜x2，
所以（
﹣1）（
﹣1）＞0，x1x2（x1x2+1）＞0，
所以L（x1）﹣L（x2）＞0，即L（x）在x∈（1，
]上是单调减函数，
所以Lmin＝L（
）＝2
，
则L 最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过2
m，否则铁棒无法通过，
也就说能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为2
m．
22．【解答】解：（1）∵
∴当﹣1≤x＜0 时，f（x）＝﹣2x，且0＜f（x）≤2．
由y＝﹣2x，得
，互换x 与y，可得
．
当0≤x≤1 时，f（x）＝x2﹣1，且﹣1≤f（x）≤0．
由y＝x2﹣1，得
，互换x 与y，可得
．
∴
（2）函数图象上存在两点关于原点对称．
设点A（x0，y0）（0＜x0≤1）、B（﹣x0，﹣y0）是函数图象上关于原点对称的点，
则f（x0）+f（﹣x0）＝0，即
，
解得
，且满足0＜x≤1．
因此，函数图象上存在点
关于原点对称．
（3）令f（x）＝2
，解得x＝﹣
，
①当
时，有
，原方程可化为﹣4x﹣2ax﹣4＝0，
解得
，令
，
解得：
．
②当
时，
，原方程可化为
，化简得（a2+4）x2+4ax＝0，
解得
，
又
，∴
．
∴
．
由x3﹣x2＝2（x2﹣x1），得
，解得a＝﹣
（舍）或a＝
．
因此，所求实数
．
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2019-2020 学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5 分）函数y＝3sin（2x+
）的最小正周期是（
）
A．π
B．
C．
D．
2．（5 分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩B＝（
）
A．{﹣1，0}
B．{0，1}
C．{﹣1，0，1}
D．{0，1，2}
3．（5 分）幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，
），则α等于（
）
A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
4．（5 分）角α的终边经过点（3，﹣4），则cosα等于（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
5．（5 分）已知平面向量，的夹角为
，| |＝2，| |＝1，则
等于（
）
A．1
B．
C．﹣1
D．﹣
6．（5 分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（
）
A．y＝x
﹣2
B．y＝﹣2x
C．y＝log
D．y＝lgx
7．（5 分）设sinα＝
，α∈（
，π），则tanα的值为（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
8．（5 分）已知向量＝（1，﹣2），＝（1，1），＝﹣，＝+λ ，如果⊥，那么实数λ＝（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
9．（5 分）2002 年北京国际数学家大会会标，是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的，弦图用四个全等的
直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25 和1，直角三角形中
较大锐角为θ，则cos2θ等于（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
10．（5 分）将函数f（x）＝sin2x 的图象向左平移
个单位，再向上平移2 个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）
•g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则|x1﹣x2|的最大值为（
）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
11．（5 分）如图，在△ABC 中，∠A＝
，AB＝3，AC＝5，
＝
，
＝
，
＝
，则
•
的值
为（
）
A．
B．
C．﹣2
D．﹣
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12．（5 分）已知函数f（x）＝
，若函数g（x）＝[f（f（x））]2﹣（a+1）•f（f（x））+a
（a∈R）恰有8 个不同零点，则实数a 的取值范围是（
）
A．（0，1）
B．[0，1]
C．（0，+∞）
D．[0，+∞）
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．（5 分）函数f（x）＝log3（x﹣2）的定义域为
．
14．（5 分）（1
）0+（
）
+log2
等于
．
15．（5 分）
与
是夹角为120°的单位向量，则|
+2
|等于
．
16．（5 分）已知函数f（x）＝x|x|+4x+1，x∈R，若f（a）+f（a2﹣1）＜2，则实数a 的取值范围
．
三、解答题：本题共6 小题，共80 分．
17．（12 分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x﹣m＜5}，B＝{x|
＜2x＜4}．
（1）当m＝﹣1 时，求A∩（∁UB）．
（2）若A∪B＝A，求实数m 的取值范围．
18．（12 分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间．
19．（12 分）知点A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ），O 为坐标原点．
（1）若
∥
，求
的值；
（2）若（
+2
）•
＝1，求sinθ•cosθ的值．
（3）若|
|＝|
|，求
的值．
20．（12 分）如图，OPQ 是半径为2．圆心角为
的扇形，点A 在
上（异于点P，Q），过点A 作AB⊥OP，AC
⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB＝θ，四边形ACOB 的面积为S．
（1）求S 关于θ的函数关系式；
（2）当θ为何值时，S 有最大值，并求出这个最大值．
21．（16 分）已知函数f（x）＝a﹣
为奇函数．
（1）求a 的值；
（2）试判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对任意的t∈R，不等式f[t2﹣（m﹣2）t]+f（t2﹣m+1）＞0 恒成立，求实数m 的取值范围．
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22．（16 分）若函数f（x）和g（x）满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y＝f（x）﹣g（x）在区间[a，b]
上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上具有关系W．
（1）若f（x）＝lnx，g（x）＝sinx，判断f（x）和g（x）在[
]上是否具有关系W，并说明理由；
（2）若f（x）＝2|x﹣2|和g（x）＝mx2﹣1 在[1，4]上具有关系W，求实数m 的取值范围．
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参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．【解答】解：函数y＝3sin（2x+
）的最小正周期是
T＝
＝π．
故选：A．
2．【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，
∴A∩B＝{﹣1，0}，
故选：A．
3．【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，
），
∴2α＝
，
解得α＝﹣2．
故选：B．
4．【解答】解：∵角α的终边经过点（3，﹣4），则cosα＝
＝
，
故选：C．
5．【解答】解：由向量的数量积公式得：
＝| || |cosθ＝2×
＝
，
故选：B．
6．【解答】解：A 中函数在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
B 中函数在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
C 中函数在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
D 中函数y＝lgx 在定义域（0，+∞）上单调递增；故D 正确
故选：D．
7．【解答】解：sinα＝
，
∴cosα＝﹣
，
tanα＝
＝﹣
．
故选：B．
8．【解答】解：∵向量＝（1，﹣2），＝（1，1），＝﹣，＝+λ ，
∴＝（0，﹣3），＝（1+λ，﹣2+λ），
∵⊥，
∴
＝0﹣3（﹣2+λ）＝0，
解得λ＝2．
故选：C．
9．【解答】解：∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，
∴大正方形边长为5，小正方形的边长为1．
∴5sinθ﹣5cosθ＝1，
∴sinθ﹣cosθ＝
．
∴两边平方得：1﹣sin2θ＝
，
∴sin2θ＝
．
∵θ是直角三角形中较小的锐角，
∴
＜θ＜
．
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∴cos2θ＝﹣
＝﹣
．
故选：B．
10．【解答】解：将函数f（x）＝sin2x 的图象向左平移
个单位，再向上平移2 个单位，
得到g（x）＝sin2（x+
）+2＝sin（2x+
）+2 的图象，
若g（x1）•g（x2）＝9，则g（x1）＝g（x2）＝3．
∵x1，x2∈[﹣2π，2π]，∴2x+
∈[﹣
，
]，∴2x1+
＝
+2kπ，2x2+
＝
+2nπ，k，n∈Z．
故当2x1+
＝﹣
，2x2+
＝
时，|x1﹣x2|取得最大值为3π，
故选：C．
11．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则有A（0，0），
B（0，3），C（5，0），
由
＝
，
＝
，
＝
，
可得：F（0，
），E（3，0），D（
，
），
所以
＝（
，﹣
），
＝（
，
），
所以
•
＝﹣
×
+
＝﹣
，
故选：D．
12．【解答】解：由g（x）＝[f（f（x））]2﹣（a+1）•f（f（x））+a＝0 得[f（f（x））﹣1][f（f（x）﹣a]＝0，
则f（f（x））＝1 或f（f（x））＝a，
作出f（x）的图象如图，
则若f（x）＝1，则x＝0 或x＝2，
设t＝f（x），由f（f（x））＝1 得f（t）＝1，
此时t＝0 或t＝2，
当t＝0 时，f（x）＝t＝0，有两个根，当t＝2 时，f（x）＝t＝2，有1 个根，
则必须有f（f（x））＝a，（a≠1）有5 个根，
设t＝f（x），由f（f（x））＝a 得f（t）＝a，
若a＝0，由f（t）＝a＝0 得t＝﹣1，或t＝1，f（x）＝﹣1 有一个根，f（﹣x）＝1 有两个根，此时有3 个根，
不满足条件．
若a＞1，由f（t）＝a 得t＞2，f（x）＝t 有一个根，不满足条件．
若a＜0，由f（t）＝a 得﹣2＜t＜﹣1，f（x）＝t 有一个根，不满足条件．
若0＜a＜1，由f（t）＝a 得﹣1＜t1＜0，或0＜t2＜1 或，0＜t2＜1，
当﹣1＜t1＜0 时，f（x）＝t1，有一个根，当0＜t2＜1 时，f（x）＝t2，有3 个根，
当1＜t3＜2 时，f（x）＝t3，有一个根，此时有1+3+1＝5 个根，满足条件．
故0＜a＜1，
即实数a 的取值范围是（0，1），
故选：A．
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二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．【解答】解：要使f（x）＝log3（x﹣2）有意义，则：x﹣2＞0；
∴x＞2；
∴f（x）的定义域为（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．
14．【解答】解：原式＝
．
故答案为：3．
15．【解答】解：
＝1×1×cos120°＝﹣
，
∴（
+2
）2＝
+4
+4
＝1﹣2+4＝3．
∴|
+2
|＝
．
故答案为：
．
16．【解答】解：设g（x）＝x|x|+4x，x∈R，
则g（x）＝
，
又g（﹣x）＝（﹣x）|﹣x|+4（﹣x）＝﹣（x|x|+4x）＝﹣g（x），
∴g（x）为R 上的奇函数，且为增函数；
由f（x）＝g（x）+1，
∴不等式f（a）+f（a2﹣1）＜2 可化为g（a）+g（a2﹣1）＜0，
即g（a2﹣1）＜﹣g（a），
∴g（a2﹣1）＜g（﹣a），
∴a2﹣1＜﹣a，
a2+a﹣1＜0，
解得
＜a＜
．
∴a 的取值范围是（
，
）．
故答案为：（
，
）．
三、解答题：本题共6 小题，共80 分．
17．【解答】解：（1）当m＝﹣1 时，可得：A＝{x|﹣2＜x＜4}，
又B＝{x|2
﹣1＜2x＜22}＝{x|﹣1＜x＜2}，
所以∁UB＝
，
所以A∩（∁UB）＝
．
（2）由A∪B＝A，则B⊆A，
又A＝{x|m﹣1＜x＜m+5}，则有
，
解得：﹣3≤m≤0，
18．【解答】解：（1）从图象中可以得出，A＝2，周期为
，
从而可得T＝π，
，得ω＝2，
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故f（x）＝2sin（2x+φ），………（2 分）
代入点
，
，
由|φ|＜π，得
，或
，……（4 分）
由f（0）＝1，得
，
又由|φ|＜π，得
，或
，
综上，得
，
从而
．………………………（6 分）
（2）令
，得：
，…（10 分）
所以函数的单调增区间为
．……………………………（12 分）
19．【解答】解：（1）
，
因为
，有（﹣1）cosθ﹣1×2sinθ＝0，得cosθ＝﹣2sinθ，
则
，
（2）
，由
，得2sinθ+2cosθ＝1，
即
，所以
，
所以
，所以
，
（3）由
，可得
化简得：cosθ＝2sinθ，从而
，可得：
，
，
即
＝
，
20．【解答】解：（1）因为AB⊥OP，所以在Rt△OAB 中，AB＝OAsinθ＝2sinθ，OB＝OAcosθ＝2cosθ，
，…………………………（2 分）
因为
，所以
；
同理：
；……………（4 分）
从而S 关于θ的解析式为
S＝S△ABO+S△ACO＝sin2θ+sin（
﹣2θ），（0＜θ＜
）；…（6 分）（不写定义域扣1 分）
（2）化简函数
＝
＝
＝
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＝
＝
，………………………………………（10 分）
因为
，所以
，
故当
，即
时S 有最大值，最大值为
．
答：当θ为
时，面积S 有最大值，最大值为
．……………………（12 分）
21．【解答】解：（1）由于函数f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）；
∴a﹣
＝﹣a+
；
∴2a＝
；
∴a＝1．
（2）任意x1，x2∈R，且x1＜x2；
f（x1）﹣f（x2）＝1﹣
﹣1+
；
＝
＜0；
∵x1＜x2∴0＜
＜
∴
＞0，
所以，f（x1）＜f（x2）；
则f（x）为R 上的单调递增函数．
（3）因为f（x）＝1﹣
为奇函数，且在R 上为增函数；
所以由f（t2﹣（m﹣2）t）+f（t2﹣m+1）＞0 恒成立，
得到：t2﹣（m﹣2）t＞m﹣1﹣t2 对t∈R 恒成立；
化简后：2t2﹣（m﹣2）t﹣m+1＞0；
所以△＝（m﹣2）2+8（m﹣1）＜0；
∴﹣2﹣2
＜m＜﹣2+2
；
故m 的取值范围为：（﹣2﹣2
，﹣2+2
）．
22．【解答】解：（1）函数f（x）和g（x）在[1，3]上具有关系W．理由如下：
令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx﹣sinx，因为
，……（2 分）
………………………………（4 分）
所以
．又函数F（x）的图象在[1，3]上不间断，根据零点存在定理知，
函数F（x）在[1，3]上至少有一个零点，
所以函数f（x）和g（x）在[1，3]上具有关系W．……………………………………（6 分）
（2）令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣mx2+2|x﹣2|+1，
①当m≤0 时F（x）＞0 恒成立，
所以F（x）＝f（x）﹣g（x）在[1，4]上不存在零点；…………………………………（8 分）
②当m＞0 时，
当x∈[1，2]，二次函数的对称轴为
，且开口向下，二次函数在x∈[1，2]
为减函数，要使函数在[1，2]上有零点，则
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解得
．……………………………………………………………………（12 分）
若函数在[1，2]上没有零点，则
，
当x∈（2，4]时，函数F（x）＝﹣mx2+2x﹣3 的对称轴
，开口向下．
若
，则
，函数F（x）在（2，4]上是增函数，又F（2）＝﹣4m+1＞0
所以函数F（x）在（2，4]恒为正，则函数F（x）在（2，4]上无零点．…………………（14 分）
若
，则函数F（x）在（2，4]上为减函数．
此时F（2）＝﹣4m+1＜﹣11＜0，所以函数F（x）在（2，4]上恒为负，
所以函数F（x）在（2，4]上无零点．
综上，函数f（x）和g（x）在[1，4]上具有关系W，则
………………（16 分）
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2019-2020 学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位
置上．）
1．（5 分）已知集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{2，3}，则A∩（∁UB）＝
．
2．（5 分）函数y＝log2（2x+1）定义域
．
3．（5 分）已知扇形的圆心角为
，半径为6，则扇形的面积为
．
4．（5 分）若f（x）为幂函数，且满足
，则f（3）＝
．
5．（5 分）设A（1，3），B（﹣3，n），C（m+2，﹣1）．若
，则mn＝
．
6．（5 分）已知tanα＝2，则sin2α﹣2cos2α＝
．
7．（5 分）函数y＝f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）＝x2+ax，且f（2）＝12，则a＝
．
8．（5 分）将函数
图象上的所有点向左平移
个单位，再将各点横坐标缩短为原来的
，得
到函数g（x）的解析式为
．
9．（5 分）若方程7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2＝0 的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，则实数m
的取值范围为
．
10．（5 分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（﹣4）＝0，则不等式
的解集为
．
11．（5 分）已知
，则
＝
．
12．（5 分）已知函数
，其中a＞0 且a≠1，若f（x）的值域为[3，+∞），则实数a 的取值
范围是
．
13．
（5 分）如图，在四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且
，已知
，
＝﹣7，则BD＝
．
14．（5 分）已知函数f（x）＝log2（x+1），g（x）＝x|x﹣a|，（a＞0），若对任意x1∈[1，+∞），总存在唯一的x2∈[2，
+∞），使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a 的取值范围为
．
二、解答题（本大题共6 小题，共计90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．）
15．（14 分）设集合A＝
，B＝
．
（1）当A∪B＝B 时，求实数m 的取值范围；
（2）当A∩B≠∅时，求实数m 的取值范围．
16．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（1）若
∥
，且α∈（0，π），求角α的值；
（2）若
，求
的值．
17．（14 分）设向量，满足
，
．
（1）求
的值；
（2）求
与
夹角的正弦值．
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18．（16 分）已知
．
（1）求函数f（x）的最小值，并写出f（x）取得最小值时自变量x 的取值集合；
（2）若x∈[0，π]，求函数f（x）的单调增区间；
（3）当x∈[
，0]时，不等式mf（x）+4m≥f（x）恒成立，求实数m 的取值范围．
19．（16 分）已知甲、乙两个旅游景点之间有一条5km 的直线型水路，一艘游轮以xkm/h 的速度航行时（考虑到航
线安全要求20≤x≤50），每小时使用的燃料费用为
万元（k 为常数，且
），其他费用为每小时
万元．
（1）若游轮以30km/h 的速度航行时，每小时使用的燃料费用为
万元，要使每小时的所有费用不超过
万元，
求x 的取值范围；
（2）求该游轮单程航行所需总费用的最小值．
20．（16 分）已知函数
，a∈R，函数g（x）＝lnx．
（1）若f（x）的最大值为0，记m＝
，求g（m）的值；
（2）当a＝5 时，记不等式f（x）＞0 的解集为M，求函数
，x∈M 的值域（e 是自然对数的底
数）；
（3）当a＜1 时，讨论函数
的零点个数．
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2019-2020 学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位
置上．）
1．【解答】解：∁UB＝{1，4}；
∴A∩（∁UB）＝{1}．
故答案为：{1}．
2．【解答】解：由2x+1＞0，得x＞﹣
．
∴函数y＝log2（2x+1）定义域为
．
故答案为：
．
3．【解答】解：∵一扇形的圆心角为
，半径为6，
∴l＝
×6＝2π，
∴S＝
×2π×6＝6π．
故答案为：6π．
4．【解答】解：∵f（x）为幂函数，且满足
，
∴设f（x）＝xa，则
＝
＝4α＝2，
解得
，
∴f（x）＝
，
∴f（3）＝
．
故答案为：
．
5．【解答】解：
，
；
∵
；
∴
；
解得
；
∴mn＝15．
故答案为：15．
6．【解答】解：tanα＝2，则sin2α﹣2cos2α＝
＝
＝
，
故答案为：
．
7．【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）是奇函数，且f（2）＝12，
则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣12，
又由当x＜0 时，f（x）＝x2+ax，则f（﹣2）＝4﹣2a＝﹣12，
解可得a＝8；
故答案为：8．
8．【解答】解：将函数
图象上的所有点向左平移
个单位，
得图象所对应的解析式为：h（x）＝3sin[2（x+
）﹣
]＝3sin（2x+
），
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再将各点横坐标缩短为原来的
，
得到函数g（x）的解析式为：g（x）＝3sin（4x+
），
故答案为：g（x）＝3sin（4x+
）
9．【解答】解：设函数f（x）＝7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2，
∵方程7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2＝0 的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2），
∴
，∴
，即
，
则﹣4＜m＜﹣2，
即实数m 的取值范围是（﹣4，﹣2）；
故答案为：（﹣4，﹣2）．
10．【解答】解：根据题意，f（x）为偶函数，且f（﹣4）＝0，则f（4）＝0，
又由函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，则在区间（0，4）上，f（x）＞0，在（4，+∞）上，f（x）＜0，
又由函数f（x）为偶函数，则区间（﹣4，0）上，f（x）＞0，在（﹣∞，﹣4）上，f（x）＜0，
不等式
⇒
或
，
解可得：x＜﹣4 或2＜x＜4；
即不等式的解集为（﹣∞，﹣4）∪（2，4）；
故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（2，4）．
11．【解答】解：∵
，
∴3sinα＝
sinα﹣
cosα，
∴tanα＝
，
∵tan
＝
＝
，
∴tan
＝2﹣
，
∴
＝
＝
＝2
﹣4，
故答案为：2
﹣4．
12．【解答】解：函数函数
，
当0＜a＜1 时，x≤2 时，f（x）＝5﹣x≥3，
x＞2 时，f（x）＝ax+2a+2 递减，
可得2a+2＜f（x）＜a2+2a+2，
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f（x）的值域为[3，+∞），可得2a+2≥3，
解得
≤a＜1；
当a＞1 时，x≤2 时，f（x）＝5﹣x≥3，
x＞2 时，f（x）＝ax+2a+2 递增，
可得f（x）＞a2+2a+2＞5，
则f（x）的值域为[3，+∞）成立，a＞1 恒成立．
综上可得a∈[
，1）∪（1，+∞）．
故答案为：[
，1）∪（1，+∞）．
13．【解答】解：∵O 为BD 的中点；
∴
；
又
；
∴
；
∴
＝
，
；
∴
；
又
，
；
∴
；
∴
；
∴
；
∴BD＝6．
故答案为：6．
14．【解答】解：x1∈[1，+∞），f（x）＝log2（x+1），∴f（x1）∈[1，+∞），
g（x）＝
．
①当0＜a≤2 时，g（x2）在[2，+∞）上单调递增，∴g（2）＝4﹣2a≤1，a≥
，
∴
≤a≤2；
②当2＜a＜4 时，g（x2）在[2，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．
∴g（2）＝﹣4+2a＜1，a＜
，∴2＜a＜
；
③当a≥4 时，g（x2）在[2，
]上单调递增，在[
，a]上单调递减，
在[a，+∞）上单调递增．
∴g（
）＝﹣（
）2+
＜1，﹣2＜a＜2，不成立．
综上可知，
≤a＜
，
故答案为：[
，
）．
二、解答题（本大题共6 小题，共计90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．）
15．【解答】解：（1）∵
≤3x≤9，∴3
﹣3≤x≤32，∴﹣3≤x≤2，∴A＝[﹣3，2]，
∵
≤x≤16，∴log2
≤log2x≤log216，∴﹣2≤x≤4，
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∴m﹣2≤y≤m+4，∴B＝[m﹣2，m+4]，
∵A∪B＝B，∴A⊆B，
∴
，∴﹣2≤m≤﹣1，
∴实数m 的取值范围为[﹣2，﹣1]；
（2）若A∩B＝∅，则m﹣2＞2 或m+4＜﹣3，∴m＜﹣7 或m＞4，
∵A∩B≠∅，∴﹣7≤m≤4，
∴实数m 的取值范围为[﹣7，4]．
16．【解答】解：（1）根据题意得，
＝（cosα，sinα），
＝（﹣2，2），
∵
∥
，
∴2cosα+2sinα＝0，
∴tanα＝﹣1 又α∈（0，π），
∴α＝
．
（2）∵
•
＝
，
∴（cosα﹣2）cosα+sinα（sinα﹣2）＝
，
∴cosα+sinα＝
，
∴（cosα+sinα）2＝1+2sinαcosα＝
，
∴2sinαcosα＝﹣
，
∴原式＝
＝
＝2sinαcosα＝﹣
．
17．【解答】解：（1）∵向量，满足| |＝| |＝1，|3 ﹣|＝
．
∴
＝9+1﹣
，∴
．
因此
＝
＝15，
∴
＝
．
（2）设3 ﹣与+3 夹角为θ，
∵
＝
＝
＝
．
∴
＝
＝
．
∵θ∈[0，π]，∴
＝
．
∴3 ﹣与+3 夹角的正弦值为
．
18．【解答】解：（1）
．
＝4
sinxcosx﹣3cos2x﹣2
sinxcosx﹣sin2x+2．
＝
sin2x﹣
．
＝
sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣
）．
当2x﹣
＝2kπ﹣
，即x＝k
（k∈Z）时，f（x）取得最小值﹣4．
（2）令2kπ﹣
≤2x﹣
≤2kπ+
，（k∈Z）．
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解得k
≤x≤
（k∈Z）．
又x∈[0，π]，令k＝0，x∈
，令k＝1，x∈
．
所以函数在x∈[0，π]的单调增区间是
．
（3）当x∈
时，﹣2≤f（x）≤1．
于是4+f（x）＞0，mf（x）+4mf（x）≥f（x）．
等价于m≥
．
由﹣2≤f（x）≤﹣1，得
的最大值为
．
实数m 的取值范围m≥
．
19．【解答】解：（1）由题意x＝30 时，每小时使用的燃料费为
﹣k＝
，解得k＝
；
此时每小时的所有费用为
﹣
+
≤
，
化简得x2﹣41x+40≤0，
解得1≤x≤40；
又20≤x≤50，
∴20≤x≤40，
∴x 的取值范围是[20，40]；
（2）设该游轮单程航行所需总费用为y 万元，
则y＝
•（
﹣k+
）＝
﹣
+
（20≤x≤50），
令t＝
，则t∈[
，
]，
即y＝5t2﹣5kt+
；
由
≤k≤
，得对称轴t＝
∈[
，
]；
①若
＜
，即
≤k＜
，
则函数y＝5t2﹣5kt+
在[
，
]上单调递减，在[
，
]上单调递增；
故当t＝
，即x＝
时，y 取得最小值为ymin＝
；
②若
≥
，即
≤k≤
，
则函数y＝5t2﹣5kt+
在[
，
]上单调递减，
故当t＝
，即x＝20 时，y 取得最小值为ymin＝
；
综上所述，当
≤k＜
时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为
万元，
当
≤k≤
时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为
万元．
20．【解答】解：（1）∵函数
＝﹣（x﹣
）2+
﹣
的最大值为0，
∴
＝0，解得a＝
，
∴m＝log2
•lga＝log2
•lg
＝log210•lg2＝
＝1，
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∴g（m）＝g（1）＝0．
（2）当a＝5 时，f（x）＝﹣x2+5x﹣4＞0 的解集M＝（1，4），
函数y＝g（
）•g（ex）＝ln
•ln（ex）＝（lnx﹣3）（lnx+1）＝ln2x﹣2lnx﹣3，
当x∈（1，4）时，令t＝lnx，则y＝t2﹣2t﹣3，t∈（0，2ln2），
∴y 的值域为[﹣4，﹣3）．
（3）h（x）＝
＝
．
①∵g（1）＝0，∴1 为g（x）的一个零点，
f（1）＝a﹣1﹣
（a﹣1）2，∵a＜1，∴f（1）＜0，
∴h（1）＝g（1）＝0，即1 为h（x）的零点．
②当x＞1 时，g（x）＞0，h（x）≥g（x）＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上无零点．
③当0＜x＜1 时，g（x）＜0，g（x）在（0，1）上无零点，
∴h（x）在（0，1）上的零点个数是f（x）在（0，1）上的零点个数，
∵f（0）＝﹣
（a﹣1）2＜0，f（1）＝a﹣1﹣
（a﹣1）2＜0，△＝2a﹣1．
i）当2a﹣1＜0，即a＜
时，函数f（x）无零点，即h（x）在（0，1）上无零点．
ii）当2a﹣1＝0，即a＝
时，函数f（x）的零点为
，
即h（x）在（0，1）上有零点
．
iii）当2a﹣1＞0，即
时，f（
）＝
＞0，
函数f（x）在（0，1）上有两个零点，即函数h（x）在（0，1）上有两个零点．
综上所述，当a＜
时，h（x）有1 个零点，
当a＝
时，h（x）有2 个零点．
当
时，h（x）有3 个零点．
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2019-2020 学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位
置上．）
1．（5 分）已知集合A＝{1，2，5}，B＝{2，3}，则A∩B＝
．
2．（5 分）函数f（x）＝log0.2（4﹣x）的定义域为
．
3．（5 分）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tanα＝
．
4．（5 分）已知向量
＝（3，5），
＝（4，1），则向量
的坐标为
．
5．（5 分）已知cosα＝
，且α是第四象限角，则cos（
+α）的值是
．
6．（5 分）下列函数中，定义域是R 且在定义域上为减函数的是
．
①y＝e
﹣x；②y＝x；③y＝lnx；④y＝|x|．
7．（5 分）已知函数f（x）＝
，若f（x）＝3，则x＝
．
8．（5 分）已知函数f（x）＝3x+x﹣5 的零点在区间（n，n+1）内，则整数n＝
．
9．（5 分）计算：
＝
．
10．（5 分）把函数y＝sinx 的图象向右平移
个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的
倍（纵
坐标不变），则得到的图象的函数解析式为
．
11．（5 分）某次帆船比赛LOGO（如图1）的设计方案如下：在Rt△ABO 中挖去以点O 为圆心，OB 为半径的扇形
BOC（如图2），使得扇形BOC 的面积是Rt△ABO 面积的一半．设∠AOB＝α（rad），则
的值为
．
12．（5 分）如图，在长方形ABCD 中，M，N 分别为线段BC，CD 的中点，
若
，λ1，λ2∈R，则λ1+λ2 的值为
．
13．（5 分）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB＝6cm，AD＝10cm，沿着过C 点的直线将矩形右下角折起，使得右
下角顶点B 落在矩形的左边AD 上．设折痕所在的直线与AB 交于M 点，记翻折角∠BCM 为θ，则tanθ的值
是
．
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14．（5 分）已知函数
，设函数g（x）＝f（﹣x）﹣f（x）+k（k∈R），若函数g（x）在R
上恰有两个不同的零点，则k 的值为
．
二、解答题（本大题共6 小题，共计90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．）
15．（14 分）设全集U＝R，已知集合A＝{1，2}，B＝{x|0≤x≤3}，集合C 为不等式组
的解集．
（1）写出集合A 的所有子集；
（2）求∁UB 和B∪C．
16．（14 分）设向量＝（cosx，1），＝（
，4sinx）．
（1）若⊥，求tanx 的值；
（2）若（+ ）∥，且x∈[0，
]，求向量的模．
17．（14 分）已知函数f（x）是定义在R 上的偶函数，当x≤0 时，f（x）＝log2（1﹣x）．
（1）当x＞0 时，求函数f（x）的表达式；
（2）记集合M＝{x|f（x）＝log2（|x﹣1|+1）}，求集合M．
18．（16 分）某校高一数学研究小组测量学校的一座教学楼AB 的高度．已知测角仪器距离地面的高度为h 米，现
有两种测量方法：
方法I（如图1）①用测角仪器，对准教学楼的顶部A，计算并记录仰角α（rad）；②后退a 米，重复①中的操
作，计算并记录仰角β（rad）．
方法II（如图2）用测角仪器，对准教学楼的顶部A 底部B，测出教学楼的视角∠ACB＝γ（rad），测试点与教学
楼的水平距离b 米．
请你回答下列问题：
（1）用数据α，β，a，h 表示出教学楼AB 的高度；
（2）按照方法II，用数据γ，b，h 表示出教学楼AB 的高度．
19．（16 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（3，4），B（5，12）．
（1）求
的值；
（2）若∠AOB 的平分线交线段AB 于点D，求点D 的坐标；
（3）在单位圆上是否存在点C，使得
＝64？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（16 分）定义：若对定义域内任意x，都有f（x+a）＞f（x）（a 为正常数），则称函数f（x）为“a 距”增函数．
（1）若f（x）＝2x﹣x，x∈（0，+∞），试判断f（x）是否为“1 距”增函数，并说明理由；
（2）若
，x∈R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围；
（3）若
，x∈（﹣1，+∞），其中k∈R，且为“2 距”增函数，求f（x）的最小值．
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2019-2020 学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位
置上．）
1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，5}，B＝{2，3}，
∴A∩B＝{2}．
故答案为：{2}．
2．【解答】解：要使函数f（x）有意义，则：4﹣x＞0；
∴x＜4；
∴f（x）的定义域为：（﹣∞，4）．
故答案为：（﹣∞，4）．
3．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），
∴tanα＝
．
故答案为：﹣2．
4．【解答】解：
＝（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
5．【解答】解：cosα＝
，且α是第四象限角，
所以sinα＝﹣
＝﹣
，
则cos（
+α）＝﹣sinα＝
．
故答案为：
．
6．【解答】解：y＝e
﹣x 在R 上是减函数，y＝x 在R 上是增函数，y＝lnx 的定义域不是R，y＝|x|在R 上没有单调性；
∴定义域是R 且在定义域上为减函数的是①．
故答案为：①．
7．【解答】解：∵函数f（x）＝
，f（x）＝3，
∴当x≤﹣1 时，f（x）＝x+2＝3，解得x＝1，不合题意；
当﹣1＜x＜2 时，f（x）＝x2＝3，解得x＝±
（舍负），
当x≥2 时，f（x）＝2x＝3，解得x＝
，不舍题意．
综上，x＝
．
故答案为：
．
8．【解答】解：方程3x+x﹣5＝0 的解就是函数f（x）＝3x+x﹣5 的零点，
可知f（x）＝3x+x﹣5 在R 上单调递增，
又∵f（1）＝3+1﹣5＜0，f（2）＝9+3﹣5＞0，
∴f（1）f（2）＜0，
又∵f（x）在R 上连续，
根据零点存在定理，
∴f（x）在（1，2）上有零点，
故n＝1，
故答案为1．
9．【解答】解：原式＝
．
故答案为：7．
10．【解答】解：由题意，将函数y＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动
个单位长度，
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利用左加右减，可得所函数图象的解析式为y＝sin（x﹣
），
再把所得各点的横坐标伸长到原来的
倍（纵坐标不变），利用x 的系数变为原来的2 倍进行横向变换，
可得图象的函数解析式是y＝sin（2x﹣
）．
故答案为：y＝sin（2x﹣
）．
11．【解答】解：设圆的半径为r，∠AOB＝α，
∴
＝tanα，
∴AB＝rtanα，
∴S△OAB＝
AB•OB＝
r2tanα
∴S 扇形＝
r•（αr）＝
αr2，
∵扇形BOC 的面积是Rt△ABO 面积的一半，
∴2×
αr2＝
r2tanα，
∴
＝
，
故答案为：
．
12．【解答】解：根据题意得，
＝
＝
（
﹣
）＝
﹣
＝
+
＝
+
；
＝
+
＝
∴
＝λ1
+λ2
＝λ1（
）+λ2（
﹣
）＝（λ1﹣
λ2）
+（
+λ2）
∴λ1﹣
λ2＝﹣
+λ2＝
解得λ1＝﹣
；
λ2＝
∴λ1+λ2＝
故答案为
．
13．【解答】解：根据矩形纸片ABCD，
如图所示：
设MB＝x，BC＝CE＝10，CD＝6
利用勾股定理：DE2＝EC2﹣DC2
解得：DE＝8，
所以：AE＝2，AM＝6﹣x，
进一步利用勾股定理：AM2+AE2＝EM2，
整理：22+（6﹣x）2＝x2，
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解得：x＝
，
故：tan
．
故答案为：
14．【解答】解：函数
，
当x＝0 时，f（0）＝1，f（﹣x）﹣f（x）＝0；
当x＞0 时，﹣x＜0，f（﹣x）﹣f（x）＝﹣x+1﹣（x﹣1）2＝x﹣x2；
当x＜0 时，﹣x＞0，f（﹣x）﹣f（x）＝（﹣x﹣1）2﹣（x+1）＝x2+x；
作出函数y＝f（﹣x）﹣f（x）的图象，
由函数g（x）在R 上恰有两个不同的零点，可得f（﹣x）﹣f（x）＝﹣k 有两个不等实根．
由图象可得﹣k＝±
，
即有k＝±
时，两图象有两个交点，
故答案为：±
．
二、解答题（本大题共6 小题，共计90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．）
15．【解答】解：（1）A 的所有子集为：∅，{1}，{2}，{1，2}；
（2）C＝{x|﹣1≤x≤2}，∁UB＝{x|x＜0，或x＞3}；
∴B∪C＝{x|﹣1≤x≤3}．
16．【解答】解：（1）∵
；
∴
；
∴
；
（2）
；
∵
；
∴
；
∴
；
∴
；
∵
；
∴
；
∴
；
∴
；
∴
；
∴
；
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∴
．
17．【解答】解：（1）∵f（x）是R 上的偶函数，且x≤0 时，f（x）＝log2（1﹣x）；
∴设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）＝log2（1+x）＝f（x）；
∴
；
（2）∵f（x）＝log2（|x﹣1|+1）；
∴①当x≤0 时，|x﹣1|+1＝1﹣x+1＝2﹣x；
∴log2（1﹣x）＝log（2﹣x）；
∴1﹣x＝2﹣x，显然x∈∅；
②当x＞0 时，log2（1+x）＝log2（|x﹣1|+1）；
∴1+x＝|x﹣1|+1；
∴x＝|x﹣1|；
∴x2＝x2﹣2x+1；
解得x＝
；
综上得，
．
18．【解答】解：（1）由题意可知，tanα＝
，tanβ＝
，
所以，CE＝
，DE＝
，
因为，DE﹣CE＝a，
所以，
，AE＝
＝
，
所以教学楼AB 的高度为：AE+h＝
+h．
（2）过C 作CE⊥AB，垂足为E，则tan∠BCE＝
＝
，
所以tan∠ACE＝tan（∠ACB﹣∠BCE），
因为∠ACB＝γ，
所以tan∠ACE＝tan（∠ACB﹣∠BCE）＝
＝
＝
，
所以，AE＝CEtan∠ACE＝b×
，
所以教学楼AB 的高度为b×
+h＝
．
19．【解答】解：（1）∵
＝（3，4），
＝（5，12）
∴
＝3×5+4×12＝63；
（2）设点D（a，b），则
＝（a﹣3，b﹣4），
＝（2，8），
∵点D 在直线AB 上，∴
∥
∴8（a﹣3）＝2（b﹣4），∴4a﹣b＝8，①
再设∠AOD＝∠BOD＝θ，
∵cosθ＝
＝
cosθ＝
＝
∴13（3a+4b）＝5（5a+12b），∴a＝
b，②
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第193页（共397页）
由①②得a＝
，b＝
，∴D（
，
）；
（3）假设单位圆上是存在点C（cosα，sinα）满足条件，
∵
＝（3﹣cosα，4﹣sinα）•（5﹣cosα，12﹣sinα）
＝sin2α+cos2α﹣8cosα﹣16sinα+63
＝64﹣8（cosα+2sinα）
∴cosα+2sinα＝0，∴cosα＝﹣2sinα，
又∵sin2α+cos2α＝1，∴sin2α＝
，
∴
或
∴单位圆上存在点C（
，﹣
）或C（﹣
，
）满足题意．
20．【解答】解：（1）对任意的x∈（0，+∞），f（x+1）﹣f（x）＝（2x+1﹣x﹣1）﹣（2x﹣x）＝2x﹣1，
∵x＞0，2＞1
∴2x﹣1＞0，
∴f（x+1）﹣f（x）＞0，
故f（x）是“1 距”增函数；
（2）∵f（x+a）﹣f（x）＝（x+a）3﹣
（x+a）+4﹣x3+
x﹣4＝3x2a+3xa2+a3﹣
a，
又f（x）为“a 距”增函数，
∴3x2a+3xa2+a3﹣
a＞0 恒成立，
∵a＞0，
∴3x2+3xa+a2﹣
＞0 恒成立，
∴△＝9a2﹣12（a2﹣
）＜0，
∴a2＞1
∴a＞1；
（3）∵f（x）＝2x2+k|x|，x∈（﹣1，+∞），其中k∈R，且为“2 距”增函数，
∴当x＞﹣1 时，f（x+2）＞f（x）恒成立，
∵y＝2x 增函数，
∴（x+2）2+k（x+2）＞x2+k|x|
当x≥0 时，（x+2）2+k（x+2）＞x2+kx，即4x+2+2k＞恒成立，
∴4+2k＞0，解得k＞﹣2，
当﹣1＜x＜0 时，（x+2）2+k（x+2）＞x2﹣kx，即4x+4+2kx+2k＞恒成立，
∴（x+1）（k+2）＞0，解得k＞﹣2，
综上所述k＞﹣2，
又y＝x2+k|x|＝（|x|+
）2﹣
，
∵x＞﹣1，
∴|x|≥0，
当k≥0 时，|x|＝0，则y＝（|x|+
）2﹣
的最小值为0，即函数f（x）的最小值为1，
当﹣2＜k＜0 时，即|x|＝﹣
，函数y＝（|x|+
）2﹣
的最小值﹣
，函数f（x）的最小值为
，
综上所述f（x）min＝
．
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2019-2020 学年江苏省南通市通州区、海门市、启东市高一（上）期末数学
试卷
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共计40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴的非负半轴为始边，绕坐标原点O 按逆时针方向旋转3 弧度后所得角
的终边在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（5 分）已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{﹣1，0，1，3，6}，则A∩B 中的元素个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（5 分）在下列区间上，方程x3＝3x﹣1 无实数解的是（
）
A．（﹣2，﹣1）
B．（﹣1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）
4．（5 分）下列函数是周期函数的是（
）
A．y＝x0
B．y＝sin|x|
C．y＝cosx（x≥0）
D．y＝
5．（5 分）对于定义在R 上的函数f（x），给出下列四种说法：
①若f（0）＝0，则函数f（x）是奇函数；
②若f（﹣2）＝f（2），则函数f（x）是偶函数；
③若f（2）＞f（1），则函数f（x）在R 上不是单调减函数；
④若函数f（x）在（一∞，0]上是单调增函数，在（0，+∞）上也是单调增函数，则函数f（x）在R 上是单调
增函数．
其中，正确说法的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
6．（5 分）要得到函数y＝cos2x 的图象，只需要把函数
的图象（
）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
7．（5 分）已知函数f（x）为幂函数、指数函数、对数函数中的一种，下列图象法表示的函数f（x）中，分别具有
性质f（x+y）＝f（x）+f（y）、f（xy）＝f（x）+f（y）、f（x+y）＝f（x）f（y）、f（xy）＝f（x）f（y）的函数
序号依次为（
）
A．③，①，②，④B．④，①，②，③C．③，②，①，④D．④，②，①，③
8．（5 分）在任意平面四边形ABCD 中，点E，F 分别在线段AD，BC 上，
＝λ
+
（λ∈R，μ∈R），给出下
列四组等式
①
＝
，
＝
②
＝
，
＝
③
＝
，
＝
④
＝
，
＝
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其中，能使λ，μ为常数的组数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共计30 分.请把答案填写在答题卡相应位置上）
9．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知幂函数y＝xα的图象过点（8，
），则α的值为
．
10．（5 分）已知α，β均为锐角，tanα＝
，tanβ＝
，则α+β的值为
11．（5 分）已知关于实数x 的不等式2x2﹣bx+c＜0 的解集为（﹣1，
），则b+c 的值为
．
12．（5 分）已知lg2＝a，lg3＝b，则lg15＝
．（用a，b 表示）
13．（5 分）《九章算术》中记载了弧田（逆弧和其所对弦围成的弓形）的面积公式S 弧田＝
，其中
“弦”指逆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．已知一块弦长为6
m 的弧田按此公式计算所
得的面积为（9
+
）m2，则该弧田的实际面积为
m2．
14．（5 分）如图，平面内点P 在两条平行直线m，n 之间，且到m，n 的距离分别为1，2，点A，B 分别在直线m，
n 上，且|
|＝5，则
的最大值为
．
三、解答题（本大题共6 小題，共计80 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
15．（12 分）已知函数f（x）＝
sin
cos
﹣sin2
+1．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间[﹣π，0]上的最大值和最小值以及相应的x 的值．
16．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量＝（
，﹣1），＝（
，
）．
（1）求证：| |＝2| |且⊥．
（2）设向量＝+（t﹣3），＝﹣+t ，且⊥，求实数t 的值．
17．（13 分）在△ABC 中，已知cosA＝
，cos（A﹣B）＝
，且A＞B．
（1）求tanA 的值；
（2）求证：A＝2B．
18．（13 分）图为大型观览车主架示意图．点O 为轮轴中心，距地面高为32m（即OM＝32m）．巨轮半径为30m，
点P 为吊舱与轮的连结点，吊舱高2m（即PM＝2m），巨轮转动一周需15min．某游人从点M 进入吊舱后，巨
轮开始按逆时针方向匀速转动3 周后停止，记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点M'．
（1）试建立点M'距地面的高度h（m）关于转动时间t（min）的函数关系，并写出定义域；
（2）求转动过程中点M'超过地面45m 的总时长．
19．（15 分）设f（x）是定义在R 上的奇函数，且当x＞0 时，f（x）＝ax+a
﹣x（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）在R 上的解析式；
（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）若对任意的x1，x2∈（0，+∞），f（2x1）+f（2x2）≥m•f（x1+x2），求实数m 的最大值．
20．（15 分）设a 为实数，函数f（x）＝（x+1）|x﹣a|，x∈R
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第197页（共397页）
（1）若a＝0，求不等式f（x）≥2 的解集；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间（a﹣1，a+1）上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a 的
取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）写出函数y＝f（x）+a 在R 上的零点个数（不必写出过程）
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共计40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．【解答】解：∵
＜3＜π，
∴3 弧度角的终边在第二象限．
故选：B．
2．【解答】解：∵集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}＝{奇数}，
B＝{﹣1，0，1，3，6}，
∴A∩B＝{﹣1，1，3}，
∴A∩B 中的元素个数为3．
故选：C．
3．【解答】解：令f（x）＝x3﹣3x+1，
易知f（x）在R 上连续，
f（﹣1）＝1+3﹣1＝3＞0，
f（﹣2）＝﹣8+6+1＝﹣1＜0
且f（0）＝0﹣0+1＝1＞0，
f（1）＝1﹣3+1＝﹣1＜0，
f（2）＝8﹣6+1＝1＞0，
故f（x）在（﹣2，﹣1），（0，1），（1，2）上有零点，
故方程x3+3x﹣1＝0 在区间（﹣1，0）上没有零点．
故选：B．
4．【解答】解：对于选项：A，
函数：y＝x0（x≠0），
故函数为常量函数，错误．
对于选项：B，
函数为偶函数，图象关于y 轴对称，错误．
对于选项：D，
函数为分段函数，错误．
以上选项都不满足f（x+A）＝f（x），
只有选项：C 满足cos（x+2kπ）＝cosx．
故选项C 正确．
故选：C．
5．【解答】解：①若f（0）＝0，则函数f（x）不一定是奇函数；不一定满足奇函数的定义．所以不正确．
②若f（﹣2）＝f（2），则函数f（x）不一定是偶函数；不一定满足偶函数的定义．所以不正确．
所以不正确．
③若f（2）＞f（1），不一定满足函数的单调减函数的定义，则函数f（x）在R 上不是单调减函数也可能是增函
数，所以③正确；
④若函数f（x）在（一∞，0]上是单调增函数，在（0，+∞）上也是单调增函数，则函数f（x）在R 上是单调
增函数．不正确，反例y＝﹣
，所以不正确；
故选：B．
6．【解答】解：把函数
＝cos（
﹣2x）＝cos（2x﹣
）的图象向左平移
个单位长度，可得
函数y＝cos[2（x+
）﹣
]＝cos2x 的图象，
故选：C．
7．【解答】解：由图可知，①对应于指数函数，②对应于对数函数，③对应于幂指数为正偶数的幂函数，④对应
于幂函数中的一次函数．
由f（x）＝x，可得f（x+y）＝f（x）+f（y）；
由f（x）＝logax（a＞0 且a≠1），可得f（xy）＝f（x）+f（y）；
由f（x）＝ax（a＞0 且a≠1），可得f（x+y）＝f（x）f（y）；
由f（x）＝x2k（k∈N*），可得f（xy）＝f（x）f（y）．
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∴分别具有性质f（x+y）＝f（x）+f（y）、f（xy）＝f（x）+f（y）、f（x+y）＝f（x）f（y）、
f（xy）＝f（x）f（y）的函数序号依次为④，②，①，③．
故选：D．
8．【解答】解：设
＝x
，
＝
，
则
＝
＝
+y
＝
+y（
）﹣x
＝（1﹣y）
+（y﹣x）
+y
，
又
＝λ
+
（λ∈R，μ∈R），λ，μ为常数，
则x﹣y＝0，即x＝y，
满足题意的只有④，
故选：A．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共计30 分.请把答案填写在答题卡相应位置上）
9．【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，
∵幂函数y＝xα的图象过点（8，
），
∴f（8）＝8α＝
，
解得α＝
，
故答案为：
．
10．【解答】解：已知α，β均为锐角，tanα＝
，tanβ＝
，
则：0＜α+β＜π，
所以：
＝
＝1，
故：
．
故答案为：
．
11．【解答】解：∵一元二次不等式2x2﹣bx+c＜0 的解集是（﹣1，
），
∴﹣1，
是方程2x2﹣bx+c＝0 的两根，
由根与系数关系得：
，
即b＝1，c＝﹣3．
∴b+c＝﹣2．
故答案为：﹣2
12．【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，
∴lg15＝lg3+lg5＝lg3+1﹣lg2＝b﹣a+1．
故答案为：b﹣a+1．
13．【解答】解：如图所示，弦长AB＝6
，设矢CD＝x，
则弧田的面积为S 弧田＝
×（6
x+x2）＝9
+
，
即x2+6
x＝18
+9，
∴
＝18（
+2），
∴
＝9
，
解得x＝3 或x＝﹣6
﹣3（不合题意，舍去）；
设OA＝R，则OD＝R﹣3，
∴R2＝（R﹣3）2+
，
解得R＝6，
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∴∠AOB＝
，
该弧田的实际面积为
S＝S 扇形﹣S△AOB＝
π•62﹣
×6
×3＝12π﹣9
．
故答案为：12π﹣9
．
14．【解答】解：平面内点P 在两条平行直线m，n 之间，
且到m，n 的距离分别为1，2
可得平行线m、n 间的距离为3，
以直线m 为x 轴，以过点P 且与直线m 垂直的直线为y 轴，建立坐标系，如图所示：
则由题意可得点P（0，1），
直线n 的方程为y＝3，
设点A（a，0）、点B（b，3），
∴
＝（a，﹣1）、
＝（b，2），
∴
+
＝（a+b，1）．
∵|
|＝5，
∴（a+b）2+1＝25，∴a+b＝2
，或a+b＝﹣2
（舍去）．
当a+b＝2
时，
•
＝ab﹣2＝a（2
﹣a）﹣2＝﹣a2+2
a﹣2＝﹣（a﹣
）2+4，
当a＝
时，取得最大值，最大值为4．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共6 小題，共计80 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
15．【解答】解：（1）函数f（x）＝
sin
cos
﹣sin2
+1．
＝
，
＝
，
令
（k∈Z），
整理得：
（k∈Z），
所以函数的对称轴方程为：
（k∈Z）．
（2）由（1）得：
由于：x∈[﹣π，0]，
所以：
，
则：
，
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所以：
当x＝
时，函数的最小值为﹣
．
当x＝0 时，函数的最大值为1．
16．【解答】解：（1）证明：
；
∴
；
∵
；
∴
；
（2）∵
；
∴
；
由（1）得：
＝
＝﹣4+0+t2﹣3t
＝t2﹣3t﹣4；
∴t2﹣3t﹣4＝0；
解得t＝﹣1，或4．
17．【解答】（本题满分为13 分）
解：（1）∵cosA＝
，A∈（0，π），
∴sinA＝
＝
＝
，…3 分
∴tanA＝
＝
．…5 分
（2）证明：∵A＞B，可得：0＜A﹣B＜π，
∴sin（A﹣B）＝
＝
，…8 分
∴cosB＝cos[A﹣（A﹣B）]＝cosAcos（A﹣B）+sinAsin（A﹣B）＝
+
＝
，…11 分
又∵cos（A﹣B）＝
，
∴cos（A﹣B）＝cosB，
∵y＝cosx 在（0，π）单调递减，且0＜A﹣B＜π，0＜B＜π，
∴A﹣B＝B，即A＝2B．得证．…13 分
18．【解答】解：（1）如图所示，
以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，
设以Ox 为始边，按逆时针方向经过时间t（min）转动至终边OP′所形成的角为
t﹣
，
则点P′的纵坐标为30sin（
t﹣
），
所以M′点距地面的高度为
h＝30sin（
t﹣
）+32﹣2＝30（1﹣cos
t），t∈[0，45]；
（2）当点M′超过地面45m 时，h＝30（1﹣cos
t）＞45，
即cos
t＜﹣
，
所以
+2kπ＜
t＜
+2kπ，k∈Z，
即5+15k＜t＜10+15k，k∈Z；
因为t∈[0，45]，
所以t∈（5，10）∪（20，25）∪（35，40），
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所以总时长为15 分钟，
即点M′超过地面45m 的总时长为15 分钟．
19．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R 上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），f（0）＝0，
设x＜0，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）＝a
﹣x+ax，
∴f（x）＝﹣ax﹣a
﹣x，
∴f（x）＝
．
（2）f（x）在（0，+∞）上单调递增，
理由如下：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
∴f（x1）﹣f（x2）＝
+
﹣
﹣a
＝（
﹣
）（
﹣a
），
当a＞1 时，
﹣
＜0，
﹣a
＞0，则（
﹣
）（
﹣a
）＜0，
当0＜a＜1 时，
﹣
＞0，
﹣a
＜0，则（
﹣
）（
﹣a
）＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
（3）对任意的x1，x2∈（0，+∞），f（2x1）+f（2x2）≥m•f（x1+x2），
∴
＞0，
＞0，
＞0，
＞0
∴f（2x1）+f（2x2）＝
+a
+a
+a
＝（
+a
）+（a
+a
）≥2a
+2
＝
2（a
+
）＝2f（x1+x2），
当且仅当x1＝x2 时取等号，
∴m≤2，
即m 的最大值为2
20．【解答】解：（1）a＝0 时，f（x）＝（x+1）|x|＝
，
当x≤0 时，﹣x（x+1）≥2，即x2+x＝2≤0，
故不存在这样的实数x，
当x＞0 时，x（x+1）≥2，即x2+x﹣2≥0，解得：x≥1，
故不等式f（x）≥2 的解集是{x|x≥1}；
（2）f（x）＝（x+1）|x﹣a|＝
，
（i）若a＞﹣1，则f（x）在（﹣∞，
]递增，在[
，a]递减，在[a，+∞）递增，
∵函数f（x）在（a﹣1，a+1）上既有最大值又有最小值，
∴f（x）max＝f（
），f（x）min＝f（a）＝0，
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从而
，即
，
解得：
，
故不存在这样的实数a；
（ii）若a＜﹣1，则f（x）在（﹣∞，a]递增，在[a，
]递减，在[
，+∞）递增，
∵函数f（x）在区间（a﹣1，a+1）上既有最大值又有最小值，
故f（x）max＝f（a）＝0，f（x）min＝f（
），
从而
，即
，
解得：
，
故不存在这样的实数a；
（iii）若a＝﹣1，则f（x）＝
为R 上的递增函数，
故f（x）在（a﹣1，a+1）上不存在最大值又有最小值，
综上，不存在这样的实数a；
（3）当a＜2
﹣3 或a＞0 时，函数y＝f（x）+a 的零点个数为1，
当a＝2
﹣3 或a＝0 时，函数y＝f（x）+a 的零点个数为2，
当2
﹣3＜a＜0 时，函数y＝f（x）+a 的零点个数为3．
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2019-2020 学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷
一、填空题：本大题共10 小题，每题5 分，共50 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．（5 分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，3}，B＝{1，3}，则∁U（A∪B）＝
．
2．（5 分）函数f（x）＝
的定义域为
．
3．（5 分）已知角α的终边经过点P（﹣5，12），则
的值为
．
4．（5 分）已知向量＝（4，﹣3），＝（x，6），且∥，则实数x 的值为
．
5．（5 分）已知x＝log612﹣log63，则6x 的值为
．
6 ．（5 分）如图，在直角三角形ABC 中，AB＝2 ，∠B＝60° ，AD ⊥BC ，垂足为D ，则
•
的值
为
．
7．（5 分）将函数f（x）＝2sin2x 的图象向左平移
个单位后，得到函数g（x）的图象，则g （0）的值为
．
8．（5 分）已知a＞0 且a≠1，若函数f（x）＝
的值域为[1，+∞），则a 的取值范围是
．
9．（5 分）已知向量
与
满足|
|＝2，|
|＝1．又
＝t
，
＝（1﹣t）
，且|
|在t＝
时取到最小值，
则向量
与
的夹角的值为
．
10．（5 分）已知函数f（x）＝kx2﹣x，g（x）＝sin
．若使不等式f（x）＜g（x）成立的整数x 恰有1 个，则
实数k 的取值范围是
．
二、选择题：本大题共4 小题，每题5 分，共20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
11．（5 分）已知a＝log1.40.7，b＝1.40.7，c＝0.71.4，则a，b，c 的大小关系是（
）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
12．（5 分）函数f（x）＝xsinx，x∈[﹣π，π]的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
13．（5 分）在平行四边形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，若
•
＝11，则
•
的值是（
）
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A．10
B．14
C．18
D．22
14．（5 分）已知函数f（x）＝2cosx（x∈[0，π]）的图象与函数g（x）＝3tanx 的图象交于A，B 两点，则△OAB（O
为坐标原点）的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
三、解答题：本大题共6 小题，共90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程
或演算步骤．
15．（14 分）已知向量＝（2，1），＝（1，﹣2），向量满足• ＝• ＝5．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量与的夹角θ．
16．（14 分）已知α是第二象限角，且sinα＝
．
（1）求tanα的值；
（2）求
的值．
17．（14 分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）若x∈[﹣
，0]，求函数f（x）的值域．
18．（16 分）某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14 吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2 万元；如果进行
精加工后销售，每吨可获利0.6 万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P（万元）与精加工的蔬菜量x
（吨）有如下关系：P＝
．
设该农业合作社将x（吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为y（万
元）．
（1）写出y 关于x 的函数表达式；
（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．
19．（16 分）如图，在△ABC 中，AB＝2，AC＝5，cos∠CAB＝
，D 是边BC 上一点，且
＝2
（1）设
＝
x
+y
，求实数x，y 的值；
（2）若点P 满足
与
共线，
⊥
，求
的值．
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第206页（共397页）
20．（16 分）给定区间I，集合M 是满足下列性质的函数f（x）的集合：任意x∈I，f（x+1）＞2f（x）．
（1）已知I＝R，f（x）＝3x，求证：f（x）∈M；
（2）已知I＝（0，1]，g（x）＝a+log2x．若g（x）∈M，求实数a 的取值范围；
（3）已知I＝[﹣1，1]，h（x）＝﹣x2+ax+a﹣5（a∈R），讨论函数h（x）与集合M 的关系．
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2019-2020 学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共10 小题，每题5 分，共50 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．【解答】解：A∪B＝{0，1，3}；
∴∁U（A∪B）＝{2，4}．
故答案为：{2，4}．
2．【解答】解：由题意得：2x﹣4≥0，解得：x≥2，
故函数的定义域是[2，+∞），
故答案为：[2，+∞）．
3．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣5，12），∴sinα＝
＝
，tanα＝
＝﹣
，
则
＝
＝﹣
，
故答案为：﹣
．
4．【解答】解：∵量＝（4，﹣3），＝（x，6），且∥，
则4×6﹣（﹣3）x＝0．
解得：x＝﹣8．
故答案为：﹣8．
5．【解答】解：x＝log612﹣log63＝log64，
∴6x＝4，
故答案为：4．
6．【解答】解：在直角三角形ABD 中，BD＝ABcos60°＝1
•
＝
•（
+
）＝
+
•
＝4+2×1×cos120°＝3．
故答案为：3．
7．【解答】解：将函数f（x）＝2sin2x 的图象向左平移
个单位后，得到函数g（x）＝2sin（2x+
）的图象，
则g （0）＝2sin
＝
，
故答案为：
．
8．【解答】解：a＞0 且a≠1，若函数f（x）＝
的值域为[1，+∞），
当x≤2 时，y＝3﹣x≥1，
所以
，可得1＜a≤2．
故答案为：（1，2]．
9．【解答】解：设向量
与
的夹角的值为θ，
由
＝t
，
＝（1﹣t）
，
＝
﹣
＝（1﹣t）
﹣t
，
|
|2＝[（1﹣t）
﹣t
]2，
＝（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ
＝（5+4cosθ）t2﹣2（1+2cosθ）t+1，
又5+4cosθ＞0，
所以当t＝
＝
，
解得：cosθ＝
，
又θ∈[0，π]，
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第208页（共397页）
所以θ＝
，
故答案为：
10．【解答】解：g（x）＝sin
的周期为4，作出y＝g（x）的图象，
当k＝0 时，f（x）＝﹣x，不等式f（x）＜g（x）成立的整数x 有无数个；
当k＜0 时，f（x）的图象为抛物线，且开口向下，恒过原点，
不等式f（x）＜g（x）成立的整数x 有无数个；
当k＞0，可得不等式f（x）＜g（x）成立的整数x＝1，
当f（x）的图象经过（1，1），可得k﹣1＝1，即k＝2；
f（x）的图象经过（2，0），即4k﹣2＝0，解得k＝
．
由题意可得
≤k＜2．
故答案为：[
，2）．
二、选择题：本大题共4 小题，每题5 分，共20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
11．【解答】解：∵a＝log1.40.7＜log1.41＝0，
b＝1.40.7＞1.40＝1，
0＜c＝0.71.4＜0.70＝1，
∴a，b，c 的大小关系是a＜c＜b．
故选：B．
12．【解答】解：f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝xsinx＝f（x），
所以f（x）为偶函数，即图象关于y 轴对称，则排除B，C，
当x＝
时，f（
）＝
sin
＝
＞0，故排除D，
故选：A．
13．【解答】解：平行四边形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，
又∵
•
＝11，
∴
＝
＝
+9＝11，
∴
＝2，
则
•
＝（
）
＝
＝16+2＝18．
故选：C．
14．【解答】解：函数y＝2cosx（x∈[0，π]）和函数y＝3tanx 的图象相交于A、B 两点，O 为坐标原点，
由2cosx＝3tanx，可得2cos2＝3sinx，即2sin2x+3sinx﹣2＝0，
求得sinx＝
，或sinx＝﹣2（舍去），结合x∈[0，π]，
∴x＝
，或x＝
；
∴A（
，
）、B（
，﹣
），画出图象如图所示；
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第209页（共397页）
根据函数图象的对称性可得AB 的中点C（
，0），
∴△OAB 的面积等于△OAC 的面积加上△OCB 的面积，
等于
•QC•|yA|+
OC•|yC|＝
•OC•|yA﹣yC|＝
•
•2
＝
π，
故选：D．
三、解答题：本大题共6 小题，共90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程
或演算步骤．
15．【解答】解：（1）设＝（x，y），
因为＝（2，1），＝（1，﹣2），• ＝• ＝5，
所以
解得
所以＝（3，﹣1）；
（2）因为＝（2，1），＝（3，﹣1），
所以| |＝
，| |＝
，
又• ＝2×3+1×（﹣1）＝5，
所以cosθ＝
＝
＝
，
又θ∈[0，π]，所以θ＝
．
16．【解答】（本小题满分14 分）
解：（1）因为α是第二象限角，且sinα＝
，
所以cosα＝﹣
＝﹣
，
所以tanα＝
＝﹣2．
（2）
＝
＝
＝
＝
＝
．
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第210页（共397页）
17．【解答】解：（1）由函数的图象可得A＝2，
T＝
•
＝
﹣
，求得ω＝2．
再根据五点法作图可得2×
+φ＝
，∴φ＝
，故f（x）＝2sin（2x+
）．
（2）令2kπ﹣
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得kπ﹣
≤x≤kπ+
，
故函数的增区间为[kπ﹣
，kπ+
]，k∈z．
（3）若x∈[﹣
，0]，则2x+
∈[﹣
，
]，∴sin（2x+
）∈[﹣1，
]，
故f（x）∈[﹣2，1]．
18．【解答】解：（1）由题意知，当0≤x≤8 时，
y＝0.6x+0.2（14﹣x）﹣
x2＝﹣
x2+
x+
，
当8＜x≤14 时，
y＝0.6x+0.2（14﹣x）﹣
＝
x+2，
即y＝
（2）当0≤x≤8 时，y＝﹣
x2+
x+
＝﹣
（x﹣4）2+
，
所以当x＝4 时，ymax＝
．
当8＜x≤14 时，y＝
x+2，
所以当x＝14 时，ymax＝
．
因为
＞
，所以当x＝4 时，ymax＝
．
答：当精加工蔬菜4 吨时，总利润最大，最大利润为
万元．
19．【解答】解：（1）
，
∴
，
∴
，
∴x＝
，y＝
；
（2）∵
共线，
∴可设
，λ∈R，
∵
∴
，
∴
＝﹣
＝
，
＝
，
∴
＝
，…①
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∵
，
∴
，
，
，…②
把②代入①并整理得：
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
解得：
，
∴
＝
或
．
故
的值为
或
．
20．【解答】解：（1）证明：因为f （x）＝3x，所以f （x+1）﹣2f （x）＝3x+1﹣2×3x＝3x＞0，即f （x+1）＞
2f （x），
所以f （x）∈M．
（2）因为g （x）＝a+log2x，x∈（0，1]，且g （x）∈M，
所以当x∈（0，1]时，g （x+1）＞2g （x）恒成立，即a+log2（x+1）＞2a+2log2x 恒成立，
所以a＜log2（x+1）﹣2log2x＝log2（
+
）恒成立．
因为函数y＝log2（
+
）在区间（0，1]上单调递减，所以当x＝1 时，ymin＝1．
所以a＜1．
（3）h （x）＝﹣x2+ax+a﹣5，x∈（0，1]．
若h （x）∈M，则当x∈[﹣1，1]，h（x+1）＞2h （x）恒成立，
即﹣（x+1）2+a（x+1）+a﹣5＞﹣2x2+2ax+2a﹣10 恒成立
即x2﹣（a+2）x+4＞0 恒成立．
记H（x）＝x2﹣（a+2）x+4，x∈[﹣1，1]．
①当
≤﹣1，即a≤﹣4 时，H（x）min＝H （﹣1）＝a+7＞0，即a＞﹣7．
又因为a≤﹣4，所以﹣7＜a≤﹣4；
②当﹣1＜
＜1，即﹣4＜a＜0 时，
H （x）min＝H （
）＝
＞0，恒成立，
所以﹣4＜a＜0；
③当
≥1，即a≥0 时，H （x）min＝H （1）＝3﹣a＞0，即a＜3．
又a≥0，所以0≤a＜3．
综上所得﹣7＜a＜3．
所以当﹣7＜a＜3 时，h （x）∉M；
当a≤﹣7 或a≥3 时，h（x）∈M．
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2019-2020 学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共15 小题，每小题3 分，共45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|1＜x＜5}，则（∁RA）∩B＝（
）
A．（2，5）
B．（2，+∞）
C．[2，5）
D．[2，+∞）
2．（3 分）函数y＝
+log2（x+3）的定义域是（
）
A．R
B．（﹣3，+∞）
C．（﹣∞，﹣3）
D．（﹣3，0）∪（0，+∞）
3．（3 分）已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为（
）
A．2
B．4
C．8
D．16
4．（3 分）下列各组向量中，可以作为基底的是（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
5．（3 分）设
，且∥，则锐角α为（
）
A．30°
B．60°
C．75°
D．45°
6．（3 分）函数f（x）＝2x+3x 的零点所在的一个区间（
）
A．（﹣2，﹣1）
B．（﹣1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）
7．（3 分）如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量
＝（
）
A．
B．
C．
D．
8．（3 分）函数y＝﹣xcosx 的部分图象是（
）
A．
B．
C．
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D．
9．（3 分）已知两个非零向量，满足
，则下面结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（3 分）已知函数
，则该函数的图象（
）
A．关于直线
对称
B．关于点
对称
C．关于点
对称
D．关于直线
对称
11．（3 分）若
，则cosα+sinα的值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（3 分）已知
，
是夹角为60°的两个单位向量，则＝2
+
与＝﹣3
+2
的夹角是（
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
13．（3 分）已知函数f（x）＝
若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
B．（﹣1，2）
C．（﹣2，1）
D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
14．（3 分）已知函数
，若要得到一个偶函数的图象，则可以将函数f（x）的图象
（
）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
15．（3 分）设f（x）＝
若f（x）＝x+a 有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是（
）
A．[1，2]
B．（﹣∞，2）
C．[1，+∞）
D．（﹣∞，1）
二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分.）
16．（3 分）
＝
．
17．（3 分）
＝
．
18．（3 分）幂函数f（x）的图象过点
，那么f（8）的值为
．
19．（3 分）函数y＝
的单调递增区间是
．
20．（3 分）半径为1 的扇形AOB，∠AOB＝120°，M，N 分别为半径OA，OB 的中点，P 为弧AB 上任意一点，
则
的取值范围是
．
三、解答题（本大题共5 小题，每小题8 分，共40 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
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21．（8 分）已知函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点P（
，0），图象中与点P 最近的最高点是（
，
5）．
（1）求函数解析式；
（2）求函数的增区间．
22．（8 分）已知函数f（x）＝loga
（其中a＞1）．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并给予证明；
（Ⅲ）求使f（x）＞0 的x 取值范围．
23．（8 分）已知向量＝（sinθ，﹣2）与＝（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，
）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ﹣φ）＝
，0＜φ＜
，求cosφ的值．
24．（8 分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4 吨时每吨为1.80 元，当用水超过4 吨时，超过
部分每吨3.00 元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x（吨）．
（1）求y 关于x 的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
（精确到0.1）
25．（8 分）定义在D 上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M 成立，则称f（x）
是D 上的有界函数，其中M 称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）＝1+a•（
）x+（
）x
（1）当a＝1，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请
说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3 为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．
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2019-2020 学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15 小题，每小题3 分，共45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：∁RA＝{x|x≥2}；
∴（∁RA）∩B＝[2，5）．
故选：C．
2．【解答】解：要使原函数有意义，只需
，
解得x∈（﹣3，0）∪（0，+∞），所以原函数的定义域为（﹣3，0）∪（0，+∞）．
故选：D．
3．【解答】解：因为扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，
所以扇形的半径为：
，
所以扇形的面积为：
＝4．
故选：B．
4．【解答】解：对于A，
，
，
是两个共线向量，故不可作为基底．
对于B，
，
是两个不共线向量，故可作为基底．
对于C，
，
，
是两个共线向量，故不可作为基底．．
对于D，
，
，
是两个共线向量，故不可作为基底．
故选：B．
5．【解答】解：由
，且∥，
则
sinα﹣
cosα＝0，解得tanα＝
，
又α为锐角，所以α＝60°．
故选：B．
6．【解答】解：函数f（x）＝2x+3x 是增函数，
f（﹣1）＝
＜0，f（0）＝1+0＝1＞0，
可得f（﹣1）f（0）＜0．
由零点判定定理可知：函数f（x）＝2x+3x 的零点所在的一个区间（﹣1，0）．
故选：B．
7．【解答】解：由三角形法则和D 是△ABC 的边AB 的中点得，
，
∴
．
故选：A．
8．【解答】解：函数y＝﹣xcosx 为奇函数，故排除A，C，
又当x 取无穷小的正数时，﹣x＜0，cosx→1，则﹣xcosx＜0，
故选：D．
9．【解答】解：∵两个非零向量，满足
，
∴
，展开得到
．
故选：B．
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10．【解答】解：由2x+
＝kπ，k∈z 可得x＝
，故该函数的图象关于点（
，0）对称，k∈z．
由2x+
＝kπ+
，可得x＝
，k∈z，故该函数的图象关于直线x＝
对称，k∈z．
故选：B．
11．【解答】解：∵
，
∴
，
故选：C．
12．【解答】解：∵已知
，
是夹角为60°的两个单位向量，∴
•
＝1×1×cos60°＝
，
设＝2
+
与＝﹣3
+2
的夹角为θ，θ∈（0°，180°），
∵| |＝
＝
＝
，| |＝
＝
＝
，
• ＝（2
+
）•（﹣3
+2
）＝﹣6
+
•
+2
＝﹣6+
+2＝﹣
，
∴cosθ＝
＝
＝﹣
，∴θ＝120°，
故选：C．
13．【解答】解：
由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a
即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．
故选：C．
14．【解答】解：数
＝
，要得到一个偶函数的图
象，
只需将函数的图象向右平移
个单位即可．
故选：B．
15．【解答】解：函数f（x）＝
，若的图象如图所示，（当x＞0 时，函数的图象呈现周期性变化）
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由图可知：
（1）当a≥3 时，两个图象有且只有一个公共点；
（2）当2≤a＜3 时，两个图象有两个公共点；
（3）当a＜2 时，两个图象有三个公共点；
即当a＜2 时，f（x）＝x+a 有三个实解．
故选：B．
二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分.）
16．【解答】解：
＝1+|1﹣
|﹣
＝1+
﹣1﹣
＝
﹣
＝0．
故答案为：0．
17．【解答】解：
，所以sinα＝
；
故答案为：
．
18．【解答】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα，
∵幂函数f（x）的图象过点
，
∴4α＝
，∴α＝﹣
．
∴f（8）＝
＝
＝
，
故答案为：
．
19．【解答】解：根据对数函数的定义可得：函数y＝
的定义域为：（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）
令t＝x2+4x﹣12，则
，
由对数函数的性质可得：函数
在定义域内是减函数，
由二次函数的性质可得：t＝x2+4x﹣12 的单调递减区间是（﹣∞，﹣6），单调递增区间是（2，+∞），
再根据复合函数的单调性是“同增异减”，
所以函数
的单调递增区间是（﹣∞，﹣6）．
故答案为：（﹣∞，﹣6）．
20．【解答】解：由题意，设∠POM＝θ，
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则
•
＝（
﹣
）•（
﹣
）＝
•
﹣
•
﹣
•
+
2
＝
×
×cos120°﹣1×
cosθ﹣1×
cos（120°﹣θ）+1
＝﹣
﹣
cosθ﹣
（﹣
cosθ+
sinθ）+1
＝
﹣
（
cosθ+
sinθ）
＝
﹣
sin（θ+30°），
因为θ∈[0°，120°]，所以θ+30°∈[30°，150°]，
所以sin（θ+30°）∈[
，1]，
所以
•
的取值范围是[
，
]．
故答案为：[
，
]．
三、解答题（本大题共5 小题，每小题8 分，共40 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
21．【解答】解：（1）由已知点函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点
，图象中与点P 最近
的最高点是
．
∴A＝5，
，即T＝π
∴ω＝2
∴y＝5sin（2x+φ），将
代入得5＝5sin（
+φ）
解得φ＝
+2kπ，k∈Z
令k＝0，
则φ＝
∴y＝5sin（2x
）
（2）令﹣
+2kπ≤2x
≤
+2kπ，k∈Z
则﹣
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z
∴函数的增区间为[﹣
+kπ，
+kπ），（k∈Z）
22．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝loga
（其中a＞1），可得
＞0，即
＜0，
即（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）．
（Ⅱ）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝
＝﹣
＝﹣f（x），
故函数为奇函数．
（Ⅲ）由f（x）＞0 可得
＞1，即
＜0，2x（x﹣1）＜0，
解得0＜x＜1，故所求的x 的取值范围为（0，1）．
23．【解答】解：（1）∵向量＝（sinθ，﹣2）与＝（1，cosθ）互相垂直，
∴sinθ×1+（﹣2）×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ．
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第220页（共397页）
∵sin2θ+cos2θ＝1，∴4cos2θ+cos2θ＝1⇒cos2θ＝
．
∵θ∈（0，
），∴cosθ＝
，sinθ＝
．
（2）解法一：由sin（θ﹣φ）＝
得，
sinθcosφ﹣cosθsinφ＝
⇒sinφ＝2cosφ﹣
，
∴sin2φ+cos2φ＝5cos2φ﹣2
cosφ+
＝1⇒5cos2φ﹣2
cosφ﹣
＝0．
解得cosφ＝
或cosφ＝﹣
，
∵0＜φ＜
，∴cosφ＝
．
解法二：∵0＜θ，φ＜
，∴﹣
＜θ﹣φ＜
．
所以cos（θ﹣φ）＝
＝
．
故cosφ＝cos[（θ﹣（θ﹣φ）]＝cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）
＝
×
+
×
＝
．
24．【解答】解：（1）由题意知：x≥0，令5x＝4，得x＝
；令3x＝4，得x＝
．
则当
时，
y＝（5x+3x）×1.8＝14.4x
当
时，
当
时，
＝24x﹣9.6
即得
（2）由于y＝f（x）在各段区间上均单增，
当x∈
时，y≤f（
）＜26.4
当x∈
时，y≤f（
）＜26.4
当x∈
时，令24x﹣9.6＝26.4，得x＝1.5
所以甲户用水量为5x＝7.5 吨，付费S1＝4×1.8+3.5×3＝17.70 元
乙户用水量为3x＝4.5 吨，
付费S2＝8.7 元
25．【解答】解：（1）当a＝1 时，f（x）＝1+1•（
）x+（
）x．
令t＝•（
）x，由x＜0 可得t＞1，f（x）＝h（t）＝t2+t+1＝
+
，
∵h（t）在（1，+∞）上单调递增，故f（t）＞f（1）＝3，故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M 成立，
故函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3 为上界的有界函数，
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第221页（共397页）
则当x≥0 时，|f（x）|≤3 恒成立．
故有﹣3≤f（x）≤3，即﹣3≤1+a•（
）x+（
）x≤3，即﹣4﹣
≤a
≤2﹣
，
∴[﹣4•2x﹣
]≤a≤[2•2x﹣
]．
∴当x＝0 时，[﹣4•2x﹣
]的最大值为﹣4﹣1＝﹣5，[2•2x﹣
]的最小值为2﹣1＝1，
故有﹣5≤a≤1，
即a 的范围为[﹣5，1]．
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2019-2020 学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）集合{x，y}的子集个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（5 分）直线y＝x+1 与直线y＝﹣x+1 的交点坐标是（
）
A．（0，0）
B．（1，1）
C．（0，1）
D．（1，0）
3．（5 分）已知a＝log5
b＝（
）
﹣1c＝log54，则（
）
A．．a＜b＜c
B．.a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．.c＜a＜b
4．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递减的是（
）
A．y＝|x|
B．y＝﹣x2
C．y＝lnx
D．y＝ex
5．（5 分）已知m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（
）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
6．（5 分）三棱锥A 一BCD 的六条棱所在直线成异面直线的有（
）
A．3 对
B．4 对
C．5 对
D．6 对
7．（5 分）下列关于集合的命题正确的有（
）
①很小的整数可以构成集合
②集合{y|y＝2x2+1}与集合{（x，y）|y＝2x2+1}是同一个集合；
③1，2，|﹣
|，0.5，
这些数组成的集合有5 个元素
④空集是任何集合的子集
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
8．（5 分）已知A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3）是△ABC 的三个顶点，则△ABC 的形状是（
）
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
9．（5 分）数学家默拉在1765 年提出定理，三角形的外心，重心，垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点
重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心
到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点B（﹣1，0），C（0，2），AB
＝AC，则△ABC 的欧拉线方程为（
）
A．2x﹣4y﹣3＝0
B．2x+4y+3＝0
C．4x﹣2y﹣3＝0
D．2x+4y﹣3＝0
10．（5 分）函数f（x）＝（
）x﹣x+1 的零点所在的一个区间是（
）
A．（﹣1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）
11．（5 分）如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为1，则该几何体的表面积为（
）
A．16
B．8+4
C．8+4
D．12+4
12．（5 分）已知函数f（x）＝log3（x+
）+
在[﹣k，k]，（k＞0）上的最大值与最小值分别为M 和m，
则M 十m＝（
）
A．4
B．2
C．1
D．0
二、填空题（每小题5 分，共20 分）
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13．（5 分）计算（
）
﹣5+1g2+1g5＝
．
14．（5 分）将圆的一般方程x2+y2﹣2x﹣5＝0 化为标准方程是
15．（5 分）正方形ABCD 的边长为1，利用斜二测画法得到直观图A'B'CD'，其周长等于
16．（5 分）符号[x]表示不超过的最大整数，如[π]＝3，[﹣1.08]＝﹣2，定义函数{x}＝x﹣[x]．给出下列四个命题：
①函数{x}的定义域为R，值域是[0，1]
②方程{x}＝
有无数个解
③函数{x}是奇函数
④函数{x}是增函数．正确命题的序号是
三、解答题（本题共6 小题，共70 分）
17．（10 分）已知两条直线l1：x+（1+a）y+a﹣1＝0，l2：ax+2y+6＝0．
（1）若l1∥l2，求a 的值
（2）若ll⊥l2，求a 的值
18．（12 分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，函数f（x）＝
+lnx 的定义域为B，集合C＝{x|2m﹣1＜x＜m}
（1）求集合B，（∁RA）∩B
（2）若A∩C＝C，求实数m 的取值范围
19．（12 分）已知圆M：x2+（y﹣1）2＝16 外有一点A（4，﹣2），过点A 作直线l．
（1）当直线l 与圆M 相切时，求直线l 的方程；
（2）当直线l 的倾斜角为135°时，求直线l 被圆M 所截得的弦长．
20．（12 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB＝BC＝
，AA1＝
（1）求证：直线A1B∥平面ACD1
（2）已知三棱锥D1 一BCD 的所有顶点在同一个球面上，求这个球的体积．
21．（12 分）某服装批发市场销售季节性流行服装F，当季节即将来临时，价格呈上升趋势，开始时每件定价为120
元，并且每周（7 天）每件涨价10 元（第1 周每件定价为120 元，第2 周每件定价为130 元），4 周后开始保持
每件160 元的价格销售；8 周后当季节即将过去时，平均每周每件降价10 元，直到第12 周末，该服装不再销售．
（1）试建立每件售价A 与周次t 之间的函数关系式；
（2）若此服装每件进价B 与周次t 之间的关系式为B＝
．
问该服装第几周每件销售利润R 最大？并求出最大值，（注：每件销售利润＝售价一进价）
22．（12 分）设函数f（x）＝2kx2+x（k 为实常数）为奇函数，函数g（x）＝af（x）+1（a＞0，且a≠1）．
（1）求k 的值；
（2）求函数g（x）在[一2，1]上的最大值和最小值；
（3）当a＝2 时，g（x）≤﹣2mt+3 对所有的x∈[﹣1，0]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t 的取值范围．
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2019-2020 学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：{x，y}的子集为：∅，{x}，{y}，{x，y}，共4 个．
故选：D．
2．【解答】解：联立
，解得x＝0，y＝1．
∴直线y＝x+1 与直线y＝﹣x+1 的交点坐标是（0，1）．
故选：C．
3．【解答】解：∵a＝log5
＜log51＝0；
b＝（
）
﹣1＝6＞1；
0＜c＝log54＜log55＝1，
∴a＜c＜b．
故选：B．
4．【解答】解：y＝|x|是偶函数，当x＜0 时，y＝|x|＝﹣x 为减函数，满足条件．
y＝﹣x2 是偶函数，当x＜0 时，函数为增函数，不满足条件．
y＝lnx 的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．
y＝ex 是非奇非偶函数且在（﹣∞，0）上是增函数，不满足条件．
故选：A．
5．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m∥n 或m，n 异面或m，n 相交，故A 错；
B．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ或β∩γ＝l，故B 错；
C．若m∥α，m∥β，则α∥β或α∩β＝a，故C 错；
D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故D 正确．
故选：D．
6．【解答】解：三棱锥A 一BCD 的六条棱所在直线中，
成异面直线的有：
AB 和CD，AD 和BC，BD 和AC，
∴三棱锥A 一BCD 的六条棱所在直线成异面直线的有3 对．
故选：A．
7．【解答】解：①“很小的整数“，怎样才算很小，不确定，从而不能构成集合，即该命题错误；
②集合{y|y＝2x2+1}表示函数y＝2x2+1 的值域，集合{（x，y）|y＝2x2+1}表示曲线y＝2x2+1 上的点形成的集合，
不是同一集合，∴该命题错误；
③
＝0.5，∴
这些数组成的集合有3 个元素，∴该命题错误；
④空集是任何集合的子集，正确，∴该命题正确．
故选：B．
8．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3），
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∴AB＝
＝7，
AC＝
＝7，
BC＝
＝7
，
∴AB2+AC2＝BC2，且AB＝AC，
∴△ABC 为等腰直角三角形．
故选：A．
9．【解答】解：由于AB＝AC，可得：△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段BC 的垂直平分线上，
设线段BC 垂直平分线的斜率为k，则k×kBC＝﹣1，
∴k×
＝﹣1，∴k＝
，又BC 中点坐标为（
，1），
∴△ABC 的欧拉线的方程为：y﹣1＝﹣
，整理得：2x+4y﹣3＝0
故选：D．
10．【解答】解：函数f（x）＝（
）x﹣x+1 是连续函数，f（1）＝
﹣1+1＝
0，f（2）＝
＜0，
可得f（1）f（2）＜0，由零点判断定理可知函数的零点在（1，2）．
故选：C．
11．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，是长方体的一部分，如图
长方体的长宽高分别为2，2，4，
所以三棱锥的表面积为：
+2×
×
＝8+4
．
故选：C．
12．【解答】解：函数f（x）＝log3（x+
）+
，
设g（x）＝log3（x+
），可得g（﹣x）＝log3（﹣x+
），
g（﹣x）+g（x）＝log3（x2+1﹣x2）＝0，即有g（x）为奇函数；
设h（x）＝
﹣1＝
，h（﹣x）＝
＝
，
即有h（﹣x）＝﹣h（x），可得h（x）为奇函数，
可得f（x）＝g（x）+h（x）+1，
由y＝g（x）+h（x）为奇函数，可得函数y 在[﹣k，k]的最小值s 和最大值S 之和为0，
即有M+m＝S+1+s+1＝2．
故选：B．
二、填空题（每小题5 分，共20 分）
13．【解答】解：（
）
﹣5+1g2+1g5
＝25+lg10
＝33．
故答案为：33．
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14．【解答】解：根据题意，圆的一般方程x2+y2﹣2x﹣5＝0，
变形可得：（x﹣1）2+y2＝6，
即圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2＝6，
故答案为：：（x﹣1）2+y2＝6．
15．【解答】解：如图所示，
正方形ABCD 的边长为，
利用斜二测画法得到的平面直观图A′B′C′D′是平行四边形，
所以该平行四边形的周长为
l＝2（O′A′+O′C′）＝2×（1+
）＝3．
故答案为：3．
16．【解答】解：①当0≤x＜1 时，{x}＝x﹣[x]＝x﹣0＝x，∴函数{x}的值域为[0，1），故①错误；
②∵{x+1}＝（x+1）﹣[x+1]＝x﹣[x]＝{x}，∴函数{x}＝x﹣[x]是周期为1 的函数，
当x＝
时，{x}＝
，又∵函数{x}＝x﹣[x]是周期为1 的函数，∴x＝
+k 时（k∈Z），{x}＝
，故②正确；
③∵函数{x}的定义域为R，而{﹣x}＝﹣x﹣[﹣x]≠﹣{x}，且{﹣x}＝﹣x﹣[﹣x]≠{x}，
∴函数{x}是非奇非偶函数，故③错误；
④∵函数{x}是周期为1 的函数，∴函数{x}不是单调函数，故④错误．
∴正确命题的序号是②．
故答案为：②．
三、解答题（本题共6 小题，共70 分）
17．【解答】（本题满分为10 分）
解：（1）当a＝﹣1 时，直线l1 的斜率不存在，直线l2 的斜率为
，l1 与l2 既不平行，也不垂直，…（2 分）
当a≠﹣1 时，直线l1 的斜率为
，直线l2 的斜率为
，…（4 分）
因为l1∥l2，
所以
，解得a＝1 或a＝﹣2．
当a＝1 时，直线l1：x+2y＝0，l2：x+2y+6＝0，l1 与l2 平行，
当a＝﹣2 时，直线l1 与l2 的方程都是x﹣y﹣3＝0，此时两直线重合，…（6 分）
故a＝1．…（7 分）
（2）因为l1⊥l2，
所以
，解得
．…（9 分）
经检验
符合题意，
故
．…（10 分）
18．【解答】解：（1）由
得0＜x＜5，所以B＝{x|0＜x＜5}…（2 分）
因为A＝{x|1＜x＜3}，∁RA＝{x|x≤1，或x≥3}…（4 分）
所以（∁RA）∩B＝{x|0＜x≤1，或3≤x＜5}…（6 分）
（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A，分两种情况讨论…（7 分）
当C＝∅时，由2m﹣1≥m，解得m≥1…（9 分）
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当C≠∅时，由
此不等式组无解…（11 分）
故实数m 的取值范围是[1，+∞）…（12 分）
19．【解答】解：（1）根据题意，圆M：x2+（y﹣1）2＝16 的圆心为（0，1），半径r＝4；
分2 种情况讨论：
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x＝4，满足题意，
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y+2＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣2＝0，
则
，解得
，
此时直线l 的方程为7x﹣24y﹣76＝0，
所以直线l 的方程为x＝4 或7x﹣24y﹣76＝0；
（2）当直线l 的倾斜角为135°时，直线l 的方程为y+2＝﹣（x﹣4），即x+y﹣2＝0，
圆心M（0，1）到直线l 的距离为
；
所以直线l 被圆M 所截得的弦长
．
20．【解答】解：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，因为BC∥A1D1，BC＝A1D1
所以四边形A1BCD1 是平行四边形，A1B∥CD1…（2 分）
又A1B⊄平面ACD1，CD1⊂平面ACD1，…（4 分）
所以直线A1B∥平面ACD1…（6 分）
（2）因为三棱锥D1﹣BCD 的所有顶点所在的球面与长方体ABCD﹣A1B1C1D1 的八个顶点所在的球面相同，…
（8 分）
这个球的直径
，
半径
…（10 分）
所以所求球的体积为
．…（12 分）
21．【解答】解：（1）根据题意，得
…（6 分）
（2）因为每件销售利润＝售价﹣进价，所以R＝A﹣B，
当t∈（0，4]且t∈N*时，R＝4t+30，t＝4 时，Rmax＝46…（8 分）
当t∈（4，8]且t∈N*时，R＝56…（9 分）
当t∈（8，12]且t∈N*时，R＝136﹣10t，t＝9 时，Rmax＝46…（11 分）
故该服装第5，6，7，8 周每件销售利润R 最大，最大值是56 元…（12 分）
22．【解答】解：（1）因为数f（x）＝2kx2+x（k 为实常数）为奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），即2kx2﹣x＝﹣2kx2﹣x，所以k＝0；
（2）g（x）＝af（x）+1＝ax+1，
当a＞1 时，g（x）在[﹣2，1]上是增函数，g（x）的最大值g（1）＝a+1，
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g（x）的最小值
；
当0＜a＜1 时，g（x）在[﹣2，1]上是减函数，g（x）的最大值
，
g（x）的最小值g（1）＝a+1；
（3）当a＝2 时，g（x）＝2x+1 在[﹣1，0]上是增函数，g（x）≤g（0）＝2，
所以﹣2mt+3≥2，即2mt﹣1≤0 对所有的m∈[﹣1，1]恒成立，
令h（m）＝2tm﹣1，则
即
，解得
，
实数t 的取值范围是
．
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2019-2020 学年河南省豫南九校联考高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的）
1．（5 分）同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线（
）
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直
2．（5 分）已知直线l 经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣
，则直线l 的方程为（
）
A．3x+4y﹣14＝0
B．3x﹣4y+14＝0
C．4x+3y﹣14＝0
D．4x﹣3y+14＝0
3．（5 分）若线段AB 的长等于它在平面α内的射影长的2 倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
4．（5 分）下列函数中，满足“f（xy）＝f（x）f（y）“的单调递增函数是（
）
A．f（x）＝x3
B．f（x）＝lgx
C．f（x）＝（
）x D．f（x）＝3x
5．（5 分）若直线11：2x﹣ay﹣1＝0 过点（1，1），l2：x+2y＝0，则直线l1 与l2（
）
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．相交于点（2，﹣1）
6．（5 分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）已知函数
，则
＝（
）
A．4
B．
C．﹣4
D．
8．（5 分）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为（
）
A．相交
B．平行
C．异面而且垂直
D．异面但不垂直
9．（5 分）已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），当x＜0 时，f（x）＞1，方程y＝ax+
表示的直线是（
）
A．
B．
C．
D．
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10．（5 分）如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（
）
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM 与BD 所成的角为45°
11．（5 分）已知f（x）＝loga（8﹣3ax）在[﹣1，2]上的减函数，则实数a 的取值范围是（
）
A．（0，1）
B．
C．
D．（1，+∞）
12．（5 分）《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问
题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木
材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？
长为1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB＝1
尺，弓形高CD＝1 寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（
）（注：1 丈＝10 尺＝100 寸，π≈3.14，sin22.5°
≈
）
A．600 立方寸
B．610 立方寸
C．620 立方寸
D．633 立方寸
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．（5 分）已知直线y＝kx+2k+1，则直线恒经过的定点
．
14．（5 分）在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M 是AB 上一个动点，
则PM 的最小值为
．
15．（5 分）已知集合A＝{x|log2（2x﹣4）≤1}，集合B＝{y|y＝（
）x，x
}，则A∩B＝
．
16．（5 分）平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是
（填上所有你认为正确的序号）
①正三边形
②正四边形
③正五边形
④正六边形
⑤钝角三角形
⑥等腰梯形
⑦非矩形的平行四边形
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10 分）已知直线l 的方程为x+2y﹣6＝0，直线l1 与l 平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l1
的方程．
18．（12 分）设函数f（x）＝x2+2x﹣m．
（1）当m＝3 时，求函数f（x）的零点．
（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0 恒成立，求m 的最大值．
19．（12 分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC 的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA
于点E、F、G、H．
（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；
（Ⅱ）证明：四边形EFGH 是矩形．
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20．（12 分）已知△ABC 的顶点A（5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0．AC 边上的高BH
所在直线为x﹣2y﹣5＝0．求：
（1）顶点C 的坐标；
（2）直线BC 的方程．
21．（12 分）已知四棱锥E﹣ABCD 的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，
，O 为AB 的中点．
（Ⅰ）求证：EO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求点D 到面AEC 的距离．
22．（12 分）已知函数f（x）＝
+a（a∈R）．
（1）判断并证明f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（2）若存在1＜m＜n 使得f（x）在[m，n]上的值域为[m，n]求实数a 的取值范围．
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2019-2020 学年河南省豫南九校联考高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的）
1．【解答】解：由题意，笔所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直
若笔所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，
在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直
综上，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直．
故选：D．
2．【解答】解：∵直线l 经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣
，
∴直线l 的点斜式方程为y﹣5＝
（x+2），
整理得：3x+4y﹣14＝0．
故选：A．
3．【解答】解：如图，AC⊥α，垂足为C，AB∩α＝B，
则BC 是AB 在平面α内的射影，
∴∠ABC 是直线与平面所成的角，
∵线段AB 的长等于它在平面α内的射影长的2 倍，
∴BC＝
AB，
∴∠ABC＝60°．
∴AB 所在直线与平面α所成的角为60°．
故选：C．
4．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对于f（x）＝x3，有（xy）3＝x3×y3，满足f（xy）＝f（x）f（y），符合题意；
对于B，f（x）＝lgx，为对数函数，不满足f（xy）＝f（x）f（y），不符合题意；
对于C，f（x）＝（
）x，为指数函数，不满足f（xy）＝f（x）f（y），不符合题意；
对于D，f（x）＝3x，为指数函数，不满足f（xy）＝f（x）f（y），不符合题意；
故选：A．
5．【解答】解：∵直线l1：2x﹣ay﹣1＝0 过点（1，1），
∴2﹣a﹣1＝0，
∴a＝1，
∴直线l1：2x﹣y﹣1＝0 的斜率为2，
∵l2：x+2y＝0 的斜率为﹣
，
∴直线l1 与l2：x+2y＝0 互相垂直．
故选：C．
6．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，
在两条为长方体的两条对角线，
它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，
另一条为体对角线，
它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，
对照各图，只有D 符合．
故选：D．
7．【解答】解：f（
）＝log5
＝﹣2，
＝f（﹣2）＝
，
故选：B．
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8．【解答】解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：
可以看出AB 与CD 异面；
如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则AB∥CE；
∴∠DCE 为异面直线AB，CD 的夹角，并且该角为60°；
∴AB，CD 异面但不垂直．
故选：D．
9．【解答】解：函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），当x＜0 时，f（x）＞1，
∴0＜a＜1，方程y＝ax+
，
令x＝0 可得y＝
，y＝0 可得x＝﹣
，
∵﹣
＞
，∴C 选项正确．
故选：C．
10．【解答】解：因为截面PQMN 是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM 可得AC⊥BD，故A 正确；
由PQ∥AC 可得AC∥截面PQMN，故B 正确；
异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，故D 正确；
∵BD∥PN，PQ∥AC．
∴
，
，
而当AN≠DN 时，由PN＝MN，知BD≠AC，
故C 错误．
故选：C．
11．【解答】解：令y＝logat，t＝8﹣3ax，
（1）若0＜a＜1，则函y＝logat，是减函数，
由题设知t＝8﹣3ax 为增函数，需a＜0，故此时无解；
（2）若a＞1，则函数y＝logat 是增函数，则t 为减函数，
需a＞0 且8﹣3a×2＞0，可解得1＜a＜
综上可得实数a 的取值范围是（1，
）．
故选：B．
12．【解答】解：如图，
AB＝10（寸），则AD＝5（寸），CD＝1（寸），
设圆O 的半径为x（寸），则OD＝（x﹣1）（寸），
在Rt△ADO 中，由勾股定理可得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13（寸）．
∴sin∠AOD＝
，即∠AOD≈22.5°，则∠AOB＝45°．
则弓形
的面积S＝
≈6.33（平方寸）．
则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V＝6.33×100＝633（立方寸）．
故选：D．
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二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．【解答】解：将直线y＝kx+2k+1 化简为点斜式，可得y﹣1＝k（x+2），
∴直线经过定点（﹣2，1），且斜率为k．
即直线y＝kx+2k+1 恒过定点（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
14．【解答】解：如图，作CH⊥AB 于H，连PH，
∵PC⊥面ABC，
∴PH⊥AB，PH 为PM 的最小值，
而CH＝2
，PC＝4，
∴PH＝2
．
故答案为：2
15．【解答】解：解不等式：log2（2x﹣4）≤1 得：0＜2x﹣4≤2，即：2＜x≤3，即A＝
，
由y＝（
）x，x
，求其值域得：0＜y
，即B＝
，
即A∩B＝
，
故答案为：
．
16．【解答】解：画出截面图形如图：
可以画出三边形，但不能画出直角三角形和钝角三角形，故①正确，⑤错误；
可以画出正四边形，故②正确；
经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故③错误；．
正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故④正确；
可以画出梯形但不是直角梯形，故⑥正确．
可以画出非矩形的平行四边形，故⑦．
故平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是：正三边形，正四边形，正六边形，等腰梯形，非矩形
的平行四边形．
故答案为：①②④⑥⑦．
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：由题意可设直线l1 的方程为：x+2y+m＝0，
可得与两坐标轴的交点分别为：（﹣m，0），（0，﹣
）．
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则
＝4，解得m＝±4．
∴直线l1 的方程为：x+2y±4＝0．
18．【解答】解：（1）m＝3 时，f（x）＝x2+2x﹣3，
由f（x）＝0，可得x＝1 或﹣3，
则f（x）的零点为1 或﹣3；
（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0 恒成立，
可得m≤x2+2x 在x≥1 的最小值，
由y＝x2+2x 在x≥1 递增，可得函数y 的最小值为3，
即有m≤3，即m 的最大值为3．
19．【解答】（Ⅰ）解：由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，
∴AD⊥平面BDC，
∴四面体ABCD 的体积V＝
＝
；
（Ⅱ）证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，
∴BC∥FG，BC∥EH，
∴FG∥EH．
同理EF∥AD，HG∥AD，
∴EF∥HG，
∴四边形EFGH 是平行四边形，
∵AD⊥平面BDC，
∴AD⊥BC，
∴EF⊥FG，
∴四边形EFGH 是矩形．
20．【解答】解：直线AC 的方程为：
y﹣1＝﹣2（x﹣5），
即2x+y﹣11＝0，
解方程组
得
则C 点坐标为（4，3）．
设B（m，n），
则M（
，
），
，
整理得
，
解得
则B 点坐标为（﹣1，﹣3），
y﹣3＝
（x﹣4），
即6x﹣5y﹣9＝0．
21．【解答】（I）证明：连接CO
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∵
∴△AEB 为等腰直角三角形
∵O 为AB 的中点，∴EO⊥AB，EO＝1…（2 分）
又∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ACB 是等边三角形
∴
，…（4 分）
又EC＝2，∴EC2＝EO2+CO2，
∴EO⊥CO，
∵AB∩CO＝O
∴EO⊥平面ABCD…（6 分）
（II）解：设点D 到面AEC 的距离为h
∵
∴
…（8 分）
∵
，E 到面ACB 的距离EO＝1，VD﹣AEC＝VE﹣ADC
∴S△AEC•h＝S△ADC•EO…（10 分）
∴
∴点D 到面AEC 的距离为
…（12 分）
22．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝
+a 在（1，+∞）上为增函数；
设1＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝（
+a）﹣（
+a）＝
，
又由1＜x1＜x2，
则（x1﹣1）＞0，（x2﹣1）＞0，（x1﹣x2）＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，
则函数函数f（x）＝
+a 在（1，+∞）上为增函数；
（2）根据题意，由（1）的结论，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，
若存在1＜m＜n 使得f（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，即
，
则方程f（x）＝x 即x2+（a+3）x+（a+3）＝0 在区间（1，+∞）上有两个不同的根，
设g（x）＝x2+（a+3）x+（a+3），
必有
，解可得a＞1，
即a 的取值范围为（1，+∞）．
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2019-2020 学年广东省珠海市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，B＝{x|x﹣2＜0}，则A∩B＝（
）
A．{﹣1}
B．{﹣3，1}
C．{﹣3}
D．{1}
2．（5 分）函数y＝
+
的定义域为（
）
A．（﹣2，2）
B．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2）
C．（﹣2，2]
D．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2]
3．（5 分）若方程2x＝7﹣x 的解为x0，则x0 所在区间为（
）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
4．（5 分）已知a＝2
﹣0.9，b＝log510，c＝log36，则a，b，c 的大小关系是（
）
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b
5．（5 分）我国数学史上有一部被尊为算经之首的《九章算术》齐卷五《商功》中有如下问题：今有圆堡墙，周四
丈八尺，高一丈一尺，问积几何？意思是：今有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4 丈8 尺，高1 丈1 尺，问它
的体积多少？（注：1 丈＝10 尺）若π取3，估算小城堡的体积为（
）
A．1998 立方尺
B．2012 立方尺
C．2112 立方尺
D．2324 立方尺
6．（5 分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1＝a，E，F 分别是BC，DC 的中点，则异面直线AD1 与EF
所成角为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
7．（5 分）已知点P（﹣2，3），点Q 是直线l：3x+4y+3＝0 上的动点，则|PQ|的最小值为（
）
A．2
B．
C．
D．
8．（5 分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax﹣a2﹣1 在区间（﹣∞，3）上是减函数，则f（2）的最大值为（
）
A．﹣18
B．7
C．32
D．无法确定
9．（5 分）已知m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个结论：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β
⊥γ，则α∥β．以上结论正确的个数（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
10．（5 分）已知圆x2+y2+2x﹣6y+5a＝0 关于直线y＝x+b 成轴对称图形，则ba 的取值范围（
）
A．（0，8）
B．（﹣∞，8）
C．（﹣∞，16）
D．（0，16）
11．（5 分）在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关
系y＝ekx+b（e＝2.71828…为自然对数的底数，k，b 为常数），若该食品在0℃时的保鲜时间为120 小时，在30℃
时的保鲜时间为15 小时，则该食品在20℃时的保鲜时间为（
）
A．30 小时
B．40 小时
C．50 小时
D．80 小时
12．（5 分）已知函数f（x）＝
，若方程f（x）﹣a＝0 有3 个不同的实数根，则实数a 的取值范
围是（
）
A．（1，4）
B．（0，1）
C．[1，3）
D．（0，2）
二、填空题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.请将答案填写在答题卡相应位置）
13．（5 分）在空间直角坐标系中，点A（1，﹣3，2）与点B（2，0，﹣2）之间的距离是
．
14．（5 分）已知过两点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角是45°，则y＝
．
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15．（5 分）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的母线长是底面圆半径的
倍．
16．（5 分）一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是
．
17．（5 分）已知两条平行直线4x+3y＝0 与8x+ay+10＝0 间离为d，则
的值为
．
18．（5 分）已知函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间[
]上恒有f（x）＞0，则实数a 的取值范围是
．
19．（5 分）下列五个结论
①f（x）＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（1，3）；
②若f（x）＝x3+ax﹣6，且f（﹣2）＝6，则f（2）＝18；
③已知x＝log23，4y＝
，则x+2y＝3；
④f（x）＝x（
﹣
）为偶函数；
⑤已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|mx＝1}，且B⊆A，则实数m 的值为1 或﹣1．
其中正确的序号是
（请填上你认为正确的所有序号）
20．（5 分）设f（x）＝x3+ax2+bx+c，f（1）＝1，f（2）＝2，则f（3）﹣f（0）的值为
．
三、解答题（本大题共5 小题，共50 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（10 分）已知集合A＝{x∈R|
＜2x+1≤16}，B＝{x|m﹣2≤x≤2m+1，m∈R}．
（1）当m＝1 时，求集合∁AB；
（2）若A∪B＝A，求实数m 的取值范围．
22．（10 分）已知垂直于3x﹣4y+1＝0 的直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线l 的方程．
23．（10 分）已知定义在R 上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝
．
（1）求函数f（x）在R 上的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
24．（10 分）已知如图，平面DCBE⊥平面ABC，四边形DCBE 为矩形，且BC＝5，AB＝4，AC＝3，F，G 分别
为AD，CE 的中点．
（1）求证：FG∥平面ABC；
（2）求证：平面ABE⊥平面ACD．
25．（10 分）已知圆C 的圆心C 在直线x﹣2y＝0 上．
（1）若圆C 与y 轴的负半轴相切，且该圆截x 轴所得的弦长为4
，求圆C 的标准方程；
（2）已知点N（0，﹣3），圆C 的半径为3，且圆心C 在第一象限，若圆C 上存在点M，使|MN|＝2|MO|（O 为
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坐标原点），求圆心C 的纵坐标的取值范围．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}＝{﹣1，3}，
B＝{x|x﹣2＜0}＝{x\x＜2}，
∴A∩B＝{﹣1}．
故选：A．
2．【解答】解：要使函数
有意义，则：
；
解得﹣2＜x≤2，且x≠﹣1；
∴该函数的定义域为：（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2]．
故选：D．
3．【解答】解：由2x＝7﹣x 得f（x）＝2x+x﹣7，
则f（x）为增函数，
∵f（2）＝22+2﹣7＝6﹣7＝﹣1＜0，f（3）＝23+3﹣7＝11﹣7＝4＞0，
∴f（2）f（3）＜0，
即在区间（2，3）内，函数存在一个零点x0，
故选：C．
4．【解答】解：∵a＝2
﹣0.9＜20＝1，
b＝log510＝log5（5×2）＝1+log52，
c＝log36＝log3（3×2）＝1+log32，
且log52＜log32．
∴a＜b＜c．
故选：B．
5．【解答】解：设圆柱形城堡的底面半径为r，则由题意得2πr＝48，∴r＝
≈8 尺．又城堡的高h＝11 尺，
∴城堡的体积V＝πr2h＝π×64×11≈2112 立方尺．
故选：C．
6．【解答】解：连接BD，B1D1，AB1，
则EF∥BD∥B1D1，
∴∠AD1B1 就是异面直线AD1 与EF 所成角，
∵AD1＝B1D1＝AB1，
∴∠AD1B1＝60°．
∴异面直线AD1 与EF 所成角为60°．
故选：C．
7．【解答】解：点P（﹣2，3），点Q 是直线l：3x+4y+3＝0 上的动点，
|PQ|的最小值为点Q 到直线l 的距离，
∴|PQ|的最小值为d＝
＝
．
故选：B．
8．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2ax﹣a2﹣1 的图象开口朝上，且以直线x＝a 为对称轴，
若函数f（x）＝x2﹣2ax﹣a2﹣1 在区间（﹣∞，3）上是减函数，
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则a≥3，
又由f（2）＝﹣a2﹣4a+3＝﹣（a+2）2+7，
故a＝3 时，f（2）的最大值为﹣18，
故选：A．
9．【解答】解：由m、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：
①若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直的性质知m⊥n，故①正确；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，
则由平面与平面平行的判定定理和直线与平面垂直的判定定理知m⊥γ，故②正确；
③若m∥α，n∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故③错误；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故④错误．
故选：B．
10．【解答】解：∵圆x2+y2+2x﹣6y+5a＝0 关于直线y＝x+b 成轴对称图形，
∴圆心（﹣1，3）在直线y＝x+b 上，
∴3＝﹣1+b，解得b＝4
又圆的半径r＝
＞0，∴a＜2，
ba＝4a∈（0，16）
故选：D．
11．【解答】解：由题意可知
，∴e30k＝
，∴e10k＝
，
∴e20k+b＝（e10k）2•eb＝
•120＝30．
故选：A．
12．【解答】解：方程f（x）﹣a＝0 有3 个不同的实数根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝a 的交点个数，由图知：
当0＜a＜1 时，y＝f（x）的图象与直线y＝a 有3 个交点，
故选：B．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.请将答案填写在答题卡相应位置）
13．【解答】解：在空间直角坐标系中，
点A（1，﹣3，2）与点B（2，0，﹣2）之间的距离是：
|AB|＝
＝
．
故答案为：
．
14．【解答】解：由已知可得：
，
即y+3＝2，则y＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．【解答】解：圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，
即圆锥的侧面展开图是圆心角为
的扇形，
设母线长为R，底面圆的半径为r，
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则
＝
，
即该圆锥的母线长是底面圆半径的3 倍，
故答案为：3．
16．【解答】解：根据三视图得，
该四棱锥的底面是菱形，且菱形的对角线分别为8 和4，
菱形的面积为
×8×4＝16；
又该四棱锥的高为
＝6，
所以该四棱锥的体积为
×16×6＝32．
故答案为：32．
17．【解答】解：∵两条平行直线4x+3y＝0 与8x+ay+10＝0 间离为d，∴
＝
≠
，求得a＝6，
故两条平行直线即8x+6y＝0 与8x+6y+10＝0，∴d＝
＝1，∴
＝6，
故答案为：6．
18．【解答】解：∵函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间[
]上恒有f（x）＞0，
∴a＞1，且2×
﹣a＞1；
或0＜a＜1，且0＜2×
﹣a＜1．
解得a∈∅，或
＜a＜1，
故答案为：（
，1）．
19．【解答】解：对于①，可令x﹣1＝0，即x＝1，f（1）＝2，
f（x）＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（1，2），故①错误；
对于②，若f（x）＝x3+ax﹣6，且f（﹣2）＝6，由f（﹣x）+f（x）＝﹣x3﹣ax﹣6+x3+ax﹣6＝﹣12，
则f（2）＝﹣18，故②错误；
对于③，x＝log23，4y＝
，则y＝log4
，
x+2y＝log23+log2
＝log28＝3，故③正确；
对于④，f（x）＝x（
﹣
）＝x•
，定义域为{x|x≠0}，
f（﹣x）＝﹣x•
＝x•
＝f（x），f（x）为偶函数，故④正确；
对于⑤，已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|mx＝1}，且B⊆A，B＝∅，可得m＝0，
B≠∅，可得m＝1 或﹣1，则实数m 的值为0 或1 或﹣1，故⑤错误．
故答案为：③④．
20．【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+bx+c，f（1）＝1，f（2）＝2，
∴
，
解得3a+b＝﹣6，
∴f（3）﹣f（0）＝（27+9a+3b+c）﹣c＝27+9a+3b＝27﹣3×6＝9．
故答案为：9．
三、解答题（本大题共5 小题，共50 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．【解答】解：（1）解不等式
＜2x+1≤16，解得：﹣3＜x≤3，即A＝
，
当m＝1 时，B＝
，
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所以∁AB＝
，
（2）由A∪B＝A，得：B⊆A，
①当B＝∅时，则有m﹣2＞2m+1，解得：m＜﹣3，符合题意，
②当B≠∅时，则有
，解得：﹣1＜m≤1，
综合①②可得：
实数m 的取值范围为：（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，1]．
22．【解答】解：直线l 与直线3x﹣4y+1＝0 垂直，则k＝﹣
，
设直线l 的方程为y＝﹣
+b，
则直线l 与x 轴的交点坐标为A（
b，0），与y 轴的交点坐标为B（0，b），
∴|AB|＝
＝|
b|，
由题意得|
b|+|
b|+|b|＝15，
即|b|＝5，得b＝±5，
∴直线l 的方程为y＝﹣
x±5，即4x+3y+15＝0 或4x+3y﹣15＝0．
23．【解答】解：（1）根据题意，f（x）为定义在R 上的函数f（x）是奇函数，则f（0）＝0，
设x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）＝
，
又由f（x）为R 上的奇函数，则f（x）＝﹣f（x）＝﹣
，
则f（x）＝
；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；
证明：根据题意，设0＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝（﹣
）﹣（﹣
）＝
﹣
＝
，
又由0＜x1＜x2，
则（x1﹣x2）＜0，且（1+x1）＞0，（1+x2）＞0；
则f（x1）﹣f（x2）＞0，
即函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．
24．【解答】证明：（1）连结BD，∵四边形DCBE 是矩形，且G 为CE 的中点，
∴BD∩CE＝G，且G 为线段BD 的中点，
又∵F 为AD 的中点，∴FG 为△DAB 的中位线，
∴FG∥AB，
又∵FG⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴FG∥平面ABC．
解：（2）∵DCBE 是矩形，∴DC⊥CB，
∵平面DCBE∩平面ABC＝BC，DC⊂平面DCBE，
∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB，
∵BC＝5，AB＝4，AC＝3，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，
∵AC∩DC＝C，AC⊂平面ACD，DC⊂平面ACD，
∴AB⊥平面ACD，
∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面ACD．
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25．【解答】解：（1）因为圆C 的圆心在直线x﹣2y＝0 上，所以可设圆心为（2a，a）
因为圆C 与y 轴的负半轴相切，所以a＜0，半径r＝﹣2a，
又因为该圆截学轴所得弦的弦长为4
，
所以a2+（2
）2＝（﹣2a）2，解得a＝﹣2，
因此，圆心为（﹣4，﹣2），半径r＝4
所以圆C 的标准方程为（x+4）2+（y+2）2＝16
（2）圆C 的半径为3，设圆C 的圆心为（2a，a），由题意，a＞0
则圆C 的方程为（x﹣2a）2+（y﹣a）2＝9
又因为|MN|＝2|MO|，N（0，﹣3），设M（x，y）
则
＝2
，整理得x2+（y﹣1）2＝4，
它表示以（0，1）为圆心，2 为半径的圆，记为圆D，
由题意可知：点M 既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有公共点．
所以|3﹣2|≤
≤5，且a＞0
所以
，即
，解得
，
解得
≤a
所以圆心C 的纵坐标的取值范围时[
，
]
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2019-2020 学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分．在每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求．
1．（5 分）下列表示正确的是（
）
A．0∈N
B．
∈N
C．﹣3∉Z
D．π∈Q
2．（5 分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天
池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（
）
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V ＝
）
A．2 寸
B．3 寸
C．4 寸
D．5 寸
3．（5 分）下列大小关系正确的是（
）
A．0.43＜30.4＜log40.3
B．0.43＜log40.3＜30.4
C．log40.3＜0.43＜30.4
D．log40.3＜30.4＜0.43
4．（5 分）已知f（x）＝
，则f（f（ln2））＝（
）
A．2
B．7
C．log713
D．6
5．（5 分）函数f（x）＝ln（x2+1）的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（
）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④
7．（5 分）若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7＝0 和l2：x+y﹣5＝0 上移动，则线段AB 的中
点M 到原点的距离的最小值为（
）
A．2
B．3
C．3
D．4
8．（5 分）定义在R 上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2，x1＜x2），有
＜
0，且f（2）＝0，则不等式xf（x）＜0 的解集为（
）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞）
D．（﹣2，0）∪（0，2）
二、选择题：本题共2 小题，每小题7 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得7 分，有
选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9．（7 分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段CC1 上的动点，过A、P、Q 的平面
截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（
）
①当0＜CQ＜
时，S 为四边形；
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②当CQ＝
时，S 为等腰梯形；
③当CQ＝
时，S 与C1D1 交点R 满足C1R1＝
；
④当
＜CQ＜1 时，S 为六边形；
⑤当CQ＝1 时，S 的面积为
．
A．①③④
B．②④⑤
C．①②④
D．①②③⑤
10．（7 分）函数
的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．下列命题：
①“囧函数”的值域为R；
②“囧函数”在（0，+∞）上单调递增；
③“囧函数”的图象关于y 轴对称；
④“囧函数”有两个零点；
⑤“囧函数”的图象与直线y＝kx+m（k≠0）至少有一个交点．
正确命题的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
三、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分．
11．（5 分）两条直线2x+y+2＝0 与ax+4y﹣2＝0 互相垂直，则a＝
．
12．（5 分）若P（2，8）在幂函数f（x）的图象上，则f（3）＝
．
13．（5 分）函数f（x）＝2x3﹣3x2+1 的零点为
．
14．（5 分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是边长为1 的正方形，侧棱长
，则异面直线A1B1
与BD1 的夹角大小等于
．
15．（5 分）已知圆柱的底面半径为
，高为2，若该圆柱的两个底面的圆周都在一个球面上，则这个球的表面积
为
．
四、解答题：本大题共6 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（10 分）已知函数f（x）＝1g（9﹣3x）的定义域为A，不等式x2﹣3x﹣4＜0 的解集为B．
（1）设集合C＝{x|a﹣1＜x＜2a+6}，且B⊆C，求实数a 的取值范围；
（2）定义M﹣N＝{x|x∈M 且x∉N}，求A﹣（A﹣B）．
17．（10 分）在△ABC 中，已知A（5，﹣2），B（7，3），且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，
求：
（1）顶点C 的坐标；
（2）直线MN 的方程．
18．（10 分）通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式为：M＝lgA﹣lgA0，其中，A 是被测地震的最
大振幅，A0 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是30，此时标准地震的振幅是
0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；
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（2）5 级地震给人的震感已比较明显，计算8 级地震的最大振幅是5 级地震的最大振幅的多少倍？（以下数据
供参考：lg2≈0.3010，lg3≈0.4770）
19．（11 分）已知函数f（x）对任意实数x，y 满足f（x）+f（y）＝f（x+y）+3，f（3）＝6，当x＞0 时，f（x）＞
3．
（1）判断f（x）在R 上的单调性，并证明你的结论．
（2）是否存在实数a 使f （a2﹣a﹣5）＜4 成立？若存在求出实数a；若不存在，则说明理由．
20．（15 分）如图所示四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD 中，AB⊥CD，BC∥AD，PA＝AB＝
BC＝2，AD＝4．
（1）求四棱锥P﹣ABCD 的体积；
（2）求证：CD⊥平面PAC；
（3）在棱PC 上是否存在点M（异于点C），使得BM∥平面PAD，若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
21．（15 分）已知函数f（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m，x∈R．
（1）若函数y＝|f（x）|在[﹣1，0]上是减函数，求实数m 的取值范围；
（2）是否存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b 的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b 的值；若不存在，说明理
由．
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2019-2020 学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分．在每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求．
1．【解答】解：在A 中，0 是自然数，故0∈N，故A 正确；
在B 中，
，故B 错误；
在C 中，﹣3∈Z，故C 错误；
在D 中，π∉Q，故D 错误．
故选：A．
2．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14 寸，下底面半径为6 寸，高为18 寸．
∵积水深9 寸，
∴水面半径为
（14+6）＝10 寸，
则盆中水的体积为
π×9（62+102+6×10）＝588π（立方寸）．
∴平地降雨量等于
＝3（寸）．
故选：B．
3．【解答】解：∵0＜0.43＜0.40＝1，30.4＞30＝1，log40.3＜log0.41＝0
∴log40.3＜0.43＜30.4
故选：C．
4．【解答】解：∵f（x）＝
，
∴f（ln2）＝3eln2＝6，
f（f（ln2））＝f（6）＝log7（8×6+1）＝2．
故选：A．
5．【解答】解：∵x2+1≥1，又y＝lnx 在（0，+∞）单调递增，∴y＝ln（x2+1）≥ln1＝0，
∴函数的图象应在x 轴的上方，又f（0）＝ln（0+1）＝ln1＝0，∴图象过原点，
综上只有A 符合．
故选：A．
6．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，
那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．
故选：D．
7．【解答】解：由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l1、l2 且到l1、l2 距离相等的直线l，故其方程为x+y﹣6＝0，
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∴M 到原点的距离的最小值为d＝
＝3
．
故选：C．
8．【解答】解：偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），当x1＜x2，有
＜0，
∴当x≤0 函数f（x）为减函数，即当x≥0 时，f（x）为增函数，
∵f（2）＝0，∴f（﹣2）＝f（2）＝0，
作出函数f（x）的图象如图：
xf（x）＜0 等价为
或
，
即0＜x＜2 或x＜﹣2，
即不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2），
故选：A．
二、选择题：本题共2 小题，每小题7 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得7 分，有
选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9．【解答】解：当CQ＝
时，S 为等腰梯形，②正确，图如下：
当CQ＝1 时，S 是菱形，面积为
＝
，⑤正确，图如下：
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当CQ＝
时，画图如下：C1R＝
，③正确
当
时，如图是五边形，④不正确；
当0＜CQ＜
时，如下图，是四边形，故①正确
故选：D．
10．【解答】解：（1）当a＝b＝1 时，画出f（x）＝
的图象，如图所示：
结合图象可得，y≠0，值域肯定不为R，故①错误．
且②“囧函数”在（0，+∞）上没有单调性，故②错误．
由f（x）＝
，可得f（﹣x）＝f（x），故f（x）是偶函数，它的图象关于y 轴对称，故③正确．
如图f（x）≠0，故函数f（x）没有零点，故④错误．
如图可知函数f（x）的图象，x＝1 换为x＝a，在四个象限都有图象，
此时与直线y＝kx+b（k≠0）的图象至少有一个交点，故⑤正确，
故选：B．
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三、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分．
11．
【解答】解：∵直线2x+y+2＝0 的斜率k1＝﹣2，直线ax+4y﹣2＝0 的斜率
，且两直线2x+y+2＝0 与ax+4y
﹣2＝0 互相垂直，
∴k1k2＝﹣1，∴
，解得a＝﹣2．
故答案为﹣2．
12．【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xa，a∈R，
函数图象过点P（2，8），
则2a＝8，a＝3，
∴幂函数f（x）＝x3，
∴f（3）＝33＝27．
故答案为：27．
13．【解答】解：根据题意，f（x）＝2x3﹣3x2+1，
若f（x）＝0，则2x3﹣3x2+1＝0，
解可得：x＝1 或﹣
，
即函数f（x）的零点为1 和﹣
，
故答案为：1 和﹣
14．【解答】解：连接BC1，∵A1B1∥C1D1，
∴∠BD1C1 为异面直线A1B1 与BD1 所成的角，
∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是边长为1 的正方形，
∴C1D1⊥平面BCC1B1，
∴C1D1⊥BC1，
在Rt△BC1D1 中，BC1＝
，tan∠BD1C1＝
＝
，
∠BD1C1＝
．
故答案是
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15．【解答】解：设球的半径为R，则
，∴R＝2，
因此，这个球的表面积为4πR2＝4π×22＝16π．
故答案为：16π．
四、解答题：本大题共6 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．【解答】解：（1）解不等式x2﹣3x﹣4＜0，
得：﹣1＜x＜4，
即B＝（﹣1，4），
又集合C＝{x|a﹣1＜x＜2a+6}，且B⊆C，
则有
，
解得：﹣1≤a≤0，
故答案为：[﹣1，0]
（2）令9﹣3x＞0，
解得：x＜2，
即A＝（﹣∞，2），
由定义M﹣N＝{x|x∈M 且x∉N}可知：
即A﹣B＝（﹣∞，﹣1]，
即A﹣（A﹣B）＝（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）
17．【解答】解：（1）设C（x0，y0），
则AC 中点M
，BC 中点N（
，
）．
∵M 在y 轴上，
∴
＝0，x0＝﹣5．
∵N 在x 轴上，
∴
＝0，y0＝﹣3．即C（﹣5，﹣3）．
（2）∵M（0，﹣
），N（1，0），
∴直线MN 的方程为
+
＝1，即5x﹣2y﹣5＝0．
18．【解答】解：（1）
＝lg30000＝lg3+lg104≈4.5
因此，这次地震的震级为里氏4.5 级．
（2）由M＝lgA﹣lgA0 可得
，即
，
．
当M＝8 时，地震的最大振幅为
；
当M＝5 时，地震的最大振幅为
；
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所以，两次地震的最大振幅之比是：
答：8 级地震的最大振幅是5 级地震的最大振幅的1000 倍．
19．【解答】解：（1）令y＞0，则x+y＞x
∵当x＞0 时，f（x）＞3
∴f（y）＞3
又∵函数f（x）对任意实数x，y 满足f（x）+f（y）＝f（x+y）+3，当x＞0 时，f（x）＞3
∴f（x）+f（y）＝f（x+y）+3＞f（x）+3
即f（x+y）＞f（x）
故f（x）在R 上单调递增；
（2）令x＝1，y＝1，则f（1）+f（1）＝f（2）+3，
令x＝2，y＝1，则f（2）+f（1）＝3f（1）﹣3＝f（3）+3，
又∵f（3）＝6，
∴f（1）＝4
由（1）中f（x）在R 上单调递增
则f （a2﹣a﹣5）＜4 成立
若f （a2﹣a﹣5）＜f（1），
即a2﹣a﹣5＜1
解得：﹣2＜a＜3
故解集为{a|﹣2＜a＜3}
20．【解答】解：（1）显然四边形ABCD 是直角梯形，
SABCD＝
（BC+AD）×AB＝
×（2+4）×2＝6
又PA⊥ABCD 底面ABCD
∴VP﹣ABCD＝
•PA＝
×6×2＝4
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD
在直角梯形ABCD 中，AC＝
＝2
，
CD＝2
，∴AC2+CD2＝AD2，即AC⊥CD
又∵PA∩AC＝A，
∴CD⊥PAC
（3）不存在，下面用反证法进行证明
假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD．
∵BC∥AD，且BC⊄平面PAD，
AD⊂平面PAD，
∴BC∥平面PAD
又∵BC∩BM＝B，
∴平面PBC∥平面PAD
而平面PBC 与平面PAD 相交，
得出矛盾．
21．【解答】解：（1）根据题意，令f（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m＝0，则△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）
（m﹣6）；
分2 种情况讨论：
①，当△≤0，即2≤m≤6 时，f（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m≤0 恒成立，
所以|f（x）|＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣2．
因为y＝|f（x）|在[﹣1，0]上是减函数，所以
，解得m≥2，
所以2≤m≤6．
②，由△＞0，解得m＜2 或m＞6，
当m＞6 时，y＝|f（x）|的图象对称轴
，且方程f（x）＝0 的两根均为正，
此时y＝|f（x）|在[﹣1，0]为减函数，所以m＞6 符合条件．
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当m＜2 时，y＝|f（x）|的图象对称轴
，且方程f（x）＝0 的根一正一负，
要使y＝|f（x）|在[﹣1，0]单调递减，则
，解得m≤0．
综上可得，实数m 的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）．
（2）假设存在整数a、b，使a≤f（x）≤b 的解集恰好是[a，b]，
分3 种情况讨论：
①若函数y＝f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）＝a，f（b）＝b 且
，
即
作差得到m﹣2＝a+b+1，代回得到ab﹣a﹣b＝1，即（a﹣1）（b﹣1）＝2，
由于a、b 均为整数，
故a＝﹣1，b＝0，m＝2 或a＝2，b＝3，m＝8，经检验均不满足要求；
②若函数y＝f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）＝b，f（b）＝a 且
，
即
作差得到m﹣2＝a+b﹣1，代回得到：ab﹣2a﹣2b＝﹣1，即（a﹣2）（b﹣2）＝3，
由于a、b 均为整数，
故a＝﹣1，b＝1，m＝1 或a＝3，b＝5，m＝9，经检验均不满足要求；
③若函数y＝f（x）在[a，b]上不单调，则
，f（a）＝f（b）＝a，且
，
即
作差得到m﹣2＝a+b，代回得到ab﹣2a﹣b＝0，即（a﹣1）（b﹣2）＝2，由于a，b 均为整数，
故a＝2，b＝4，m＝8 或a＝﹣1，b＝1，m＝2，经检验均满足要求；
综上：符合要求的整数a、b 是
或
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2019-2020 学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5 分）下面有四个命题
（1）集合N 中最小的数是1；
（2）若﹣a 不属于N，则a 属于N；
（3）若a∈N，b∈N，则a+b 的最小值为2；
（4）x2+1＝2x 的解可表示为{1，1}．
其中正确命题的个数为（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
2．（5 分）在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（5 分）函数y＝
的定义域为（
）
A．{x|x≠±5}
B．{x|x≥4}
C．{x|4＜x＜5}
D．{x|4≤x＜5 或x＞5}
4．（5 分）已知f（x）＝
，则f（﹣
）的值为（
）
A．
B．2
C．
D．﹣1
5．（5 分）若函数y＝x2﹣3x﹣4 的定义域为[0，m]，值域为[﹣
，﹣4]，则m 的取值范围是（
）
A．（0，4]
B．
C．
D．
6．（5 分）已知角α的终边经过点（
），则角α的最小正值是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）已知sinα＝
，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（
）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
8．（5 分）给出下列各函数值：
①sin（﹣1000°）；
②cos（﹣2200°）；
③tan（﹣10）；
④
，
其中符号为负的有（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
9．（5 分）设点A（2，0），B（4，2），若点P 在直线AB 上，且
，则点P 的坐标为（
）
A．（3，1）
B．（1，﹣1）
C．（3，1）或（1，﹣1）
D．（3，1）或（1，1）
10．（5 分）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|
|＝（
）
A．
B．
C．
D．4
11．（5 分）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于
区间（
）
A．（a，b）和（b，c）内
B．（﹣∞，a）和（a，b）内
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第257页（共397页）
C．（b，c）和（c，+∞）内
D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
12．（5 分）已知方程9x﹣2•3x+3k﹣1＝0 有两个实根，则实数k 的取值范围为（
）
A．[
，1]
B．（
，
]
C．[
，+∞）
D．[1，+∞）
二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）若A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则x＝
．
14．（5 分）若平面向量＝（2，3），＝（﹣4，7），则在上的投影为
．
15．（5 分）一次函数f（x）是减函数，且满足f[f（x）]＝4x﹣1，则f（x）＝
．
16．（5 分）直线y＝1 与曲线y＝x2﹣|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是
．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（10 分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（﹣
）的值．
18．（12 分）已知函数
，试求：
（1）函数f（x）的最小正周期及x 为何值时f（x）有最大值；
（2）函数f（x）的单调递增区间；
（3）若方程f（x）﹣m+1＝0 在
上有解，求实数m 的取值范围．
19．（12 分）已知△ABC 三个顶点的直角坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）．
（1）若
，求c 的值；
（2）若c＝5，求sinA 的值．
20．（12 分）已知| |＝1，• ＝
，（﹣）•（+ ）＝
．
（1）求向量与的夹角θ；
（2）求| + |．
21．（12 分）已知a∈R，函数f（x）＝log2（
+a）．
（1）当a＝5 时，解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x 的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0 的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．
（3）设a＞0，若对任意t∈[
，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范
围．
22．（12 分）已知函数f（x）＝
．
（1）求函数f（x）在区间[0，2]上的最值；
（2）若关于x 的方程（x+1）f（x）﹣ax＝0 在区间（1，4）内有两个不等实根，求实数a 的取值范围．
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2019-2020 学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．【解答】解：∵集合N 中含0，∴①×；
∵N 表示自然数集，﹣0.5∉N，0.5∉N，∴②×；
∵0∈N，1∈N，∴③×；
根据列举法表示集合中元素的互异性，④×；
故选：A．
2．【解答】解：由于函数y＝1 的定义域为R，而函数y＝
的定义域为{x|x≠0}，这2 个函数的定义域不同，
故不是同一个函数，故排除A．
由于函数
的定义域为{x|x≥1}，而
的定义域为{x|1≤x 或x≤﹣1}，
这2 个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除B．
由于函数y＝x 与函数y＝
具有相同的定义域、对应关系、值域，故是同一个函数．
由于函数y＝|x|的定义域为R，而函数y＝
的定义域为{x|x≥0}，这两个函数的定义域不同，
故不是同一个函数，故排除D．
故选：C．
3．【解答】解：要使函数
的解析式有意义，
自变量x 须满足：
解得x∈{x|4≤x＜5 或x＞5}
故函数
的定义域为{x|4≤x＜5 或x＞5}
故选：D．
4．【解答】解：f（x）＝
，则f（﹣
）＝
＝
＝
＝2．
故选：B．
5．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣
）2﹣
，
∴f（
）＝﹣
，又f（0）＝﹣4，
故由二次函数图象可知：
m 的值最小为
；
最大为3．
m 的取值范围是：[
，3]，
故选：C．
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6．【解答】解：∵角α的终边经过点（
），
∴sinα＝﹣
，
∴α＝2kπ﹣
或α＝2kπ+
，k∈Z，
又α是第四象限的角，
∴α＝2kπ﹣
，
令k＝1，得角α的最小正值是
．
故选：B．
7．【解答】解：∵sinα＝
且α是第二象限的角，
∴
，
∴
，
故选：A．
8．【解答】解：sin（﹣1000°）＝sin（﹣2×360°﹣280°）＝﹣sin280°＝cos10°＞0，
cos（﹣2200°）＝cos（﹣6×360°﹣40°）＝cos40°＞0，
tan（﹣10）＝﹣tan（3π+0.58）＝﹣tan（0.58）＜0
＝﹣
＝
＞0
故选：C．
9．【解答】解：∵A（2，0），B（4，2），
∴
＝（2，2）
∵点P 在直线AB 上，且
，
∴
＝2
，或
＝﹣2
，
故
＝（1，1），或
＝（﹣1，﹣1），
故P 点坐标为（3，1）或（1，﹣1）
故选：C．
10．【解答】解：∵
均为单位向量，它们的夹角为60°
∴| |＝1，| |＝1，
＝cos60°
∴|
|＝
＝
＝
故选：C．
11．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）＝（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）＝（c﹣a）（c
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﹣b）＞0，
由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；
又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，
因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．
故选：A．
12．【解答】解：设t＝3x，则t＞0，
则方程9x﹣2•3x+3k﹣1＝0 有两个实根可转化为t2﹣2t+3k﹣1＝0 有两个正根，
则有
，
解得：
，
故选：B．
二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分。
13．【解答】解：∵A∩B＝B
∴B⊆A
∴x2＝4 或x2＝x
∴x＝﹣2，x＝2，x＝0，x＝1（舍去）
故答案为：﹣2，2，0
14．【解答】解：∵
＝
＝
；
由投影的定义可知，在上的投影为
＝
故答案为：
15．【解答】解：由一次函数f（x）是减函数，可设f（x）＝kx+b（k＜0）．
则f[f（x）]＝kf（x）+b＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b，
∵f[f（x）]＝4x﹣1，
∴
解得k＝﹣2，b＝1
∴f（x）＝﹣2x+1．
故答案为：﹣2x+1
16．【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y＝1 与曲线y＝x2﹣|x|+a，
观图可知，a 的取值必须满足
，
解得
．
故答案为：（1，
）
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
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17．【解答】解：（1）由图象可知A＝2，并且T＝
（
）＝π，所以ω＝2，又f（
）＝2，0＜φ＜π，
得到φ＝
，所以
；
（2）由（1）得到f（﹣
）＝2sin（﹣
）＝﹣2sin
＝1．
18．【解答】解：（1）
．
令
，
解得
，
即
时，f（x）有最大值．
（2）令
，
∴
，
∴函数f（x）的单调增区间为
．）
（3）方程f（x）﹣m+1＝0 在
上有解，等价于两个函数y＝f（x）与y＝m﹣1 的图象有交点．
∵
，
∴
，
∴
，
即得
，
∴
，
∴m 的取值范围为
．
19．【解答】解：（1）由A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）．
得到：
＝（﹣3，﹣4），
＝（c﹣3，﹣4），则
•
＝﹣3（c﹣3）+16＝0，解得c＝
；
（2）当c＝5 时，C（5，0），则|AB|＝
＝5，|AC|＝
＝2
，|BC|＝5，
根据余弦定理得：cosA＝
＝
＝
，
由A∈（0，π），得到sinA＝
＝
．
20．【解答】解：（1）∵（﹣）•（+ ）＝
，
∴
﹣
＝
，
即| |2﹣| |2＝
．
∵| |＝1，∴| |2＝
，∴| |＝
；…（4 分）
∴cosθ＝
＝
＝
，
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又θ∈[0，π]，∴θ＝
；…（8 分）
（2）| + |2＝
2+2 • +
2
＝1+2×
+
＝
，
∴| + |＝
＝
．…（12 分）
21．【解答】解：（1）当a＝5 时，f（x）＝log2（
+5），
由f（x）＞0；得log2（
+5）＞0，
即
+5＞1，则
＞﹣4，则
+4＝
＞0，即x＞0 或x＜﹣
，
即不等式的解集为{x|x＞0 或x＜﹣
}．
（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0 得log2（
+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0．
即log2（
+a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，
即
+a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①
则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，
即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，
当a＝4 时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a＝3 时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a≠4 且a≠3 时，方程②的解为x＝﹣1 或x＝
，
若x＝﹣1 是方程①的解，则
+a＝a﹣1＞0，即a＞1，
若x＝
是方程①的解，则
+a＝2a﹣4＞0，即a＞2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．
综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0 的解集中恰好有一个元素，
则a 的取值范围是1＜a≤2，或a＝3 或a＝4．
（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，
即log2（
+a）﹣log2（
+a）≤1，
即
+a≤2（
+a），即a≥
﹣
＝
设1﹣t＝r，则0≤r≤
，
＝
＝
，
当r＝0 时，
＝0，
当0＜r≤
时，
＝
，
∵y＝r+
在（0，
）上递减，
∴r+
≥
＝
，
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∴
＝
＝
，
∴实数a 的取值范围是a≥
．
22．【解答】解：（1）令t＝x+1，t∈[1，3]，
则x＝t﹣1，
故y＝f（x）＝
＝
＝t+
﹣2，
由对勾函数的性质可知，
函数y＝g（t）＝t+
﹣2 在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增；
且g（1）＝1+4﹣2＝3，g（2）＝2+2﹣2＝2，g（3）＝3+
﹣2＝
，
故函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为2，最大值为3；
（2）当x∈（1，4）时，
∵（x+1）f（x）﹣ax＝0，
∴（x2+3）﹣ax＝0，
故a＝
＝x+
，
作函数y＝x+
在（1，4）上的图象如下，
，
其中ymin＝
+
＝2
，y|x＝1＝1+3＝4，y|x＝4＝4+
＞4，
故结合图象可知，当2
＜a＜4 时，
关于x 的方程（x+1）f（x）﹣ax＝0 在区间（1，4）内有两个不等实根．
故实数a 的取值范围为2
＜a＜4．
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2019-2020 学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）设A＝{x|x2﹣x＝0}，B＝{x|x2+x＝0}，则A∩B 等于（
）
A．0
B．{0}
C．∅
D．{﹣1，0，1}
2．（5 分）若函数y＝x2﹣4x﹣4 的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，则m 的取值范围是（
）
A．（0，2]
B．（2，4]
C．[2，4]
D．（0，4）
3．（5 分）已知g（x）＝1﹣2x，f[g（x）]＝
（x≠0），则f（
）等于（
）
A．15
B．1
C．3
D．30
4．（5 分）已知a＝20.3，b＝log0.23，c＝log32，则a，b，c 的大小关系是（
）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
5．（5 分）如果函数f（x）＝3sin（2x+φ）的图象关于点（
，0）成中心对称（|φ|＜
），那么函数f（x）图象
的一条对称轴是（
）
A．x＝﹣
B．x＝
C．x＝
D．x＝
6．（5 分）若函数y＝f（x）的定义域为{x|﹣2≤x≤3，且x≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y＝f（x）的
图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）已知sinα＝
，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（
）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
8．（5 分）若非零向量，满足| |＝| |，（2 + ）• ＝0，则与的夹角为（
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
9．（5 分）设点A（2，0），B（4，2），若点P 在直线AB 上，且
，则点P 的坐标为（
）
A．（3，1）
B．（1，﹣1）
C．（3，1）或（1，﹣1）
D．（3，1）或（1，1）
10．（5 分）已知函数f（x）＝
是R 上的增函数，则a 的取值范围是（
）
A．﹣3≤a＜0
B．﹣3≤a≤﹣2
C．a≤﹣2
D．a＜0
11．（5 分）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于
区间（
）
A．（a，b）和（b，c）内
B．（﹣∞，a）和（a，b）内
C．（b，c）和（c，+∞）内
D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
12．（5 分）已知方程9x﹣2•3x+3k﹣1＝0 有两个实根，则实数k 的取值范围为（
）
A．[
，1]
B．（
，
]
C．[
，+∞）
D．[1，+∞）
二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分.
13．（5 分）函数f（x）＝lg（1﹣2x）的定义域为
．
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14．（5 分）一次函数f（x）是减函数，且满足f[f（x）]＝4x﹣1，则f（x）＝
．
15．（5 分）已知函数f（x）＝
的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是
．
16．（5 分）若平面向量＝（2，3），＝（﹣4，7），则在上的投影为
．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（10 分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（﹣
）的值．
18．（12 分）已知函数
，试求：
（1）函数f（x）的最小正周期及x 为何值时f（x）有最大值；
（2）函数f（x）的单调递增区间；
（3）若方程f（x）﹣m+1＝0 在
上有解，求实数m 的取值范围．
19．（12 分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）在区间[﹣3，﹣1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1 的图象上方，试确定实数m 的取值范围．
20．（12 分）已知| |＝1，• ＝
，（﹣）•（+ ）＝
．
（1）求向量与的夹角θ；
（2）求| + |．
21．（12 分）已知a∈R，函数f（x）＝log2（
+a）．
（1）当a＝5 时，解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x 的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0 的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．
（3）设a＞0，若对任意t∈[
，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范
围．
22．（12 分）已知函数f（x）＝
．
（1）求函数f（x）在区间[0，2]上的最值；
（2）若关于x 的方程（x+1）f（x）﹣ax＝0 在区间（1，4）内有两个不等实根，求实数a 的取值范围．
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2019-2020 学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣x＝0}＝{0，1}，B＝{x|x2+x＝0}＝{0，﹣1}，则A∩B＝{0 }，
故选：B．
2．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣4x﹣4 的图象是开口向上，且以直线x＝2 为对称轴的抛物线
∴f（0）＝f（4）＝﹣4，f（2）＝﹣8
∵函数f（x）＝x2﹣4x﹣4 的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，
∴2≤m≤4
即m 的取值范围是[2，4]
故选：C．
3．【解答】解：令g（x）＝
，得1﹣2x＝
，解得x＝
．
∴f（
）＝f[g（
）]＝
＝
＝15．
故选：A．
4．【解答】解：∵a＝20.3＞20＝1，
b＝log0.23＜log0.21＝0，
0＝log31＜c＝log32＜log33＝1，
∴a，b，c 的大小关系是b＜c＜a．
故选：D．
5．【解答】解：∵函数f（x）＝3sin（2x+φ）的图象关于点（
，0）成中心对称，
∴2×
+φ＝kπ，k∈Z，解得：φ＝kπ﹣
，k∈Z，
∵|φ|＜
，
∴φ＝
，可得：f（x）＝3sin（2x+
），
∴令2x+
＝kπ+
，k∈Z，可得：x＝
+
，k∈Z，
∴当k＝0 时，可得函数的对称轴为x＝
．
故选：B．
6．【解答】解：A．当x＝3 时，y＝0，∴A 错误．
B．函数的定义域和值域都满足条件，∴B 正确．
C．由函数的图象可知，在图象中出现了有2 个函数值y 和x 对应的图象，∴C 错误．
D．函数值域中有两个值不存在，∴函数的值域不满足条件，∴D 错误．
故选：B．
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第267页（共397页）
7．【解答】解：∵sinα＝
且α是第二象限的角，
∴
，
∴
，
故选：A．
8．【解答】解：由题意（2 + ）• ＝0
∴2 • +
＝0，即2| || |cos＜，＞+
＝0
又| |＝| |
∴cos＜，＞＝﹣
，又0＜＜，＞＜π
∴则与的夹角为120°
故选：C．
9．【解答】解：∵A（2，0），B（4，2），
∴
＝（2，2）
∵点P 在直线AB 上，且
，
∴
＝2
，或
＝﹣2
，
故
＝（1，1），或
＝（﹣1，﹣1），
故P 点坐标为（3，1）或（1，﹣1）
故选：C．
10．【解答】解：∵函数
是R 上的增函数
设g（x）＝﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）＝
（x＞1）
由分段函数的性质可知，函数g（x）＝﹣x2﹣ax﹣5 在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）＝
在（1，+∞）单调
递增，且g（1）≤h（1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a≤﹣2
故选：B．
11．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）＝（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）＝（c﹣a）（c
﹣b）＞0，
由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；
又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，
因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．
故选：A．
12．【解答】解：设t＝3x，则t＞0，
则方程9x﹣2•3x+3k﹣1＝0 有两个实根可转化为t2﹣2t+3k﹣1＝0 有两个正根，
则有
，
解得：
，
故选：B．
二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分.
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13．【解答】解：∵f（x）＝lg（1﹣2x）
根据对数函数定义得1﹣2x＞0，
解得：x＜0
故答案为：（﹣∞，0）
14．【解答】解：由一次函数f（x）是减函数，可设f（x）＝kx+b（k＜0）．
则f[f（x）]＝kf（x）+b＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b，
∵f[f（x）]＝4x﹣1，
∴
解得k＝﹣2，b＝1
∴f（x）＝﹣2x+1．
故答案为：﹣2x+1
15．【解答】解：当m＝0 时，f（x）＝
，值域是[0，+∞），满足条件；
当m＜0 时，f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；
当m＞0 时，f（x）的被开方数是二次函数，故有△≥0，
即（m﹣3）2﹣4m≥0，求得m≤1，或m≥9．
综上，0≤m≤1 或m≥9，∴实数m 的取值范围是：[0，1]∪[9，+∞），
故答案为：[0，1]∪[9，+∞）．
16．【解答】解：∵
＝
＝
；
由投影的定义可知，在上的投影为
＝
故答案为：
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．【解答】解：（1）由图象可知A＝2，并且T＝
（
）＝π，所以ω＝2，又f（
）＝2，0＜φ＜π，
得到φ＝
，所以
；
（2）由（1）得到f（﹣
）＝2sin（﹣
）＝﹣2sin
＝1．
18．【解答】解：（1）
．
令
，
解得
，
即
时，f（x）有最大值．
（2）令
，
∴
，
∴函数f（x）的单调增区间为
．）
（3）方程f（x）﹣m+1＝0 在
上有解，等价于两个函数y＝f（x）与y＝m﹣1 的图象有交点．
∵
，
∴
，
∴
，
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即得
，
∴
，
∴m 的取值范围为
．
19．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，二次函数f（x）满足f（0）＝f（2）＝3，则f（x）的对称轴为x＝1，
又由其最小值为1，则设f（x）＝a（x﹣1）2+1，
又由f（0）＝3，则有f（0）＝a+1＝3，解可得a＝2，
则f（x）＝2（x﹣1）2+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，f（x）＝2（x﹣1）2+1，
若f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，则有3a＜1＜a+1，
解可得：0＜a＜
，
即a 的取值范围为（0，
）；
（Ⅲ）根据题意，由（Ⅰ）的结论，f（x）＝2（x﹣1）2+1＝2x2﹣4x+3，
若在区间[﹣3，﹣1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1 的图象上方，
则有（2x2﹣4x+3）＞2x+2m+1 在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，
则m＜x2﹣3x+1 在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，
设g（x）＝x2﹣3x+1，其对称轴为x＝
，则g（x）在[﹣3，﹣1]上递减，
其最小值为g（﹣1）＝5，则有m≤5，
即m 的取值范围为（﹣∞，5]．
20．【解答】解：（1）∵（﹣）•（+ ）＝
，
∴
﹣
＝
，
即| |2﹣| |2＝
．
∵| |＝1，∴| |2＝
，∴| |＝
；…（4 分）
∴cosθ＝
＝
＝
，
又θ∈[0，π]，∴θ＝
；…（8 分）
（2）| + |2＝
2+2 • +
2
＝1+2×
+
＝
，
∴| + |＝
＝
．…（12 分）
21．【解答】解：（1）当a＝5 时，f（x）＝log2（
+5），
由f（x）＞0；得log2（
+5）＞0，
即
+5＞1，则
＞﹣4，则
+4＝
＞0，即x＞0 或x＜﹣
，
即不等式的解集为{x|x＞0 或x＜﹣
}．
（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0 得log2（
+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0．
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即log2（
+a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，
即
+a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①
则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，
即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，
当a＝4 时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a＝3 时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a≠4 且a≠3 时，方程②的解为x＝﹣1 或x＝
，
若x＝﹣1 是方程①的解，则
+a＝a﹣1＞0，即a＞1，
若x＝
是方程①的解，则
+a＝2a﹣4＞0，即a＞2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．
综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0 的解集中恰好有一个元素，
则a 的取值范围是1＜a≤2，或a＝3 或a＝4．
（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，
即log2（
+a）﹣log2（
+a）≤1，
即
+a≤2（
+a），即a≥
﹣
＝
设1﹣t＝r，则0≤r≤
，
＝
＝
，
当r＝0 时，
＝0，
当0＜r≤
时，
＝
，
∵y＝r+
在（0，
）上递减，
∴r+
≥
＝
，
∴
＝
＝
，
∴实数a 的取值范围是a≥
．
22．【解答】解：（1）令t＝x+1，t∈[1，3]，
则x＝t﹣1，
故y＝f（x）＝
＝
＝t+
﹣2，
由对勾函数的性质可知，
函数y＝g（t）＝t+
﹣2 在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增；
且g（1）＝1+4﹣2＝3，g（2）＝2+2﹣2＝2，g（3）＝3+
﹣2＝
，
故函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为2，最大值为3；
（2）当x∈（1，4）时，
∵（x+1）f（x）﹣ax＝0，
∴（x2+3）﹣ax＝0，
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故a＝
＝x+
，
作函数y＝x+
在（1，4）上的图象如下，
，
其中ymin＝
+
＝2
，y|x＝1＝1+3＝4，y|x＝4＝4+
＞4，
故结合图象可知，当2
＜a＜4 时，
关于x 的方程（x+1）f（x）﹣ax＝0 在区间（1，4）内有两个不等实根．
故实数a 的取值范围为2
＜a＜4．
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2019-2020 学年广东省江门市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5 分）设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝（
）
A．[0，2]
B．[1，2]
C．[0，4]
D．[1，4]
2．（5 分）
＝（
）
A．
B．
C．
D．
3．（5 分）设f（x）＝
，则f（f（2））的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．（5 分）下列函数中，偶函数是（
）
A．y＝x2（x＞0）
B．y＝|x+1|
C．y＝
D．y＝
5．（5 分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以
上事件吻合得最好的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）已知α是第一象限角，那么
是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第二象限角
D．第一或第三象限角
7．（5 分）已知A（1，2）、B（﹣3，﹣4）、C（2，m），若A、B、C 三点共线，则m＝（
）
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A．
B．3
C．
D．4
8．（5 分）把y＝sinx 的图象向右平移
后，再把各点横坐标伸长到原来的2 倍，得到的函数的解析式为（
）
A．y＝sin（
﹣
）
B．y＝sin（
+
）
C．y＝sin（2x﹣
）
D．y＝sin（2x﹣
）
9．（5 分）在△ABC 中，BC＝5，AC＝8，C＝60°，则
＝（
）
A．20
B．﹣20
C．
D．
10．（5 分）已知函数f（x）＝x+2x，g（x）＝x+lnx，
的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3 的大
小关系是（
）
A．x1＜x2＜x3
B．x2＜x1＜x3
C．x1＜x3＜x2
D．x3＜x2＜x1
11．（5 分）函数f（x）＝x﹣
，若不等式t•f（2x）≥2x﹣1 对x∈（0，1]恒成立，则t 的取值范围是（
）
A．[
）
B．[
）
C．（﹣
]
D．（﹣∞，
]
12．（5 分）如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O，E 是OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F．若
AD＝1，AB＝2，BD＝
，则
•
＝（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣1
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，
13．（5 分）函数f（x）＝sin2x（x∈R）的最小正周期T＝
．
14．（5 分）AD 是△ABC 的中线，若A（﹣2，1）、B（﹣1，3）、C（3，5），则
＝
．
15．（5 分）角α的终边与单位圆相交于P（﹣
），则tan（α+
）＝
．
16．（5 分）若函数f（x）＝lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a 的取值范围是
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（12 分）已知函数f（x）＝
．
（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，17]上的最大值和最小值．
18．（12 分）向量、是夹角为60°的两个单位向量，
＝﹣3 ，
＝m + ．
（Ⅰ）求线段AB 的长；
（Ⅱ）当m 为何值时，∠ABC＝
？
19．（12 分）已知向量＝（sinx，cosx）、＝（cosx，cosx），f（x）＝
，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得到的曲线关于y 轴对称，求φ的最小值．
20．
（12 分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1 万元/辆，出厂价为1.2 万元/辆，年销售量为10000
辆．本年度为适应市场需求，计划适度增加投入成本，提高产品档次．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x
＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．
已知年利润＝（出厂价一投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；
（Ⅱ）投入成本增加的比例多大时，木年度预计的年利润最大？最大值是多少？
21．（12 分）已知y＝f（x）是定义域为R 的奇函数，当x＞0 时，f（x）＝x2﹣2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）a∈R，函数f（x）﹣a 零点的个数为F（a），求函数F（a）的解析式．
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22．（10 分）（Ⅰ）计算：（
）
+
﹣lg
+log535﹣log57；
（Ⅱ）已知cosα＝
，求
的值．
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2019-2020 学年广东省江门市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．【解答】解：由数轴可得A∩B＝[0，2]，故选择A．
2．【解答】解：
＝sin（﹣4π+
）＝sin
＝sin
＝
，
故选：B．
3．【解答】解：f（f（2））＝f（log3（22﹣1））＝f（1）＝2e1﹣1＝2，故选C．
4．【解答】解：A．函数的定义域关于原点不对称，函数为非奇非偶函数；
B．函数y＝|x+1|的对称轴为x＝﹣1，函数为非奇非偶函数；
C．f（﹣x）＝
＝﹣
＝﹣f（x），函数f（x）是奇函数；
D．f（﹣x）＝
＝
＝f（x），则函数f（x）是偶函数；
故选：D．
5．【解答】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下
降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故
此时有一段函数图象与x 轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C 正确，B 不正确．
故选：C．
6．【解答】解：∵α的取值范围（2kπ，
+2kπ），（k∈Z）
∴
的取值范围是（kπ，
+kπ），（k∈Z）
分类讨论
①当k＝2i+1 （其中i∈Z）时
的取值范围是（π+2iπ，
+2iπ），即
属于第三象限角．
②当k＝2i（其中i∈Z）时
的取值范围是（2iπ，
+2iπ），即
属于第一象限角．
故选：D．
7．【解答】解：∵A、B、C 三点共线，
∴kAC＝kBC，∴
＝
，解得m＝
．
故选：C．
8．【解答】解：令f（x）＝sinx，
则y＝f（x﹣
）＝sin（x﹣
），再将所得的图象上各点的横坐标变为原来的2 倍，
得：y＝sin（
x﹣
）．
故选：A．
9．【解答】解：在△ABC 中，BC＝5，AC＝8，C＝60°，则
＝
＝5×
＝﹣20．
故选：B．
10．【解答】解：f（x）＝x+2x 的零点必定小于零，g（x）＝x+lnx 的零点必位于（0，1）内，
函数
的零点必定大于1．
因此，这三个函数的零点依次增大，
故x1＜x2＜x3．
故选：A．
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11．【解答】解：由0＜x≤1，可得1＜2x≤2，
f（2x）＝2x﹣2
﹣x 在（0，1]递增，
且0＜f（2x）≤
，
不等式t•f（2x）≥2x﹣1，即为t≥
＝
对x∈（0，1]恒成立．
由
＝
在（0，1]上递增，可得x＝1 时，取得最大值
，
即有t≥
，
∴t 的取值范围是[
）．
故选：A．
12．【解答】解：∵AD＝1，AB＝2，BD＝
，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴△ADB 为直角三角形，且∠ADB＝90°，∠DAB＝60°，
∵平行行四边形ABCD 的对角线相交于点O，E 是OD 的中点，
∴DE＝
EB，
∵DF∥AB，
∴DF＝
AB
∴
＝
+
＝
+
，
＝
﹣
，
∴
•
＝（
+
）（
﹣
）＝
﹣
﹣
•
＝1﹣
﹣
×1×2×
＝﹣1，
故选：D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，
13．【解答】解：f（x）＝sin2x＝
（1﹣cos2x）＝﹣
cos2x+
最小正周期T＝
＝π
故答案为：π
14．【解答】解：如图，
；
∵AD 是△ABC 的中线；
∴
．
故答案为：（3，3）．
15．【解答】解：∵角α的终边与单位圆相交于P（﹣
），∴tanα＝
＝﹣
，
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第277页（共397页）
则tan（α+
）＝
＝
＝
，
故答案为：
．
16．【解答】解：令u＝x2﹣2ax+1+a，则f（u）＝lgu，
配方得u＝x2﹣2ax+1+a＝（x﹣a）2﹣a2+a+1，故对称轴为x＝a
如图所示：
由图象可知当对称轴a≥1 时，u＝x2﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上单调递减，
又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u＝x2﹣2ax+1+a 在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x＝1 时，若x2﹣2ax+1+a
＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，
代入x＝1 解得a＜2，所以a 的取值范围是[1，2）
故答案为：[1，2）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．【解答】解：（Ⅰ）证明：
；
设x1＞x2＞0，则：
＝
；
∵x1＞x2＞0；
∴x1﹣x2＞0，x1+1＞0，x2+1＞0；
∴
；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴f（x）在区间[1，17]上的最小值为f（1）＝
，最大值为
．
18．【解答】解：（I）
＝1×1×cos60°＝
，
∴
＝
﹣6
+9
＝1﹣3+9＝7，
∴|AB|＝|
|＝
．
（II）若∠ABC＝
，则
，
∴
＝0，即
•（
）＝0，
∴
﹣
＝0，
又
＝（
）•（m
）＝m
+
﹣3m
﹣3
＝﹣
﹣
，
∴﹣
﹣
﹣7＝0，解得m＝﹣19．
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第278页（共397页）
19．【解答】解：（Ⅰ）向量＝（sinx，cosx）、＝（cosx，cosx），
则：f（x）＝
，
＝sinxcosx+cos2x，
＝
．
＝
，
当
（k∈Z），
即：x＝
（k∈Z），函数f（x）的最大值为
．
（Ⅱ）由于f（x）＝
，
将函数y＝f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，
得到：g（x）＝
，
所得到的曲线关于y 轴对称，
故：
（k∈Z），
解得：φ＝
（k∈Z），
由于：φ＞0，
当k＝1 时，φ＝
．
即为最小值．
20．【解答】解：（I）y＝[1.2（1+0.75x）﹣（1+x）]×10000（1+0.6x）＝10000（0.2﹣0.1x）（1+0.6x）＝200（﹣3x2+x+10），
（0＜x＜1）．
（II）函数y＝200（﹣3x2+x+10）的图象开口向下，对称轴为直线x＝
．
∴当x＝
时，y 取得最大值
．
∴投入成本增加的比例为
时，本年度预计的年利润最大，最大值是
万元．
21．【解答】解：（Ⅰ）当x∈（﹣∞，0）时，
﹣x∈（0，+∞），
∵y＝f（x）是奇函数，
∴f（x）＝﹣f（﹣x）
＝﹣（（﹣x）2﹣2（﹣x））＝﹣x2﹣2x，
∴f（x）＝
．
当x＞0 时，函数是文昌市开口向上，
增区间是：[1，+∞）；
当x＜0 时，函数是二次函数，开口向下，增区间是：（﹣∞，﹣1]；
函数的单调增区间为：（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，
f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
最小值为﹣1；
∴当x∈（﹣∞，0）时，
f（x）＝﹣x2﹣2x＝1﹣（x+1）2，
最大值为1．
∴据此可作出函数y＝f（x）的图象，根据图象得，
若方程f（x）＝a 恰有3 个不同的解，
则a 的取值范围是（﹣1，1）此时F（a）＝3．a＝±1 时，F（a）＝2，
a＞1 或a＜﹣1 时，F（a）＝1．
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第279页（共397页）
所以F（a）＝
．
22．【解答】解：（Ⅰ）（
）
+
﹣lg
+log535﹣log57
＝3+
﹣（lg1﹣lg4）+log5
＝3+（1﹣lg4）+lg4+log55
＝3+1﹣lg4+lg4+1
＝5；
（Ⅱ）∵cosα＝
，
∴sinα＝±
＝±
，
∴
＝
＝
＝﹣
，或
．
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2019-2020 学年广东省惠州市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5 分）已知A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B＝（
）
A．{3}
B．{4，5}
C．{1，2，4，5}
D．{3，4，5}
2．（5 分）已知向量
，向量＝（1，x）．若
，则x 的值是（
）
A．﹣1
B．﹣2
C．1
D．2
3．（5 分）要得到函数y＝cos（2x+3）的图象，只要将函数y＝cos2x 的图象（
）
A．位向左平移
个单位
B．向左平移3 个单
C．向右平移3 个单位
D．向右平移
个单位
4．（5 分）函数f（x）＝ex﹣x﹣2 的一个零点所在的区间为（
）
A．（﹣1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）
5．（5 分）已知a＝（
）
，b＝（
）
，c＝ln3，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
6．（5 分）已知cos（
﹣θ）＝
，则sin（
）的值是（
）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
7．（5 分）函数y＝x2+ln|x|的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）已知函数
，若f（f（﹣1））＝18，那么实数a 的值是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
9．（5 分）如图所示是y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一段，它的一个解析式为（
）
A．y＝
sin（2x+
）
B．y＝
sin（
+
）
C．y＝
sin（x﹣
）
D．y＝
sin（2x+
π）
10．（5 分）在△ABC 中，若
，则O 为△ABC 的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
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11．（5 分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：
弧田面积＝
，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”
指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为
，半径等于4 米的弧田．下列说法不正确的是（
）
A．“弦”AB＝4
米，“矢”CD＝2 米
B．按照经验公式计算所得弧田面积（
）平方米
C．按照弓形的面积计算实际面积为（
）平方米
D．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9 平方米（参考数据
，π≈3.14）
12．（5 分）定义域为R 的偶函数f（x），满足对任意的x∈R 有f（x+2）＝f（x），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x
﹣18，若函数y＝f（x）﹣loga（|x|+1）在R 上至少有六个零点，则a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．（5 分）若f（x）＝ax（a＞0）的图象过点（2，4），则a＝
．
14．（5 分）cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝
．
15．（5 分）已知关于x 的不等式x2﹣x+a﹣1≥0 在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是
．
16．（5 分）已知函数f（x）＝（x2+x）（x2﹣5x+6），则f（x）的最小值为
．
三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）（1）计算：
．
（2）若
，求
．
18．（12 分）已知向量
，向量
．
（1）求向量
的坐标；
（2）当k 为何值时，向量
与向量
共线．
19．（12 分）已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
20．（12 分）已知函数f（x）＝x+
的图象过点P（1，5）
（1）求实数m 的值，并证明函数f（x）是奇函数；
（2）利用单调性定义证明f（x）在区间[2，+∞）上是增函数．
21．（12 分）已知函数f（x）＝
sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（﹣
＜φ＜0，ω＞0）为偶函数，且函数y＝f（x）
的图象相邻的两条对称轴间的距离为
．
（1）求f（
）的值；
（2）将y＝f（x）的图象向右平移
个单位后，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4 倍，纵坐标
不变，得到函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x）在[
]上的最值．
22．（12 分）设函数
是定义域为R 的奇函数．
（1）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0 对一切x∈R 恒成立的实数k 的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象过点
，是否存在正数m（m≠1），使函数
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在[1，log23]上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
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2019-2020 学年广东省惠州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，
∴A∩B＝{3}
故选：A．
2．【解答】解：∵
；
∴
；
∴x＝﹣2．
故选：B．
3．【解答】解：将函数y＝cos2x 的图象象左平移
个单位，可得函数y＝cos（2x+3）的图象，
故选：A．
4．【解答】解：∵f（﹣1）＝
+1﹣2＝
﹣1＜0，f（0）＝1﹣2＝﹣1＜0，
f（1）＝e﹣1﹣2＜0，f（2）＝e2﹣4＞0，
∴函数f（x）的零点在（1，2）内，
故选：C．
5．【解答】解：因为c＝ln3＞lne＝1，
a＝（
）
＝（
）
，
又函数y＝x
在（0，+∞）单调递增，
又
，
所以（
）
＜（
）
＜1，
故c＞b＞a，
故选：D．
6．【解答】解：cos（
﹣θ）＝sin[
﹣（
﹣θ）]＝sin（
）＝
，
故选：C．
7．【解答】解：函数y＝x2+ln|x|是偶函数，排除选项B、C，
当x＝
时，y＝
，x＞0 时，函数是增函数，排除D．
故选：A．
8．【解答】解：∵函数
，f（f（﹣1））＝18，
∴f（﹣1）＝3+1＝4，
f（f（﹣1））＝f（4）＝4a+2＝18，
解得a＝2．
故选：C．
9．【解答】解：由图象的最高点
，最低点﹣
可得A＝
，
周期T＝
＝π，
∴
．
图象过（
），
∴
，
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可得：φ＝
．
则解析式为y＝
sin（2x+
）＝
故选：D．
10．【解答】解；∵
∴
；
∴
；
∴OB⊥AC，
同理由
，得到OA⊥BC
∴点O 是△ABC 的三条高的交点．
故选：D．
11．【解答】解：如图，由题意可得∠AOB＝
，OA＝4，
在Rt△AOD 中，可得∠AOD＝
，∠DAO＝
，OD＝
AO＝
，
可得矢＝4﹣2＝2，由AD＝AOsin
＝4×
＝2
，
可得弦＝2AD＝4
，
所以弧田面积＝
（弦×矢+矢2）＝
（4
×2+22）＝4
平方米．
实际面积＝
，
．
可得A，B，D 正确；C 错误．
故选：C．
12．【解答】解：当x∈[2，3）时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18＝﹣2（x﹣3）2，图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛
物线，
∵函数y＝f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
令g（x）＝loga（|x|+1），因为f（x）≤0，所以g（x）≤0，可得0＜a＜1，
要使函数y＝f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
如图要求g（2）＞f（2），
loga（2+1）＞f（2）＝﹣2⇒loga3＞﹣2，可得3＜
⇒
＜a＜
，a＞0，
所以0
，
故选：A．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
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13．【解答】解：函数f（x）的图象过点（2，4），可得4＝a2，又a＞0，解得a＝2．
故答案为：2
14．【解答】解：
，
故答案为：
．
15．【解答】解：关于x 的不等式x2﹣x+a﹣1≥0 在R 上恒成立，
所以二次函数的图象与x 轴最多有一个交点，
所以判别式△＝（﹣1）2﹣4（a﹣1）≤0，
解得
，
所以a 的取值范围为
．
故答案为：[
，+∞）．
16．【解答】解：f（x）＝（x2+x）（x2﹣5x+6）
＝x（x+1）（x﹣2）（x﹣3）
＝[x（x﹣2）][（x+1）（x﹣3）]
＝（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣3），
不妨令t＝x2﹣2x≥﹣1，则
（t≥﹣1），
所以当
时，f（x）的取最小值
．
三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【解答】解：（1）
＝
＝log23（log23﹣log26）+log26
＝﹣log23+log26＝1；
（2）
，∴cosα≠0，
∴
＝
＝
．
18．【解答】解：（1）∵
，
，
∴
；
（2）
＝k（1，2）+（﹣3，2）＝（k﹣3，2k+2），
由（1）知
＝（7，﹣2），
∵
与
共线，
∴7（2k+2）＝﹣2（k﹣3），
解得k＝﹣
．
19．【解答】解：函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝
sin（2x+
），
（1）∴f（x）的最小正周期T＝
，
（2）f（x）＝
sin（2x+
），
由
，
得：
≤x≤
，
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∴f（x）的单调递增区间为：[
，
]，k∈Z．
20．【解答】解：（1）f（x）＝x+
的图象过点P（1，5），
∴5＝1+m，
∴m＝4，∴f（x）＝x+
，
f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f（x）＝x+
，又f（﹣x）＝﹣x﹣
，
∴f（x）＝﹣f（x），
f（x）是奇函数．
（2）证明：设x2＞x1≥2，
则f（x2）﹣f（x1）＝x2﹣x1+
﹣
＝（x2﹣x1）（1﹣
）＝（x2﹣x1）
，
又x2﹣x1＞0，x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
即f（x）在区间[2，+∞）上是增函数．
21．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝
sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）＝2sin（ωx+φ﹣
）（﹣
＜φ＜0，ω＞0）
为偶函数，
∴φ﹣
＝﹣
，∴φ＝﹣
．
又函数y＝f（x）的图象相邻的两条对称轴间的距离为
，
∴
•
＝
，
∴ω＝2，
∴f（x）＝2sin（2x﹣
）＝﹣2cos2x，
故f（
）＝﹣2cos
＝﹣
．
（2）将y＝f（x）的图象向右平移
个单位后，可得y＝﹣2cos（2x﹣
）的图象；
再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4 倍，纵坐标不变，
得到函数y＝g（x）＝﹣2cos（
x﹣
）的图象．
在[
]上，
x﹣
∈[﹣
，
]，
故当
x﹣
＝0 时，g（x）取得最小值为﹣2；当
x﹣
＝﹣
时，g（x）取得最大值为0．
22．【解答】解：（1）f（x）＝ax﹣a
﹣x，由f（1）＞0 得
，又a＞0，
∴a＞1，
∵f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0，函数f（x）是奇函数，
∴f（kx﹣x2）＜f（1﹣x），
∵a＞1，f（x）＝ax﹣a
﹣x 在R 上为增函数，
即kx﹣x2＜1﹣x 对一切x 恒成立，
即x2﹣（k+1）x+1＞0 在R 恒成立，有△＜0，
∴（k+1）2﹣4＜0，
得﹣3＜k＜1，所以k 的取值范围是（﹣3，1），
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（2）假设存在正数m（m≠1）符合，
∵f（x）过
，
∴a＝2，
∴
，
设s＝2x﹣2
﹣x，h（s）＝s2﹣ms+2，
（i）若0＜m＜1，则函数h（s）＝s2﹣ms+2 在
上最小值为1，
∵对称轴＝
，
（舍），
（ii）若m＞1，则h（s）＝s2﹣ms+2＞0 在
上恒成立，且最大为1，最小值大于0，
①
，
此时
，
，
故不合题意
②
，此时无解，
综上所述，不存在正数m（m≠1）满足条件．
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2019-2020 学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．)
1．（5 分）设全集U＝{1，2，3，4}，集合S＝{1，3}，T＝{4}，则（∁US）∪T 等于（
）
A．{2，4}
B．{4}
C．∅
D．{1，3，4}
2．（5 分）已知向量＝（x，1），＝（1，﹣2），若∥，则
＝（
）
A．（
）
B．（
）
C．（3，﹣1）
D．（3，1）
3．（5 分）已知函数f（x）＝
，则f（f（
））的值是（
）
A．﹣
B．﹣9
C．
D．9
4．（5 分）设a＝（
）
，b＝
，c＝log2
，则（
）
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
5．（5 分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6 的零点一定位于下列哪个区间（
）
A．（1，2）
B．（2，3）
C．（3，4）
D．（5，6）
6．（5 分）已知角α的终边经过点P（﹣4，3），则
的值等于（
）
A．﹣
B．
C．
D．
7．（5 分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
）的图象（部分）如图所示，则f（x）
的解析式是（
）
A．f（x）＝2sin（πx+
）
B．f（x）＝2sin（2πx+
）
C．f（x）＝2sin（πx+
）
D．f（x）＝2sin（2πx+
）
8．（5 分）若两个非零向量，满足| |＝2| |＝2，|
|＝3，则，的夹角是（
）
A．
B．
C．
D．π
9．（5 分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：
弧田面积＝
×（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等
于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为
，弧长为4π米的弧，按上述经公式计算（
1.73），所
得弧田面积约是（
）
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A．16 平方米
B．18 平方米
C．20 平方米
D．25 平方米
10．（5 分）偶函数f（x）（x∈R）满足：f（﹣5）＝f（2）＝0，且在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减和递增，则
不等式x•f（x）＜0 的解集为（
）
A．（﹣∞，﹣5）∪（﹣2，2）∪（5，+∞）
B．（﹣∞，﹣5）∪（﹣2，0）∪（2，5）
C．（﹣5．﹣2）∪（2，5）
D．（﹣5，﹣2）∪（0，2）∪（5，+∞）
11．（5 分）已知锐角α满足cos（
）＝cos2α，则tan2α＝（
）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）如图，在平行四边形ABCD 中，M、N 分别为AB、AD 上的点，且
＝
，
＝
，连接AC、
MN 交于P 点，若
＝λ
，则λ的值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分)
13．（5 分）函数f（x）＝
+lg（x+1）的定义域是
．
14．（5 分）已知cos（θ+π）＝﹣
，则sin（2θ+
）＝
．
15．
（5 分）已知函数f（x）＝
，g（x）＝f（x）+x+a，若g（x）存在2 个零点，则实数a 取值范围是
．
16．（5 分）函数f（x）＝2sin（2x﹣
）的图象为C，如下结论中正确的是
．
①图象C 关于直线x＝
对称；
②图象C 关于点（
，0）对称；
③函数f（x）在区间（
）内是增函数；
④由y＝2sin2x 图象向右平移
个单位长度可以得到图象C．
三、解答题（本大题共6 小题，满分70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10 分）已知向量＝（1，0），＝（1，1）．
（1）若| |＝2
，且⊥，求向量的坐标；
（2）若
＝2
，
＝+m ，且A、B、C 三点共线，求实数m 的值．
18．（12 分）已知函数f（x）＝
是定义在R 上的奇函数，且f（2）＝
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义法证明．
19．（12 分）已知函数f（x）＝2sin（
）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）先列表，并用描点法作出函数f（x）在[0，4π]上的简图．
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20．（12 分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投
资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知两类产品各投资1 万元时的收益分别为0.125 万
元和0.5 万元，如图：
（Ⅰ）分别写出两类产品的收益y（万元）与投资额x（万元）的函数关系；
（Ⅱ）该家庭有20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少
万元？
21．（12 分）已知＝（2cosx，1），＝（
sinx+cosx，﹣1），函数f（x）＝
．
（1）求函数f（x）在区间[0，
]上的最大值和最小值；
（2）若f（x0）＝
，x0∈[
]，求cos2x0 的值；
（3）若函数y＝f（ωx）在区间（
）上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．
22．（12 分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[﹣1，1]上有最大值4 和最小值0．设f（x）＝
．
（1）求实数a，b 的值；
（2）若不等式f（x）﹣k•x≥0 在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）若f（|2x﹣1|）+k•
﹣3k＝0 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
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2019-2020 学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．)
1．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4}，集合S＝{l，3}，T＝{4}，
∴（∁US）∪T＝{2，4}∪{4}＝{2，4}．
故选：A．
2．【解答】解：∵
；
∴﹣2x﹣1＝0；
∴
；
∴
；
∴
．
故选：A．
3．【解答】解：∵函数f（x）＝
，
∴f（
）＝
＝﹣2，
f（f（
））＝f（﹣2）＝
．
故选：C．
4．【解答】解：∵a＝（
）
∈（0，1），b＝
＞1，c＝log2
＜0，
则c＜a＜b．
故选：D．
5．【解答】解：∵函数f（x）＝lnx+2x﹣6
f（1）＝﹣4＜0，
f（2）＝ln2﹣4＜0
f（3）＝ln3＞ln1＝0，
∴f（2）f（3）＜0，
∴函数的零点在（2，3）上，
故选：B．
6．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣4，3），
∴tanα＝﹣
，
则tan（α+
）＝
＝
＝
．
故选：B．
7．【解答】解：∵根据图象判断：周期T＝4×（
﹣
）＝2，A＝2，
∴ω＝
＝π，
∵2sin（
π+φ）＝2，
∴
π+φ＝2kπ+
，k∈z，
∴φ＝2kπ+
，k∈z，
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∵|φ|＜
，
∴φ＝
．
∴f（x）＝2sin（πx+
）
故选：A．
8．【解答】解：根据题意，设，的夹角是θ，
又由| |＝2| |＝2，且|
|＝3，
则（
）2＝
2+4 • +4
2＝9，
即1+4（1×2cosθ）+16＝9，
解可得cosθ＝﹣1，
则θ＝π；
故选：D．
9．【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB＝
，弧长为4π米，
∴OA＝
＝6
在Rt△AOD 中，可得：∠AOD＝
，∠DAO＝
，OD＝
AO＝
×6＝3，
可得：矢＝6﹣3＝3，
由AD＝AO•sin
＝6×
＝3
，
可得：弦＝2AD＝2×3
＝6
，
所以：弧田面积＝
（弦×矢+矢2）＝
（6
×3+32）＝9
+4.5≈20 平方米．
故选：C．
10．【解答】解：根据题意，x•f（x）＜0⇒
或
，等价于求函数y＝f（x）的图象在第二、四象
限时x 的取值范围．
又由偶函数f（x）（x∈R）满足f（﹣5）＝f（2）＝0，
则f（5）＝f（﹣2）＝f（﹣5）＝f（2）＝0，
且f（x）在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减与递增，
其草图为：
即x∈（2，5）函数图象位于第四象限，
x∈（﹣∞，﹣5）∪（﹣2，0）函数图象位于第二象限．
综上：x•f（x）＜0 的解集为：（﹣∞，﹣5）∪（﹣2，0）∪（2，5），
故选：B．
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11．【解答】解：∵锐角α满足cos（
）＝cos2α，∴
cosα+
sinα＝cos2α﹣sin2α，
∴cosα﹣sinα＝
，平方可得1﹣sin2α＝
，sin2α＝
．
∵cosα＞sinα，∴0＜α＜
，∴2α还是锐角，故cos2α＝
＝
，
则tan2α＝
＝
，
故选：C．
12．【解答】解：∵
＝
，
＝
，连
∴
＝λ
＝λ（
+
）＝λ（
+
）＝
λ
+
λ
，
∵三点M，N，P 共线．
∴
λ+
λ＝1，
∴λ＝
，
故选：C．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分)
13．【解答】解：由题意，
可令
，
解得﹣1＜x≤1，
∴函数f（x）＝
+lg（x+1）的定义域是（﹣1，1]
故答案为：（﹣1，1]．
14．【解答】解：∵cos（θ+π）＝﹣
，
∴cosθ＝
，
∴sin（2θ+
）＝cos2θ＝2cos2θ﹣1＝
﹣1＝﹣
，
故答案为：﹣
15．【解答】解：由g（x）＝0 得f（x）＝﹣x﹣a，
作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a 的图象如图：
当直线y＝﹣x﹣a 的截距﹣a≤1，即a≥﹣1 时，两个函数的图象都有2 个交点，
即函数g（x）存在2 个零点，
故实数a 的取值范围是[﹣1，+∞），
故答案为：[﹣1，+∞）．
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第294页（共397页）
16．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x﹣
），
由f（
）＝2sin
＝﹣2，为最小值，可得图象C 关于直线x＝
对称，故①正确；
由f（
）＝2sinπ＝0，图象C 关于点（
，0）对称，故②正确；
由x∈（
），可得2x﹣
∈（﹣
，
），即有f（x）在区间（
）内是增函数，
故③正确；
由y＝2sin2x 图象向右平移
个单位长度可以得到y＝2sin2（x﹣
）的图象，故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共6 小题，满分70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．【解答】解：（1）设
；
∵
，且
；
∴
①，x2+y2＝8②；
①②联立得，
，或
；
∴
；
（2）
，
；
∵A、B、C 三点共线；
∴
；
∴m+1+m＝0；
∴
．
18．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝
是定义在R 上的奇函数，
则f（0）＝
＝0，则n＝0，
又由f（2）＝
，则f（2）＝
＝
，解可得m＝1，
则f（x）＝
，
（2）由（1）的结论，f（x）＝
在（0，1）上为增函数，
证明：0＜x1＜x2＜1，
则f（x1）﹣f（x2）＝
﹣
＝
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又由0＜x1＜x2＜1，
则（x1﹣x2）＜0，（1﹣x1x2）＞0，
则有f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）在（0，1）上为增函数．
19．【解答】（本题满分为12 分）
解：（1）f（x）的最小正周期为T＝
＝4π；…（4 分）
令
+2kπ≤
≤
+2kπ，k∈Z，解得：
+4kπ≤x≤
+4kπ，k∈Z，
可得单调递减区间为：[
+4kπ，
+4kπ]，k∈Z．
（2）列表如下：
x
﹣
0
π
2π
y
0
2
0
﹣2
0
连线成图如下：
20．【解答】解：（Ⅰ）投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y＝kx（x＞0），
由题知，当x＝1 时，y＝0.125，则k＝0.125，即y＝0.125x，
投资股票类风险型产品的收益满足函数：
（x＞0），
由题知，当x＝1 时，y＝0.5，则k＝0.5，即
，
（Ⅱ）设投资债券类稳健型产品x 万元（0≤x≤20），则投资股票类风险型产品20﹣x 万元，
由题知总收益
（0≤x≤20），
令
（
），则x＝20﹣t2，
，
当t＝2，即x＝16 时，ymax＝3（万元）
答：投资债券类稳健型产品16 万元，投资股票类风险型产品4 万元，此时受益最大为3 万元．
21．【解答】解：∵＝（2cosx，1），＝（
sinx+cosx，﹣1），
∴f（x）＝
＝2cosx（
sinx+cosx）﹣1
＝2
sinxcosx+2cos2x﹣1
＝
＝2sin（2x+
）
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（1）∵x∈[0，
]，
∴
，
∴﹣
，
∴函数f（x）在区间[0，
]上的最大值2，最小值﹣1；
（2）若f（x0）＝
，则2sin（2x0+
）＝
，
∴sin（2x0+
）＝
，
∵x0∈[
]，
∴cos（2x0+
）＝﹣
，
∴cos2x0＝cos[（2x0+
）﹣
]＝
＝
＝
（3）∵y＝f（ωx）＝2sin（2ωx+
），
令﹣
≤2ωx+
，k∈z，
可得，
令k＝0 可得，
，
∵y＝f（ωx）＝2sin（2ωx+
），在区间（
）上是单调递增函数，
∴
解可得，0＜ω≤
．
令k＝1 可得，
，
∵y＝f（ωx）＝2sin（2ωx+
），在区间（
）上是单调递增函数，
∴
，此时ω不存在，
经检验，k≤﹣1 时，k≥2 时，不符合题意，
故0＜ω≤
．
22．【解答】解：（1）函数g（x）＝ax2﹣2ax+b+1＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，
因为a＞0，所以g（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，
故g（﹣1）＝3a+b+1＝4，g（1）＝1+b﹣a＝0，
解得a＝1，b＝0；
（2）由f（x）﹣k•x≥0 即为x2﹣2x+1﹣kx2≥0，
即为k≤（
﹣1）2 在x＞0 恒成立，
由（
﹣1）2≥0，当且仅当x＝1 时取得最小值0，
所以k 的取值范围是（﹣∞，0]；
（3）方程f（|2x﹣1|）+k•
﹣3k＝0 可化为：
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|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，
令|2x﹣1|＝t，则方程化为
t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），
∵方程f（|2k﹣1|）+k••
﹣3k＝0 有三个不同的实数解，
∴由t＝|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），
有两个根t1、t2，
且0＜t1＜1＜t2 或0＜t1＜1，t2＝1．
记h（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），
则
，或
，
∴k＞0．
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2019-2020 学年广东省广州市番禺区六校联考高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）sin210°＝（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
2．（5 分）已知向量＝（1，2），＝（x，﹣4），且∥，则x 的值为（
）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
3．（5 分）函数f（x）＝
的定义域为（
）
A．[﹣1，+∞）
B．[﹣1，0）
C．（0，+∞）
D．[﹣1，0）∪（0，+∞）
4．（5 分）已知向量| |＝2，| |＝
，且向量与的夹角为150°，则• 的值为（
）
A．﹣
B．
C．﹣3
D．3
5．（5 分）函数f（x）＝sin2xcos2x+1 是（
）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为
的偶函数
C．最小正周期为π的非奇非偶函数
D．最小正周期为
的非奇非偶函数
6．（5 分）函数f（x）＝x2﹣3x﹣4 的零点是（
）
A．（﹣1，0）
B．（4，0）
C．（﹣1，0）或（4，0）
D．﹣1 或4
7．（5 分）已知a＝1.90.4，b＝log0.41.9，c＝0.41.9，则（
）
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．a＞c＞b
D．c＞a＞b
8．（5 分）已知函数
，则函数y＝f（1﹣x）的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）已知sinα+cosα＝
，α∈（0，π），则sinα﹣cosα的值为（
）
A．±
B．﹣
C．
D．﹣
10．（5 分）已知△ABC 的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P 为AB 上任意一点，则
•（
﹣
）的最大值为
（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
11．（5 分）将函数f（x）＝
sinx﹣cosx 的图象向右平移
个单位得到函数y＝g（x）的图象，则g（﹣
）的
值为（
）
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A．﹣
B．﹣
C．
D．
12．（5 分）把函数f（x）＝log2（x+1）的图象向右平移一个单位，所得图象与函数g（x）的图象关于直线y＝x 对
称：已知偶函数h（x）满足h（x﹣1）＝h（﹣x﹣1），当x∈[0，1]时，h（x）＝g（x）﹣1，若函数y＝kf（x）
﹣h（x）有五个零点，则k 的取值范围是（
）
A．（log62，
）
B．（log62，
]
C．（log32，1）
D．[log32，1）
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分．
13．（5 分）函数f（x）＝sin（2x+
）的图象的对称中心为
．
14．（5 分）
＝
．
15．（5 分）在△ABC 中，
＝，
＝，若点D 满足
＝2
，以向量，为基底，则向量
＝
．
16．（5 分）已知ω＞0，函数f（x）＝cos（
﹣ωx）在（
，π）上单调递减，则ω的取值范围是
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10 分）设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜5}．
（1）分别求A∩B，（∁RB）∪A；
（2）已知集合C＝{x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a 的取值构成的集合．
18．（12 分）（1）化简：
；
（2）已知sin（π+α）＝m（m≠1），用含m 的表达式表示
，并求当m＝
时，
的值．
19．（12 分）已知向量＝（1，2），＝（﹣3，2）．
（1）当k 为何值时，向量k + 与﹣3 垂直；
（2）当k 为何值时，向量k + 与﹣3 平行．
20．（12 分）某车间生产一种仪器的固定成本是7500 元，每生产一台该仪器需要增加投入100 元，已知总收入满足
函数H（x）＝
，其中x 是仪器的月产量．（利润＝总收入﹣总成本）
（1）将利润表示为月产量x 的函数；
（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？
21．（12 分）函数f（x）＝
是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f（1）＝
．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在（﹣2，2）上的单调性；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
22．（12 分）已知函数f（x）＝
cos（
﹣x）cos（2π﹣x）﹣cos2x．
（1）求函数f（x）的单凋递增区间；
（2）若θ∈[0，
]，f（
+
）＝
，求tan（θ+
）的值．
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2019-2020 学年广东省广州市番禺区六校联考高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：sin210°＝sin（180°+30°）＝﹣sin30°＝﹣
．
故选：B．
2．【解答】解：向量＝（1，2），＝（x，﹣4），
当∥时，1×（﹣4）﹣2x＝0，
解得x＝﹣2．
故选：A．
3．【解答】解：由x+1≥0 且x≠0，可得
x≥﹣1 且x≠0，
即有定义域为[﹣1，0）∪（0，+∞），
故选：D．
4．【解答】解：向量| |＝2，| |＝
，且向量与的夹角为150°，
则• ＝| || |cos150°＝
＝﹣3．
故选：C．
5．【解答】解：f（x）＝sin2xcos2x+1＝
．
周期T＝
，
函数f（x）的图象是把y＝
的图象向上平移1 个单位得到的，
既不关于原点中心对称，也不关于y 轴轴对称．
∴f（x）是非奇非偶的函数．
∴f（x）是最小正周期为
的非奇非偶函数．
故选：D．
6．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣3x﹣4，
若f（x）＝0，即x2﹣3x﹣4＝0，解可得x＝﹣1 或4，
即函数的零点为﹣1 和4；
故选：D．
7．【解答】解：a＝1.90.4＞1.90＝1，
b＝log0.41.9＜log0.41＝0，
0＜c＝0.41.9＜0.40＝1，
∴a＞c＞b．
故选：C．
8．【解答】解：∵当x＝0 时y＝2，∴函数y＝f （1﹣x）的点为：（0，f（1）），即（0，2）在函数的图象上，排
除A，B 选项；
当x＝﹣1 时，1﹣x＝2，f[（1﹣（﹣1）]＝f（2）＝
＝﹣1＜0．排除C；
∵1﹣x≤1 时，即x≥0 时，∴f（1﹣x）＝
＞0，
∴此函数在x＞0 时函数值为正，排除B，
故选：D．
9．【解答】解：已知sinα+cosα＝
，α∈（0，π），
所以
，即
，
所以
．
所以sinα﹣cosα＞0，
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所以sinα﹣cosα＝
＝
故选：C．
10．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
设P（x，y），（0≤x≤3，0≤y≤4）．
则
•（
﹣
）＝
＝（x，y）•（3，0）＝3x≤9．
当x＝3 时取等号．
∴
•（
﹣
）的最大值为9．
故选：B．
11．【解答】解：∵f（x）＝
sinx﹣cosx＝2sin（x﹣
）的图象向右平移
个单位得到函数y＝g（x）的图象，
∴g（x）＝2sin（x﹣
）＝﹣2cosx，
则g（﹣
）＝﹣2cos（﹣
）＝﹣
故选：A．
12．【解答】解：f（x）＝log2（x+1）的图象向右平移一个单位，得到y＝log2x 与g（x）关于直线y＝x 对称，
所以g（x）＝2x，
偶函数h（x）满足h（x﹣1）＝h（﹣x﹣1），
所以h（x）的对称轴是x＝﹣1，h（x）是周期为2 的周期函数，
当x∈[0，1]时，h（x）＝g（x）﹣1＝2x﹣1，函数y＝kf（x）﹣h（x）有五个零点，
可得方程kf（x）＝h（x），
即klog2（x+1）＝h（x）有5 个解，在坐标系中画出y＝klog2（x+1）与y＝h（x）的图象，如图：
显然k＞0，当x＝3 时函数的交点个数是4；当x＝5 时，两个函数的图象交点个数是6 个，
由题意可得：
解得k∈（log62，
），
故选：A．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分．
13．【解答】解：由2x+
＝kπ，得x＝﹣
+
，
即函数f（x）的对称中心为（﹣
+
，0），k∈Z
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故答案为：（﹣
+
，0），k∈Z
14．【解答】解：原式＝2+3+1＝6．
故答案为：6．
15．【解答】解：如图，
＝
，
又因为
＝2
，所以
，
所以
＝
＝
+
＝
＝
＝
，
故答案为：
．
16．【解答】解：f（x）＝cos（
﹣ωx）＝cos（ωx﹣
），
由2kπ≤ωx﹣
≤π+2kπ，k∈Z，得
+
≤x≤
+
，k∈Z，
若函数f（x）在（
，π）上单调递减，
则
，解得
，
故答案为：
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．【解答】解：（1）∵A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜5}，
∴A∩B＝{x|3≤x＜5}，∁RB＝{x|x≤2 或x≥5}，
∴（∁RB）∪A＝{x|x≤2 或x≥3}；
（2）C＝{x|a＜x＜a+1}，且C⊆B，则
，解得2≤a≤4，
∴实数a 的取值构成的集合为[2，4]．
18．【解答】解：（1）
＝
；
（2）由sin（π+α）＝m，得﹣sinα＝m，则sinα＝﹣m，
∴
＝1﹣2sin2α
＝1﹣2sin2α﹣1+sinα
＝sinα﹣2sin2α＝﹣m﹣2m2，
当m＝
时，
＝
．
19．【解答】解：向量＝（1，2），＝（﹣3，2），
则k + ＝（k﹣3，2k+2），﹣3 ＝（10，﹣4）；
（1）当向量k + 与﹣3 垂直时，（k + ）•（﹣3 ）＝0，
即10（k﹣3）﹣4（2k+2）＝0，
解得k＝19；
即k＝19 时，两向量垂直；
（2）当向量k + 与﹣3 平行时，
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﹣4（k﹣3）﹣10（2k+2）＝0，
解得k＝﹣
；
即k＝﹣
时，两向量平行．
20．【解答】解：（1）设利润为y 元，
①当0≤x≤200 时，y＝400x﹣x2﹣100x﹣7500＝﹣x2+300x﹣7500，
②当x＞200 时，y＝20000﹣100x﹣7500＝﹣100x+12500．
故y＝
．
（2）当0≤x≤200 时，y＝﹣x2+300x﹣7500＝﹣（x﹣150）2+15000．
故当x＝150 时，y 取得最大值15000．
当x＞200 时，y＝﹣100x+12500 在（200，+∞）上单调递减，
又x∈N，故y 的最大值为﹣100×201+12500＝﹣7600．
综上，当月产量为150 台时，车间所获利润最大，最大利润为15000 元．
21．【解答】解：（1）由函数
是定义在（﹣2，2）上的奇函数知
，所以b＝0，
经检验，b＝0 时
是（﹣2，2）上的奇函数，满足题意．
又
，解得a＝1，故
，x∈（﹣2，2）．
（2）f（x）是（﹣2，2）上增函数．证明如下：
在（﹣2，2）任取x1，x2 且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，4+x1x2＞0，
，
，
所以
＞0
即f（x2）＞f（x1）
所以f（x）是（﹣2，2）上增函数．
（3）因为f（x）是（﹣2，2）上的奇函数，
所以由f（t﹣1）+f（t）＜0 得，f（t﹣1）＜﹣f（t）＜f（﹣t），
又f（x）是（﹣2，2）上增函数，
所以
解得
，
从而原不等式的解集为
．
22．【解答】解：（1）函数f（x）＝
cos（
﹣x）cos（2π﹣x）﹣cos2x＝
sinx•cosx﹣
＝sin（2x﹣
）﹣
，
令2kπ﹣
≤2x﹣
≤2kπ+
，求得kπ﹣
≤x≤kπ+
，
故函数的增区间为[kπ﹣
，kπ+
]，k∈Z．
（2）∵θ∈[0，
]，f（
+
）＝sin（θ+
﹣
）＝cosθ＝
，∴sinθ＝
，∴tanθ＝
＝
，
∴tan（θ+
）＝
＝
．
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2019-2020 学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12 小题每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5 分）已知A＝{2，4，5}，B＝{3，5，7}，则A∪B＝（
）
A．{5}
B．{2，4，5}
C．{3，5，7}
D．{2，3，4，5，7}
2．（5 分）sin（﹣
）＝（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
3．（5 分）下列函数是奇函数且在区间（0，1）上是增函数的是（
）
①f（x）＝﹣x3；②f（x）＝2|x|；③f（x）＝x+sinx；④f（x）＝x﹣
．
A．①③
B．①④
C．②③
D．③④
4．（5 分）方程ex+8x﹣8＝0 的根所在的区间为（
）
A．（﹣2，﹣1）
B．（﹣1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）
5．（5 分）函数y＝sin（x+
）+cos（
）的最大值为（
）
A．2
B．
C．
D．1
6．（5 分）已知函数f（x）＝
的最小值为﹣1．则实数m 的取值范围是（
）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．（﹣
，+∞）
D．[﹣
，+∞）
7．（5 分）已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）的部分图象如图所示，则φ的值可以（
）
A．
B．﹣
C．﹣
D．﹣
8．（5 分）函数y＝xln|x|的大致图象为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）若a＝
，b＝
，c＝
，则（
）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
10．（5 分）为了得到函数g（x）＝cos2x 的图象，可以将f（x）＝sin（2x+
）的图象（
）
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A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
11．（5 分）某企业2018 年全年投入研发资金150 万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年
增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是（
）
（参考数据：lg1.08≈0.033，lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．2020
B．2021
C．2022
D．2023
12．（5 分）已知函数f（x）＝sin（ωx+
）（ω＞0），有f（0）+f（π）＝0，且f（x）在（0，π）有且只有5 个零
点，则ω＝（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4 小题每小题5 分满分20 分
13．（5 分）函数y＝
+log2（4﹣x）的定义域为
．
14．（5 分）函数y＝ax（a＞0 且a≠1）的反函数过点（9，2），则a＝
．
15．（5 分）已知tan（
）＝2，则tan（2α+
）＝
．
16．（5 分）设f（x）是定义在R 上的奇函数，且当x≥0 时，f（x）＝x2，若对于任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）
≥
f（x）恒成立，则实数t 的取值范围是
．
三、解答题：本大题共6 小题共70 分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10 分）已知sinα═
，α∈（
）．
（1）求cosα和tan（α+π）的值．
（2）求sin（
）和cos（
）．
18．（12 分）已知函数f（x）＝ex+ae
﹣x，a∈R．
（1）若f（x）是R 上的偶函数，求a 的值．
（2）判断g（x）＝ln（ex+1）﹣
x 的奇偶性，并证明．
19．（12 分）（1）写出以下各式的值：
sin260°+sin2（﹣30°）+
sin60°•sin（﹣30°）＝
；
sin2150°+sin2（﹣120°）+
sin150°•sin（﹣120°）＝
；
sin215°+sin215°+
sin15°•sinl5°＝
．
（2）结合（1）的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．
20．（12 分）如图是半径为lm 的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一定点P，按逆时针方向以角速度
rad/s
（每秒绕圆心转动
rad）作圆周运动，已知点P 的初始位置为P0，且∠xOP0＝
，设点P 的纵坐标y 是转动
时间t（单位：s）的函数记为y＝f （t）．
（1）求f（0），f（
）的值，并写出函数y＝f （t）的解析式；
（2）选用恰当的方法作出函数f （t），0≤t≤6 的简图；
（3）试比较f（
），f（
），f（
）的大小（直接给出大小关系，不用说明理由）．
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21．（12 分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝2﹣
，x＞0，其中e 为自然对数的底数，e＝2.718……．
（1）试判断g（x）的单调性，并用定义证明；
（2）求证：方程f（x）＝g（x）没有实数根．
22．（12 分）设f（x）＝（x+1）（x+4），x＜﹣4 或x＞﹣1，g（x）＝﹣（x+1）（x+4），﹣4≤x≤﹣1．
（1）从以下两个命题中任选一个进行证明：
①当k＝9 时函数y＝f（x）﹣kx 恰有一个零点；
②当k＝﹣1 时函数y＝g（x）﹣kx 恰有一个零点；
（2）如图3 所示当k＞9 时（如k＝20），y＝kx 与f（x）的图象“好像”只有一个交点，但实际上这两个函数有
两个交点，请证明：当k＞9 时，y＝kx 与f（x）两个交点．
（3）若方程|（x+1）（x+4）|＝k|x|恰有4 个实数根，请结合（1）（2）的研究，指出实数k 的取值范围（不用证
明）．
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2019-2020 学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．【解答】解：∵A＝{2，4，5}，B＝{3，5，7}；
∴A∪B＝{2，3，4，5，7}．
故选：D．
2．【解答】解：sin（﹣
）＝﹣sin（2π+
）＝﹣sin
＝﹣
．
故选：B．
3．【解答】解：根据题意，依次分析4 个函数，
对于①f（x）＝﹣x3，为奇函数，且在（0，1）上为减函数，不符合题意；
对于②f（x）＝2|x|；为偶函数，不符合题意，
对于③f（x）＝x+sinx，有f（﹣x）＝（﹣x）+sin（﹣x）＝﹣（x+sinx）＝﹣f（x），为奇函数，且f′（x）＝
1+cosx＞0，为增函数，符合题意，
对于④f（x）＝x﹣
，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（﹣
）＝﹣（x﹣
）＝﹣f（x），为奇函数，且f′（x）＝1+
＞0，为增函数，符合题意；
则③④是奇函数且在区间（0，1）上是增函数，符合题意；
故选：D．
4．【解答】解：令函数f（x）＝ex+8x﹣8，则方程ex+8x﹣8＝0 的根即为函数f（x）的零点，
再由f（0）＝1﹣8＝7＜0，且f（1）＝e＞0，可得函数f（x）在（0，1）上有零点．
故选：C．
5．【解答】解：y＝sin（x+
）+cos（
）＝2sin（x+
），
因为﹣1≤sin（x+
）≤1，
所以﹣2≤sin（x+
）≤2，
故函数的最大值为2，
故选：A．
6．【解答】解：函数f（x）＝
的最小值为﹣1．
可知：x
时，4x﹣3＝﹣1，解得x＝
，因为y＝4x﹣3 是增函数，所以只需y＝x2+2x+m≥﹣1，x
恒成
立即可．
y＝x2+2x+m＝（x+1）2+m﹣1≥m﹣1，所以m﹣1≥﹣1，可得m≥0．
故选：B．
7．【解答】解：由函数图象经过点（
，0），且此点为五点作图中第3 个点，
故代入解析式得2×
+φ＝2kπ+π，
故φ＝2kπ+
，k∈Z．
故选：A．
8．【解答】解：函数y＝xln|x|是奇函数，排除选项B，
当x＞0 时，函数y＝xlnx 的导数为：y′＝lnx+1，
可得函数的极值点x＝
．并且x∈（0，
），y′＜0，函数是减函数，
x
，y′＞0，函数是增函数，
所以函数的图象是C．
故选：C．
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9．【解答】解：
＝
；
∴c＜b＜a．
故选：B．
10．【解答】解：由于：y＝cos2x＝sin（2x+
），
故：将函数y＝sin（2x+
）图象上所有的点向左平移
个单位，
可得：y＝sin[2（x+
）+
]＝sin（2x+
）＝cos2x 的图象．
故选：A．
11．【解答】解：该企业全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份，则150×（1+8%）n﹣2018≥200，
则n≥2018+
≈2018+
＝2021.8，
取n＝2022．
故选：C．
12．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+
）（ω＞0），
f（0）+f（π）＝0，即f（0）＝﹣f（π）．
故f（x）的图象关于点（
，0）对称，∴
+
＝kπ，即ω＝2k﹣
，k∈Z．
∵f（x）在（0，π）有且只有5 个零点，则5π＜ω•π+
≤6π，求得
＜ω≤
．
综上，结合所给的选项可得，ω＝
，
故选：A．
二、填空题：本大题共4 小题每小题5 分满分20 分
13．【解答】解：要使原函数有意义，则：
；
∴1≤x＜4；
∴原函数的定义域为：[1，4）．
故答案为：[1，4）．
14．【解答】解：由函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（9，2），
可得：y＝ax 图象过点（2，9），
∴a2＝9，
又a＞0，∴a＝3．
故答案为：3．
15．【解答】解：∵已知tan（
）＝
＝2，∴tan（2α+
）＝
＝﹣
，
则tan（2α+
）＝tan（2α+
+
）＝
＝﹣
，
故答案为：﹣
．
16．【解答】解：当x≥0 时，f（x）＝x2，
∵函数是奇函数
∴当x＜0 时，f（x）＝﹣x2
∴f（x）＝
，
∴f（x）在R 上是单调递增函数，
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且满足
f（x）＝f（
x），
∵不等式f（x+t）≥
f（x）＝f（
x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+t≥
x 在[t，t+2]恒成立，
即：x≤2t 在[t，t+2]恒成立，
∴t+2≤2t，
解得：t≥2，
故答案为：[2，+∞）．
三、解答题：本大题共6 小题共70 分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．【解答】解：（1）∵sinα═
，α∈（
），∴cosα＝﹣
＝﹣
，
tan（α+π）＝tanα＝
＝﹣
．
（2）sin（
）＝
sinα+
cosα＝﹣
；
cos（
）＝cosαcos
+sinαsin
＝﹣
•
+
•
＝
．
18．【解答】解：（1）∵f（x）是R 上的偶函数；
∴f（﹣x）＝f（x）；
∴e
﹣x+aex＝ex+ae
﹣x；
∴（a﹣1）（ex﹣e
﹣x）＝0；
∴a＝1；
（2）g（x）是偶函数，证明如下：
g（x）的定义域为R，且g（﹣x）＝
；
∴g（x）是偶函数．
19．【解答】解：（1）sin260°+sin2（﹣30°）+
sin60°•sin（﹣30°）＝
，
sin2150°+sin2（﹣120°）+
sin150°•sin（﹣120°）＝
，
sin215°+sin215°+
sin15°•sinl5＝
，
（2）当α+β＝30°，sin2α+sin2β+
sinα•sinβ＝
，
证明：∵α+β＝30°，则β＝30°﹣α，
∴sin2α+sin2β+
sinα•sinβ＝sin2α+sin2（30°﹣α）+
sinα•sin（30°﹣α），
＝sin2α+（
cosα﹣
sinα）2+
sinα•（
cosα﹣
sinα），
＝sin2α+
cos2α﹣
cosαsinα+
cos2α+
sinαcosα﹣
sin2α，
＝
sin2α+
cos2α
＝
，
故答案为：
，
，
20．【解答】解：（1）由题意，f（0）＝sin
＝
，
f（
）＝sin（
×
+
）＝cos
＝
，
函数y＝f （t）＝sin（
t+
），t≥0；
（2）根据题意列表如下；
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t
0
1
4
6
t+
π
2π
1
y
1
0
﹣1
0
1
在直角坐标系中描点、连线，作出函数f （t）在0≤t≤6 的简图如图所示；
（3）由函数的图象与性质知f（
）＞f（
）＞f（
）．
21．【解答】解：（1）g（x）在（0，+∞）递增，
设a，b∈（0，+∞）且a＜b，
则g（a）﹣g（b）＝（2﹣
）﹣（2﹣
）＝
，
∵0＜a＜b，∴a﹣b＜0，a+1＞0，b+1＞0，
故g（a）﹣g（b）＜0，即g（a）＜g（b），
故g（x）在（0，+∞）递增；
（2）证明：当x＞0 时，f（x）的值域是（1，+∞），
由g（x）＝1，解得：x＝1，
当x∈（0，1）时，g（x）＜g（1）＝1，
故g（x）＜f（x），
当x∈[1，+∞）时，∵
＞0，
∴g（x）＝2﹣
＜2，
又f（x）≥f（1）＝e，故g（x）＜f（x），
综上，当x＞0 时，g（x）＜f（x），
故方程f（x）＝g（x）没有实数根．
22．【解答】解：（1）当k＝9 时，f（x）﹣kx＝（x+1）（x+4）﹣9x＝（x﹣2）2，
令f（x）＝0，解得：x＝2，
即函数y＝f（x）﹣kx 恰有一个零点，且此零点为2，
选②证明，
证明：当k＝﹣1 时，g（x）＝﹣（x+1）（x+4）+x＝﹣（x+2）2，
令g（x）＝0，解得：x＝﹣2，
所以函数y＝g（x）﹣kx 恰有一个零点，且此零点为﹣2，
（2）f（x）﹣kx＝x2+（5﹣k）x+4＝0，
所以△＝（k﹣5）2﹣16，
又k＞9，
所以△＞（9﹣5）2﹣16＞0，
所以方程x2+（5﹣k）x+4＝0，有两个不等实数根，记为x1，x2，
由韦达定理得：x1+x2＝k﹣5＞0，x1•x2＝4＞0，所以x1＞0，x2＞0，
即x1，x2∈（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，+∞），
所以当k＞9 时，y＝kx 与f（x）两个交点．
（3）结合（1）（2）的研究，实数k 的取值范围为：（﹣1，0）∪（9，+∞），
故答案为：（﹣1，0）∪（9，+∞）．
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2019-2020 学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确，请把正确
选择支号在答题卡中的相应位置涂黑
1．（5 分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝（
）
A．{0，1}
B．{1}
C．{x|﹣1＜x＜1}
D．{x|﹣1＜x≤1}
2．（5 分）直线l：
x﹣y﹣2＝0 的斜率为（
）
A．1
B．
C．﹣1
D．﹣
3．（5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（
）
A．y＝
B．y＝﹣x2+1
C．y＝
D．y＝|x|﹣1
4．（5 分）在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数
量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些
正方体货箱的个数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
5．（5 分）设a＝1og20.8，b＝0.82，c＝20.8，则a，b，c 大小关系正确的是（
）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
6．（5 分）当0＜a＜1 时，下列选项中，函数y＝logax 和y＝（1﹣a）x 的大致图象正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）将一个直角边长为2 的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为（
）
A．
B．2
C．4π
D．8π
8．（5 分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+2（a∈R）在区间[1，+∞）上单调递增，则a 的取值范围为（
）
A．（2，+∞）
B．[2，+∞）
C．（﹣∞，2）
D．（﹣∞，2]
9．（5 分）过点（2，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（
）
A．x﹣2y＝0 或x﹣y﹣1＝0
B．x﹣2y＝0 或x+y﹣3＝0
C．x+y﹣3＝0 或x﹣y﹣1＝0
D．x﹣2y＝0
10．（5 分）已知m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（
）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
11．（5 分）已知函数y＝f（x）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数m 满足f（log3m）
≥f（1），则m 的取值范围为（
）
A．（0，
]
B．[3，+∞）
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第314页（共397页）
C．（0，
]∪[3，+∞）
D．[
，3]
12．（5 分）已知函数f（x）＝
，若函数g（x）＝f2（x）+3f（x）+m（m∈R）有三个零点，则
m 的取值范围为（
）
A．m＜
B．m≤﹣28
C．﹣28
D．m＞28
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，请把答案填在答题卡的相应位置上
13．（5 分）log216﹣log24＝
．
14．（5 分）已知直线l1：2x﹣y+1＝0 与l2：4x+my﹣3＝0（m∈R）相互平行，则两直线l1 与l2 之间的距离为
．
15．（5 分）已知函数g（x）＝ax3+bx+3（a，b 为常数），若g（2）＝1，则g（﹣2）＝
．
16．（5 分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的六个顶点都在球O 上，底面ABC 是直角三角形，且AB＝BC＝
，
侧棱AA1＝4，则球O 的体积为
．
三、解答题：本大题共6 小题，第17 题10 分，18、19、20、21、22 题12 分，共70 分，解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17．（10 分）已知函数f（x）＝|x|，g（x）＝﹣
x+2．
（1）在同一直角坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象；
（2）请写出y＝f（x）的一个函数性质，并给予证明；
（3）请写出不等式f（x）＜g（x）的解集．
18．（12 分）已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A（0，m），B（﹣1，1），C（3，3）．
（1）求BC 边所在直线的方程；
（2）若AC 边上的中线所在直线的方程为x+5y+n＝0（n∈R），求△ABC 的面积．
19．（12 分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1 个单位量的水可
洗掉蔬菜上残留农药量的
，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清
洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）．
（Ⅰ）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；
（Ⅱ）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；
（Ⅲ）设
．现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2 份后清洗两次，试
问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．
20．（12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 是菱形，∠ADC＝120°，AD＝1，PD
＝
．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求点D 到面PAC 的距离．
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21．（12 分）已知二次函数f（x）＝﹣x2+ax﹣
+1（a∈R）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求a 的值；
（2）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为g（a），求g（a）的最小值．
22．（12 分）已知函数f（x）＝
ax2﹣2x+a﹣3（a∈R）在区间[﹣1，1]上有且仅有一个零点，求a 的取值范围．
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2019-2020 学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确，请把正确
选择支号在答题卡中的相应位置涂黑
1．【解答】解：∵A＝{0，1，2}，B＝{x∈R|x≤1}；
∴A∩B＝{0，1}．
故选：A．
2．【解答】解：由
x﹣y﹣2＝0，
得
．
∴直线l：
x﹣y﹣2＝0 的斜率为
．
故选：B．
3．【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），函数为非奇非偶函数，故A 错误，
B．函数为偶函数，当x＞0 时，函数为减函数，不满足条件．故B 错误，
C．函数为奇函数，在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．故C 错误，
D．f（﹣x）＝|﹣x|﹣1＝|x|﹣1＝f（x），函数f（x）是偶函数，
当x＞0 时，f（x）＝x﹣1 是增函数，满足条件．故D 正确
故选：D．
4．【解答】解：由俯视图可得所有小正方体共6 摞，
每摞小正方体的个数如下图所示：
故这些正方体货箱的个数为8 个，
故选：C．
5．【解答】解：log20.8＜log21＝0，0＜0.82＜1，20.8＞20＝1；
∴a＜b＜c．
故选：A．
6．【解答】解：当0＜a＜1 时，0＜1﹣a＜1，
则y＝logax 是减函数，y＝（1﹣a）x 是过原点的增函数，
故选：C．
7．【解答】解：旋转成的几何体是圆锥，其底面半径为r＝2，高为h＝2，如图所示；
则圆锥的体积为V＝
πr2h＝
π×22×2＝
．
故选：A．
8．【解答】解：依题意对称轴x＝
≤1，解得a≤2，
故选：D．
9．【解答】解：直线过点（2，1），且在两坐标轴上的截距相等，
当截距为0 时，直线方程为：x﹣2y＝0；
当直线不过原点时，斜率为﹣1，直线方程：x+y﹣3＝0．
∴直线方程为x﹣2y＝0 或x+y﹣3＝0．
故选：B．
10．【解答】解：由m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：
在A 中，若m∥α，n∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；
在B 中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B 错误；
在C 中，若m∥α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确；
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在D 中，若m∥α，α⊥β，则m 与β相交、平行或m⊂β，故D 错误．
故选：C．
11．【解答】解：∵函数y＝f（x）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，
∴f（log3m）≥f（1），等价为f（|log3m|）≥f（1），
即|log3m|≤1．即﹣1≤log3m≤1，得
≤m≤3，
即实数m 的取值范围是[
，3]，
故选：D．
12．【解答】解：作出f（x）的图象如图：
设t＝f（x），则由图象知当t≥4 时，t＝f（x）有两个根，
当t＜4 时，t＝f（x）只有一个根，
若函数g（x）＝f2（x）+3f（x）+m（m∈R）有三个零点，
等价为函数g（x）＝h（t）＝t2+3t+m 有两个零点，
其中t1＜4 或t2≥4，
则满足
，
得
，得m≤﹣28，
故选：B．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，请把答案填在答题卡的相应位置上
13．【解答】解：原式＝
．
故答案为：2．
14．【解答】解：∵直线l1：2x﹣y+1＝0 与l2：4x+my﹣3＝0（m∈R）相互平行，
∴m＝﹣2，
∴两直线l1 与l2 之间的距离为d＝
＝
．
故答案为：
．
15．【解答】解：根据题意，设f（x）＝g（x）﹣3＝ax3+bx，
有f（﹣x）＝a（﹣x）3+b（﹣x）＝﹣（ax3+bx）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，
则f（x）+f（﹣x）＝0，即g（x）﹣3+g（﹣x）﹣3＝0，
变形可得g（x）+g（﹣x）＝6，
则有g（2）+g（﹣2）＝6，
g（2）＝1，则g（﹣2）＝5；
故答案为：5
16．【解答】解：如图，D，D1 分别为AC，A1C1 的中点，
O 为DD1 的中点，
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易知，O 即为外接球球心，
计算可得OA1＝3，
∴S 球＝36π，
故答案为：36π．
三、解答题：本大题共6 小题，第17 题10 分，18、19、20、21、22 题12 分，共70 分，解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17．【解答】解：（1）f（x）＝|x|＝
，
则对应的图象为
（2）函数f（x）是偶函数，
∵f（﹣x）＝|﹣x|＝|x|＝f（x），
∴f（x）是偶函数．
（3）当x＞0 时，由
得
，
当x＜0 时，由
，得
，
由图象知若f（x）＜g（x），则﹣4＜x＜
，
即不等式f（x）＜g（x）的解集为（﹣4，
）
18．【解答】解：（1）∵
，
∴BC 边所在直线的方程为：
，
即x﹣2y+3＝0；
（2）把B（﹣1，1）代入x+5y+n＝0，解得n＝﹣4．
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∴中线l 的方程为x+5y﹣4＝0，
AC 的中点坐标为（
，
），
∴
，即m＝﹣2．
∴A（0，﹣2），
∴点A 到直线BC 的距离d＝
．
|BC|＝
．
∴
．
19．【解答】解：（1）f（0）＝1，表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样．
（2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：
在[0，+∞）上f（x）单调递减，
且0＜f（x）≤1．
（3）设仅清洗一次，残留在农药量为
，
清洗两次后，残留的农药量为
，
则
；
于是，当
时，清洗两次后残留在农药量较少；当
时，两种清洗方法具有相同的效果；
当
时，一次清洗残留的农药量较少．
20．【解答】证明：（1）∵底面ABCD 是菱形，∴BD⊥AC，
∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵BD，PD 是平面PBD 内的两条直交线，
∴AC⊥平面PBD，
又PB⊂平面PBD，∴AC⊥PB．
解：（2）∵底面ABCD 是菱形，∴AD＝CD＝1，
又∵∠ADC＝120°，∴AC＝
，
∵PD⊥平面ABCD，∴PA＝PC＝
，
设点D 到平面PAC 的距离为h，且PD⊥平面ABCD，
∴VP﹣ADC＝VD﹣PAC，即
，
∵△PAC 是等边三角形，∴
，
∴
，
解得h＝
，
∴点D 到面PAC 的距离为
．
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21．【解答】解：（1）二次函数f（x）＝﹣x2+ax﹣
+1 的对称轴为x＝
，
由f（x）为偶函数，可得a＝0；
（2）f（x）＝﹣x2+ax﹣
+1 的对称轴为x＝
，
当
≥1 即a≥2 时，f（x）在[﹣1，1]递增，可得g（a）＝f（1）＝
，
且g（a）的最小值为1；
当
≤﹣1 即a≤﹣2 时，f（x）在[﹣1，1]递减，可得g（a）＝f（﹣1）＝﹣
a，
且g（a）的最小值为3；
当﹣1＜
＜1，即﹣2＜a＜2 时，f（x）的最大值为g（a）＝f（
）＝
﹣
+1，
当a＝1 时，g（a）取得最小值
，
综上可得g（a）的最小值为
．
22．【解答】解：（1）若a＝0，则f（x）＝﹣2x﹣3，令由f（x）＝0 得，x＝﹣
∉[﹣1，1]，不符题意，
（2）当a≠0 时，f（x）＝
ax2﹣2x+a﹣3，△＝4﹣a（a﹣3），由题意可知：△≥0 可得，﹣1≤a≤4，①若a
＝﹣1，则△＝0，函数的零点为x＝﹣4，不满足题意；
②若a＝4，函数的零点是x＝1，满足题意；
下面讨论△＞0 时，函数在区间[﹣1，1]上有且仅有一个零点的情况，
由零点判断定理有f（﹣1）•f（1）＜0，即（
）
＜0，解得
，
而△＞0，f（1）＝
，只需要讨论f（﹣1）＝0 时，另一个零点是否在区间[﹣1，1]内．
由f（﹣1）＝0 可得a＝
．
此时f（x）＝
＝
，
所以另一个零点是x＝11，满足题意．
故实数a 的取值范围为[
，4]．
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2019-2020 学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷
一、单选题本题共8 小题每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B＝{x|﹣1≤x≤1}，则A∩B＝（
）
A．{﹣1，0，1}
B．{﹣2，﹣1，0}
C．{﹣1，1}
D．0，1，2}
2．（5 分）函数f（x）＝log2（1﹣x）+
的定义域为（
）
A．（﹣∞，1）
B．[﹣1，1）
C．（﹣1，1]
D．[﹣1，+∞）
3．（5 分）已知角α的终边经过点P（12，﹣5），则cosα的值为（
）
A．
B．﹣
C．﹣
D．
4．（5 分）某研究小组在一项实验中获得一组关于y、t 之间的数据，将其整理后得到如图所示的散点图，下列函数
中，最能近似刻画y 与t 之间关系的是（
）
A．y＝2t
B．y＝2t2
C．y＝log2t
D．y＝t3
5．（5 分）化简2lg5+lg4﹣5
的值为（
）
A．0
B．2
C．4
D．6
6．（5 分）已知AB 是圆O 的一条弦，AB＝2，则
的值为（
）
A．﹣2
B．1
C．2
D．与圆O 的半径有关
7．（5 分）已知sin（α+
）＝
，则sin（
﹣2α）的值为（
）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
8．（5 分）函数f（x）＝
，若实数a、b、c 满足0＜a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c）．下
列结论不恒成立的是（
）
A．ab＝1
B．c﹣a＝
C．b2﹣4ac＜0
D．a+c＜2b
二、多选题：本题共2 小题每小题5 分，共10 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部
选对的得5 分选对但不全的得3 分，有选错的得0 分．
9．（5 分）已知函数f（x）＝
，g（x）＝
，则f（x）、g（x）满足（
）
A．f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x）
B．f（﹣2）＜f（3），g（﹣2）＜g（3）
C．f（2x）＝2f（x）•g（x）
D．[f（x）]2﹣[g（x）]2＝1
10．（5 分）已知函数f（x）＝2sin（2x﹣
）+1，则下列说法正确的是（
）
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A．f（
﹣x）＝2﹣f（x）
B．f（x﹣
）的图象关于x＝
对称
C．若0＜x1＜x2＜
，则f（x1）＜f（x2）
D．若x1，x2，x3∈[
，
]，则f（x1）+f（x2）＞f（x3）
三、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
11．（5 分）已知sin（π﹣α）＝
，α∈（
，π），则tanα＝
．
12．（5 分）已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≥a}．若A∪B＝B，则实数a 的取值范围是
．
13．（5 分）设a＝sin
、b＝cos
、c＝tan
，用“＜”把a、b、c 排序
．
14．（5 分）方格纸中向量、、如图所示，若＝
+μ ，则λ+μ＝
．
15．（5 分）燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．研究发现，燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2
，单
位是m/s，其中O 表示燕子的耗氧量的单位数．记v1＝25m/s 时耗氧量为O1，v2＝5m/s 时耗氧量为O2，则O1
是O2 的
倍．
16．（5 分）如图，矩形ABCD 关于x 轴对称其三个顶点A、B、C 恰好分别落在函数y＝2x、y＝
、y＝log
x 的
图象上，若点A 的横坐标大于1，则点D 的坐标为
．
四、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
）的一个对称中心为（
，0），其图象上相邻两
个最高点间的距离为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用“五点作图法”在给定的坐标系中作出函数f（x）在一个周期内的图象，并写出函数f（x）的单调递减
区间．
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18．（12 分）已知函数f（x）＝
．
（1）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）函数g（x）＝f（x）+log2x﹣2 在区间（1，2）内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值（精
确度0.3）；若没有零点，说明理由．
（参考数据：
≈1.18，
≈1.225，
≈1.323，lg21.25≈0.32，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807）．
19．（12 分）如图，平行四边形ABCD 中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，点E、F 分别为AD、DC 边的中点，
BE 与AF 相交于点O．记
＝，
＝．
（1）用、表示
，并求|
|；
（2）若
＝
，求实数λ的值．
20．（12 分）如图，点P0（m，n）在以原点O 为圆心的单位圆上，记锐角∠xOP0＝φ，点P 从P0 开始，按逆时针
方向以角速度ω＝
rad/s 在圆O 上做圆周运动，经过5s 到达点Q（﹣1，0）．记P 的纵坐标关于时间t（s）的
函数为f（t）．
（1）求实数n 的值；
（2）求函数y＝f（t）•f（t+2）在区间[
]上的值域．
21．（12 分）医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物，患者单次服用指定规格的该药物后，其体内的药物浓度
c（mg/L）随时间t（h）的变化情况（如图所示）：当0≤t≤1 时，c 与t 的函数关系式为c＝m（2t﹣1）（m 为常
数）；当t≥1 时，c 与t 的函数关系式为c＝k•（
）t（k 为常数）．服药2h 后，患者体内的药物浓度为10mg/L．这
种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险．
（1）首次服药后，药物有疗效的时间是多长？
（2）首次服药1 小时后，可否立即再次服用同种规格的这种药物？
（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.477）
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22．（12 分）已知函数f（x）＝log3（9x+1）﹣kx 是偶函数．
（1）求实数k 的值；
（2）当x≥0 时，函数g（x）＝f（x）﹣x﹣a 存在零点，求实数a 的取值范围；
（3）设函数h（x）＝log3（m•3x﹣2m），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求实数m 的取值范围．
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2019-2020 学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题本题共8 小题每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1≤x≤1}；
∴A∩B＝{﹣1，0，1}．
故选：A．
2．【解答】解：要使f（x）有意义，则：
；
∴﹣1≤x＜1；
∴f（x）的定义域为：[﹣1，1）．
故选：B．
3．【解答】解：∵角α的终边经过点P（12，﹣5），则cosα＝
＝
，
故选：A．
4．【解答】解：分析图象可知，
其增长速度越来越慢，
故选：C．
5．【解答】解：原式＝2lg5+2lg2﹣2＝2（lg5+lg2）﹣2＝0．
故选：A．
6．【解答】解：取AB 的中点M，连OM，则OM⊥AB，
∴
•
＝2
•
＝2|
||
|cos∠OAM
＝2|
||
|×
＝2|
|2
＝2．
故选：C．
7．【解答】解：∵sin（α+
）＝
，则sin（
﹣2α）＝cos（
+2α）＝1﹣2
＝1﹣2•
＝
，
故选：D．
8．【解答】
解：由图知：﹣log2a＝log2b＝log
（c﹣
），即a＝
＝c﹣
，
，运算可得：选项A、B 恒成立，
又b2﹣4ac＝
﹣
＝
＜0，即选项C 恒成立，
又a+c﹣2b＝2a﹣
∈（﹣
，
），当
＜a＜1 时，a+c﹣2b 的符号不确定，即选项D 不恒成立，
故选：D．
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二、多选题：本题共2 小题每小题5 分，共10 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部
选对的得5 分选对但不全的得3 分，有选错的得0 分．
9．【解答】解：f（﹣x）＝
＝﹣
＝﹣f（x），g（﹣x）＝
＝g（x）．故A 正确，
f（x）为增函数，则f（﹣2）＜f（3），成立，g（﹣2）＝
，g（3）＝
＞g（﹣2），故B 正确，
2f（x）•g（x）＝2×
•
＝2×
＝2f（2x），故C 正确，
[f（x）]2﹣[g（x）]2＝[f（x）+g（x）]．[f（x）﹣g（x）]＝ex•（﹣e
﹣x）＝﹣1，故D 错误，
故选：ABC．
10．【解答】解：A．当x＝0 时，f（
﹣x）＝f（
）＝2sin[2×
﹣
]+1＝2sin0+1＝1，
2﹣f（0）＝2﹣2sin（﹣
）﹣1＝1+
，此时f（
﹣x）＝2﹣f（x）不成立，故A 错误，
B．f（x﹣
）＝2sin[2（x﹣
）﹣
]+1＝2sin（2x﹣
）+1，
由2x﹣
＝kπ+
得x＝
+
，k∈Z，
当k＝﹣1 时，x＝
﹣
＝
，即函数关于x＝
对称，故B 正确，
C．当0＜x＜
时，0＜2x＜π，﹣
＜2x﹣
＜
，此时函数f（x）不是增函数，故C 错误，
D.
≤x≤
时，
≤x≤π，
≤2x﹣
≤
，
则当2x﹣
＝
或
时，函数f（x）取得最小值为2sin
+1＝
+1，
当当2x﹣
＝
时，函数f（x）取得最大值为2sin
+1＝2+1＝3，
则两个最小值之和为
+1＝2
+2＞3，故D 正确，
故选：BD．
三、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
11．【解答】解：∵sin（π﹣α）＝sinα＝
，α∈（
，π），∴cosα＝﹣
＝﹣
则tanα＝
＝﹣
，
故答案为：﹣
．
12．【解答】因为A∪B＝B，所以A⊆B，
由集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≥a}．
所以a≤1．故填a≤1．
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13．【解答】解：设a＝sin
＝sin
＝
＝
、b＝cos
＞cos
＝
、c＝tan
＝tan
＝
＝
，
∴b＞a＞c，
故答案为：b＞a＞c．
14．【解答】解：设水平向右，竖直向上的方向分别为的单位向量为
，
，
则＝
，＝3
﹣
，＝
，
又＝
，
所以
，
所以
，
即λ+μ＝3，
故答案为：3．
15．【解答】解：v＝5log2
，
当v1＝25m/s 时耗氧量为O1，则25＝5log2
，即
＝25，即O1＝10×25，
v2＝5m/s 时耗氧量为O2，5＝5log2
，即
＝2，即O2＝10×2，
∴
＝24＝16，
故则O1 是O2 的16 倍，
故答案为：16
16．【解答】解：设A（t，2t），则D（t，﹣2t），
B 的纵坐标为y＝2t，
∵B 在y＝
上，∴B 的横坐标为2t＝
，得x＝4t，即B（4t，2t），
C 点横坐标和B 的横坐标相同为x＝4t，C 的纵坐标和D 的纵坐标相同，为y＝﹣2t，
即C（4t，﹣2t），点C 在y＝log
x 的图象上，
∴﹣2t＝log
4t＝﹣log24t＝﹣2t，
即2t＝2t，
∵点A 的横坐标大于1，∴t＞1，得t＝2，即D（2，﹣4），
故答案为：（2，﹣4）
四、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
）的一个对称中心为（
，0），
其图象上相邻两个最高点间的距离为π，
∴ω•
+φ＝kπ+
，k∈Z，且
＝π，
∴ω＝2，φ＝
，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x+
）．
（2）用“五点作图法”在给定的坐标系中作出函数f（x）在一个周期内的图象，
列表：
2 x+
0
π
2π
x
﹣
f（x）
0
2
0
﹣2
0
描点作图：
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第328页（共397页）
函数f（x）的单调递减区间为（2kπ+
，2kπ+
），k∈Z．
18．【解答】解：（1）函数f（x）区间[0，+∞）上是增函数，
理由如下：令0≤x1＜x2，
由于f（x1）﹣f（x2）＝
﹣
＝
＜0
即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）g（x）＝
+log2x﹣2 是增函数，
∵g（1）＝1+log21﹣2＝﹣1＜0，g（2）＝
+log22﹣2＝
﹣1＞0，
∴函数g（x）在区间（1，2）内有且只有一个零点，
∵g（1.5）＝
+log21.5﹣2≈1.225+0.585﹣2＝﹣0.19＜0，
g（1.75）＝
+log21.75﹣2≈1.323+0.807﹣2＝0.13＞0，
∴函数的零点在（1.5，1.75），
∵1.75﹣1.5＝0.25＜0.3，
∴g（x）零点的近似值为1.5
（函数g（x）的零点近似值取区间[1.5，1.75]中的任意一个数都可以）
19．【解答】解：（1）
＝
＝
＝
，
|
|＝
＝
＝
；
（2）设
＝
，
，
在△ABO 中有
＝
，
所以
＝
，
所以λ（
）＝+μ（
），
又，不共线，则
，
解得：
故实数λ的值为
．
20．【解答】解：（1）由题意可知∠QOP0＝
，故φ＝
，
由任意角的三角函数的定义即可知n＝sinφ＝sin
＝
，
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第329页（共397页）
（2）由（1）可知f（t）＝sin（
t+
），
则f（t+2）＝sin（
t+
）＝cos
t，
∴y＝f（t）•f（t+2）＝sin（
t+
）•cos
t＝（
sin
+
cos
t）•cos
t＝
sin
t+
cos
t+
＝
sin（
t+
）+
，
∵t∈[
]，
∴
t+
∈[
，
]，
∴sin（
t+
）∈[
，1]，
∴
sin（
t+
）+
∈[
，
]，
故函数y＝f（t）•f（t+2）在区间[
]上的值域为[
，
]
21．【解答】解：（1）当t≥1 时，c＝k•（
）t，函数图象过点（2，10），
∴10＝k•（
）2，得k＝40，
∴当t＝1 时，c＝40×
＝20，
当0≤t≤1 时，c＝m（2t﹣1），函数图象过点（1，20），
∴m＝20，
∴c＝20×2t﹣20，
由20×2t﹣20≥10，解得t≥log23﹣log22＝
﹣1≈
﹣1＝0.59．
则药物有疗效时间为2﹣0.59＝1.41 小时．
（2）设再次服用同种规格的这种药物x 小时后的药物浓度为y，
当0≤x≤1，y＝20×2x﹣20+40•（
）x+1＝20（2x+2
﹣x）﹣20，
∵函数y 在[0，1]上单调递增，
∴当x＝1 时，ymax＝30，
当x＞1 时，y＝40•（
）x+40•（
）x+1＝60•（
）x＜30，
∵32＞30，
∴首次服药1 小时后，可立即再次服用同种规格的这种药物．
22．【解答】解：（1）由f（x）＝log3（9x+1）﹣kx 是偶函数．
则f（x）＝f（﹣x）恒成立，
则2（k﹣1）x＝0 恒成立，
即k＝1；
（2）当x≥0 时，g（x）＝f（x）﹣x﹣a 存在零点，
即a＝log3（9x+1）﹣2x 在x∈[0，+∞）有解，
设φ（x）＝log3（9x+1）﹣2x
（x≥0），
φ（x）＝log3（
+1），
因为x≥0，
所以
+1∈（1，2]，
所以φ（x）∈（0，log32]，
即实数a 的取值范围为：（0，log32]，
（3）函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，
则关于x 的方程log3（m•3x﹣2m）＝log3（9x+1）﹣x 只有一个解，
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所以m•3x﹣2m＝3x+3
﹣x，
令t＝3x（t＞0），
得：（m﹣1）t2﹣2mt﹣1＝0，
①当m﹣1＝0 即m＝1 时，此方程的解为t＝﹣
，不满足题意，
②当m﹣1＞0 即m＞1 时，由韦达定理可知，此方程有一正一负根，故满足题意，
③当m﹣1＜0 即m＜1 时，由方程（m﹣1）t2﹣2mt﹣1＝0 只有一正根，则需
，
解得m＝
，
综合①②③得：
实数m 的取值范围为：{
}∪（1，+∞）．
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2019-2020 学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．（4 分）sin（﹣
）的值是（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
2．（4 分）函数
的最小正周期为（
）
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
3．（4 分）如果向量＝（0，1），＝（﹣2，1），那么| +2 |＝（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
4．（4 分）
＝（
）
A．tanα
B．﹣tanα
C．1
D．﹣1
5．（4 分）已知函数y＝sinx 和y＝cosx 在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（4 分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
7．（4 分）已知，为单位向量，且• ＝﹣
，那么向量，的夹角是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（4 分）设α∈[0，2π），则使
成立的α的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（4 分）已知函数f（x）＝A1sin（ω1x+φ1），g（x）＝A2sin（ω2x+φ2），其图象如图所示．为得到函数g（x）的
图象，只需先将函数f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再（
）
A．向右平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向左平移
个单位
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10．（4 分）在△ABC 中，
，AB＝2，AC＝1．D 是BC 边上的动点，则
的取值范围是（
）
A．[﹣4，1]
B．[1，4]
C．[﹣1，4]
D．[﹣4，﹣1]
二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分.把答案填在题中横线上.
11．（4 分）若
，且θ为第三象限的角，则tanθ＝
．
12．（4 分）已知向量＝（1，2）．与向量共线的一个非零向量的坐标可以是
．
13．（4 分）如果
，那么x 的最小值是
．
14．（4 分）如图，已知正方形ABCD．若
＝λ
+μ
，其中λ，μ∈R，则
＝
．
15．（4 分）在直角坐标系xOy 中，已知点A（3，3），B（5，1），P（2，1），M 是坐标平面内的一点．
①若四边形APBM 是平行四边形，则点M 的坐标为
；
②若
+
＝2
，则点M 的坐标为
．
16．（4 分）设函数
．若f（x）的图象关于直线
对称，则ω的取值集合是
．
三、解答题：本大题共3 小题，共36 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12 分）已知
，且
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值．
18．（12 分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在区间
上的最大值和最小值；
（Ⅲ）写出f（x）的单调递增区间．
19．（12 分）在直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣1，0），
，C（cosθ，sinθ），其中
．
（Ⅰ）求
的最大值；
（Ⅱ）是否存在
，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明
理由．
四、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分．把答案填在题中横线上．
20．（4 分）若集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝
．
21．（4 分）函数f（x）＝
的定义域是
．
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22．（4 分）已知三个实数
，
，c＝log32．将a，b，c 按从小到大排列为
．
23．（4 分）里氏震级M 的计算公式为：M＝lgA﹣lgA0，其中A0＝0.005 是标准地震的振幅，A 是测震仪记录的地
震曲线的最大振幅．在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为
级；8 级地震的最大振幅是5 级地震最大振幅的
倍．
24．（4 分）已知函数
若c＝0，则f（x）的值域是
；若f（x）的值域是
，则实数c 的取值范围是
．
二、解答题：本大题共3 小题，共30 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
25．（10 分）已知函数
．
（Ⅰ）证明：f（x）是奇函数；
（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．
26．（10 分）已知函数f（x）＝ax2+x 定义在区间[0，2]上，其中a∈[﹣2，0]．
（Ⅰ）若a＝﹣1，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值．
27．（10 分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意x1，x2∈D，且x1≠x2，都有
，
则称函数f（x）为“凸函数”．
（Ⅰ）判断函数f1（x）＝2x 与
是否为“凸函数”，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）＝a•2x+b（a，b 为常数）是“凸函数”，求a 的取值范围；
（Ⅲ）写出一个定义在
上的“凸函数”f（x），满足0＜f（x）＜x．（只需写出结论）
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2019-2020 学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．【解答】解：sin（﹣
）＝﹣sin
＝﹣
，
故选：D．
2．【解答】解：函数
的最小正周期为：T＝
＝4π．
故选：C．
3．【解答】解：由向量＝（0，1），＝（﹣2，1），
所以+2 ＝（﹣4，3），
由向量的模的运算有：| +2 |＝
＝5，
故选：B．
4．【解答】解：
＝
＝1．
故选：C．
5．【解答】解：A：y＝sinx 在（0，
）上是增函数；
C：y＝cosx 在（π，
）上是增函数；
D：y＝cosx 在（
，2π）上是增函数．
故选：B．
6．【解答】解：
．
故选：D．
7．【解答】解：∵
为单位向量，且
；
∴
＝
；
又
；
∴
．
故选：D．
8．【解答】解：∵α∈[0，2π），
，
∴
．
∴设α∈[0，2π），则使
成立的α的取值范围是（
，
）．
故选：B．
9．【解答】解：函数f（x）＝A1sin（ω1x+φ1），g（x）＝A2sin（ω2x+φ2），其图象如图所示，
可见f（x）的周期为2π，g（x）的周期为π，且f（x）图象上的点（0，0），在g（x）的图象上对应（
，0），
为得到函数g（x）的图象，只需先将函数f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），
在向右平移
个单位，
故选：A．
10．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；
则A（0，0），B（2，0），C（0，1），
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设D（x，y），则
+y＝1，x∈[0，2]；
∴
＝（x，y），
＝（﹣2，1），
∴
•
＝﹣2x+y＝﹣2x+（1﹣
x）＝﹣
x+1∈[﹣4，1]，
则
的取值范围是[﹣4，1]．
故选：A．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分.把答案填在题中横线上.
11．【解答】解：∵
，且θ为第三象限的角，
∴sinθ＝﹣
＝﹣
，
∴tanθ＝
＝
＝
．
故答案为：
．
12．【解答】解：
与共线；
即与向量共线的一个非零向量的坐标可以是（2，4）．
故答案为：（2，4）．
13．【解答】解：
，
可得x+
＝kπ，
即x＝kπ﹣
，k∈N*，
可得x 的最小值为π﹣
＝
，
故答案为：
，
14．【解答】解：∵
，
∴
＝
，
∴λ＝﹣1，μ＝1，
∴
，
故答案为：﹣1．
15．【解答】解：①设M（x，y），则：
；
∵四边形APBM 是平行四边形；
∴
；
∴（﹣1，﹣2）＝（5﹣x，1﹣y）；
∴
；
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解得
；
∴点M 的坐标为（6，3）；
②
；
∵
；
∴（1，2）+（3，0）＝2（x﹣2，y﹣1）；
∴（4，2）＝（2（x﹣2），2（y﹣1））；
∴
；
解得
；
∴点M 的坐标为（4，2）．
故答案为：（6，3），（4，2）．
16．【解答】解：由题意
，k∈Z，
得ω＝6k+1，k∈Z，
故答案为：{ω|ω＝6k+1，k∈Z}．
三、解答题：本大题共3 小题，共36 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．【解答】解（Ⅰ）：因为
，
，
所以
＝
．
所以
＝
．
（Ⅱ）：因为
，
，
所以
＝
．
所以
＝
．
18．【解答】（Ⅰ）解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象可知A＝3，
因为f（x）的最小正周期为
，所以
．
令
，解得
，适合|φ|＜π．
所以
．
（Ⅱ）解：因为
，所以
．
所以，当
，即x＝π时，f（x）取得最大值
，
当
，即
时，f（x）取得最小值﹣3．
（Ⅲ）解：结合f（x）的图象可得它的单调递增区间为
（k∈Z）．
19．【解答】解：（Ⅰ）由题意，
，
；
……………………（2 分）
所以
……………………（3 分）
＝
＝
；……………………（4 分）
因为
，所以
；……………………（5 分）
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所以当
，即θ＝0 时，
取得最大值2；
……………………（6 分）
（Ⅱ）因为|AB|＝2，
，
；
又
，所以sinθ∈[0，1]，cosθ∈[0，1]，
所以|AC|≤2，|BC|≤2；
所以若△ABC 为钝角三角形，则角C 是钝角，
从而
；………………（8 分）
由（Ⅰ）得
，
解得
；……………………（9 分）
所以
，即
；……………………（11 分）
反之，当
时，
，
又A，B，C 三点不共线，所以△ABC 为钝角三角形；
综上，当且仅当
时，△ABC 为钝角三角形．……………………（12 分）
四、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分．把答案填在题中横线上．
20．【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x＜3}，
B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}．
故答案为：{x|﹣1＜x＜3}．
21．【解答】解：由函数的解析式可得log2x≠0，即
，解得函数的定义域为{x|0＜x＜1 或x＞1}，
故答案为{x|0＜x＜1 或x＞1}．
22．【解答】解：
，log32＜log33＝1；
∴c＜b＜a．
故答案为：c＜b＜a．
23．【解答】解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是500，此时标准地震的振幅为0.005，
则M＝lgA﹣lgA0＝lg500﹣lg0.005＝lg105＝5．
设8 级地震的最大的振幅是x，5 级地震最大振幅是y，
8＝lgx+5，5＝lgy+5，解得x＝103，y＝1，
∴
＝1000．
故答案为：5；1000．
24．【解答】解：c＝0 时，f（x）＝x2+x＝（x+
）2﹣
，
f（x）在[﹣2，﹣
）递减，在（﹣
，0]递增，
可得f（﹣2）取得最大值，且为2，最小值为﹣
；
当0＜x≤3 时，f（x）＝
递减，可得f（3）＝
，
则f（x）∈[
，+∞），
综上可得f（x）的值域为[﹣
，+∞）；
∵函数y＝x2+x 在区间[﹣2，﹣
）上是减函数，
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在区间（﹣
，1]上是增函数，
∴当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）最小值为f（﹣
）＝﹣
，
最大值是f（﹣2）＝2；
由题意可得c＞0，
∵当c＜x≤3 时，f（x）＝
是减函数且值域为[
，
），
当f（x）的值域是[﹣
，2]，
可得
≤c≤1．
故答案为：
；
．
二、解答题：本大题共3 小题，共30 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
25．【解答】解：（Ⅰ）：函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠±1}．……………………（1 分）
对于任意x∈D，因为
，……………………（3 分）
所以f（x）是奇函数．
……………………（4 分）
（Ⅱ）解：函数
在区间（﹣1，1）上是减函数．……………………（5 分）
证明：在（﹣1，1）上任取x1，x2，且x1＜x2，……………………（6 分）
则
．
……………………（8 分）
由﹣1＜x1＜x2＜1，得1+x1x2＞0，x2﹣x1＞0，
，
，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以函数
在区间（﹣1，1）上是减函数．……………………（10 分）
26．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当a＝﹣1 时，
；
所以f（x）在区间
上单调递增，在
上f（x）单调递减．
因为f（0）＝0，f（2）＝﹣2，
所以f（x）的最小值为﹣2．
（Ⅱ）①当a＝0 时，f（x）＝x．
所以f（x）在区间[0，2]上单调递增，
所以f（x）的最大值为f（2）＝2．
当﹣2≤a＜0 时，函数f（x）＝ax2+x 图象的对称轴方程是
．
②当
，即
时，f（x）的最大值为
．
③当
时，f（x）在区间[0，2]上单调递增，
所以f（x）的最大值为f（2）＝4a+2．
综上，当
时，f（x）的最大值为
；
当
时，f（x）的最大值为4a+2．
27．【解答】（本小题满分10 分）
（Ⅰ）解：对于函数f1（x）＝2x，其定义域为R．
取x1＝0，x2＝1，有f（x1）+f（x2）＝f（0）+f（1）＝2，
，
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所以
，所以f1（x）＝2x 不是“凸函数”．…………（2 分）
对于函数
，其定义域为[0，+∞）．
对
于
任
意
x1
，
x2∈[0
，
+
∞
）
，
且
x1
≠
x2
，
由
，
所以
．
因为f（x1）+f（x2）＞0，
，
所以
，所以
是“凸函数”．……………（4 分）
（Ⅱ）解：函数f（x）＝a•2x+b 的定义域为R．
对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，
＝
……………………（5 分）
＝
＝
．
……………………（7 分）
依题意，有
．
因为
，所以a＜0．
……………………（8 分）
（Ⅲ）
．（注：答案不唯一）……………………（10 分）
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2019-2020 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8 小题，每小题4 分，共32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4 分）已知集合A＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（
）
A．{1}
B．{1，2}
C．{0，1，2}
D．{x|0＜x≤2}
2．（4 分）已知向量＝（m，6），＝（﹣1，3），且∥，则m＝（
）
A．18
B．2
C．﹣18
D．﹣2
3．（4 分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上是增函数的是（
）
A．f（x）＝2
﹣x
B．f（x）＝x3
C．f（x）＝lgx
D．f（x）＝sinx
4．（4 分）命题p：∀x＞2，x2﹣1＞0，则￢p 是（
）
A．∀x＞2，x2﹣1≤0
B．∀x≤2，x2﹣1＞0
C．∃x＞2，x2﹣1≤0
D．∃x≤2，x2﹣1≤0
5．（4 分）已知
，sinα＜0，则cosα＝（
）
A．
B．
C．
D．
6．（4 分）若角α的终边经过点（1，y0），则下列三角函数值恒为正的是（
）
A．sinα
B．cosα
C．tanα
D．sin（π+α）
7．（4 分）为了得到函数
的图象，只需把函数y＝sinx 的图象上的所有点（
）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
8．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P．过点P 的圆O 的切
线交x 轴于点T，点T 的横坐标关于角α的函数记为f（α）．则下列关于函数f（α）的说法正确的是（
）
A．f（α）的定义域是
B．f（α）的图象的对称中心是
C．f（α）的单调递增区间是[2kπ，2kπ+π]，k∈Z
D．f（α）对定义域内的α均满足f（π﹣α）＝f（α）
二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分，把答案填在题中横线上.
9．（4 分）已知f（x）＝lnx，则f（e2）＝
．
10．（4 分）已知＝（1，2），＝（3，4），则• ＝
；| ﹣2 |＝
．
11．（4 分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{3，5}，集合S 满足S⊊A，S∪B＝A．则一个满足条件的集合S
是
．
12．（4 分）已知f（x）是定义域为R 的偶函数，当x≥0 时，
，则不等式f（x）﹣2＞0 的解集是
．
13．（4 分）如图，扇形AOB 中，半径为1，
的长为2，则
所对的圆心角的大小为
弧度；若点P 是
上
的一个动点，则当
取得最大值时，
＝
．
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14．（4 分）已知函数f（x）＝
（Ⅰ）若函数f（x）没有零点，则实数a 的取值范围是
；
（Ⅱ）称实数a 为函数f（x）的包容数，如果函数f（x）满足对任意x1∈（﹣∞，a），都存在x2∈（a，+∞），使
得f（x2）＝f（x1）．
在①﹣
；②
；③1；④
；⑤
中，函数f（x）的包容数是
．（填出所有正确答案的序号）
三、解答题：本大题共5 小题，共44 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（11 分）已知函数
．
（Ⅰ）求T 的最小正周期T；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数
的简图，并直接写出函数f（x）在区间
上的取值范围．
16．（10 分）已知函数f（x）＝x2+bx+c，存在不等于1 的实数x0 使得f（2﹣x0）＝f（x0）．
（Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在f（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明；
（Ⅲ）直接写出f（3c）与f（2c）的大小关系．
17．（11 分）如图，在四边形OBCD 中，
，
，∠D＝90°，且|
|＝|
|＝1．
（Ⅰ）用
表示
；
（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且AB＝3AP，求cos∠PCB 的值．
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18．（12 分）设函数f（x）定义域为I，对于区间D⊆I，如果存在x1，x2∈D，x1≠x2 使得f（x1）+f（x2）＝2，则称
区间D 为函数f（x）的ℱ区间．
（Ⅰ）判断（﹣∞，+∞）是否是函数y＝3x+1 的ℱ区间；
（Ⅱ）若[
]是函数y＝logax（其中a＞0，a≠1）的ℱ区间，求a 的取值范围；
（Ⅲ）设ω为正实数，若[π，2π]是函数y＝cosωx 的ℱ区间，求ω的取值范围．
19．（5 分）附加题：
声音靠空气震动传播，靠耳膜震动被人感知．声音可以通过类似于图①和图②的波形曲线来描述，图①和图②
是一位未成年女性和一位老年男性在说“我爱中国”四个字时的声波图，其中纵坐标表示音量（单位：50 分贝），
横坐标代表时间（单位：2.3×10
﹣5 秒）．
声音的音调由其频率所决定，未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2 倍．下面的图③和图④依次
为上面图①和图②中相同读音处的截取的局部波形曲线，为了简便起见，在截取时局部音量和相位做了调整，
使得二者音量相当，且横坐标从0 开始．已知点（800，0）位于图④中波形曲线上．
（Ⅰ）描述未成年女性声音的声波图是
；（填写①或②）
（Ⅱ）请你选择适当的函数模型y＝f（x），x∈[0，2000]来模仿图④中的波形曲线：f（x）＝
（函数模型
中的参数取值保留小数点后2 位）．
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2019-2020 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8 小题，每小题4 分，共32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜2}；
∴A∩B＝{1}．
故选：A．
2．【解答】解：∵
；
∴3m+6＝0；
∴m＝﹣2．
故选：D．
3．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝2
﹣x，是指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于B，f（x）＝x3，为幂函数，既是奇函数又在（0，+∞）上是增函数，符合题意；
对于C，f（x）＝lgx，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于D，f（x）＝sinx，是正弦函数，在（0，+∞）上不是增函数；
故选：B．
4．【解答】解：命题p：∀x＞2，x2﹣1＞0，则￢p 是：∃x＞2，x2﹣1≤0，
故选：C．
5．【解答】解：由
，得
，即sinα＝
，
代入sin2α+cos2α＝1，得cosα＝±
，
∵sinα＜0，tanα＞0，∴α为第三象限角，
则cosα＝
．
故选：D．
6．【解答】解：角α的终边经过点（1，y0），∴x＝1，y＝y0，r＝
，
故cosα＝
＝
＞0，而sinα＝
＝
，正负号不确定，tanα＝
＝y0，正负号不确定，
故选：B．
7．【解答】解：把函数y＝sinx 的图象上的所有点向左平移
个单位长度，
可得y＝sin（x+
）＝sin（x+π﹣
）＝﹣sin（x﹣
）的图象，
故选：A．
8．【解答】解：由三角函数的定义可知：P（cosα，sinα），
则以点P 为切点的圆的切线方程为：xcosα+ysinα＝1，
由已知有cosα≠0，
令y＝0，得：x＝
，
即函数f（α）＝
，
由cosα≠0，得：α≠2kπ±
，即函数f（α）的定义域为：
±
，k∈z ，故A 错误，
由复合函数的单调性可知：函数f（α）的增区间为：
[2kπ，2k
），（2k
2kπ+π]，k∈Z，故C 错误，
由函数的周期得：f（α）的周期为2π，故D 错误，
函数f（α）的对称中心为（k
，0），k∈Z，故B 正确．
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故选：B．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分，把答案填在题中横线上.
9．【解答】解：∵f（x）＝lnx，
∴f（e2）＝lne2＝2．
故答案为：2．
10．【解答】解：
＝1×3+2×4＝11，
＝5，
＝25，
| ﹣2 |＝
＝
＝
＝
．
故答案为：11；
．
11．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{3，5}，
集合S 满足S⊊A，S∪B＝A．
∴一个满足条件的集合S 是{1，2，3，4}（或{1，2，4，5}或{1，2，4}）．
故答案为：{1，2，3，4}（或{1，2，4，5}或{1，2，4}）．
12．【解答】解：∵x≥0，
为增函数，f（x）是R 上的偶函数；
∴f（1）＝2；
∴由f（x）﹣2＞0 得，f（x）＞f（1）；
∴f（|x|）＞f（1）；
∴|x|＞1；
解得x＜﹣1，或x＞1；
∴原不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞1}．
故答案为：{x|x＜﹣1，或x＞1}．
13．【解答】解：由弧长公式得：θ＝
＝2，
即
所对的圆心角的大小为2 弧度，
由三角函数定义可建立以点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴的直角坐标系，易得：A（1，0），B（cos2，sin2），
设
＝θ，则P（cosθ，sinθ）（0≤θ≤2），
则
＝cosθ﹣cosθcos2﹣sinθsin2＝（1﹣cos2）cosθ﹣sinθsin2＝2sin21cosθ﹣2sin1cos1sinθ＝2sin1sin
（1﹣θ），
又0≤θ≤2，所以﹣1，≤1﹣θ≤1，
当1﹣θ＝1 即θ＝0 时，
取得最大值2sin21，
故答案为：2，0．
14．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝
，
由x＜a 时，f（x）＝2x﹣1＞0，无零点；
若x≥a 时，f（x）＝2a﹣x2，
当a＜0 时，f（x）＜0，无零点；
当a≥0 时，由2a﹣x2＝0，即2a＝x2，
由x≥a 时，y＝x2 递增，可得y≥a2，
由2a＜a2，可得a＞2，f（x）无零点；
综上可得a＜0 或a＞2；
（Ⅱ）由题意可得f（x1）的值域为f（x2）的值域的子集，
当a＝﹣
时，由x＜﹣
时，f（x）＝2x﹣1∈（0，2
）；
由x≥﹣
时，f（x）＝﹣1﹣x2∈（﹣∞，﹣1]，]，（0，2
）⊈（﹣∞，﹣1]，不满足题意；
当a＝
时，由x＜
时，f（x）＝2x﹣1∈（0，2
）；
由x≥
时，f（x）＝1﹣x2∈（﹣∞，
]，（0，2
）⊆（﹣∞，
]，满足题意；
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当a＝1 时，由x＜1 时，f（x）＝2x﹣1∈（0，1）；
由x≥1 时，f（x）＝2﹣x2∈（﹣∞，1]，（0，1）⊆（﹣∞，1]，满足题意；
当a＝
时，由x＜
时，f（x）＝2x﹣1∈（0，2
）；
由x≥
时，f（x）＝1﹣x2∈（﹣∞，﹣1]，（0，2
）⊈（﹣∞，﹣1]，不满足题意；
当a＝
时，由x＜
时，f（x）＝2x﹣1∈（0，2
）；
由x≥
时，f（x）＝1﹣x2∈（﹣∞，﹣
]，（0，2
）⊈（﹣∞，﹣
]，不满足题意．
综上可得函数f（x）的包容数是②③．
故答案为：a＜0 或a＞2；②③．
三、解答题：本大题共5 小题，共44 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．【解答】（本小题满分11 分）
解：（Ⅰ）
．……………………（2 分）
（Ⅱ）由
，k∈Z，……………………（4 分）
可得：
，k∈Z．
所以函数f（x）的单调递增区间是：
，k∈Z．……………………（6 分）
（Ⅲ）列对应值表如下：
2x+
0
π
2π
x
﹣
f（x）
0
2
0
﹣2
0
通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数
的简图如图所
示．……………………（8 分）
可得函数
在区间
上的取值范围是
．……………………（11 分）
注：
中每一个端点正确给（1 分），括号正确（1 分）．
16．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，对于函数f（x）＝x2+bx+c，
因为实数x0 使得f（2﹣x0）＝f（x0），
所以
，
即（2b+4）（x0﹣1）＝0．
因为x0≠1，
所以2b+4＝0，即b＝﹣2；
经检验，b＝﹣2 满足题意，所以b＝﹣2．
（Ⅱ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2x+c，在（1，+∞）上单调递增，
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证明如下：
任取1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝
，
又由1＜x1＜x2，
则x1﹣x2＜0，x1+x2﹣2＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，
则函数f（x）在（1，+∞）上为增函数；
（Ⅲ）当c＝0 时，有3c＝2c，则有f（3c）＝f（2c）；
当c≠0 时，有3c＞2c＞1 或0＜3c＜2c＜1，则有f（3c）＞f（2c）．
17．【解答】解：（Ⅰ）∵
，
，∴
，所以
．
∴
＝2
+
+
＝﹣
﹣
．
（Ⅱ）因为
∥
，
，所以点O，A，D 共线．
因为∠D＝90°，所以∠O＝90°．
以OA 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为A（2，0），B（0，1），C（3，2），A（2，0），B（0，1），C（3，2），A（2，0），B（0，1），C（3，2），
所以A（2，0），B（0，1），C（3，2）．
所以
，
．
因为点P 在线段AB＝3AP 上，且AB＝3AP，
所以
．
所以
．
因为
，
所以
．
18．【解答】解：（Ⅰ）（﹣∞，+∞）不是函数∀x∈（﹣∞，+∞）的ℱ区间，理由如下：
因为对∀x∈（﹣∞，+∞），3x＞0，
所以3x+1＞1．
所以∀x1，x2∈（﹣∞，+∞）均有
，
即不存在x1，x2∈（﹣∞，+∞），（﹣∞，+∞），使得（﹣∞，+∞）．
所以（﹣∞，+∞）不是函数
的ℱ区间．
（Ⅱ）由
是函数
（其中
）的ℱ区间，可知
存在
，logax1+logax2＝2，使得logax1+logax2＝2．
所以
．
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因为
所以
，即
．
又因为a＞0 且a≠1，
所以
．
（Ⅲ）因为[π，2π]是函数x1，x2∈[π，2π]的ℱ区间，
所以存在x1，x2∈[π，2π]，cosωx1+cosωx2＝2，使得cosωx1+cosωx2＝2．
所以
所以存在k，l∈Z，使得
不妨设π≤x1＜x2≤2π．又因为ω＞0，
所以ωπ≤ωx1＜ωx2≤2ωπ．
所以ω≤2k＜2l≤2ω．
即在区间[ω，2ω]内存在两个不同的偶数．
①当ω≥4 时，区间[ω，2ω]的长度2ω﹣ω≥4，
所以区间[ω，2ω]内必存在两个相邻的偶数，故ω≥4 符合题意．
②当0＜ω＜4 时，有0＜ω≤2k＜2l≤2ω＜8，
所以2k，2l∈{2，4，6}．
（i）当
时，有
即3≤ω≤4．
所以3≤ω＜4 也符合题意．
（ii）当
时，有
即ω＝2．
所以ω＝2 符合题意．
（iii）当
时，有
即
此式无解．
综上所述，{2}∪[3，+∞）的取值范围是{2}∪[3，+∞）．
19．【解答】解：（Ⅰ）未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2 倍，
即有未成年女性的发声周期大约为老年男性发声周期的一半，
由图③和图④，可得图③的周期为图④周期的2 倍，
描述未成年女性声音的声波图为②；
（Ⅱ）由图④可设f（x）＝cosωx，x∈[0，2000]，
由f（800）＝cos800ω＝0，可得800ω＝kπ+
，
由图④可得ω＝
×
≈0.03，
可得f（x）＝cos0.03x，x∈[0，2000]，
故答案为：②，cos0.03x，x∈[0，2000]．
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2019-2020 学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷
一、选择题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（3 分）已知集合A＝{x|x2﹣1＞0}，那么下列结论正确的是（
）
A．0∈A
B．1∈A
C．﹣1∈A
D．1∉A
2．（3 分）命题“∀x∈（0，
），tanx＞0”的否定是（
）
A．∃x0∈（0，
），tanx0≤0
B．∃x0∉（0，
），tanx0≤0
C．∀x∈（0，
），tanx≤0
D．∃x0∈（0，
），tanx0＞0
3．（3 分）下列结论成立的是（
）
A．若ac＞bc，则a＞b
B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d
D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
4．（3 分）在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为（
）
A．
π
B．
π
C．9π
D．10π
5．（3 分）函数
的零点所在区间是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（3 分）sin1，sin2，sin3 的大小关系是（
）
A．sin1＜sin2＜sin3
B．sin3＜sin2＜sin1
C．sin2＜sin3＜sin1
D．sin3＜sin1＜sin2
7．（3 分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x+1|≤1”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（3 分）若实数x，y 满足2x+y＝1，则x•y 的最大值为（
）
A．1
B．
C．
D．
9．（3 分）已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0 时，f（x）＝2x+1+1，当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）＝﹣f（x），当
x＞
时，f（x+
）＝
，则f（2019）＝（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
10．（3 分）已知非空集合A，B 满足以下两个条件
（i）A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝∅；
（ii）若x∈A，则x+1∈B．
则有序集合对（A，B）的个数为（
）
A．12
B．13
C．14
D．15
二、填空题共5 小题，每小题4 分，共20 分，
11．（4 分）
＝
．
12．（4 分）函数f（x）＝
的定义域为
．
13．（4 分）（
）
+log925﹣log315＝
．
14．（4 分）已知函数f（x）满足下列性质：
（i）定义域为R，值域为[1，+∞）；
（ii）在区间（﹣∞，0）上是减函数；
（ⅲ）图象关于x＝2 对称．
请写出满足条件的f（x）的解析式
（写出一个即可）．
15．（4 分）已知函数f（x）＝
．
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第350页（共397页）
（i）f（2）＝
．
（ii）若方程f（x）＝
x+a 有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是
．
三、解答题共6 小题，共50 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（8 分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}，非空集合B＝{x|m﹣1≤x≤2m+3}．
（Ⅰ）求当m＝﹣3 时，∁U（A∪B）；
（Ⅱ）若B⊆A，求实数m 的取值范围．
17．（8 分）已知函数f（x）＝1+
（﹣2≤x≤2）．
（Ⅰ）画出f（x）的图象；
（Ⅱ）根据图象写出f（x）的值域、单调区间．
18．（8 分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点P（﹣
，
），以角α的终边为始边，逆时针旋转
得到角β．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求cos（α+β）的值．
19．（10 分）函数
的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向左平移
个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，令F（x）＝f（x）+g（x），
求函数F（x）的单调递增区间．
20．（8 分）2018 年10 月24 日，世界上最长的跨海大桥一港珠澳大桥正式通车．在一般情况下，大桥上的车流速
度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到220 辆/千米时，将造成
堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为100 千米/时，研究表明：当20≤x≤220
时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤220 时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）f（x）＝x•v（x）
可以达到最大？并求出最大值．
21．（8 分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0 时，有
＞0 成立．
（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣1，1 上的最大值；
（Ⅱ）若对任意的a∈[﹣1，1]都有f（x）≥2m2﹣am﹣4，求实数m 的取值范围．
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2019-2020 学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．【解答】解：由x2﹣1＞0，解得x＞1，或x＜﹣1．
∴A＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
可得0，1，﹣1∉A，
故选：D．
2．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题p：∀x∈（0，
），tanx＞0，则￢p 为∃x0∈（0，
），tanx0≤0．
故选：A．
3．【解答】解：对于A．当c＜0 时，不成立；
对于B．取a＝﹣1，b＝﹣2，不成立；
对于C．∵a＞b，c＜d，∴a﹣c＞b﹣d，因此不成立；
对于D．∵c＞d，∴﹣d＞﹣c，又a＞b，∴a﹣d＞b﹣c，因此成立．
故选：D．
4．【解答】解：l＝
＝
＝
，
故选：B．
5．【解答】解：根据题意，函数
，分析易得函数f（x）为减函数，
且f（
）＝8﹣
＞0，
f（1）＝4﹣2＝2＞0，
f（
）＝
﹣
＜0，
f（2）＝2﹣4＝﹣2＜0，
则函数
的零点所在区间是（1，
）；
故选：C．
6．【解答】解：由sin2＝sin（π﹣2），
sin3＝sin（π﹣3），
∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2
，sinx 在第一象限为增函数，
∴sin（π﹣3）＜sin1＜sin（π﹣2）．
故得sin3＜sin1＜sin2
故选：D．
7．【解答】解：由2﹣x≥0 得x≤2，
由|x+1|≤1 得﹣1≤x+1≤1，
得﹣2≤x≤0．
则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，
故选：B．
8．【解答】解：∵实数x，y 满足2x+y＝1，
∴y＝1﹣2x，
∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣
）2+
≤
，
当x＝
，y＝
时取等号，
故选：C．
9．【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为R，且当x＜0 时，f（x）＝2x+1+1，则f（﹣1）＝2，
当x＞
时，f（x+
）＝
，即f（x+1）＝
＝f（x），
即f（x+1）＝f（x），则函数f（x）为周期为1 的周期函数；
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第352页（共397页）
则f（2019）＝f（1），
当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（1）＝﹣f（1），
又由f（﹣1）＝2，则f（1）＝﹣f（1）＝﹣2；
故选：A．
10．【解答】解：由题意分类讨论可得：若A＝{1}，则B＝{2，3，4，5，6}；若A＝{2}，则B＝{1，3，4，5，6}；
若A＝{3}，则B＝{1，2，4，5，6}；若A＝{4}，则B＝{1，2，3，5，6}；若A＝{5}，则B＝{2，3，4，1，
6}；若A＝{6}，则B＝{2，3，4，5，1}，舍去．
若A＝{1，3}，则B＝{2，4，5，6}；若A＝{1，4}，则B＝{2，3，5，6}；若A＝{1，5}，则B＝{2，3，4，
6}；
若A＝{2，4}，则B＝{1，3，5，6}；若A＝{2，5}，则B＝{1，3，4，6}；
若A＝{3，5}，则B＝{1，2，4，6}；
若A＝{1，3，5}，则B＝{2，4，6}．
综上可得：有序集合对（A，B）的个数为12．
故选：A．
二、填空题共5 小题，每小题4 分，共20 分，
11．【解答】解：
＝﹣sin
＝﹣sin（π﹣
）＝﹣sin
＝﹣
故答案为﹣
12．【解答】解：函数
的定义域为：
{x|
}，
解得0＜x≤e．
故答案为：（0，e]．
13．【解答】解：原式＝
＝3+log35﹣1﹣log35＝2．
故答案为：2．
14．【解答】解：f（x）＝（x﹣2）2+1 满足上述3 条性质．
故答案为：f（x）＝（x﹣2）2+1．
15．【解答】解：（i）f（2）＝2f（1）＝4f（0）＝4×1＝4，
（ii）当0＜x≤1 时，﹣1＜x﹣1≤0，f（x）＝2f（x﹣1）＝2×
＝
，
当1＜x≤2 时，0＜x﹣1≤1，f（x）＝2f（x﹣1）＝2×
＝（
）x﹣4，
当2＜x≤3 时，1＜x﹣1≤2，
f（x）＝2f（x﹣1）＝2×＝（
）x﹣5＝（
）x﹣6，
作出函数f（x）的图象如图，
其中f（0）＝1，f（1）＝2f（0）＝2，f（3）＝2f（2）＝4，f（4）＝2f（3）＝8，
设直线g（x）＝
x+a，
当g（x）＝
x+a 分别过（0，1），A（1，2），B（2，4）时，
则g（0）＝a＝1，g（1）＝
+a＝2，得a＝
，
g（2）＝3+a＝4，得a＝1，
由图象知要使方程f（x）＝
x+a 有且只有一个实根，
则g（x）在A，B 之间的区域，
即
≤a＜1，
即实数a 的取值范围是[
，1），
故答案为：4，[
，1）．
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三、解答题共6 小题，共50 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}＝{x|﹣3≤x≤4}，
当m＝﹣3 时，B＝{x|﹣4≤x≤﹣3}．
则A∪B＝{x|﹣4≤x≤4}，
∁U（A∪B）＝{x|x＞4 或x＜﹣4}．
（Ⅱ）若B⊆A，则
，得
，即﹣2≤m≤
，
即实数m 的取值范围是[﹣2，
]．
17．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝
，
f（x）的图象；
（Ⅱ）由图象知f（x）的值域为[1，3]，
f（x）的单调递减区间为[﹣2，0]，无增区间．
18．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点P（﹣
，
），
∴tanα＝
＝﹣
．
（Ⅱ）以角α的终边为始边，逆时针旋转
得到角β，∴β＝α+
．
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第354页（共397页）
由（Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义可得cosα＝﹣
，sinα＝
，
∴sn2α＝2sinαcosα＝﹣
，cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣
．
∴cos（α+β）＝cos（2α+
）＝sin2αcos
﹣cos2αsin
＝
（cos2α﹣sin2α）＝
．
19．【解答】解：（Ⅰ）因为T＝
＝4（
﹣
）＝2π，
所以ω＝1．
又因为sin（
+φ）＝1，
所以
+φ＝
+2kπ，k∈Z，
即φ＝
+2kπ，k∈Z．
因为﹣
＜φ＜
，
所以φ＝
．
所以f（x）的解析式是f（x）＝sin（x+
）．
……………（6 分）
（Ⅱ）由已知g（x）＝sin[（x+
）+
]＝sin（x+
）＝cosx，
所以F（x）＝f（x）+g（x）＝sin（x+
）+cosx＝
sinx+
cosx+cosx＝
sinx+
cosx＝
sin（x+
）．
函数y＝sinx 的单调递增区间为[2kπ﹣
，2kπ+
]，k∈Z．
由2kπ﹣
≤x+
≤2kπ+
，得2kπ﹣
≤x≤2kπ+
，k∈Z，
所以F（x）的单调递增区间为[2kπ﹣
，2kπ+
]，k∈Z．
………（13 分）
20．【解答】解：（I）当20≤x≤220 时，设v（x）＝kx+b，则
，
解得：
，
∴v（x）＝
．
（II）由（I）得f（x）＝
．
当0≤x≤20 时，f（x）≤f（20）＝2000；
当20＜x≤220 时，f（x）＝﹣
（x﹣110）2+6050，
∴当x＝110 时，f（x）的最大值为f（110）＝6050．
∴车流密度为110 辆/千米时，车流量最大，最大值为6050 辆/时．
21．【解答】解：（Ⅰ）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则﹣x2∈[﹣1，1]，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝
•（x1﹣x2），
由已知得
＞0，x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
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第355页（共397页）
∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
可得f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）＝﹣f（﹣1）＝1；
（Ⅱ）若对任意的a∈[﹣1，1]都有f（x）≥2m2﹣am﹣4 成立，
∵f（﹣1）＝﹣1，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
∴在[﹣1，1]上，﹣1≤f（x）≤1，即2m2﹣am﹣4≤﹣1，
∴2m2﹣am﹣3≤0 对a∈[﹣1，1]恒成立，
设g（a）＝﹣m•a+2m2﹣3≤0，
①若m＝0，则g（a）＝﹣3≤0，自然对a∈[﹣1，1]恒成立．
②若m≠0，则g（a）为a 的一次函数，若g（a）≤0 对a∈[﹣1，1]恒成立，
则必须g（﹣1）≤0，且g（1）≤0，即m+2m2﹣3≤0，且﹣m+2m2﹣3≤0，
∴﹣1≤m≤1．
∴m 的取值范围是[﹣1，1]．
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2019-2020 学年安徽省合肥市六校联盟高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10 小题，每小题4 分，满分40 分．每小题只有一个正确答案）
1．（4 分）已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{y|y＝x2﹣1，x∈M}，则M∩N 等于（
）
A．{﹣1，0，1}
B．{﹣1，0}
C．{0，1}
D．{﹣1，1}
2．（4 分）已知向量＝（1，m），＝（2，﹣4），若∥，则实数m＝（
）
A．2
B．
C．﹣
D．﹣2
3．（4 分）已知cos（π﹣α）＝﹣
，则sin（α+
）＝（
）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
4．（4 分）点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为10 的图形运动一周，O，P 两点间距离y 与点P 走过的路程x
的函数关系如图，则点P 所走的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（4 分）已知a＝log
1.2，b＝（
）
﹣0.8，c＝1.2
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
6．（4 分）设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜
），已知函数f（x）的图象相邻的两个对称中心的距离
是2π，且当x＝
时，f（x）取得最大值，则下列结论正确的是（
）
A．函数f（x）的最小正周期是4π
B．函数f（x）在[0，
]上单调递增
C．f（x）的图象关于直线x＝
对称
D．f（x）的图象关于点（
，0）对称
7．（4 分）设cos2019°＝a，则（
）
A．a∈（﹣
，﹣
）
B．a∈（﹣
，﹣
）
C．a∈（
，
）
D．a∈（
，
）
8．（4 分）已知sin（α+β）＝
，sin（α﹣β）＝
，则log
（
）＝（
）
A．﹣2
B．﹣
C．2
D．
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9．（4 分）函数f（x）＝1﹣cos
x﹣log4|x|的所有零点之和等于（
）
A．0
B．8
C．14
D．18
10．（4 分）已知函数f（x）＝
，则方程f（f（a））＝1 的a 的个数是（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
二、填空题（本题共5 小题，每小题4 分，满分20 分）
11．（4 分）计算：（
）
﹣2+8
﹣（lg5+lg20）＝
．
12．（4 分）若幂函数y＝（k﹣2）xm﹣1（k，m∈R）的图象过点（
），则k+m＝
．
13．（4 分）已知函数f（x）＝sinx•cosx+
cos2x﹣
在x＝θ时取得最大值，则cos（4θ+
）＝
．
14．（4 分）平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，若
＝λ
+μ
，则λ+μ＝
．
15．（4 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）＝f（x），当x∈（0，1）时，f
（x）＝10x﹣10，则f（lg2019）═
．
三、解答题（本题共5 题，满分60 分）
16．（12 分）已知函数f（x）＝2x﹣
．
（1）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于x 的不等式f（log2x）＜f（1）．
17．（12 分）已知函数
（1）若a＝1，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在[﹣7，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．
18．（12 分）已知，，是共面的三个向量，其中＝（1，2），| |＝
，| |＝2
且与反向．
（1）求| ﹣|；
（2）若+2 与2 ﹣3 垂直，求•（+ ）的值．
19．（12 分）已知函数f（x）＝2sin（2x+
）．
（1）写出由函数y＝sinx 的图象，经过怎样的变换得到f（x）的图象；
（2）若方程f（x）﹣a＝0 在[0，
]上有解，求实数a 的取值范围．
20．（12 分）如图，以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴相交于点A，点B、M 在单位圆上，且B（
），
M（﹣
，
），∠BOM＝α．
（1）求tanα的值；
（2）若OC 为∠AOB 的平分线，点P 在劣弧
上运动，且EP∥OC 交OA 于点E，EPQF 为扇形OAB 的内接
矩形，记∠POC＝θ，求角θ为何值时，矩形EPQF 的面积最大？并求出这个最大面积．
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2019-2020 学年安徽省合肥市六校联盟高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10 小题，每小题4 分，满分40 分．每小题只有一个正确答案）
1．【解答】解：∵集合M＝{﹣1，0，1}，
N＝{y|y＝x2﹣1，x∈M}＝{﹣1，0}，
∴M∩N＝{﹣1，0}．
故选：B．
2．【解答】解：向量＝（1，m），＝（2，﹣4），
若∥，则2m﹣1×（﹣4）＝0，
解得m＝﹣2．
故选：D．
3．【解答】解：∵cos（π﹣α）＝﹣
，
∴cosα＝
，
∴sin（α+
）＝cosα＝
．
故选：B．
4．【解答】解：观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：
①点P 运动到周长的一半即x＝5 时，OP 最大；
②点P 的运动图象是抛物线．
A，B 对应的图象一开始为直线，排除A，B，
选项D 中，OM≤OP，不符合条件①，排除D，
故选：C．
5．【解答】解：a＝log
1.2＜0，
b＝（
）
﹣0.8＞1
c＝1.2
∈（0，1），
故a＜c＜b，
故选：B．
6．【解答】解：由题意，f（x）的最小正周期为4π，
∴ω＝
＝
，
∵当x＝
时，f（x）取得最大值．即
+φ＝2kπ+
，k∈Z．
∴φ＝2kπ+
，k∈Z．
∵0＜φ＜
，
可得：φ＝
．
那么f（x）＝2sin（
x+
），
对于A，正确；
对于B，当x∈[0，
]，
x+
∈[
，
]，由正弦函数的单调性可知错误；
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对于C，由2sin（
×
+
）≠2，故错误；
对于D，由2sin（
×
+
）≠0，故错误；
故选：A．
7．【解答】解：∵39°∈（30°，45°），
∴cos39°∈（
，
），可得：﹣cos39°∈（﹣
，﹣
），
∴a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝﹣cos39°∈（﹣
，﹣
）．
故选：A．
8．【解答】解：∵已知sin（α+β）＝
，sin（α﹣β）＝
，∴sinαcosβ+cosαsinβ＝
，sinαcosβ﹣cosαsinβ＝
，
∴sinαcosβ＝
，cosαsinβ＝
，相除可得
＝7，
则log
（
）＝
＝2，
故选：C．
9．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝1﹣cos
x﹣log4|x|，
有f（﹣x）＝1﹣cos（﹣
）﹣log4|﹣x|＝1﹣cos
x﹣log4|x|＝f（x），
则f（x）为偶函数，
则函数f（x）＝1﹣cos
x﹣log4|x|的零点也关于原点对称，则其所有零点之和等于0；
故选：A．
10．【解答】解：设t＝f（a），
解方程f（t）＝1，得：t1＝1，t2＝2，
方程f（f（a））＝1 的a 的个数等价于t＝f（a）的图象与直线，t1＝1 和t2＝2 的交点个数之和，
由图可知：t＝f（a）的图象与直线，t1＝1 和t2＝2 的交点个数之和为4，
故选：B．
二、填空题（本题共5 小题，每小题4 分，满分20 分）
11．【解答】解：（
）
﹣2+8
﹣（lg5+lg20）
＝4+4﹣2
＝6．
故答案为：6．
12．【解答】解：函数为幂函数，则k﹣2＝1，得k＝3，
则幂函数为y＝f（x）＝xm﹣1，
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第361页（共397页）
∵函数过点（
），
∴f（
）＝（
）m﹣1＝4，即21﹣m＝4，
得1﹣m＝2，
得m＝1﹣2＝﹣1，
则k+m＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
13．【解答】解：函数函数f（x）＝sinx•cosx+
cos2x﹣
＝
＝
，
故当2θ+
＝2kπ+
，k∈Z，即θ＝kπ+
，k∈Z 时，函数f（x）取得最大值为1．
则cos（4θ+
）＝cos（4kπ+
）＝cos（
）＝0．
故答案为：0．
14．【解答】解：根据题意得，
＝
+
＝
﹣
∴
+μ
＝
）+μ（
﹣
）＝（λ+μ）
+（
﹣μ）
＝
∴λ+μ＝1
故答案为：1．
15．【解答】解：根据题意，f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2 的周期函数，
又由lg103＜lg2019＜lg104，即3＜lg2019＜4，则﹣1＜lg2019﹣4＜0，
又由函数f（x）是定义在R 上的奇函数，
则f（lg2019）＝f（lg2019﹣4）＝﹣f（4﹣lg2019），
若x∈（0，1）时，f（x）＝10x﹣10，则f（4﹣lg2019）＝104﹣lg2019﹣10＝
﹣10＝﹣
，
则f（lg2019）＝
，
故答案为：
．
三、解答题（本题共5 题，满分60 分）
16．【解答】解：（1）∵f（﹣x）＝2
﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣
）＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，
则当x≥0 时，设0≤x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝
﹣
﹣
+
＝
﹣
+
＝（
﹣
）
，
∵0≤x1＜x2，
∴1≤
＜
，即
﹣
＜0，
＞1，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∵f（x）是R 上的奇函数，
∴f（x）在R 上是增函数．
（2）∵f（x）在R 上是增函数，
∴不等式f（log2x）＜f（1）等价为不等式log2x＜1，
即0＜x＜2．
即不等式的解集为（0，2）．
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第362页（共397页）
17．【解答】解：（1）若a＝1，则
当x＞1 时，由
得，x＝2；
…………………（2 分）
当x≤1 时，由x2+2x＝0 得，x＝0 或x＝﹣2…………………（4 分）
所以，f（x）的零点为﹣2，0，2…………………（6 分）
（2）显然，函数
在[1，+∞）上递增，且g（1）＝﹣2；
函数h（x）＝x2+2ax﹣3a+3 在[﹣a，1]上递增，且h（1）＝4﹣a．
故若函数f（x）在[﹣7，+∞）上为增函数，
则
，
，
∴a≥7．…………………（10 分）
故a 的取值范围为[7，+∞）．
……………（12 分）
18．【解答】解：∵＝（1，2），| |＝2
且与反向，
∴＝λ ，λ＜0，
∴| |＝|λ |，
∴2
＝|
λ|，
解得λ＝﹣2，
∴＝﹣2（1，2）＝（﹣2，﹣4），
∴﹣＝（﹣3，﹣6）
∴| ﹣|＝
＝3
（2）∵+2 与2 ﹣3 垂直，
∴（+2 ）•（2 ﹣3 ）＝2
﹣6
+ • ＝0，
∴• ＝6×3﹣2×5＝8，
∴•（+ ）＝• + • ＝8+（1，2）×（﹣2，﹣4）＝8﹣2﹣8＝﹣2
19．【解答】（本题满分为10 分）
解：（1）把函数y＝sinx 的图象向左平移
的单位，可得函数y＝sin（x+
）的图象，
再把所得图象上点的横坐标变为原来的
倍，可得函数y═sin（2x+
）的图象
再把所得图象上点的纵坐标变为原来的2 倍，可得函数f（x）═2sin（2x+
）的图象．…（5 分）
（2）∵x∈[0，
]，可得：2x+
∈[
，
]，
∴sin（2x+
）∈[﹣
，1]，
∵方程f（x）＝a 在x∈[0，
]上有解，
∴实数a 的取值范围为：[﹣
，1]；…（10 分）
20．【解答】解：（1）由题意知，tan∠BOA＝
＝
，
tan∠MOA＝
＝﹣2，
又∠BOM＝α，
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第363页（共397页）
∴tanα＝tan（∠MOA﹣∠BOA）＝
＝
；
（2）由条件得∠AOB＝
，∠AOC＝
，
且CP＝sinθ，
EP＝cosθ﹣
＝cosθ﹣
sinθ，
∴矩形EPQF 的面积为
S（θ）＝2CP•EP
＝2sinθ•（cosθ﹣
sinθ）
＝2sinθcosθ﹣2
sin2θ
＝sin2θ﹣
•（1﹣cos2θ）
＝2sin（2θ+
）﹣
，
当2θ+
＝
，即θ＝
时，矩形EPQF 的面积取得最大值，为2﹣
．
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2018-2019 学年陕西省咸阳市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知集合P＝{x|﹣1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝（
）
A．（﹣1，2）
B．（0，1）
C．（﹣1，0）
D．（1，2）
2．（5 分）将一个直角三角形绕一直角边所在直线旋转一周，所得的几何体为（
）
A．一个圆台
B．两个圆锥
C．一个圆柱
D．一个圆锥
3．（5 分）直线
（a 为实常数）的倾斜角的大小是（
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
4．（5 分）函数y＝
的定义域是（
）
A．（﹣1，2]
B．[﹣1，2]
C．（﹣1，2）
D．[﹣1，2）
5．（5 分）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（
）
A．
B．y＝﹣log2x
C．y＝3x
D．y＝x3+x
6．（5 分）圆x2+y2＝1 与圆（x+1）2+（y+4）2＝16 的位置关系是（
）
A．相外切
B．相内切
C．相交
D．相离
7．（5 分）已知函数f（x）＝
，则f（f（﹣2））＝（
）
A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
8．（5 分）已知函数f（x+1）＝3x+2，则f（x）的解析式是（
）
A．f（x）＝3x+2
B．f（x）＝3x+1
C．f（x）＝3x﹣1
D．f（x）＝3x+4
9．（5 分）已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆面，则该几何体的体积为（
）
A．4π
B．2π
C．π
D．
10．（5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数，若a＝f（log25），b＝f（log24.1），
c＝f（20.8），则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b
11．（5 分）已知a∈R 且a＞0，a≠1，则函数y＝a
﹣x 与y＝logax 在同一直角坐标系中的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）已知α，β为平面，a，b，c 为直线，下列命题正确的是（
）
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第365页（共397页）
A．a⊂α，若b∥a，则b∥α
B．α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，则b⊥β
C．a⊥b，b⊥c，则a∥c
D．a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）
13．（5 分）已知集合M＝{x∈N|x＜3}，N＝{0，2，4}，则集合M∩N 中元素的个数为
．
14．（5 分）若直线l1：mx+2y+1＝0 与直线l2：x+y﹣2＝0 互相垂直，则实数m 的值为
．
15．（5 分）一个底面积为1 的正四棱柱的八个顶点都在同一球面上，若这个正四棱柱的高为
，则该球的表面积
为
．
16．（5 分）已知[x]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2，g（x）＝[x]为取整函数，x0 是函数
的零点，则g（x0）＝
．
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10 分）已知两点A（﹣2，1），B（4，3），两直线l1：2x﹣3y﹣1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0．求：
（1）过点A 且与直线l1 平行的直线方程；
（2）过线段AB 的中点以及直线l1 与l2 的交点的直线方程．
18．（12 分）已知函数
（a 为常数）是奇函数．
（1）求a 的值；
（2）判断函数f（x）在（1，3）上的单调性，并予以证明．
19．（12 分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点M，N，Q 分别是PA，BD，PD 的中
点．
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求证：平面MNQ∥平面PBC．
20．（12 分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+2 在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值为g（t）．
（1）求g（t）的函数表达式；
（2）画出g（t）的简图，并写出g（t）的最小值．
21．（12 分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠ACB＝90°，
，点D 是棱AA1 的中点．
（1）求证：DC1⊥平面BDC；
（2）求三棱锥C1﹣BDC 的体积．
22．（12 分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7＝0 相切，过点B（﹣2，0）的动直线l 与圆A
相交于M、N 两点
（1）求圆A 的方程．
（2）当|MN|＝2
时，求直线l 方程．
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2018-2019 学年陕西省咸阳市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：集合P＝{x|﹣1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，
那么P∪Q＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2）．
故选：A．
2．【解答】解：将一个直角三角形绕一直角边所在直线旋转一周，
所得的几何体为圆锥，
故选：D．
3．【解答】解：∵直线
（a 为实常数）的斜率为﹣
令直线
（a 为实常数）的倾斜角为θ
则tanθ＝﹣
解得θ＝150°
故选：D．
4．【解答】解：由题意得：
，
解得：﹣1＜x≤2，
故函数的定义域是（﹣1，2]，
故选：A．
5．【解答】解：A：y＝﹣
在（0，+∞），（﹣∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A
错误
B：y＝﹣log2x 的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数，故B 错误
C：y＝3x 不是奇函数，故C 错误
D：y＝x3+x，f（﹣x）＝（﹣x）3+（﹣x）＝﹣x3﹣x＝﹣f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R 上
单调递增，故D 正确
故选：D．
6．【解答】解：圆x2+y2＝1 的圆心（0，0）半径为1；圆（x+1）2+（y+4）2＝16 的圆心（﹣1，﹣4），半径为4，
圆心距为：
＝
，半径和为5，半径差为：3，
（3，5）．
所以两个圆的位置关系是相交．
故选：C．
7．【解答】解：∵函数f（x）＝
，
∴f（﹣2）＝（
）
﹣2＝4，
f（f（﹣2））＝f（4）＝log24＝2．
故选：A．
8．【解答】解：设t＝x+1，
∵函数f（x+1）＝3x+2＝3（x+1）﹣1
∴函数f（t）＝3t﹣1，
即函数f（x）＝3x﹣1
故选：C．
9．【解答】解：由三视图可知几何体为半圆柱，
半圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，
∴半圆柱的体积V＝
＝π．
故选：C．
10．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R 上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数，
则函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，
则20.8＜21＝2＜log24.1＜log25，
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则c＜b＜a，
故选：B．
11．【解答】解：由已知中函数y＝xa（a∈R）的图象可知：a∈（0，1），
故函数y＝a
﹣x 为增函数与y＝logax 为减函数，
故选：C．
12．【解答】解：由α，β为平面，a，b，c 为直线，知：
在A 中，a⊂α，若b∥a，则b 与α平行或异面，故A 错误；
在B 中，α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，则b 与β相交、平行或b⊂β，故B 错误；
在C 中，a⊥b，b⊥c，则a 与c 相交、平行或异面，故C 错误；
在D 中，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，
则由面面平行的判定定理得α∥β，故D 正确．
故选：D．
二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）
13．【解答】解：集合M＝{x∈N|x＜3}＝{0，1，2}，N＝{0，2，4}，
则M∩N＝{0，2}，
则M∩N 中元素的个数为2 个，
故答案为：2
14．【解答】解：∵直线l1：mx+2y+1＝0 与直线l2：x+y﹣2＝0 互相垂直，
∴m+2＝0，
即m＝﹣2，
故答案为：﹣2
15．【解答】解：如图，设球的半径为R，
由已知可得，AC＝
，
，
∴
．
∴该球的表面积为S＝4πR2＝20π．
故答案为：20π．
16．【解答】解：根据题意，函数
，其定义域为（0，+∞），
且在其定义域上为增函数，
f（1）＝ln1﹣2＝﹣2，f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3﹣
＞0，
又由x0 是函数
的零点，
则2＜x0＜3，
g（x0）＝2；
故答案为：2
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．【解答】解：（1）设与l1：2x﹣3y﹣1＝0 平行的直线方程为：2x﹣3y+c＝0，
将A（﹣2，1）代入，得﹣4﹣3+c＝0，解得c＝7，
故所求直线方程是：2x﹣3y+7＝0．
（2）∵A（﹣2，1），B（4，3），∴线段AB 的中点是M（1，2），
设两直线的交点为N，联立
解得交点N（2，1），
则
，
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故所求直线的方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），即x+y﹣3＝0．
18．【解答】解：（1）根据题意，
是奇函数，
则f（﹣x）＝﹣f（x），
即
，即
，
解得a＝1 或a＝﹣1（舍去），
故a 的值为1．
（2）函数f（x）在（1，3）上是减函数．
证明：由（1）知
，设
，
任取1＜x1＜x2＜3，∴
，
∵x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，
∴g（x）在（1，3）上为减函数，
又∵函数y＝log2x 在（1，+∞）上为增函数，
∴函数f（x）在（1，3）上为减函数．
19．【解答】证明：（1）由题意：四棱锥P﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，
点M，N，Q 分别是PA，BD，PD 的中点，
∴N 是AC 的中点，
∴MN∥PC，
又∵PC⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，
∴MN∥平面PCD．
（2）由（1），知MN∥PC，
∵M，Q 分别是PA，PD 的中点，
∴MQ∥AD∥BC，
又∵BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，BC∩PC＝C，
MQ⊂平面MNQ，MN⊂平面MNQ，MQ∩MN＝M，
∴平面MNQ∥平面PBC．
20．【解答】解：（1）依题意知，函数f（x）是开口向上的抛物线，
∴函数f（x）有最小值，且当
时，f（x）min＝1．
下面分情况讨论函数f（x）在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的取值情况：
①当闭区间[t，t+1]⊂（﹣∞，1），即t＜0 时，f（x）在x＝t+1 处取到最小值，
此时g（t）＝（t+1）2﹣2（t+1）+2＝t2+1；
②当1∈[t，t+1]，即0≤t≤1 时，f（x）在x＝1 处取到最小值，此时g（t）＝1；
③当闭区间[t，t+1]⊂（1，+∞），即t＞1 时，f（x）在x＝t 处取到最小值，
此时g（t）＝t2﹣2t+2．
综上，g（t）的函数表达式为
（2）由（1）可知，g（t）为分段函数，作出其图象如图：
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由图象可知g（t）min＝1．
21．【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC1，
∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
又AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，
∵DC1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥DC1，
∵D 是AA1 的中点，
，
∴AC＝AD＝A1D＝A1C1，
∴∠ADC＝∠A1DC1＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC，
∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC．
解：（2）由
，得AA1＝4，∴AD＝A1D＝2，
∴
，
由（1）知，BC⊥平面ACC1A1，
∴BC⊥平面CDC1，故BC 是三棱锥B﹣CDC1 的高，
∴
．
22．【解答】解：（1）意知A（﹣1，2）到直线x+2y+7＝0 的距离为圆A 半径r，
∴
，
∴圆A 方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝20（5 分）
（2）垂径定理可知∠MQA＝90°．且
，
在Rt△AMQ 中由勾股定理易知
设动直线l 方程为：y＝k（x+2）或x＝﹣2，显然x＝﹣2 合题意．
由A（﹣1，2）到l 距离为1 知
．
∴3x﹣4y+6＝0 或x＝﹣2 为所求l 方程．（7 分）
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2018-2019 学年陕西省西安市长安一中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共14 小题，每小题5 分，共70 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5 分）设函数
的定义域A，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（
）
A．（0，1）
B．[0，1）
C．（0，1]
D．[0，1]
2．（5 分）已知向量＝（2，4），＝（﹣1，1），则2 ﹣＝（
）
A．（5，7）
B．（5，9）
C．（3，7）
D．（3，9）
3．（5 分）下列函数为奇函数的是（
）
A．y＝
B．y＝|sinx|
C．y＝cosx
D．y＝ex﹣e
﹣x
4．（5 分）函数f（x）＝sin（x﹣
）的图象的一条对称轴是（
）
A．x＝
B．x＝
C．x＝﹣
D．x＝﹣
5．（5 分）若函数f（x）＝x2﹣ax﹣3 在区间（﹣∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是（
）
A．[8，+∞）
B．（﹣∞，8]
C．[4，+∞）
D．[﹣4，+∞）
6．（5 分）给定函数①
，②
，③y＝|x﹣1|，④y＝2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的
函数序号是（
）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
7．（5 分）函数f（x）＝log2x+x﹣4 的零点所在的区间是（
）
A．
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
8．（5 分）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（
）
A．c＞b＞a
B．b＞c＞a
C．a＞c＞b
D．a＞b＞c
9．（5 分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜
）的一部分图象如图所示，则（
）
A．f（x）＝3sin（2x﹣
）+1
B．f（x）＝2sin（3x+
）+2
C．f（x）＝2sin（3x﹣
）+2
D．f（x）＝2sin（2x+
）+2
10．（5 分）已知△ABC 是边长为1 的等边三角形，点D、E 分别是边AB、BC 的中点，连接DE 并延长到点F，使
得DE＝2EF，则
•
的值为（
）
A．﹣
B．
C．
D．
11．（5 分）函数y＝﹣sin2x﹣3cosx+3 的最小值是（
）
A．2
B．0
C．
D．6
12．（5 分）已知f（x）＝
的值域为R，那么a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1]
B．（﹣1，
）
C．[﹣1，
）
D．（0，1）
13．（5 分）设α∈（0，
），β∈（0，
），且tanα＝
，则（
）
A．3α﹣β＝
B．3α+β＝
C．2α﹣β＝
D．2α+β＝
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14．（5 分）已知函数f（x）＝2sin（2x+
）+2cos2（x+
）﹣1，把函数f（x）的图象向右平移
个单位，得
到函数g（x）的图象，若x1，x2 是g（x）﹣m＝0 在[0，
]内的两根，则sin（x1+x2）的值为（
）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，满分30 分.把答案填写在答题卡相应的位置.）
15．（5 分）已知向量＝（﹣2，3），＝（3，m），且
，则m＝
．
16．（5 分）已知向量，满足| |＝1，| |＝2，与的夹角为60°，则| ﹣|＝
．
17．（5 分）已知角α的终边过点P（4，﹣3），则2sinα+cosα的值为
．
18．（5 分）奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若f（x）在[0，2]上单调递减，且f（1+m）+f（m）＜0，则实数m
的取值范围是
．
19．
（5 分）由于德国著名数学家狄利克雷对数论、数学分析和物理学的突出贡献，人们将函数
命名为狄利克雷函数，已知函数f（x）＝x﹣D（x），下列说法中：
①函数f（x）的定义域和值域都是R；
②函数f（x）是奇函数；
③函数f（x）是周期函数；
④函数f（x）在区间[2，3]上是单调函数．
正确结论是
．
20．（5 分）已知函数
，关于x 的方程f（x）＝m（m∈R）有四个不同的实数解x1，x2，
x3，x4 则x1x2x3x4 的取值范围为
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共4 小题，共50 分）
21．（12 分）计算下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
．
22．（12 分）如图所示，A，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP＝θ（0＜θ＜π），
C 点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP 的面积为S．
（1）求
•
+S 的最大值；
（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣
）的值．
23．（12 分）已知向量＝（m，cos2x），＝（sin2x，1），函数f（x）＝• ，且y＝f（x）的图象过点（
）．
（1）求m 的值；
（2）将y＝f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）图象上各最
高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调递增区间．
24．（14 分）设f（x）＝
（
）为奇函数，a 为常数．
（1）求a 的值；
（2）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增；
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（3）若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f（x）＞（
）x+m 恒成立，求实数m 的取值范围．
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2018-2019 学年陕西省西安市长安一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共14 小题，每小题5 分，共70 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【解答】解：数
的定义域A＝{x|x≥0}，
函数y＝ln（1﹣x）的定义域为B＝{x|1﹣x＞0}＝{x|x＜1}，
则A∩B＝{x|0≤x＜1}＝[0，1）．
故选：B．
2．【解答】解：由＝（2，4），＝（﹣1，1），得：
2 ﹣＝2（2，4）﹣（﹣1，1）＝（4，8）﹣（﹣1，1）＝（5，7）．
故选：A．
3．【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A 为非奇非偶函数．
B．f（﹣x）＝|sin（﹣x）|＝|sinx|＝f（x），则f（x）为偶函数．
C．y＝cosx 为偶函数．
D．f（﹣x）＝e
﹣x﹣ex＝﹣（ex﹣e
﹣x）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，
故选：D．
4．【解答】解：由题意，令x﹣
＝kπ+
，k∈z
得x＝kπ+
，k∈z 是函数f（x）＝sin（x﹣
）的图象对称轴方程
令k＝﹣1，得x＝﹣
故选：C．
5．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣ax﹣3 在区间（﹣∞，4]上递减，
对称轴为x＝
，
∴
≥4，故a≥8，
故选：A．
6．【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；
②中的函数是由函数
向左平移1 个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符
合要求；
③中的函数图象是由函数y＝x﹣1 的图象保留x 轴上方，下方图象翻折到x 轴上方而得到的，故由其图象可知
该项符合要求；
④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R 上单调递增，不合题意．
故选：B．
7．【解答】解：∵连续函数f（x）＝log2x+x﹣4 在（0，+∞）上单调递增
∵f（2）＝﹣1＜0，f（3）＝log23﹣1＞0
∴f（x）＝log2x+x﹣4 的零点所在的区间为（2，3）
故选：C．
8．【解答】解：因为a＝log36＝1+log32，b＝log510＝1+log52，c＝log714＝1+log72，
因为y＝log2x 是增函数，所以log27＞log25＞log23，
∵
，
，
所以log32＞log52＞log72，
所以a＞b＞c，
故选：D．
9．【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜
）的一部分图象，
可得2A＝4，A＝2，b＝A＝2
再根据
＝
＝
﹣
，求得ω＝2，
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第374页（共397页）
再根据五点法作图可得2•
+φ＝π，
∴φ＝
，f（x）＝2sin（2x+
）+2，
故选：D．
10．【解答】解：如图，
∵D、E 分别是边AB、BC 的中点，且DE＝2EF，
∴
•
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
．
故选：C．
11．【解答】解：y＝﹣sin2x﹣3cosx+3＝cos2x﹣1﹣3cosx+3＝（cosx﹣
）2﹣
，
∵﹣1≤cosx≤1，令cosx＝t，则﹣1≤t≤1，
f（t）＝（t﹣
）2﹣
，在[﹣1，1]上单调减，
∴f（t）min＝f（1）＝0
故选：B．
12．【解答】解：当x≥1 时，f（x）＝lnx，其值域为[0，+∞），
那么当x＜1 时，f（x）＝（1﹣2a）x+3a 的值域包括（﹣∞，0），
∴1﹣2a＞0，且f（1）＝（1﹣2a）+3a≥0，
解得：
，且a≥﹣1．
故选：C．
13．【解答】解：由tanα＝
，得：
，
即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）＝cosα＝sin（
），
∵α∈（0，
），β∈（0，
），
∴当
时，sin（α﹣β）＝sin（
）＝cosα成立．
故选：C．
14．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+
）+2cos2（x+
）﹣1，
化简可得f（x）＝2sin（2x+
）+cos（2x+
）＝
sin（2x+
+φ）．其中sinφ＝
．cosφ＝
．
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第375页（共397页）
图象向右平移
个单位得到g（x）＝
sin[2x﹣
）+
+φ]＝
sin（2x+φ）．
∵g（x）的周期T＝
，
∵x1，x2 是g（x）﹣m＝0 在[0，
]内的两根，
当x1＝0 时，可得g（x1）＝
sinφ，
当x2＝
时，可得g（x2）＝﹣
sinφ，
互为相反，
∴x2＝x1+
．
即g（x1）＝m，g（x2）＝m，
可得：
sin（2x1+φ）＝
sin（2x1+π+φ）＝﹣
sin（2x1+φ）
令2x1+φ＝0
可得：x1＝
φ．
x2＝
+
φ．
那么：sin（x1+x2）＝sin（
φ）＝cosφ＝
．
故选：A．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，满分30 分.把答案填写在答题卡相应的位置.）
15．【解答】解：∵向量＝（﹣2，3），＝（3，m），且
，
∴
＝﹣6+3m＝0，
解得m＝2．
故答案为：2．
16．【解答】解：如图
，
由余弦定理得：|
|＝
＝
＝
故答案为：
．
17．【解答】解：角α的终边过点P（4，﹣3），r＝OP＝5，
利用三角函数的定义，求得sinα＝﹣
，cosα＝
，
所以2sinα+cosα＝﹣
＝
．
故答案为：
．
18．【解答】解：∵函数函数f（x）定义域在[﹣2，2]上的奇函数，
则由f（1+m）+f（m）＜0，可得f（1+m）＜﹣f（m）＝f（﹣m）
又根据条件知函数f（x）在定义域上单调递减，
∴﹣2≤﹣m＜1+m≤2
解可得，﹣
＜m≤1．
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故答案为：
．
19．【解答】解：在①中，∵函数
，命名为狄利克雷函数，函数f（x）＝x﹣D（x），
∴f（x）的定义域为有理数和无理数的并集，即f（x）的定义域为R，
∴f（x）的值域为R，故①正确；
在②中，f（﹣x）＝﹣x﹣D（﹣x）＝
≠﹣f（x），故函数f（x）不是奇函数，故②错误；
在③中，f（x）＝x﹣D（x）＝
，不是周期函数，故③错误；
在④中，当x∈[2，3]时，f（x）＝x﹣D（x）＝
，不是单调函数，故④错误．
故答案为：①．
20．【解答】解：作函数
的图象如下，
结合图象可知，﹣log2x3＝log2x4，
故x3x4＝1，
令﹣x2﹣2x＝0 得，x＝0 或x＝﹣2，
令﹣x2﹣2x＝1 得，x＝﹣1；
故x1x2∈（0，1），
故x1x2x3x4∈（0，1）．
故答案为：（0，1）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共4 小题，共50 分）
21．【解答】解：（1）原式＝
﹣10（
+2）+1
＝
+10
﹣10
﹣20+1＝﹣
．
（2）原式＝2lg 5+2lg 2+lg 5（2lg 2+lg 5）+（lg 2）2
＝2lg 10+（lg 5+lg 2）2＝2+（lg 10）2＝2+1＝3．
（3）
＝
．
22．【解答】解：（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），因为四边形OAQP 是平行四边形，
所以
＝
+
＝（1+cosθ，sinθ）．
所以
•
＝1+cosθ．（3 分）
又平行四边形OAQP 的面积为
S＝|
•
|sin θ＝sin θ，
所以
•
+S＝1+cosθ+sin θ＝
sin（θ+
）+1．（5 分）
又0＜θ＜π，
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所以当θ＝
时，
•
+S 的最大值为
+1．（7 分）
（2）由题意，知
＝（2，1），
＝（cosθ，sinθ），
因为CB∥OP，所以cosθ＝2sinθ．
又0＜θ＜π，cos2θ+sin2θ＝1，
解得sin θ＝
，cos θ＝
，
所以sin2θ＝2sin θcosθ＝
，cos 2θ＝cos2θ﹣sin2θ＝
．
所以sin（2θ﹣
）＝sin 2θcos
﹣cos 2θsin
＝
×
﹣
×
＝
．（13 分）
23．【解答】解：（1）∵已知
，又∵f（x）过点
，
∴
，解得：
．
（2）由以上可得，
，
把f（x）的图象向左左移ϕ个单位后，得到
．
设g（x）的图象上符合题意的最高点为（x0，2），∵
，解得x0＝0，
∴g（0）＝2，解得
，∴
，
∴﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈z
，
∴f（x）的单调增区间为
．
24．【解答】解：由题意，f（x）是奇函数，即f（﹣x）+f（x）＝0，
可得：
（
）+
（
）＝
1．
即
，
得：1﹣a2x2＝﹣（x2﹣1）
∴a2x2＝x2，
∴a＝±1．
检验：当a＝1，不满足题意，
∴a＝﹣1，可得f（x）＝
（
），
即：﹣
（
）＝
（
），
f（x）为奇函数．
（2）由（1）知f（x）＝
（
），
设u＝h（x）＝
＝1+
，
那么f（x）转化为g（u）＝
u 在（1，+∞）内是减函数，
∴只需证明h（x）函数在（1，+∞）内单调递减即可；
证明：设任意的x1，x2 满足1＜x1＜x2，
则h（x1）＝
，h（x2）＝
，
那么：h（x1）﹣h（x2）＝
﹣（
）＝
＝
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第378页（共397页）
∵1＜x1＜x2，
∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0
∴h（x1）﹣h（x2）＞0，即h（x1）＞h（x2）．
∴函数h（x）在（1，+∞）内单调递减即可；
即f（x）在（1，+∞）内单调递增；
（3）对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f（x）＞（
）x+m 恒成立，
只需f（x）min＞
+m 即可．
由（2）可知f（x）在（1，+∞）内单调递增；
∴f（x）在[3，4]上单调递增；
当x＝3，f（x）取得最小值为﹣1，
∵y＝（
）x 是减函数，
∴当x＝3，y 取得最大值为
，
∴﹣1
，
得：m＜
．
故实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣
）．
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2018-2019 学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）若直线经过两点A（m，2），B（
m，2m﹣1），且倾斜角为45°，则m 的值为（
）
A．2
B．1
C．
D．
2．（5 分）根据表格中的数据，可以判定方程ex﹣x﹣2＝0 的一个根所在的区间为（
）
x
﹣1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A．（﹣1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）
3．（5 分）已知梯形ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图所示），其中A′D′
＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，则直角梯形DC 边的长度是（
）'
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax﹣By﹣C＝0 不经过的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．（5 分）给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（
）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④
6．（5 分）已知集合A＝{（x，y）|3x+5y+16＝0，﹣2≤x≤3}，B＝{（x，y）|kx﹣y+1﹣k＝0}，若A∩B≠∅，则
实数k 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
C．[﹣3，1]
D．（﹣3，1）
7．（5 分）若点A（1，1）关于直线y＝kx+b 的对称点是B（﹣3，3），则直线y＝kx+b 在y 轴上的截距是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（5 分）若两平行直线l1：x﹣2y+m＝0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6＝0 之间的距离是
，则m+n＝（
）
A．0
B．1
C．﹣2
D．﹣1
9．（5 分）设点E，F 分别是空间四边形的边AB，CD 的中点，且EF＝5，BC＝6，AD＝8，则异面直线AD 与EF
所成角的正弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）若方程|lgx|﹣（
）x+a＝0 有两个不相等的实数根，则实根a 的取值范围是（
）
A．（
，+∞）
B．（﹣∞，
）
C．（1，+∞）
D．（﹣∞，1）
11．（5 分）各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥P﹣ABC 的侧棱长为a，侧面都是直角
三角形，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（
）
A．
πa2
B．2πa2
C．
πa2
D．3πa2
12．（5 分）已知[x]表示不大于x 的最大整数，若函数f（x）＝x2+a[x]x﹣a 在（0，2）上仅有一个零点，则实数a
的取值范围为（
）
A．（﹣∞，﹣4）
B．（0，1）
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C．（﹣∞，﹣4）∪（0，1）
D．（﹣∞，﹣
）∪（0，+∞）
二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）
13．（5 分）若直线l 经过点（﹣2，0），且与斜率为﹣
的直线垂直，则直线l 的方程为
．
14．（5 分）在△ABC 中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体
的体积是
．
15．（5 分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，直线A1C 与平面BB1D1D 所成角的正弦值为
．
16．（5 分）已知a，b，c 为直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点M（m，n）在直线l：ax+by+2c＝0 上，则m2+n2
的最小值为
．
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10 分）已知直线l1：（2m+1）x+（m﹣2）y+3﹣4m＝0，无论m 为何实数，直线l1 恒过一定点M．
（1）求点M 的坐标；
（2）若直线l2 过点M，且与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成的三角形面积为4，求直线l2 的方程．
18．（12 分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，点D 是AB 的中点．
（1）求证：AC1∥平面CDB1；
（2）若AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AA1＝1，AC＝BC＝
，求二面角B1﹣CD﹣B 的大小．
19．（12 分）已知△ABC 的顶点A（4，1），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为x﹣2y+2＝0，AC 边上的高BH
所在的直线方程为2x+3y﹣2＝0．
（1）求点C 的坐标；
（2）求BC 所在直线的方程．
20．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BCD＝60°，PA⊥平面ABCD，E 是AB 的中点．
（1）求证：平面PDE⊥平面PAB；
（2）棱PC 上是否存在一点F，使得BF∥平面PDE？若存在，确定F 的位置并加以证明；若不存在，请说明理
由．
21．（12 分）如图所示，一块形状为四棱柱的木料，E，F 分别为A1D1，AD 的中点．
（1）要经过E 和FC 将木料锯开，在木料上底面A1B1C1D1 内应怎样画线？请说明理由；
（2）若底面ABCD 是边长为2 的菱形，∠BAD＝60°，AA1⊥平面ABCD，且AA1＝
，求几何体CFA1B1C1D1
的体积．
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第381页（共397页）
22．（12 分）某市郊区有一加油站，2018 年初汽油的存储量为50 吨，计划从年初起每周初均购进汽油m 吨，以满
足城区内和城外汽车用油需求，已知城外汽车用油每周5 吨；城区内汽车用油前x 个周需求量y 吨与x 的函数关
系式为y＝a
（1≤x≤16，x∈N*），a 为常数，且前4 个周城区内汽车的汽油需求量为100 吨．
（1）试写出第x 个周结束时，汽油存储量M（吨）与x 的函数关系式；
（2）要使16 个周内每周按计划购进汽油之后，加油站总能满足城区内和城外的需求，且每周结束时加油站的汽
油存储量不超过150 吨，试确定m 的取值范围．
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2018-2019 学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：经过两点A（m，2），B（
m，2m﹣1）的直线的斜率为k＝
，
又直线的倾斜角为45°，
∴
＝tan45°＝1，即m＝2．
故选：A．
2．【解答】解：令f（x）＝ex﹣x﹣2，由图表知，f（1）＝2.72﹣3＝﹣0.28＜0，f（2）＝7.39﹣4＝3.39＞0，
方程ex﹣x﹣2＝0 的一个根所在的区间为
（1，2），
故选：C．
3．【解答】解：由已知作出梯形ABCD 是直角梯形，如右图：
∵按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′，A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，
∴直角梯形ABCD 中，AB⊥BC，AD＝A′D′＝2，BC＝B′C′＝4，AB＝2A′B′＝2，
过D 作DE⊥BC，交BC 于E，则DE＝AB＝2，EC＝BC﹣AD＝4﹣2＝2，
∴直角梯形DC 边的长度为：
＝2
．
故选：B．
4．【解答】解：由题意可知B≠0，故直线的方程可化为
，
由AB＞0，BC＞0 可得
＞0，
＜0，
由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，
故选：B．
5．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，
那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．
故选：D．
6．【解答】解：集合A＝{（x，y）|3x+5y+16＝0，﹣2≤x≤3}，B＝{（x，y）|kx﹣y+1﹣k＝0}，
如图，把集合转化为函数图象，
集合A 表示（﹣2，﹣2）到（3，﹣5）的线段，
集合B 表示过定点（1，1）的直线，
∵A∩B≠∅，∴（﹣2，﹣2）到（3，﹣5）的线段和过定点（1，1）的直线有交点，
∴实数k 的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．
故选：A．
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第383页（共397页）
7．【解答】解：∵点A（1，1）关于直线y＝kx+b 的对称点是B（﹣3，3），
由中点坐标公式得AB 的中点坐标为（
，
）＝（﹣1，2），
代入y＝kx+b 得2＝﹣k+b，①
直线AB 得斜率为
＝﹣
，则k＝2．
代入①得，b＝k+2＝4．
∴直线y＝kx+b 在y 轴上的截距是4．
故选：D．
8．【解答】解：由题意
，解得n＝﹣4，即直线l2：x﹣2y﹣3＝0，
所以两直线之间的距离为d＝
，解得m＝2，
所以m+n＝﹣2，
故选：C．
9．【解答】解：如图所示，取AC 的中点M，连接EM，FM．
则EM∥BC，FM∥AD，
EM＝
BC＝3，FM＝
AD＝4，
∴∠EFM 或其补角即为异面直线AD 与EF 所成角．
在△MEF 中，EM2+FM2＝3＝EF2，
∴∠EMF＝90°．
∴异面直线AD 与EF 所成角的正弦值为
，
故选：C．
10．【解答】解：∵
有两个不相等的实数根等价于
有两个不等的实数根
等
价于函数y＝|lgx|与函数
的图象有两个不同的交点，
在同一直角坐标系中画出两个函数的图象：（如图）
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第384页（共397页）
要使两个函数的图象有两个交点，必须有
，解得：a＜
，
故选：B．
11．【解答】解：∵侧棱长为a 的正三棱锥P﹣ABC 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥
的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对
角线长为：
a；
∴球的表面积为：4π（
）2＝3πa2．
故选：D．
12．【解答】解：由[x]表示不大于x 的最大整数，
若函数f（x）＝x2+a[x]x﹣a（a≠0）在（0，2）上仅有一个零点，
由x∈（0，2），
讨论[x]＝0，
即0＜x＜1，
可得x2+a[x]x﹣a＝x2﹣a，
由f（x）＝0 可得a＝x2，求得a∈（0，1）；
若[x]＝1，即1≤x＜2，
x＝1 时，方程无解，x∈（1，2）时，
可得x2+a[x]x﹣a＝x2+ax﹣a，
a＝
＝
＝
∈（﹣∞，﹣4），
则a 的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，1）．
故选：C．
二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）
13．【解答】解：∵直线l 与斜率为﹣
的直线垂直，∴直线l 的斜率k＝
，
∴直线l 的方程为：y﹣0＝
（x+2），化为：3x﹣2y+6＝0，
故答案为：3x﹣2y+6＝0．
14．【解答】解：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，
所以OA＝
，OB＝1
所以旋转体的体积：
故答案为：
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第385页（共397页）
15．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中棱长为1，
则A1（1，0，1），C（0，1，0），D（0，0，0），
B（1，1，0），D1（0，0，1），
＝（﹣1，1，﹣1），
＝（1，1，0），
＝（0，0，1），
设平面BB1D1D 的法向量＝（x，y，z），
则
，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），
设直线A1C 与平面BB1D1D 所成角为θ，
则sinθ＝|cos＜
，＞|＝
＝
＝
．
∴直线A1C 与平面BB1D1D 所成角的正弦值为
．
故答案为：
．
16．【解答】解：∵a，b，c 为直角三角形中的三边长，c 为斜边长，∴c＝
，
又∵点M（m，n）在直线l：ax+by+2c＝0 上，
∴m2+n2 表示直线l 上的点到原点距离的平方，
∴m2+n2 的最小值为原点到直线l 距离的平方，
由点到直线的距离公式可得d＝
＝2，
∴m2+n2 的最小值为d2＝4，
故答案为：4
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．【解答】解：（1）将直线l1：（2m+1）x+（m﹣2）y+3﹣4m＝0 的方程整理为：m（2x+y﹣4）+（x﹣2y+3）＝0，
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第386页（共397页）
解方程组
，
得x＝1，y＝2．
∴定点M 的坐标为（1，2）；
（2）由题意直线l2 的斜率存在，设为k（k＜0），
于是l2：y﹣2＝k（x﹣1），即y＝kx+2﹣k，
令y＝0，得
；令x＝0，得y＝2﹣k，
于是
，
解得k＝﹣2．
∴直线l2 的方程为y＝﹣2x+2﹣（﹣2），即2x+y﹣4＝0．
18．【解答】证明：（1）连接BC1，交B1C 于点E，连接ED．
因为ABC﹣A1B1C1 是三棱柱，所有四边形BCC1B1 为平行四边形．
所以E 是BC1 的中点．
因为点D 是AB 的中点，所以ED 是△ABC1 的中位线，
所以ED∥AC1，
又ED⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
所以AC1∥平面CDB1．
解：（2）∠BDB1 是二面角B1﹣CD﹣B 的平面角．
事实上，因为AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，所以AA1⊥CD．
在△ABC 中，AC＝BC，D 是底边AB 的中点，所以CD⊥AB．
因为CD⊥AB，CD⊥AA1，AB∩AA1＝A，
所以CD⊥平面ABB1A1，
因为DB1⊂平面ABB1A1，DB⊂平面ABB1A1，
所以DB1⊥CD，DB⊥CD，
所以∠BDB1 是二面角B1﹣CD﹣B 的平面角．
在直角三角形B1DB 中，BB1＝1，
，
所以△B1DB 为等腰直角三角形，
所以∠BDB1＝45°．
故二面角B1﹣CD﹣B 的大小为45°．
19．【解答】解：（1）因为AC⊥BH，BH 的方程为2x+3y﹣2＝0，不妨设直线AC 的方程为3x﹣2y+m＝0，
将A（4，1）代入得12﹣2+m＝0，解得m＝﹣10，
所以直线AC 的方程为3x﹣2y﹣10＝0，
联立直线AC，CM 的方程，即
，
解得点C 的坐标为（6，4）．
（2）设B（x0，y0），则
，
因为点B 在BH 上，点M 在CM 上，
所以
，解得B（﹣2，2），
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所以
，
所以直线BC 的方程为
，
整理得x﹣4y+10＝0．
20．【解答】解：（1）连接BD，因为底面ABCD 是菱形，∠BCD＝60°，所以△ABD 为正三角形；
因为E 是AB 的中点，所以DE⊥AB，
因为PA⊥面ABCD，DE⊂面ABCD，∴DE⊥PA，
因为DE⊥AB，DE⊥PA，AB∩PA＝A，
所以DE⊥面PAB．
又DE⊂面PDE，所以面PDE⊥面PAB．
（2）当点F 为PC 的中点时，BF∥面PDE．
事实上，取PC 的中点F，PD 的中点G，连结FG，GE，
∵FG 为三角形PCD 的中位线，
∴FG∥CD 且
，
又在菱形ABCD 中，E 为AB 的中点，
∴BE∥CD 且
，
∴FG∥BE 且FG＝BE，
所以四边形BEGF 为平行四边形．
所以BF∥GE，
又GE⊂面PDE，BF⊄面PDE，
∴BF∥面PDE，结论得证．
21．【解答】解：（1）连接EC1，则EC1 就是应画的线；
事实上，连接EF，在四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD 中，
因为E，F 分别为A1D1，AD 的中点，
所以D1E∥DF，D1E＝DF，
所以D1EFD 为平行四边形，所以EF∥DD1，
又在ABCD﹣A1B1C1D1 四棱柱中CC1∥DD1，
所以EF∥CC1，
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所以点E，F，C，C1 共面，
又EC1⊂面A1B1C1D1，所以EC1 就是应画线．
（2）几何体CFA1B1C1D1 是由三棱锥F﹣B1C1C 和四棱锥F﹣A1B1C1D1 组成．
因为底面A1B1C1D1 是边长为2 的菱形，∠B1A1D1＝60°，AA1⊥平面A1B1C1D1，
连接FB，FB 即为三棱锥F﹣B1C1C 的高，
又
，
所以
，
连接FE，FE 为四棱锥F﹣A1B1C1D1 的高，
又
，所以
，
所以几何体CFA1B1C1D1 的体积为3．
22．【解答】解：（1）由已知条件得
，解得a＝50．
∴
，
则
；
（2）由题意，0≤M≤150，
∴
（1≤x≤16，x∈N*）恒成立，
即
（1≤x≤16，x∈N*）恒成立．
设
，则
，
∴
（
）恒成立，
由
（
）恒成立，
得
（当
，即x＝4 时取等号）；
由
（
）恒成立，
得
（当t＝
，即x＝16 时取等号），
∴m 的取值范围是
．
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2018-2019 学年山东省济南市历城区高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，6}，B＝{1，2，4}，则（∁UA）∪B 为（
）
A．{1，2，3，4}
B．{2，3，4，6}
C．{1，2，4，5}
D．{1，2，3，4，5}
2．（5 分）经过点A（1，0），B（3，4）的直线斜率为（
）
A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
3．（5 分）已知a，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（
）
A．若a⊂α，b⊂β，则a∥b
B．若a⊂α，b⊂β，则a⊥b
C．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
D．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a⊥b
4．（5 分）下列区间中，函数f（x）＝lnx+2x﹣3 的零点所在的区间为（
）
A．（0，
）
B．（
，1）
C．（0，
）
D．（
，2）
5．（5 分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，2
），则log2f（4）的值为（
）
A．2
B．﹣3
C．﹣2
D．3
6．（5 分）设函数
，则f（f（﹣10））等于（
）
A．1
B．2
C．﹣
D．
7．（5 分）直线l1：mx+4y+3＝0，l2：2x+（m+2）y+3＝0，若l1∥l2，则m 的值为（
）
A．﹣4
B．2
C．﹣4 或2
D．4 或﹣2
8．（5 分）若函数y＝ax+b﹣2（a＞0 且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则（
）
A．O＜a＜1，且b＞1
B．a＞1，且b＞1
C．0＜a＜l，且b＜1
D．a＞1，且b＜1
9．（5 分）已知a＝
，b＝
，c＝
，则（
）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
10．（5 分）圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（
）
A．10π
B．12π
C．16π
D．18π
11．（5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的偶函数，当x≥0 时，f（x）＝x2﹣2x﹣3，则x＜0 时，f（x）的表达
式为（
）
A．﹣x2+2x﹣3
B．x2+2x+3
C．﹣x2﹣2x﹣3
D．x2+2x﹣3
12．（5 分）正四面体的表面积为16
cm2，则其体积为（
）
A．
cm3
B．
cm3
C．
cm3
D．
cm3
二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，把正确答案填在答题卡相应题的横线上）
13．（5 分）圆C1：x2+y2﹣2x﹣4y﹣59＝0 与圆C2：x2+y2﹣8x﹣12y+36＝0 的位置关系是
．
14．（5 分）如图，设A、B、C、D 为球O 上四点，若Ab、AC、AD 两两互相垂直，且AB＝3，AC＝4，AD＝5，
则球O 的表面积是
．
15．（5 分）已知偶函数f（x）满足f（﹣3）＝0，且在区间[0，+∞）上单调递增，则不等式f（3x﹣9）＜0 的解集
是
．
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16．（5 分）已知函数
，若方程f（x）﹣a＝0 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围
为
．
三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10 分）根据下列条件，求直线方程：
（I）过点（﹣1，2）且与直线y＝2x 平行；
（II）过点（1，2），且与直线y＝﹣2x 垂直．
18．（12 分）设函数
的定义域为集合A，函数g（x）＝x2﹣2x+m 的值域为集合B．
（I）当m＝4 时，求A∩B；
（II）若A∪B＝B，求实数m 的取值范围．
19．（12 分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，点M 是棱BC 的中点．
（I）求证：A1C∥平面AB1M；
（II）如果AB＝AC，求证AM⊥平面BCC1B1．
20．（12 分）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣3，且f（0）＝﹣4．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设函数f（x）在区间[t，t+1]，（t∈R）上的最小值为g（t），求g（t）的解析式．
21．（12 分）已知圆C 经过O（0，0），A（6，0），B（3，3）三点．
（I）求圆C 的方程；
（II）若直线l1 的方程为y＝
x+3，直线l2∥l1，且直线l2 被圆截得的弦MN 的长是4，求直线l2 的方程．
22．（12 分）已知函数
是奇函数，f（x）＝ln（ex+1）+（n﹣1）x 是偶函数．
（I）求m+n 的值；
（II）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（﹣t2﹣2t+2）+g（2t2﹣k）＞0 恒成立，求实数k 的取值范围；
（III）设h（x）＝f（x）+
x，若存在x∈（﹣∞，0]，使g（x）+ln20＞h[ln（20a+9）]成立，求实数a 的取值
范围．
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2018-2019 学年山东省济南市历城区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，
集合A＝{2，3，6}，B＝{1，2，4}，
∴∁UA＝{1，4，5}，
∴（∁UA）∪B＝{1，2，4，5}．
故选：C．
2．【解答】解：经过点A（1，0），B（3，4）的直线斜率为
＝2，
故选：A．
3．【解答】解：A，B 当中，由于α，β的关系不定，则直线a，b 的关系也不确定，可知A，B 皆错；
D 中，a，b 应该是平行关系，所以D 错误；
故选：C．
4．【解答】解：∵f（x）＝lnx+2x﹣3 在（0，+∞）上是增函数
f（1）＝﹣2＜0，f（
）＝ln
＞0
∴f（
）•f（1）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝lnx+2x﹣3 的零点所在区间为（1，
）
故选：C．
5．【解答】解：∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，2
），
∴f（2）＝2a＝2
，
解得f（x）＝x
，
∴f（4）＝
＝8，
∴log2f（4）＝log28＝3．
故选：D．
6．【解答】解：∵函数
，
∴f（﹣10）＝﹣10×（﹣10）＝100，
f（f（﹣10））＝f（100）＝lg100＝2．
故选：B．
7．【解答】解：由m（m+2）﹣4×2＝0，解得m＝﹣4 或m＝2，
经过验证：m＝2 时，两条直线重合，舍去．
∴m＝﹣4
故选：A．
8．【解答】解：对于指数函数y＝ax（a＞0 且a≠1），
分别在坐标系中画出当0＜a＜1 和a＞1 时函数的图象如下：
∵函数y＝ax+b﹣2 的图象经过第一、三、四象限，∴a＞1，
由图象平移知，b﹣2＜﹣1，解得b＜1，
故选：D．
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第393页（共397页）
9．【解答】解：∵0＜a＝
＜30＝1，b＝
＜log31＝0，c＝
，
∴c＞a＞b．
故选：C．
10．【解答】解：一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆，
半圆的弧长为：l＝
＝4π，即圆锥的底面周长为：4π，
设圆锥的底面半径是r，
则得到2πr＝4π，
解得：r＝2，
这个圆锥的底面半径是2，
∴圆锥的表面积为：S＝π•4•2+π•22＝12π，
故选：B．
11．【解答】解：根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，
则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）﹣3＝x2+2x﹣3，
又由函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x﹣3，
故选：D．
12．【解答】解：设正四面体S﹣ABC 的棱长为a，
∵正四面体的表面积为16
cm2，
∴S＝4×
＝16
cm2，
解得a＝4，
取BC 中点D，连结AD，过S 作SE⊥平面ABC，交AD 于E，
AE＝
＝
cm，
SE＝
＝
cm，
∴正四面体的体积V＝
＝
＝
（cm3）．
故选：B．
二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，把正确答案填在答题卡相应题的横线上）
13．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2x﹣4y﹣59＝0，
其圆心为（1，2），半径r1＝8．
圆C2：x2+y2﹣8x﹣12y+36＝0，
其圆心为（4，6），半径r2＝4，
两圆心的距离d＝
＝5．
∵r2﹣r1＜5＜r2+r1，
∴圆C1 与圆C2 是相交关系．
故答案为：相交
14．【解答】解：由AB，AC，AD 两两垂直，
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联想到球的内接长方体，
球的直径长即为长方体的体对角线长，
由AB＝3，AC＝4，AD＝5，
得题对角线长为5
，
∴球半径为
，
∴球的表面积为4π×
＝50π，
故答案为：50π．
15．【解答】解：根据题意，偶函数f（x）满足f（﹣3）＝0，则f（3）＝0，
又由f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
则f（3x﹣9）＜0⇒f（|3x﹣9|）＜f（3）⇒|3x﹣9|＜3，
变形可得：|x﹣3|＜1，
解可得：2＜x＜4，
即不等式的解集为（2，4）；
故答案为：（2，4）
16．【解答】解：作出函数
的图象，
由题意可得f（x）＝a 有两个不同的实根，
即直线y＝a 和y＝f（x）的图象有两个交点，
可得2＜a≤8 时，有两个交点，即原方程有两个不同实根．
故答案为：（2，8]．
三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【解答】解：（Ⅰ）由直线与直线y＝2x 平行知可设所求直线方程为y＝2x+m，
把点（﹣1，2）代入可得：﹣2+m＝2，m＝4，
所以所求直线方程为y＝2x+4．
（Ⅱ）由直线与直线y＝﹣2x 垂直知可设所求直线方程为y＝
x+n，
把点（1，2）代入可得则2＝
+n，
即m＝
所以所求直线方程为y＝
x+
．
18．【解答】解：（Ⅰ）∵
的定义域为为集合A，
则
，解得2≤x＜5，即A＝[2，5）
当m＝4 时，g（x）＝x2﹣2x+4＝（x﹣2）2≥0，
即B＝[0，+∞），
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第395页（共397页）
则A∩B＝[2，5），
（Ⅱ）∵A∪B＝B，∴A⊆B，
g（x）＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1≥m﹣1，
∴B＝[m﹣1，+∞），
∴m﹣1≤2，
解得m≤2，
∴实数a 的取值范围（﹣∞，3]．
19．【解答】证明：（Ⅰ）连结A1B，交AB1 于M，连结MN，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，点M 是棱BC 的中点．
∴N 是A1B 的中点，∴MN∥A1C，
∵MN⊂平面AB1M，A1C⊄平面AB1M，
∴A1C∥平面AB1M．
（II）∵AB＝AC，M 是BC 中点，
∴AM⊥BC，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，BB1⊥底面ABC，AM⊂平面ABC，
∴AM⊥BB1，
∵BC∩BB1＝B，∴AM⊥平面BCC1B1．
20．【解答】解：（I）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
由二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣3，且f（0）＝﹣4，
可得c＝﹣4，a（x+1）2+b（x+1）﹣ax2﹣bx＝2x﹣3，即2ax+a+b＝2x﹣3，
即有a＝1，a+b＝3，c＝﹣4，
解得a＝1，b＝c＝﹣4，
则f（x）＝x2﹣4x﹣4；
（II）f（x）＝x2﹣4x﹣4，
对称轴是x＝2，
t≥2 时，f（x）在[t，t+1]递增，
故f（x）min＝g（t）＝t2﹣4t﹣4；
t＜2＜t+1 即1＜t＜2 时，f（x）min＝g（2）＝﹣8，
t+1≤2 即t≤1 时，f（x）min＝g（t+1）＝t2﹣2t﹣7，
综上，g（t）＝
．
21．【解答】解：（Ⅰ）根据题意可设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0 则
F＝0
①
36+6D+F＝0
②
9+9+3D+3E+F＝0
③
①②③联立得D＝﹣6；
E＝0；F＝0，
∴圆C 的方程为x2+y2﹣6x＝0；
（Ⅱ）由题意知，C（3，0），r＝3，
∴点C 到l2 距离为d＝
＝
；
设l2 方程为
，
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∴
＝
•
，
∴m＝1 或m＝﹣4，
∴直线l2 的方程为
＝0 或
．
22．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数
是奇函数，则有g（﹣x）+g（x）＝0，
即
+
＝0，变形可得m＝1，
f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即有ln（e
﹣x+1）+（n﹣1）（﹣x）＝ln（ex+1）+（n﹣1）x，
解可得：n＝
，
则m+n＝1+
＝
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，g（x）＝
＝3x﹣3
﹣x，g（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，
g（﹣t2﹣2t+2）+g（2t2﹣k）＞0⇒g（﹣t2﹣2t+2）＞﹣g（2t2﹣k）⇒g（﹣t2﹣2t+2）＞g（k﹣2t2）⇒﹣t2﹣2t+2
＞k﹣2t2⇒k＜t2﹣2t+2，
若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（﹣t2﹣2t+2）+g（2t2﹣k）＞0 恒成立，则k＜t2﹣2t+2 在区间[0，+∞）上恒
成立，
又由t2﹣2t+2＝（t﹣1）2+1≥1，
必有k＜1，
即k 的取值范围为（﹣∞，1）；
（Ⅲ）根据题意，h（x）＝f（x）+
x＝ln（ex+1），
g（x）+ln20＞h[ln（20a+9）]即3x﹣3
﹣x+ln20＞ln（eln（20a+9）+1），变形可得3x﹣3
﹣x＞ln（20a+10）﹣ln20，
又由g（x）＝3x﹣3
﹣x，在（﹣∞，0]上为增函数，则有g（x）≤g（0）＝0，
若存在x∈（﹣∞，0]，使g（x）+ln20＞h[ln（20a+9）]成立，则
，
解可得：﹣
＜a＜
，
即a 的取值范围为（
，
）．
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