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八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3 分，共30 分）
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，5cm，8cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，10cm
2．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．都有可能
4．如图，在3×3 的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直
线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原
点是（ ）
A．A 点B．B 点C．C 点D．D 点
5．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O 连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O 自由转动，就做
成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′
的理由是（ ）
A．边角边
B．角边角
C．边边边
D．角角边
6．如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不
能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，
∠A=∠D
7．在三角形中，最大的内角不小于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
8．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC 的度数为（ ）
A．40°
B．35°
C．30°
D．25°
9．如图，平面直角坐标系中，已知定点A（1，0）和B（0，1），若动点C 在x 轴上运动，则使
△ABC 为等腰三角形的点C 有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
10．在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，CE 是过C 点的一条直线，AD⊥CE 于D，BE⊥CE 于
E，DE=4cm，AD=2cm，则BE=（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm 或2cm
D．6cm
二、填空题（每小题3 分，共18 分）
11．三角形内角和定理： ．
12．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理
是 ．
13．已知点A（m
1
﹣，3）与点B（2，n+1）关于x 轴对称，则m+n= ．
14．如图所示，在平面坐标系中B（3，1），AB=OB，∠ABO=90°，则点A 的坐标是 ．
15．如图，△ABC 是边长为3 的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D 为
顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M，交AC 于点N，连接MN，则△AMN 的周长
为 ．
16．如图，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为
E、F，AB=10cm，AC=6cm，则BE 的长为 ．
三、解答题（本大题共有8 题，共72 分）
17．如图，在△ABD 和△FEC 中，点B，C，D，E 在同一直线上，且AB=FE，BC=DE，
∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE．
18．a，b 分别代表铁路和公路，点M、N 分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O 点，
使O 点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O 点位置（不写作法，保
留作图痕迹）．
19．用一条长为20cm 的细铁丝能围成一边长为4cm 的等腰三角形吗？若能，请求出各边长；
若不能，请说明理由．
20．已知，如图，在△ABC 中，AD，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，若∠ABC=30°，
∠ACB=50°．
（1）求∠DAE 的度数；
（2）写出∠DAE 与∠ACB﹣∠ABC 的数量关系： ，并证明你的结论．
21．如图，
（1）画出△ABC 关于Y 轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请计算△ABC 的面积；
（3）直接写出△ABC 关于X 轴对称的三角形△A2B2C2的各点坐标．
22．如图所示，已知△ABC 中，D 为BC 上一点，E 为△ABC 外部一点，DE 交AC 于一点O，
AC=AE，AD=AB，∠BAC=∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAD=20°，求∠CDE 的度数．
23．①如图1，△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，∠BAC=70°，求∠BOC 的度数；
②如图2，若点P 为△ABC 外部一点，PB 平分∠ABC，PC 平分外角∠ACD，先写出∠BAC 和
∠BPC 的数量关系： ，并证明你的结论．
24．如图①，平面直角坐标系XOY 中，若A（0，a）、B（b，0）且（a
4
﹣）2+
=0，以AB 为直
角边作等腰Rt△ABC，∠CAB=90°，AB=AC．
（1）求C 点坐标；
（2）如图②过C 点作CD⊥X 轴于D，连接AD，求∠ADC 的度数；
（3）如图③在（1）中，点A 在Y 轴上运动，以OA 为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交Y 轴
于F，试问A 点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请直接写
出它们的比值 （不需要解答过程或说明理由）．
八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3 分，共30 分）
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，5cm，8cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，10cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边进行分析即可．
【解答】解：A、1+2=3，不能组成三角形；
B、5+2＜8，不能组成三角形；
C、3+4＞5，能够组成三角形；
D、4+5＜10，不能组成三角形．
故选C．
2．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
3．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．都有可能
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】作出一个直角三角形的高线进行判断，就可以得到．
【解答】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形．
故选C．
4．如图，在3×3 的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直
线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原
点是（ ）
A．A 点B．B 点C．C 点D．D 点
【考点】关于x 轴、y 轴对称的点的坐标；坐标确定位置．
【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．
【解答】解：当以点B 为原点时，
A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），
则点A 和点C 关于y 轴对称，
符合条件，
故选：B．
5．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O 连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O 自由转动，就做
成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′
的理由是（ ）
A．边角边
B．角边角
C．边边边
D．角角边
【考点】全等三角形的应用．
【分析】由于已知O 是AA′、BB′的中点O，再加对顶角相等即可证明△OAB≌△OA′B′，所以
全等理由就可以知道了．
【解答】解：△OAB 与△OA′B′中，
∵AO=A′O，∠AOB=∠A′OB′，BO=B′O，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．
故选A．
6．如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不
能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，
∠A=∠D
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E 可利用SAS 证明
△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC 可利用SSS 证明△ABC≌△DEC，故此选项不
合题意；
C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D 不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题
意；
D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D 可利用ASA 证明△ABC≌△DEC，故此选
项不合题意；
故选：C．
7．在三角形中，最大的内角不小于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和等于180°，当三个角都相等时每个角等于60°，所以最大的角不
小于60°．
【解答】解：∵三角形的内角和等于180°，
180°÷3=60°，
∴最大的角不小于60°．
故选C．
8．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC 的度数为（ ）
A．40°
B．35°
C．30°
D．25°
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得
∠DAE=∠BAC，然后根据∠EAC=∠DAE﹣∠DAC 代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠B=80°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°
80°
30°=70°
﹣
﹣
，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=70°，
∴∠EAC=∠DAE﹣∠DAC，
=70°
35°
﹣
，
=35°．
故选B．
9．如图，平面直角坐标系中，已知定点A（1，0）和B（0，1），若动点C 在x 轴上运动，则使
△ABC 为等腰三角形的点C 有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
【分析】分BC=AC，BC=AB 和AB=AC 三种情况进行讨论即可得出点C 的位置，从而可得出
点C 的个数．
【解答】解：∵A（1，0）、B（0，1），
∴OA=OB=1，AB=
，
设C 点坐标为（x，0），则AC=|x
1
﹣|
当BC=AC 时，可知点C 在线段AB 的垂直平分线上，可知点C 在O 点，即此时点C 为（0，
0）；
当BC=AB 时，此时∠BCA=∠BAC=45°，可求得OC=1，此时点C 为（﹣1，0）；
当AB=AC 时，即|x
1
﹣|=
，可解得x=
+1 或x=1﹣
，此时C 点坐标为（1+
，0）或（1
﹣
，0）；
综上可知点C 的位置有4 个，
故选B．
10．在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，CE 是过C 点的一条直线，AD⊥CE 于D，BE⊥CE 于
E，DE=4cm，AD=2cm，则BE=（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm 或2cm
D．6cm
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】分为两种情况：①如图1，当CE 在△ABC 内，由题中AC=BC 可得△ACD≌△CBE，
得出对应线段CE=AD，CD=BE；②如图2，当CE 在△ABC 外．
通过全等推出CE=AD，CD=BE，由此即可解决问题．
【解答】解：分为两种情况：
①如图1，当CE 在△ABC 内．
∵AD⊥CE，∠BCA=90°，
∴∠ADC=∠BCA=90°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
在△ACD 和△CBE 中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴CE=AD=2cm，CD=BE，
BE=CD=CE+DE=2cm+4cm=6cm；
②如图2，当CE 在△ABC 外．
∵在△EBC 和△DAC 中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE=AD=2cm，BE=CD，
∴BE=CD=DE
AD=4cm
2cm=2cm
﹣
﹣
，
故答案为：6 或2．
故选C．
二、填空题（每小题3 分，共18 分）
11．三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于
180°
．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；容易得出结果．
【解答】解：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；
故答案为：三角形三个内角的和等于180°．
12．如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理
是 利用三角形的稳定性 ．
【考点】三角形的稳定性．
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形
状就不会改变．
【解答】解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．
13．已知点A（m
1
﹣，3）与点B（2，n+1）关于x 轴对称，则m+n= ﹣
1
．
【考点】关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】利用关于x 轴对称点的性质得出m，n 的值，进而求出即可．
【解答】解：∵点A（m
1
﹣，3）与点B（2，n+1）关于x 轴对称，
∴m
1=2
﹣
，n+1=
3
﹣，
解得：m=3，n=
4
﹣，
则m+n=
1
﹣．
故答案为：﹣1．
14．如图所示，在平面坐标系中B（3，1），AB=OB，∠ABO=90°，则点A 的坐标是 （
2 ，
4 ）
．
【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质．
【分析】过点A 作AC∥x 轴，过点B 作BD∥y 轴，两条直线相交于点E，根据ASA 定理得出
△ABE≌△BOD，故可得出AC 及DE 的长，由此可得出结论．
【解答】解：如图，过点A 作AC∥x 轴，过点B 作BD∥y 轴，两条直线相交于点E，
∵B（3，1），
∴OD=3，BD=1．
∵∠DOB+∠OBD=90°，∠OBD+∠ABE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠BOD=∠ABE，∠OBD=∠BAE．
在△ABE 与△BOD 中，
∵
，
∴△ABE≌△BOD（ASA），
∴AE=BD=1，BE=OD=3，
∴AC=OD
AD=3
1=2
﹣
﹣
，DE=BD+BE=1+3=4，
∴A（2，4）．
故答案为：（2，4）．
15．如图，△ABC 是边长为3 的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D 为
顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M，交AC 于点N，连接MN，则△AMN 的周长
为
6
．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】要求△AMN 的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其
它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB 至F，使BF=CN，连接DF，通过证明
△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN 的周长等于AB+AC 的长．
【解答】解：∵△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵△ABC 是边长为3 的等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
延长AB 至F，使BF=CN，连接DF，
在Rt△BDF 和Rt△CND 中，BF=CN，DB=DC
∴△BDF≌△CND
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN
∵∠MDN=60°
∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM 为公共边
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF
∴△AMN 的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．
16．如图，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为
E、F，AB=10cm，AC=6cm，则BE 的长为
2cm
．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】首先连接CD，BD，由∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，
DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得
AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接CD，BD，
∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG 是BC 的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF 和Rt△BDE 中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴BE=2cm．
故答案为：2cm．
三、解答题（本大题共有8 题，共72 分）
17．如图，在△ABD 和△FEC 中，点B，C，D，E 在同一直线上，且AB=FE，BC=DE，
∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据等式的性质得出BD=CE，再利用SAS 得出：△ABD 与△FEC 全等，进而得出
∠ADB=∠FCE．
【解答】证明：∵BC=DE，
∴BC+CD=DE+CD，
即BD=CE，
在△ABD 与△FEC 中，
，
∴△ABD≌△FEC（SAS），
∴∠ADB=∠FCE．
18．a，b 分别代表铁路和公路，点M、N 分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O 点，
使O 点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O 点位置（不写作法，保
留作图痕迹）．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】连接MN，先画出a、b 两线所组成的角的平分线，然后再画出线段MN 的中垂线．这
两条直线的交点即为所求．
【解答】解：点O 就是所求的点．
19．用一条长为20cm 的细铁丝能围成一边长为4cm 的等腰三角形吗？若能，请求出各边长；
若不能，请说明理由．
【考点】等腰三角形的判定；三角形三边关系．
【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为4cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行
讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：用一根20cm 的绳子能围成有一边长为4cm 的等腰三角形．
根据已知条件，知等腰三角形的两腰的长度是：
（20
4
﹣）÷2=8（cm）
∵4+8=12＞8；
∴用一根20cm 的绳子能围成有一边长为4cm 的等腰三角形，
各边为4，8，8．
20．已知，如图，在△ABC 中，AD，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，若∠ABC=30°，
∠ACB=50°．
（1）求∠DAE 的度数；
（2）写出∠DAE 与∠ACB﹣∠ABC 的数量关系：
∠
DAE=
（ ∠
ACB﹣
∠
ABC
）
，并证明
你的结论．
【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．
【分析】（1）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=100°，再根据角平分线与高
线的定义得到∠CAE=
∠CAB=50°，∠ADC=90°，则∠CAD=90°﹣∠C=40°，然后利用
∠DAE=∠CAE﹣∠CAD 计算即可．
（2）根据题意可以用∠B 和∠C 表示出∠CAD 和∠CAE，从而可以得到∠DAE 与∠C﹣∠B
的关系．
【解答】解：∵∠ABC=30°，∠ACB=50°，
∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=100°，
∵AD 是△ABC 角平分线，
∴∠CAE=
∠CAB=50°，
∵AE 分别是△ABC 的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°﹣∠C=40°，
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°
40°=10°
﹣
．
（2）∠DAE=
（∠ACB﹣∠ABC），
理由：∵在△ABC 中，AD，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，
∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C，∠CAD=90°﹣∠C，∠CAE=
，
∴∠DAE=
﹣（90°﹣∠C）=
（∠C﹣∠B）．
故答案为：∠DAE=
（∠ACB﹣∠ABC）．
21．如图，
（1）画出△ABC 关于Y 轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请计算△ABC 的面积；
（3）直接写出△ABC 关于X 轴对称的三角形△A2B2C2的各点坐标．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）从三角形的各点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接
即可；
（2）先求出三角形各边的长，得出这是一个直角三角形，再根据面积公式计算；
（3）利用轴对称图形的性质可得．
【解答】解：（1）如图
（2）根据勾股定理得AC=
=
，
BC=
，AB=
，
再根据勾股定理可知此三角形为直角三角形，
则s△ABC=
；
（3）根据轴对称图形的性质得：A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）．
22．如图所示，已知△ABC 中，D 为BC 上一点，E 为△ABC 外部一点，DE 交AC 于一点O，
AC=AE，AD=AB，∠BAC=∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAD=20°，求∠CDE 的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可证明．
（2）由∠BAC=∠DAE 推出∠BAD=∠CAE，再证明∠CAE=∠CDE 即可解决问题．
【解答】解：（1）证明：在△ABC 和△ADE 中，
，
∴△ABC≌ADE（SAS）．
（2）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠OAE，
∵△ABC≌ADE，
∴∠E=∠C，
∵∠OAE+∠AOE+∠E=180°，∠ODC+∠DOC+∠C=180°，∠AOE=∠DOC，
∴∠ODC=∠OAE=∠BAD=20°．
23．①如图1，△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，∠BAC=70°，求∠BOC 的度数；
②如图2，若点P 为△ABC 外部一点，PB 平分∠ABC，PC 平分外角∠ACD，先写出∠BAC 和
∠BPC 的数量关系：
∠
BPC=
∠
BAC
，并证明你的结论．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】①根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的值，再利用三
角形的内角和定理求出∠BOC 的值；
②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠P+∠PBC，根据角平分线的定义可得∠PCD=
∠ACD，∠PBC=
∠ABC，然后整
理得到∠PCD=
∠A，再代入数据计算即可得解．
【解答】解：①∵∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∴∠OBC+∠OCB=
（∠ABC+∠ACB）=
=
=55°，
∴在△BOC 中，∠BOC=180°
55°=125°
﹣
；
②∠BPC=
∠BAC．
理由：在△ABC 中，∠ACD=∠A+∠ABC，
在△PBC 中，∠PCD=∠P+∠PBC，
∵PB、PC 分别是∠ABC 和∠ACD 的平分线，
∴∠PCD=
∠ACD，∠PBC=
∠ABC，
∴∠P+∠PCB=
（∠A+∠ABC）=
∠A+
∠ABC=
∠A+∠PCB，
∴∠BPC=
∠BAC．
故答案为：∠BPC=
∠BAC．
24．如图①，平面直角坐标系XOY 中，若A（0，a）、B（b，0）且（a
4
﹣）2+
=0，以AB 为直
角边作等腰Rt△ABC，∠CAB=90°，AB=AC．
（1）求C 点坐标；
（2）如图②过C 点作CD⊥X 轴于D，连接AD，求∠ADC 的度数；
（3）如图③在（1）中，点A 在Y 轴上运动，以OA 为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交Y 轴
于F，试问A 点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请直接写
出它们的比值
2
（不需要解答过程或说明理由）．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）作CM⊥OA 于M，由非负性质求出a=4，b=1，由AAS 证明△CAM≌△ABO，得
出MC=OA=4，MA=OB=1，求出OM=OA+MA=5，即可得出C 点坐标；
（2）证出OD=OA，得出△OAD 为等腰直角三角形，得出∠ADO=45°，求出∠ADC=45°即可；
（3）作CM⊥OA 于M，同（1）得：，∴△CAM≌△ABO，得出MC=OA=a，MA=OB=b，得出C
点坐标为（a，a+b），由等腰直角三角形的性质得出AE=OA=a，得出E（﹣a，a），设直线CE 的
解析式为y=kx+c，用待定系数法求出直线CE 的解析式，求出点F 的坐标，得出OF=
，
AF=OF
OA=
﹣
，再由直角三角形的面积公式即可得出结果．
【解答】解：（1）作CM⊥OA 于M，如图①所示：
则∠CMA=∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°，
∵（a
4
﹣）2+
=0，
∴a
4=0
﹣
，b
1=0
﹣
，
∴a=4，b=1，
∴OA=4，OB=1，
∵∠CAB=90°，
∴∠OAB+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠ABO，
在△CAM 和△ABO 中，
，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴MC=OA=4，MA=OB=1，
∴OM=OA+MA=5，
∴C 点坐标为（4，5）；
（2）∵CD⊥x 轴，∴D（4，0），
∴OD=OA，
∴△OAD 为等腰直角三角形，
∴∠ADO=45°，
∴∠ADC=90°
45°=45°
﹣
；
（3）A 点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值不会发生变化，S△AOB：S△AEF=2；理由如下：
作CM⊥OA 于M，如图③所示：
同（1）得：△CAM≌△ABO，
∴MC=OA=a，MA=OB=b，
∴C 点坐标为（a，a+b），
∵△OAE 是等腰直角三角形，
∴AE=OA=a，
∴E（﹣a，a），
设直线CE 的解析式为y=kx+c，
把点C 和E 的坐标代入得：
，
解得：
，
当x=0 时，y=
，
∴F（0，
），
∴OF=
，
∴AF=OF
OA=
﹣
，
∵S△AOB=
ab，
S△AEF=
a×
b=
ab，
∴S△AOB：S△AEF=2：1=2，即S△AOB：S△AEF的值是定值，不会发生变化；
故答案为：2．
