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第7讲 立体几何中的交线问题
一、单选题
1．（2025·高三·全国·专题练习）已知点 是棱长为2的正方体 的底面 上一个动点
（含边界），若 是 的中点，且满足 平面 ，则（ ）
A． 所在的平面与正方体表面的交线为五边形
B． 所在的平面与正方体表面的交线为六边形
C． 长度的最大值是2
D． 长度的最小值是
【答案】B
【解析】如图，
因为满足 平面 ，则 所在的平面与正方体表面的交线，上下平面交线平行于 ，
前后平面交线平行于 ，左右平面交线平行于 ，
所以 所在的平面与正方体表面的交线为如图所示正六边形，故A错误，B正确；
以 所在的直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，其中， 分别是 的中点，
则直线 的方程为
因为满足 平面 ，则 在所以设线段 上的点 ，
点 ，则 ，
所以当 时， ；当 时， ．故C，D错误．
故选：B．
2．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知A，B是球O的球面上两点，且 ，C是该球面上的动点，
D是该球面与平面 交线上的动点，若四面体 体积的最大值为 ，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设球 的半径为 ，记 的中点为 ，则 ，
易知，当点 在 的延长线上，且棱锥的高等于求的半径时，棱锥体积最大.
因为 ，所以 ， .
当点 在 的延长线上时， 的面积最大，为 ，
四面体 体积的最大值为 ，解得 ，
从而球 的体积为 .
故选：D3．（2025·高二·重庆·期中）如图所示．用过 点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双
曲线的一部分，已知高 ，底面圆的半径为4， 为母线 的中点，平面与底面的交线 ，
则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 交 于 ，以过点 且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为 轴建
立如图所示坐标系，
因为圆锥的高 ， 是 中点，且截面垂直于底面，
所以 ，所以 ，
又因为底面圆半径 ，
所以 ， ，所以 ，
设双曲线方程为 ，
将 ， 代入双曲线方程得 ，解得 ，则双曲线的两条渐近线方程为 ，
由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为 ，
所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为 .
故选：B.
4．（2025·高三·湖北武汉·开学考试）阅读材料：空间直角坐标系 中，过点 且一个法向
量为 的平面 的方程为 ，阅读上面材料，解决下面问题：直线
l是两平面 与 的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由阅读材料可知：平面 的法向量可取 ，
平面 的法向量可取 ，
设直线 的方向向量 ，
则 ，令 ，则 ，
故选：B
5．（2025·江西景德镇·一模）甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为 ，它是由四个氢原子和一个碳
原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正
四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点 处，碳原子位于正四面体的中心 处.
若正四面体 的棱长为1，则平面 和平面 位于正四面体内部的交线长度为（ ）A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】如图所示，
分别取 的中点 ，连结E，F，
则由正四面体的性质，EF过正四面体的中心O，
所以平面 即平面 ，平面 即平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 和平面 位于正四面体内部的交线为线段 ，
又因为正四面体 的棱长为1，
则由勾股定理可得 ，
所以在等腰三角形FAB中：
．
故选：A．
6．（2025·高二·湖南·期末）给定一个点 和一个向量 ，那么过点 ，且以向量 为法向量的平面 可以表示为集合 ，即在空间直角坐标系 中，若 ， ，设 ，
则平面 的方程为 .根据以上信息，解决下面问题：已知平面 的方程为
，直线 是两平面 与 的交线，则直线 与平面 所成角的正弦
值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，平面 的一个法向量为 ，
平面 的一个法向量为 ，
平面 的一个法向量为 .
又直线 是平面 与平面 的交线，设直线 的方向向量为 ，
则 取 ，则 .
设 与平面 所成的角为 ，则 .
故选:D.
7．（2025·山东枣庄·一模）在侧棱长为2的正三棱锥 中，点 为线段 上一点，且 ，
则以 为球心， 为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 中点 ，连接 、 ，则有 ， ，
又 ， 、 平面 ，故 平面 ，又 平面 ，故 ，又 ，
， 、 平面 ，故 平面 ，
又 、 平面 ，故 ， ，
由正三棱锥的性质可得 、 、 两两垂直，
故 ，即以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为：
，即与该三棱锥三个侧面交线长的和为 .
故选：C.
8．（2025·高一·安徽铜陵·期末）截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.
当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个
多边形.已知正三棱锥 ，满足 ，点 在 内部（含边界）
运动，且 ，则点 的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意可知，正三棱锥 ，满足 ，可得 平面 ，得底面正 的边长为 ，设正 的中心为 ，
由 ，即 ，
得 ，又 ，
点 在 内部（含边界）运动，且 ，
所以点 的轨迹是以 为球心，半径为 的球面与 内部（含边界）包含的平面相交所得的弧，
即点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆在 内部（含边界）的弧，
如图，作 于 ，圆与 交点为 ，则 ，
，
所以 ，则 ，所以 ，
则点 的轨迹在 内部（含边界）的弧所对的圆心角为 ，
则弧长为 ，
即点 的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为 .
故选：A.
9．（2025·广东广州·模拟预测）在正六棱柱 中， ， 为棱 的中点，
以 为球心， 为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为球 的半径为6， ，所以球 不与侧面 及侧面 相交，
设 分别为 的中点，连接 ，
则由题意可得 ，
所以 ，
所以球 与侧面 交于点 ，与侧面 交于点 ，
在正六边形 中，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，且 ，
所以 ，
所以球 与侧面 的交线是以 为直径的半圆，
同理可得球 与侧面 的交线是以 为直径的半圆，
因为 ，所以球 与上下底面的交线均为 个半径为 的圆，
所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为
故选：D10．（2025·高三·辽宁·阶段练习）已知在正方体 中， ，点 ， ， 分别在棱 ，
和 上，且 ， ， ，记平面 与侧面 ，底面 的交线分别为 ，
，则（ ）
A． 的长度为 B． 的长度为
C． 的长度为 D． 的长度为
【答案】A
【解析】如图所示，
连接 并延长交 的延长线于 ，连接 并延长交 于点 ，
交 的延长线于点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，
则 即为 ， 即为 ，
由 ，得 ，所以 ， ，由 ，得 ，则 ，
所以 ，故C，D项错误；
由 ，得 ，
又易知 ，得 ，所以 ，
所以 ，故A项正确，B项错，
故选：A.
11．（2025·高三·广东广州·阶段练习）阅读材料：空间直角坐标系 中，过点 且一个法
向量为 的平面 的方程为 ．阅读上面材料，解决下面问题：已
知平面 的方程为 ，直线 是两平面 与 的交线，则直线 与平面 所
成角的正弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】根据材料可知平面 的法向量可取 ，
平面 的法向量可取 ，
平面 的法向量可取 ，
因为直线 是两平面 与 的交线，设 的方向向量 ，
则 ，取 可得 的一个方向向量 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
故选：A
12．（2025·高二·广东·阶段练习）阅读材料：数轴上，方程 可以表示数轴上的点，平面
直角坐标系 中，方程 （ 、 不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标
系 中，方程 （ 、 、 不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点
且一个法向量为 的平面 的方程可表示为 .阅读上
面材料，解决下面问题：已知平面 的方程为 ，直线 是两平面 与
的交线，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为平面 的方程为 ，所以平面 的法向量可取 ，
平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
设两平面的交线 的方向向量为 ，
由 ，令 ，则 ，
所以两平面的交线 的方向向量为 ，
设直线 与平面 所成角的大小为 ，则 .
故选：A．
13．（2025·高三·江西·阶段练习）如图，二面角 的大小为 ，且 与交线 所成的角
为 ，则直线 所成的角的正切值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先证明一个结论：如图，直线 为平面 的一条斜线， 为斜足， 与平面 所成的角为 ，
则平面 内的直线与直线 所成角的最小值为 .
证明：对于平面 内的任意一条直线 ，如果其不过点 ，则可以平移该直线至点 ，
此时直线 与直线 所成角即为平移后的直线与直线 所成的角.
设平移后的直线为直线 （如图），过 作 的垂线，垂足为 ，
在平面 内的射影为 ，连接 ，则 ，
而直线 与直线 所成的角即为 ，其中 ， .
因为 ，
故 ，当且仅当 与 重合时等号成立，
所以平面 内的直线与直线 所成角的最小值为 .
回到原题，如图，设 ，取 上一点 ，过 作 ，垂足为 ，
垂足为 ，连接 ，
因为 ， ，故 ，而 ， ，
平面 ，故 平面 ，
而 平面 ，故 ，故 为平面 的平面角的补角，
故 .
不妨令 ，则 .
又 ，所以 ，所以 ，
所以 .
因为 ，故 与平面 所成的角为 ，
由前述所证结论可得，直线 所成角的最小值为 ，其正切值为 .
故选：B.
二、多选题
14．（2025·安徽淮南·一模）如图，在正方体 中， 是对应棱的中点，则（ ）A．直线 ∥平面 B．直线 平面
C．直线 与 的夹角为 D．平面 与平面 的交线平行于
【答案】BCD
【解析】以点 为原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正
方体的棱长为2，
则由题意可得， ，
，
对于A，设平面 的法向量为 ，因为 ，
所以 ，令 ，解得 ，
所以平面 的法向量可以为 ，
注意到 ，而 ，
从而直线 与平面 不平行，故A错误；
对于B，注意到 ， ，所以 ，
所以 ，这表明 也是平面 的法向量，
故直线 平面 ，故B正确；
对于C， ，
所以直线 与 的夹角的余弦值为 ，
所以直线 与 的夹角为 ，故C正确；
对于D，设平面 与平面 的交线为 ，
A B C D
因为平面 平面 1 1 1 1，平面 平面 ，平面 平面 直线 ，
所以直线 直线 ，即平面 与平面 的交线平行于 ，故D正确.
故选：BCD.
15．（2025·福建福州·模拟预测）如图， 为平面 与平面 的交线，点 在平面 上，点 在平面 上．
以 为原点建立空间直角坐标系， 轴已经给出，平面 的两个法向量 ， ，平
面 的两个法向量 ， ，则二面角 为（ ）A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】根据题意作图：
设二面角 为 ，
则根据二面角定义可知 ， ，
， ， .
故选：BC.
16．（2025·高三·云南楚雄·期末）空间中，平面 上的动点 满足方程
，则称 为平面 的方程，同时也称平面 的方程为 ，并称
为平面 的一个法向量.已知方程分别为 的平面 的交
线为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．经过点 的平面 的方程 为
B．若方程为 的平面 经过点 ，则满足条件的实数 的个数为3
C．若平面 的方程为 ，则坐标原点 到平面 的距离为
D． 与方程为 的平面 所成角的正弦值为【答案】ACD
【解析】经检验， 均满足方程 ，且 不共线，
则 可以确定唯一平面 ，则平面 的方程 为 ，A正确；
若方程为 的平面 经过点 ，则 ，
整理得 ，因为 无实数解，所以 ，B不正确；
显然，点 满足方程 ，则 是平面 内一点，
平面 的一个法向量为 ，则 ，
点 到平面 的距离 ，C正确.
易知方程 的一组公共解为 ，且 的另一组公共解为 ，
则直线 经过 和 的一个方向向量为 ，
平面 的一个法向量为 .设 与平面 所成角的大小为 ，
则 ，D正确.
故选：ACD.
17．（2025·高三·山东泰安·期末）如图，在正四棱柱 中，底面正方形 的边长为
为线段 上的一个动点，则下列选项正确的是（ ）A．若直线 为平面 和平面 的交线，则平面 中不存在直线与 平行
B． 平面
C．三棱锥 的体积为定值
D．直线 与平面 所成角最大时，
【答案】ACD
【解析】对于A，因为 平面 ，且 平面 ，平面 平面 ，所以
；
又 与平面 相交，则平面 中不存在直线与 平行，即平面 中不存在直线与 平行，
故A正确；
对于B，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，因为 ， ，所以 ， ， ， ，
则 ， ，
因为 ，所以 不成立，即 不成立，
所以 平面 不成立，故B错误；
对于C，因为 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 为线段 上的一个动点，
所以点 到平面 的距离 为定值，
又 ，所以三棱锥 的体积为定值，故C正确；
对于D，由选项C可知，点 到平面 的距离 为定值，
记直线 与平面 所成角为 ，
则 ，又正弦函数在 上单调递增，则 最大时， 最大，
所以当 最小时， 有最大值，此时 ，
此时，在 中， ，又 ，所以 ，
在 中， ，从而 ，故D正确；
故选：ACD.
18．（2025·高三·云南昆明·期末）根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、
双曲线及抛物线（其中AB是底面圆的直径，各截面都过点M.第一个图中截面平行于底面；第二个图中截
面与底面有且只有A这一个公共点；第三图中截面平行于圆锥的轴OP,且与底面的交线是线段OB的垂直平分线；第四个图中截面与底面的交线过底面圆心且与AB垂直）.若圆锥的高 ，底面圆的半径为
为母线 的中点，则（ ）
A．圆的周长为
B．椭圆的长轴长为
C．双曲线的离心率为
D．抛物线的焦点到准线的距离为
【答案】ABC
【解析】对于A，因为点 是母线的中点，当经过 的截面平行于底面时得截面图形是圆，因为底面圆
的半径为 ,截面的半径 ，所以圆的周长为 ，A正确；
对于B，当经过 的截面恰好经过底面 的端点 且与底面只有这一个公共点时截面是椭圆，椭圆的长
轴是 ,因为在圆锥中，高 ，底面圆的半径为4，所以 ，
所以 ，所以椭圆的长轴长
，故B正确；
对于C，因为点 是母线的中点，当经过 的截面与底面垂直时截面是一支双曲线，截线正好是 的中
垂线时,在与底面、平面 垂直且过点 的平面内，以 为右顶点建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为 ，有 ，易知点 在双曲线上，所以 ，所以离心率 ，故
C正确；
对于D，经过 的截面与底面的的截线是与 垂直的底面圆的直径时截面是抛物线，以 为坐标原点，
建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为 （ ，易知点 在抛物线上，所以
，故D错误.
故选：ABC.
19．（2025·山西临汾·一模）已知正方体 的棱长为3， 在棱 上，且满足 ，
动点 在 内（包括边界）移动，动点 在正方体内（包括边界）移动，且 ，则（ ）
A． 的最小值为
B．动点 在面 内运动轨迹的长度为
C．动点 的轨迹与动点 的轨迹的交线是椭圆的一部分
D．在正四面体 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4
【答案】BD
【解析】以 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设 关于平面 的对称点为 ，则 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
又点 ，点 到平面 的距离相等，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），所以 ，
所以 ，故A错误；
因为 平面 ，若动点 在平面 内时，则 ，
又 ，则 ，可得 的轨迹是以 为圆心，3为半径的圆弧，
且在四边形 的圆弧是圆的 ，所以动点 在面 内运动轨迹的长度为 ，故B正确；
动点 的轨迹是以 为轴， 为顶点的圆锥在正方体 内的部分，
底面半径为 ，
易得 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 是圆锥的母线，所以平面 与圆锥的交线是抛物线的一部分，故C错误；
设正四面体 的底面正三角形 的中心为 ，
由正四面体的性质可得 平面 ，
由正弦定理可得 ，
所以正四面体的高为 ，
设正四面体的内切球的半径为 ，
则 ，所以 ，
设半径是 的球的内接正四面体的边长为 ，则可将内接正四面体补形成边长为
的正方体，
则 ，解得 ，
在正四面体 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4，故D正确．
故选：BD.20．（2025·高三·贵州贵阳·阶段练习）如图，圆柱的上下底面圆周与正方体 上下底面的
正方形相切，平面 与圆柱侧面的交线为椭圆E， 与椭圆E交于M、N两点，则（ ）
A．圆柱体积与正方形体积之比为 B．圆柱的母线与 所成的角为
C．椭圆E的离心率 D．
【答案】ACD
【解析】设正方体 的棱长为1，
所以正方体 的体积为
由题意得，圆柱的上下底面半径为 ，高 ，
所以圆柱的体积 ，
所以 ，故A对；
因为圆柱的上下底面圆周与正方体 上下底面的正方形相切，
所以圆柱的母线平行于正方体的棱 ，
所以 即是圆柱的母线与 所成的角，
平面 ，又 平面 ，所以 ,在 中， ，
所以 ，故B错；
由题意得，椭圆的长轴长 ，
短轴长 ，
所以焦距 ，
所以椭圆E的离心率 ，故C对；
如图，建立直角坐标系，
所以椭圆的方程式为 ，
所以 ，
即直线MN的方程式为 ，由 或 ，
即 ，
所以 ，
而 .
所以 ，故D对；
故选：ACD
21．（2025·高三·江西南昌·开学考试） 是正四棱锥 的高， 是线段 上一点（不含端点），
过点 任作一个平面 ，平面 与该四棱锥表面交线所围成的封闭图形记为 ，下列4个命题中，正确的
是（ ）
A． 可以是三､四､五边形
B．当 平面 时，存在一点 ，使得 是正五边形
C．当 与平面 相交时，平面 与平面 和平面 的交线分别为 ，则 三条直线相
交于一点
D．“ 平面 ”是“平面 平面 ”的充分不必要条件
【答案】AC
【解析】对于A：截面 过 时的截面为三角形，截面 过 与平面 平行时为四边形，
截面 不平行于底面 且不过 时可能为五边形（如图所示），故A正确；对于B：如图所示，当 平面 时，截面五边形为 ，
由 截面 ，根据线面平行的性质易得 ，则 ，
又正五边形不存在平行的边，故不存在这样的正五边形，故B错误；
对于C：设平面 与平面 的交线为 ，与 的交线为 ，
当 与平面 相交时，可得 与 不平行，
反证法：若 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，又因为 ， ，所以 ，
这与 与平面 相交时矛盾，故假设不成立，故 与 不平行，
所以 与 相交，设 ，则 平面 ， 平面 ，
又平面 平面 ，所以 ，
所以 交于一点，即 三条直线相交于一点，故C正确；
对于D：因为四边形 是正方形，所以 ，又 平面 ，
平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
由B可知当 平面 时， ，而 不一定成立，
所以 有可能不平行于 ，则 不一定垂直于平面 ，得不出平面 平面 ，
从而“ 平面 ”不是“平面 平面 ”的充分条件，故D错误.
故选：AC.22．（2025·高三·辽宁·阶段练习）已知在正方体 中， ，点 ， ， 分别在棱 ，
和 上，且 ， ， ，记平面 与侧面 ，底面 的交线分别为 ，
，则（ ）
A． 的长度为 B． 的长度为
C． 的长度为 D． 的长度为
【答案】AD
【解析】如图所示，
连接 并延长交 的延长线于 ，连接 并延长交 于点 ，
交 的延长线于点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，
则 即为 ， 即为 ，
由 ，得 ，所以 ， ，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，故C错误，D项正确；
由 ，得 ，
又易知 ，得 ，所以 ，所以 ，故A项正确，B项错，
故选：AD.
23．（2025·高三·重庆·阶段练习）如图 在正四棱柱 中， 底面正方形 边长为 ，
， 为线段 上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ）
A．已知直线 为平面 和平面ABCD 的交线， 则平面 内存在直线与 平行
B．三棱锥 的体积为定值
C．直线 与平面 所成角最大时，
D． 的最小值为
【答案】BC
【解析】选项 A，因为 平面 ，且 平面 ，所以平面 和平面
的交线 ，
而 与平面 相交，则平面 内不存在直线与 平行，即不存在直线与直线 平
行，故 错误；
选项 平面 ，所以点 到平面 的距离为定值，而三角形 的面积为定
值，故三棱锥 的体积为定值，故 正确;选项 C，记 到平面 到距离为 ，由选项 B 可知， 为定值，记直线 与平面
所成角为 ，
则 ，又正弦函数在 上单调递增，则 最大时, 最大，从而即为 最小时，
此时 ，
在 中， ,所以
可得 ，故 正确;
选项 ，作平面 与平面 的展开图如图 所示，
则 的最小值即为展开图中线段 的长，
中， ， 所以 ，
从而 中，由余弦定理可知， ，
从而 的最小值为 ，故 错误，
故选: .
24．（2025·高三·河北秦皇岛·阶段练习）如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ，
，点 是棱 的中点，过 ， ， 三点的平面 与平面 的交线为 ，则（ ）A．直线 与平面 有一个交点
B．
C．直线 与 所成角的大小为
D．平面 截四棱锥 所得的上下两个几何体的体积之比为
【答案】BCD
【解析】如图，取棱 中点 ，连接 ， ，
因为 是棱 的中点，则 ，而 ，所以 ，
即 ， ， ， 四点共面，则 为直线 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，故A错误；
由 底面 ， 平面 ，所以 ，
由 ，可得 为等腰直角三角形，
而斜边 的中点为 ，所以 ，
再由底面 是正方形，易得 ，
又 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，又 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故B正确；
由 ，则直线 与 所成的角就是 与 所成的角，
由 ，则 ，
即 与 所成的角的余弦值为 ，即角为 ，故C正确；
， ，
所以 ，所以 ，故D正确．
故选：BCD
25．（2025·湖北荆州·三模）如图，正八面体 棱长为2．下列说法正确的是（ ）
A． 平面
B．当P为棱EC的中点时，正八面体表面从F点到P点的最短距离为
C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥 的体积为定值
D．以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为
【答案】ABD
【解析】对于A，在正八面体中 ，故四边形 为菱形，
故 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故A正确；
对于B，将 和 展开至同一平面，如图所示，其中 ， ， ，
由余弦定理得： ， ，故B正确；
对于C， ，连接 、 ，相交于点 ，连接 ，
由对称性可知， ，
、 均为等腰直角三角形，
所以 ， ， ，
又 平面 ，
可证得 平面 ，所以 到平面 的距离为 ，
设菱形 的面积为 ，则 ， ，
三棱锥 的体积为定值 ，故C错误；
对于D，易得以O为球心，1为半径的球与各条棱均切于中点处，
故球与每个侧面的交线即侧面正三角形的内切圆，
又以2为边长的正三角形的高为 ，
可得内切圆半径 ，交线总长度 ，故D正确．故选：ABD.
三、填空题
26．（2025·陕西西安·二模）已知 是球 的球面上两点， 是该球面上的动点， 是该
球面与平面 交线上的动点.若四面体 体积的最大值为 ，则球 的体积为 .
【答案】
【解析】设球 的半径为 .因为 是球 与平面 交线上的动点，即 平面 ，
在 中， ， ，
设 的中点为 ，连接 并延长，交球于 ，则 ，
， ，
此时三角形 的面积最大，且最大面积为 .
是球面上的动点，
要使四面体 的体积最大，则点 到平面 的距离 要最大，
当 平面 时，点 到平面 的距离最大，且最大距离 .
依题意 ，解得 .
球 的体积为 .
故答案为：27．（2025·高三·山西·开学考试）正方体 的棱长为2，则以 的中点 为球心， 为
半径的球与侧面 相交，则交线（在正方形 内部）的长度为 ．
【答案】 /
【解析】如图：作 ，垂足为E，则 平面 ，
设 为球心， 为半径的球与 相交于 ，
则 ，
即以 的中点 为球心， 为半径的球与侧面 相交，
交线为以E为圆心，2为半径的圆弧（如图示），
在 中， ，同理 ，则 ，
所以交线的长度 ．故答案为： ．
28．（2025·高二·四川·期末）空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为 的平
面 的方程为 .已知平面 的方程为 ，直线l是平面
与平面 的交线，则直线l与平面 所成角的大小为 ．
【答案】
【解析】由题意可知平面 的一个法向量为 ，平面 一个法向量为 ，
平面 一个法向量为 ，
设直线l的方向向量为 ，则 ，
故 ，取 ，则 ，
设直线l与平面 所成角 ，则 ，
故答案为：
29．（2025·高三·安徽马鞍山·期中）已知空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为
的平面 的方程为 ．用以上知识解决下面问题：已知平面 的
方程为 ，直线l是两个平面 与 的交线，则直线l与平面 所成角的
余弦值为 ．
【答案】【解析】由题意可得平面 的法向量可为 ，
平面 的法向量可为 ，
平面 的法向量可为 ，
设直线 的方向向量为 ，
则有 ，取 ，则有 、 ，
则直线 的方向向量可为 ，
则 ，
故直线l与平面 所成角的余弦值为 .
故答案为： .
30．（2025·广东汕头·一模）如图，在正方体 中， 是棱 的中点，记平面 与平
面 的交线为 ，平面 与平面 的交线为 ，若直线 分别与 所成的角为 ，则
， .
【答案】 /0.5 /【解析】在正方体 中， 是棱 的中点，
延长 与 延长线交于点 ，连接 ，则直线 即为直线 ， ，
由 ，得 ，又 ，于是 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
则 ，又 ，因此 ， ，
所以 .
故答案为： ；
31．（2025·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体 中， 为棱 （不含端点）上的动点，过点
的平面 与平面 平行．若平面 与平面 ，平面 的交线分别为 ，则 所成角的正弦值
的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】连接 ，由题意知过点 的平面 与平面 平行，
平面 与平面 、平面 的交线分别为 ，
由于平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 ，
所以 或其补角即为 所成的平面角，设正四棱锥 的棱长为1， ，则 ，
在 中，由余弦定理得
，
同理求得 ，
故在 中，
，
由于 ，则 ，
进而 ，
当 时取等号，故 的最小值为 ，
进而 ，故 的最大值为 .
故答案为： ．32．（2025·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）阅读材料：空间直角坐标系 中，过点 且一个
法向量为 的平面 的方程为 .
阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 的方程为 ，直线 是两平面 与
的交线，则直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【答案】
【解析】平面 的方程为 ，可得平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 的法向量为 ，
设直线 的方向向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角 ， ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故答案为： .
33．（2025·陕西安康·模拟预测）在棱长为1的正方体 中，过面对角线 的平面记为 ，
以下四个命题:
①存在平面 ，使 ;②若平面 与平面 的交线为 ，则存在直线 ，使 ;
③若平面 截正方体所得的截面为三角形，则该截面三角形面积的最大值为 ;
④若平面 过点 ，点 在线段 上运动，则点 到平面 的距离为 ．
其中真命题的序号为 ．
【答案】①②④
【解析】对于①：取平面 为平面 ，
因为 为正方形，则 ，
又因为 平面 ， 平面 ，则 ，
且 ， 平面 ，
可得 平面 ，即 ，故①为真命题；
对于②：显然此时平面 与平面 不重合，
因为平面 ∥平面 ，
且平面 平面 ，平面 平面 ，可得 ∥ ，
又因为 ∥ ， ，可知 为平行四边形，则 ∥ ，
可知当 不与 重合时， ∥ ，故②为真命题；对于③：例如截面 ，可知截面为边长为 的等边三角形，符合题意，
且 ，故③为假命题；
对于④：由②可知： ∥ ，
且 平面 ， 平面 ，则 ∥平面 ，
因为点 在线段 上运动，则点 到平面 的距离相等，
不妨取点 为点 ，设点 到平面 的距离为 ，
因为 ，则 ，解得 ，
所以点 到平面 的距离为 ，故④为真命题；
故答案为：①②④.
34．（2025·山东·二模）三棱锥 中， 和 均为边长为2的等边三角形， 分别在棱
上，且 平面 平面 ，若 ，则平面 与三棱锥 的交线围成
的面积最大值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，因为 平面 ，设 面 ，所以 ，
同理： ，设 ，所以 ，即 ，
所以四边形 为平行四边形，即 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ，即 ，且 ，
取 中点 ，连接 ，易得 ， ，
，所以 面 ，所以 ，所以 ，
所以四边形 为矩形，
所以面 与三棱锥 的交线围成的面积 ，
当 ，即 为 中点时，面积最大，最大值为 ，
故答案为： .
35．（2025·高一·安徽黄山·期末）如图1， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 ， 的点，直线
平面 ， ， 分别是 ， 的中点，记平面 与平面 的交线为 ，直线 与圆 的另一个
交点为 ，且点 满足 .（如图2）.记直线 与平面 所成的角为 ，异面直线 与 所
成的角为 ，二面角 的大小为 ，则下列四个判断中，正确的个数有 个.
① ② ③ ④ .【答案】3
【解析】
对于②，如图所示，连接 ，因为平面 与平面 的交线为 ，所以 ，
又因为直线 与圆 的另一个交点为 ，所以 ，即平面 与平面 的交线为 就是直线 ，
因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以
由题意易知： ， 面 ，则 面 ，而 面 ，
则 ，即二面角 的大小 ，故②正确；
对于③， ；
由Q满足 ，点 是 中点， 平面 ，则 ， 面 ，
结合题意此时四边形 为矩形，则直线 与平面 所成的角 ，
即 ；过Q作 ，且使得 ，连接 ，显然 ，此时四边形 为平行四边形，
，
则异面直线 与 所成的角 ，结合上面说明得 面 ，
而 面 ，则 ，即 .
∴ ，故③正确；
对于①，由③可知 ，注意到 ，所以 ，故①正确；
对于④， 故④错误；
故正确的序号有：①②③，共3个.
故答案为：3.
36．（2025·全国·模拟预测）已知正四棱柱 中， ， ，点 为 的中点，点
为 的中点，平面 与平面 的交线为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 .
【答案】 /
【解析】如图，在棱 上取点 ，使 ，连接 ，则 ，
所以 为平面 与平面 的交线.
连接 ，则 为平面 与平面 的交线.
因为面 与面 的交线为 ，且面 面 ，所以 .
在棱 上取点 ，使 ，连接 ，则 ，
所以 ，则 就是异面直线 与 所成的角.连接 ，在 中 ， ，
.
由余弦定理，得 ，
所以异面直线 与 所成的角的余弦值为 .
故答案为：
37．（2025·高二·安徽黄山·期末）人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐
标系 中，已知向量 ，点 ，若平面 经过点 ，且以 为法向量，点
是平面内的任意一点，则平面 的方程为 ”．现已知平面 的方程为
，直线l是平面 与平面 的交线，且直线l的方向向量为 ，
则平面 的一个法向量可以为 ，直线l与平面 所成角的正弦值为 .
【答案】 /
【解析】显然平面 的一个法向量可以为 ,
易知平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线l的方向向量为 ，故 ， ，令 ，
解得 ， ，故 ，设直线l与平面 所成角为 ，
则 .
故答案为： ；
38．（2025·高三·广东深圳·期末）如图， 在圆台 中， ，点C是底面圆周上异于A、B的一点，
, 点D是 的中点， 为平面 与平面 的交线， 则交线 与平面 所成角的大小为
．
【答案】 /
【解析】因为 ，D分别是 ，BC的中点，所以 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
所以 ， ，所以 ，
所以直线l与平面 所成角即直线 与平面 所成角，
因为 为直径，所以 ，因为 ，即 ，
又因为 平面 ，
平面 ，所以 ， 平面 ，所以 平面 ，过点 作 交 于点 ，
因为 平面 ，所以 ， ，
， 平面 ，所以 平面 ，
所以 为交线l与平面 所成角，
因为 ， ，
.
所以，结合图知 .
故答案为： .
