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重难点培优01 直线和圆中常见的最值范围问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 斜率的几何意义应用（★★★★）................................................................................................3
题型二 两点间的距离公式几何意义应用（★★★★）............................................................................4
题型三 点到线的距离（★★★★★）........................................................................................................4
题型四 两平行线间的距离（★★★★）....................................................................................................5
题型五 将军饮马问题（★★★★★）........................................................................................................6
题型六 点与圆的位置关系（★★★★★）................................................................................................7
题型七 直线与圆的位置关系（★★★★★）............................................................................................7
题型八 圆与圆的位置关系（★★★★）....................................................................................................8
题型九 圆的参数方程（★★★）................................................................................................................9
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................10
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................10
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................12
一、常用距离公式
1、点到点的距离公式：平面内两点
，
间的距离公式为：
．
2、点到直线的距离公式：点
到直线
的距离
．
3、直线到直线的距离公式：两条平行直线
，
，它们之间的
距离为：
．
二、三点共线最值问题
1、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则(AP+ BP)min= AB'(当点A、P、B'共线时取到)，点B'是点
B关于直线l的对称点.
2、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max= AB(当点A、P、B共线时取到).
3、点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max= AB'(当点A、P、B共线时取到)，点B'是点
B关于直线l的对称点.
三、点与圆的位置关系最值（范围）问题
1、若点M在圆内，则M Nmin= M N1=r−OM，M Nmax= M N2=r+OM；
2、若点M在圆外，则M Nmin= M N1=OM−r，M Nmax= M N2=r+OM；
3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值
若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r
为圆半径，则PEmin= P1F =d−r，PEmax= P2F =d+r.
四、代数式的几何意义最值（范围）问题
1、形如y= y−b
x−a ，可以转化为过点(x , y)和点(a,b)的动直线斜率；
2、形如z=( x−a)2+( y−b)2，可以转化为点(x , y)和点(a,b)的距离的平方；
3、形如z=ax +by ，可以转化为动直线纵截距
五：直线与圆的位置关系最值（范围）问题
设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直
的弦弦长为
六、：圆的参数方程（供了解）
圆的标准方程(x−a)2+ (y−b)2=r
2，圆心为(a , b)，半径为r，
它对应的圆的参数方程：{x=rcosθ+a
y=rsinθ+ b (θ是参数).
题型一 斜率的几何意义应用
【技巧通法·提分快招】
斜率的几何意义的应用
斜率的公式有明显的代数和几何特征，所以可以用于某些分式求范围或函数求值域、最值等问题中.
1．已知实数x、y 满足方程
，当
时，则
的取值范围是 ．
2．（2025 高三下·天津·专题练习）已知实数
满足
，则点
的轨迹为 ，
的取
值范围为
3．（24-25 高三下·河北沧州·月考）在平面直角坐标系
中，动点
到
两点的距离
的平方和为10，则
的取值范围为 ．
4．点
在函数
的图象上，当
，则
的取值范围为 .
题型二 两点间的距离公式几何意义应用
【技巧通法·提分快招】
点到点的距离公式：平面内两点
，
间的距离公式为：
．
1．函数
的最小值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·辽宁·月考）已知
、
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
的最大值为 .
4．（2025·陕西西安·一模）已知
，
满足
，则
的最小值为 .
题型三 点到线的距离
【技巧通法·提分快招】
点到直线的距离公式：点
到直线
的距离
．
1．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1 的圆经过原点，其圆心到直线
的距离为
，则
的
最大值为（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2025·山东·一模）实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
3．若函数
与
的图像有交点，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
4．（2025·重庆·模拟预测）已知点
在直线
上，过点
的两条直线与圆
分别相切于
两点，则圆心
到直线
的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
5．已知
为圆
上一动点，则
的最大值为 ．
6．设点A 在直线
上，点B 在函数
的图象上，则
的最小值为 .
7．在以点
为圆心，2 为半径的圆上取任意一点
，若
的取值与
无关，
则实数
的取值范围是 .
题型四 两平行线间的距离
【技巧通法·提分快招】
直线到直线的距离公式：两条平行直线
，
，它们之间的距离
为：
．
1．直线
与直线
上各有一动点
、
，那么
最小值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
2．已知
是椭圆
上的动点，则
点到直线
的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．两平行直线、
分别过点
，
，它们分别绕旋转
，
，但始终保持平行，则、
之
间的距离的取值范围是
题型五 将军饮马问题
【技巧通法·提分快招】
对称问题的解决方法
（1）点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a-x，2b-y).
（2）直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l 的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，
y0)，
则l 关于点P 的对称直线方程为A(2x0-x)+B·(2y0-y)+C=0.
（3）点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P 关于l
的对称点Q 可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ 的中点在l 上来求得.
（4）求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题.
1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一
个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再
回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
，若将军从山
脚下的点
处出发，河岸线所在直线的方程为
，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在平面直角坐标系
中，记动点P 为
，若点P 在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
3．已知点
，点
分别是x 轴和直线
上的两个动点，则
的最小值等于
．
4．已知直线：
及点
，点Q 在l 上，当
的值最大时，点的坐标为
，
的最大值为 .
5．已知圆
，直线
，
为直线上一动点，
为圆
上一动点，定点
，则
的最小值为 .
6．三角形
中，顶点
，点B 在直线
上，点C 在x 轴上，则三角形
周长的最小
值为 .
7．已知圆
，圆
，
分别为圆
和圆
上的动点，
为
直线
上的动点，则
的最小值为 ．
题型六 点与圆的位置关系
【技巧通法·提分快招】
圆上的点到直线的最大、最小距离
设圆心到直线的距离为
，圆的半径为
（1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为
和
；
（2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为
和
，此时
；
（3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为
和0．
1．已知圆
上一点
，则
的最大值为 .
2．（2025·陕西汉中·二模）设
为坐标原点，
为圆
上的动点，则
的最大值
为 ．
3．已知实数
满足关系：
，则
的最小值 ．
4．已知
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七 直线与圆的位置关系
【技巧通法·提分快招】
1、设直线l 的方程为ax+by+c=0，圆O 的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)，求弦长的方法通常有以下两种
（1）
几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点，如图所示.在Rt
OCB
△
中，|BC|
2=r2-d2，则弦长|AB|=2|BC|=2❑√r
2-d
2.
2、求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数.
（1）求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率
为-1
k ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0 或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0.
（2）求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解：
设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方
程.但要注意，若求出的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x=x0.
1．（25-26 高三上·广东·开学考试）
是圆
上的动点，
是直线
上的动点，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知点M，N 为圆
上两点，且
，点P 在直线
上，点Q 为线
段
中点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．直线
被圆
截得的最短的弦长为（ ）
A．
B．
C．4
D．
4．（2025·江西·一模）已知点
、
在圆
上，点
在直线
上，点
为
中点，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．过直线
上任一点P 向圆
作两条切线，切点为
．则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知直线
，圆
，若直线与圆
交于M，N 两点，则
的取值范
围为 ．
7．已知直线
和圆
.若
是直线上的动点，过
作圆
的一条切线，
切点为
，则
的最小值为 .
题型八 圆与圆的位置关系
【技巧通法·提分快招】
判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两
圆圆心距d，当d=r1+r2时，两圆外切，d=|r1-r2|时，两圆内切，d>r1+r2时，两圆外离，d<|r1-r2|时，两圆内
含，|r1-r2|<d<r1+r2时，两圆相交.
1．（24-25 高三上·江西宜春·月考）已知
是圆
上一动点，若直线
上存
在两点
，使得
能成立，则线段
的长度的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江西·三模）已知
分别为圆
与圆
上一点，则
的最小值
为 .
3．已知圆
与圆
的公共弦所在直线恒过定点
.若直线过
点
，则原点到直线的距离的最大值为 .
4．（2024·河北保定·二模）已知点
为
的中点，动点
分别满足
，则
的最大值为 .
5．（24-25 高三下·上海·月考）已知圆
，设其与
轴、
轴正半轴分别交于
两
点．已知另一圆
的半径为
，且与圆
相外切，则
的最大值为 ．
题型九 圆的参数方程
【技巧通法·提分快招】
圆的标准方程(x−a)2+ (y−b)2=r
2，圆心为(a , b)，半径为r，
它对应的圆的参数方程：{x=rcosθ+a
y=rsinθ+ b (θ是参数).
1．已知实数
，
满足
，则
的最大值是 ．
2．已知实数
满足
．则
的最大值是 ．
3．（23-24 高三下·浙江·开学考试）
是圆
上一动点，
为
的中点，
为坐
标原点，则
的最大值为 .
4．（2024·河南·模拟预测）已知点
是圆 C
上的任意一点，则
的最大值为（ ）
A．25
B．24
C．23
D．22
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．圆
上的点到直线
的距离的最大值为（ ）．
A．3
B．5
C．
D．
2．若
为圆
上任意一点，点
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知圆
，点
在圆上，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．记
表示点
到曲线
上任意一点距离的最小值．已知圆
，圆
，若点
为圆
上的一点，则
的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．8
D．3
5．已知实数
满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知圆
与圆
相切，则
的最小值为（ ）
A．5
B．3
C．2
D．
7．（25-26 高三上·山西长治·月考）从点
向圆
引切线，则切线长的最小
值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
8．已知圆
，直线
，若直线被圆
截得的弦长的最大值为
，最
小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·河南信阳·模拟预测）
是圆
上的动点，
是直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化
为几何问题加以解决，如：
可以转化为平面上点
与点
的距离．结合上述
观点，可得
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
11．已知圆
，圆
，点
为
轴上的动点，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知点
，圆
，则圆
上的点到
的距离最大值为 .
13．已知
在直线
上，则
的最小值为 ．
14．设
，已知直线
，过点
作直线
，且
，则直线与
之间距
离的最大值是 .
15．用
表示点
与曲线
上任意一点距离的最小值．已知
及
，
设
为
上的动点，则
的最大值为 ．
16．已知点
，动点P 在直线
上，则
的最小值为 .
17．已知
满足
，则
的取值范围是 .
18．已知函数
，则
的最小值为 ．
19．
，
，函数
的最小值为 .
20．（24-25 高三上·江西宜春·月考）若
分别为圆
，与圆
上的动点，
为直线
上的动点，则
的最小值为 ．
21．已知实数x，y 满足方程
，则
的最大值为 ，
的取值范围是
．
22．已知
、
是圆
上的两个不同的动点，且
，则
的
最大值为 ．
23．设
．
(1)求曲线
在点
的切线方程．
(2)设点
在曲线
上，点
在直线
上，求
的最小值.
24．若
，求下列各式的取值范围
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（25-26 高三上·河北·开学考试）若圆
：
与圆
：
有且仅有2
条公切线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知曲线E:
+
=1，
是曲线E 上任意一点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
4．（2025·四川凉山·三模）（多选题）已知
，则（ ）
A．
的最小值是
B．
的最小值是
C．
的最小值是
D．
的最大值是
5．在平面直角坐标系中，动点P，Q 关于直线
对称（
在
上方），且
，
，
，则
的最小值为 ．
6．
为等边
内一动点，且
，则
的最小值为 ．
7．已知实数
满足
，则
的最大值为
．
8．已知
，
，则
的最小值为 .
9．已知
，
，则
的最小值为
.
