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有理数与无理数 知识讲解
责编:杜少波
【学习目标】
1、理解有理数的意义，知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念．
2、会判断一个数是有理数还是无理数．
【要点梳理】
要点一、有理数
我们把能够写成分数形式
（m,n 是整数，n≠0）的数叫做有理数．
要点诠释：（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数．
（2）所有整数都可以写成分母是1 的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有
理数．
要点二、无理数
1．定义：
无限不循环小数叫做无理数．
要点诠释：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能
表示成分数的形式．
（2）目前常见的无理数有两种形式：①含
类．②看似循环而实质不循环的数，
如：1.313113111……．
2．有理数与无理数的区别
（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
（2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能．
要点三、循环小数化分数
1．定义：
如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复
出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字
叫做它的一个循环节．
2． 纯循环小数
从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、
．．纯
循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9
的个数等于一个循环节的位数．
例如
，
．
3． 混循环小数
如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混
循环小数．例如：
、0．3456456…． 混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和
一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循
环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0 组成的数．
例如
，
，
．
要点诠释：（1）任何一个循环小数都可化为分数．
（2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．
【典型例题】
类型一、有理数
1．下列说法正确的是（ ）
A．整数就是正整数和负整数 B．分数包括正分数、负分数
C．正有理数和负有理数统称有理数 D．无限小数叫做无理数
【答案】B
【解析】A 选项整数包括正整数、负整数和0；C 选项正有理数、负有理数和0 统称有理数； D
选项无限不循环小数才叫做无理数，所以选B．
【总结升华】概念问题同学们往往忽略0 的存在而模糊分类的界限，只有对定义达到真正的
理解认识才不会出错．
举一反三：
【变式1】下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②有理数包括正有理数和负有理数；
③分数可分为正分数和负分数；④存在最大的负整数；⑤不存在最小的正有理数．其中正确
的个数是（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】C
【变式2】（2015•杭州模拟）
是（ ）
A．整数 B．有限小数 C．无限循环小数 D．无限不循环小数
【答案】C
2．在实数
，
，0，
，
，﹣1.414，有理数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【思路点拨】根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案．
【答案】D
【解析】
解：
，0，
，﹣1.414，是有理数，
【总结升华】本题考查了有理数，有理数是有限小数或无限循环小数．
类型二、无理数
3．（2016•盐城）下列实数中，是无理数的为（ ）
A．﹣4 B．0.101001
C．
D．
【思路点拨】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无
理数．由此即可判定选择项．
【答案】D
【解析】解：A、﹣4 是整数，是有理数，故本选项不符合题意；
B、0.101001 是小数，属于分数，故本选项不符合题意；
C、
是小数，属于分数，故本选项不符合题意；
D、
是无理数，正确；
故选D．
【总结升华】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开
方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
举一反三：
【变式】以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25 的正方形； B.面积为16 的正方形；
C.面积为8 的正方形； D.面积为1．44 的正方形．
【答案】C
4．将下列各数填入相应的括号内
，-2，
，3．020020002…，0，
，-（-2），2012，-
整数集合：
分数集合：
负有理数集合：
无理数集合：
【答案与解析】
整数集合：
-2， 0，-（-2），2012
分数集合：
，
，-
负有理数集合：
-2，
，-
无理数集合：
，3．020020002…，
【总结升华】本题考查了对有理数的有关概念的理解和应用，关键是能区分有关定义，注意：
整数包括正整数、0、负整数；有理数包括正有理数、0、负有理数；无理数是指无限不循环小数．
类型三、循环小数化分数
5．把下列循环小数化分数
【思路点拨】按循环小数化分数的规律方法化即可．
【答案与解析】
（1）
（2）
，所以
（3）
（4）
【总结升华】循环小数化分数时，整数部分不动，在掌握两种化简规律的基础上把小数部分进
行相应的化简即可．
举一反三：
【变式】在6.4040…、3.333、9．505 三个数中， 是循环小数，把这个数化为分数可以
写作 ．
【答案】6.4040…；
