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数据的表示——知识讲解
【学习目标】
1.理解扇形统计图的特点，会制作扇形统计图，并能从中获取信息；
2.了解频数等概念，会画频数分布直方图，理解频数分布直方图的意义和作用；
3.理解三种统计图各自的特点，并能根据不同问题选择适当的统计图描述数据.
【要点梳理】
要点一、组距、频数与频数分布表的概念
1．组距：每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）．
2．频数：落在各小组内数据的个数．
3．频数分布表：把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来，所得表格就是频数分布
表．
要点诠释：
（1）求频数分布表的一般步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；③确定分点；
④列频数分布表；
（2）频数之和等于样本容量．
（3）频数分布表能清楚、确切地反映一组数据的大小分布情况，将一批数据分组，一般数据越
多，分的组也越多，当数据在100 个以内时，按数据的多少，常分成5～12 组，在分组时，要灵
活确定组距，使所分组数合适，一般组数为最大值-最小值
组距
的整数部分+1．
要点二、频数分布直方图
1.频数分布直方图：是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，直方图
由横轴、纵轴、条形图三部分组成．
(1)横轴：直方图的横轴表示分组的情况(数据分组)；
(2)纵轴：直方图的纵轴表示频数；
(3)条形图：直方图的主体部分是条形图，每一条是立于横轴之上的一个长方形、底边长
是这个组的组距，高为频数．
2.作频数直方图的步骤：
(1)计算最大值与最小值的差；
(2)决定组距与组数；
(3)列频数分布表；
(4)画频数分布直方图．
要点诠释：
(1)频数分布直方图简称直方图，它是条形统计图的一种．
(2)频数分布直方图用小长方形的面积来表示各组的频数分布，对于等距分组的数据，可以
用小长方形的高直接表示频数的分布．
3.直方图和条形图的联系与区别：
（1）联系：它们都是用矩形来表示数据分布情况的；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高
来表示数据分布情况的；
（2）区别：由于分组数据具有连续性，直方图中各矩形之间通常是连续排列，中间没有空隙，
而条形图中各矩形是分开排列，中间有一定的间隔；直方图是用面积表示各组频数的多少，
而条形图是用矩形的高表示频数.
要点三、统计图的选择
统计图：利用“条形图”、“扇形图”、“折线图”描述数据，这样做的最大优点是将表
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格中的数据所呈现出来的信息直观化．
要点诠释：
（1）条形统计图：用线段长度表示数据，根据数据的多少画成长短不同的长方形直条，然后
按顺序把这些直条排列起来，条形统计图很容易看出数据的大小，便于比较，但不能清楚地
反映各部分占总体的百分比．
（2）扇形统计图：用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量，从扇形上可
清楚地看出各部分量和总数量之间的关系，但不能直接表示出各个项目的具体数据．
（3）折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点
用线段依次连接起来，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增
减变化情况，但不能清楚地反映数据的分布情况．
【典型例题】
类型一、组距、频数与频数分布表的概念
1. (1)对某班50 名学生的数学成绩进行统计，90～99 分的人数有10 名，这一分数段
的频数为_____．
(2)有60 个数据，其中最小值为140，最大值为186，若取组距为5，则应该分的组数是
________．
【答案】(1)10 (2)10.
【解析】
解：(1)利用频数的定义进行分析；(2)利用组数的计算方法求解．
【总结升华】组数的确定方法是，设数据总数目为n，一般地，当n≤50 时，则分为5～8 组；当
50≤n<100．则分为8～12 组较为合适，组数等于最大值与最小值的差除以组距所得商的整
数部分加1．
举一反三：
【变式】有一个样本容量为20 的样本，其数据如下：29，42，58，37，53，52，49，24，37，45，42，
55，40，38，50，26，54，26，44，32．根据以上数据填写下表：
分组
频数累计
频数
频率
21～30
31～40
41～50
51～60
合计1
【答案】
解：如下表：
分组
频数累计
频数
频率
21～30
4
0.20
31～40
正
5
0.25
41～50
正一
6
0.30
51～60
正
5
0.25
合计1
20
1.00
类型二、频数分布表或频数直方图
2.某地区对其所属中学八年级的英语教学情况进行期末质量调查，从中抽出的20 个班
级的英语期末平均成绩如下(单位：分)：
80 81 83 79 64 76 80 66 70 72
71 68 69 78 67 80 68 72 70 65
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试列出频数分布表并绘出频数分布直方图．
【思路点拨】按照作直方图的四个步骤进行解答．解答时，应注意每个步骤中需要注意的事项．
【答案与解析】
解：(1)计算最大值与最小值的差：83－64＝19(分)．
(2)决定组距与组数：
若取组距为4 分，则有19
4 ≈5，所以组数为5．
(3)列频数分布表：
(4)画出频数分布直方图．如图所示．
【总结升华】按步骤进行操作．因选取的组距不同，所列的频数分布表及直方图也不一样，在
统计时，数据不能出现重复或遗漏的现象．
举一反三：
【变式】如图是某校九年级部分男生做俯卧撑的成绩（次数）进行整理后，分成五组，画出的频
率分布直方图，已知从左到右前4 个小组的频率分别是0.05，0.15，0.25，0.30，第五小组的
频数为25，若合格成绩为20,那么此次统计的样本容量和本次测试的合格率分别是（ ）．
A．100，55% B．100，80% C．75，55% D．75，80%
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【答案】B.
类型三、统计图的选择
3.某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分
学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数
据，绘制成如下统计图（不完整）
请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）在这次问卷调查中，一共抽查了 名学生；
（2）请将上面两幅统计图补充完整；
（3）在图1 中，“踢毽”部分所对应的圆心角为 度；
（4）如果全校有1860 名学生，请问全校学生中，最喜欢“球类”活动的学生约有多少人？
【思路点拨】找好扇形统计图和条形统计图之间的对应关系.
【答案】（1）200； （2）如图； （3）54； （4）744
【解析】
解：（1）8040％=200（人）
（2）如图：
（3）360°15％=54°
（4）186040％=744（人）
【总结升华】条形统计图能反映出各部分数量的大小，而扇形统计图能反映出各部分占总体
的比例大小，两者结合，则此类题容易求解.
举一反三：
【变式1】某校为了了解该校初二年级学生阅读课外书籍的情况，随机抽取了该年级的部分学
生，对他们某月阅读课外书籍的情况进行了调查，并根据调查的结果绘制了如下的统计图表．
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请你根据以上信息解答下列问题：
（1）这次共调查了学生多少人？E 组人数在这次调查中所占的百分比是多少？
（2）求出表1 中a 的值，并补全图1；
（3）若该年级共有学生300 人，请你估计该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少于
12 小时的学生约有多少人．
【答案】
解：（1）这次共调查了学生50 人，E 组人数在这次调查中所占的百分比是8 ％.
（2）表1 中a 的值是15，补全如图．
（3）54 人．
【变式2】我市某化工厂从2008 年开始节能减排，控制二氧化硫的排放．图③，图④分别是该
厂2008-2011 年二氧化硫排放量（单位：吨）的两幅不完整的统计图，根据图中信息回答下列
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问题．
（1）该厂2008-2011 年二氧化硫排放总量是
吨；这四年平均每年二氧化硫排放量是
吨．
（2）把图中折线图补充完整．
（3）2008 年二氧化硫的排放量对应扇形的圆心角是
度，2011 年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比是 ．
【答案】（1）100，25.（2）略.（3）144，10%.
类型四、综合应用
4.低碳发展是今年深圳市政府工作报告提出的发展理念，近期，某区与某技术支持单
位合作，组织策划了该区“低碳先锋行动”，开展低碳测量和排行活动，根据调查数据制作
了频数分布直方图(每组均含最小值，不含有最大值)和扇形统计图，下图中从左到右各长方
形的高度之比为2:8:9:7:3:1．
(1)已知碳排放值5≤x＜7(千克/平方米·月)的单位有16 个，则此次行动共调查了
________个单位；
(2)在图②中，碳排放值5≤x＜7(千克/平方米·月)部分的圆心角为_________度；
(3)小明把图②中碳排放值1≤x＜2 的都看成1.5，碳排放值2≤x＜3 的都看成2.5，依此类
推，若每个被检查单位的建筑面积均为10000 平方米，则按小明的办法，可估算碳排放值
x≥4(千克/平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值约为________吨．
【思路点拨】
(1)先算出碳排放值在5≤x＜7 范围内所对应的比例，再求一共调查了多少个单位；
(2)由碳排放值在5≤x＜7 范围内所占的比例，可计算出圆心角度数；
(3)先计算碳排放值4≤x＜5 的单位、碳排放值5≤x＜6 的单位，碳排放值6≤x＜7 的单位个
数，再算出碳排放值x≥4(千克/平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值．
【答案与解析】
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解：(1)16÷ 4
30 ＝120(个)，故答案为120；
(2)4÷30×360°＝48°，故答案为48；
(3)碳排放值x≥4(千克／平方米·月)的被检单位是第4，5，6 组，分别有28 个、12 个、
4 个单位，10000×(28×4.5+12×5.5+4×6.5)÷1000＝10×(126+66+26)＝2180(吨)．
所以，碳排放值x≥4(千克／平方米·月)的被检单位一个月的碳排放总值约为2180 吨．
【总结升华】解答本题的关键是将直方图提供的信息转化为频数分布表．这种“转化”过程
对解题大有帮助，值得学习和借鉴．
举一反三：
【变式】2011 年5 月9 日至14 日，德州市订共有35000 余名学生参加中考体育测试，为了了
解九年级男生立定跳远的成绩，从某校随机抽取了50 名男生的测试成绩，根据测试评分标
准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格(分别用A、B、C、D 表示)四个等级进行统计，并
绘制成下面的扇形图和统计表：
请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
(1)m＝________，n＝________，x＝________，y＝________；
(2)在扇形图中，C 等级所对应的圆心角是________度；
(3)如果该校九年级共有500 名男生参加了立定跳远测试，那么请你估计这些男生成绩
等级达到优秀和良好的共有多少人?
【答案】
解：(1)20，8，0．4，0.16； (2)57.6；
(3)由上表可知达到优秀和良好的共有19+20＝39(人)，500× 39
390
50
(人)．
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