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用字母表示数及整式（提高）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；
2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值；
3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数；
4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系.
【要点梳理】
要点一、字母表示数
用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更
具有普遍意义了．举例：如果用a、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示
为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba
要点二、代数式
1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，2
n
，
2)
(
b
a
等式子，它们都是用运算符号把数和
字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.
要点诠释：
带等号或不等号的式子不是代数式，如3
3
x
，3
3
x
，3
3
x
等都不是代数式.
2.列代数式：
在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数
式，使问题变得简洁，更具一般性．
要点诠释：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形
式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写.
3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得
出的结果，叫做代数式的值.
要点三、整式
1.单项式
（1）单项式的定义：如
2
2xy
，1
3 mn ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，
单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如5
m
就不是单项式，因为
它无法写成数字与字母的乘积．
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点诠释：
①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数．
②圆周率π 是常数，单项式中出现π 时，应看作系数．
③当一个单项式的系数是1 或-1 时，“1”通常省略不写．
④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：
2
1
14 x y 写成
2
5
4 x y ．
（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏．
2．多项式
(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．
要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．
(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点诠释：
①多项式的每一项包括它前面的符号．
②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：
2
6
2
7
x
x
是一个三项式．
(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点诠释：
①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫
做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把
多项式按这个字母升幂排列．
如:多项式2x3y2-xy3+ 2
1
x2y4-5x4-6 是六次五项式,按x 的降幂排列为
-5x4+2x3y2+ 2
1
x2y4-xy3-6,在这里只考虑x 的指数,而不考虑其它字母;按y 的升幂排列
为-6-5x4+2x3y2-xy3+ 2
1
x2y4．
要点诠释：
①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；
②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．
3.整式：单项式与多项式统称为整式．
要点诠释：
（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是
代数式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．
【典型例题】
类型一、字母表示数
1．填空：
(1)某商场将一种商品A 按标价的9 折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A 的标
价为a 元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．
（2）有a 名男生和b 名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40 块，女生每
人搬了30 块．这a 名男生和b 名女生一共搬了 块砖（用含a．b 的代数式表示）．
【思路点拨】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.
【答案】(1) 90%
10% 1
a
；(2)（40a+30b）
【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打
折”等问题，打几折就是标价的十分之几．
【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：
(1)利润＝售价－进价; (2)利润率＝
-
售价进价
进价
．
举一反三：
【变式】（2015•自贡）为庆祝战胜利70 周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a 元/米2
的商品房价降价10%销售，降价后的销售价为（ ）
A．a﹣10%
B．a•10%
C．a（1﹣10%）
D．a（1+10%）
【答案】C．
类型二、代数式
2．为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140 度，按每度0.43
元收费；如果超过140 度，超过部分按每度0.57 元收费．
（1）若某用户10 月份用去a 度电，则他应缴多少电费？
（2）若该用户11 月份用了150 度电，则该缴多少电费？
【思路点拨】当a﹥140，应付费用分为两部分，一部分为0.43×140 元，
另一部分为0.57×（a-140）元.
【答案与解析】
解：（1）当a≤140 时，电费为0.43a 元；
当a＞140 时，电费为：0.43 140
0.57 (
140)
(0.57
19.6)
a
a
元.
（2）因为用电量为150 度，大于140 度，
因此把a＝150 代入代数式0.57
19.6
a
，得
0.57 150 19.6
65.9
（元）.
因此，该缴电费65.9 元.
【总结升华】根据a 的不同取值，分别对应不同的代数式．
举一反三：
【变式1】一个堤坝的截面是等腰梯形，最上面一层铺石块a 块，往下每层多铺一块，最下面一
层铺了b 块，共铺了n 层，共铺石块 块？当a＝20，b＝40，n＝17 时，堤坝的这个截面
铺石块 块？
【答案】1
2 （a＋b）n，510 块.
【变式2】代数式1
2 （a＋b）n 的意义.
【答案】答案不唯一，举一例：设某两数为a
b
、
，则
(
)
a
b n
1
2
表示“这两个数平均数的n 倍.
类型三、整式
3．（2015•杭州模拟）整式﹣0.3x2y，0，
，
，
，﹣2a2b3c 中是单项式
的个数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C．
【解析】
解：整式﹣0.3x2y，0，
，
，
，﹣2a2b3c 中，
单项式有：﹣0.3x2y，0，
，﹣2a2b3c，共4 个．
【总结升华】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母
也是单项式，即可得出答案．
举一反三：
【高清课堂：整式的概念 例1】
【变式】下列代数式：
3
2
2
3
3
2
1
1
1;
;
;
;
2
;
-2
3
2
a
x
y
ab
x
x y
x y
y
x
①
②
③
④
⑤
⑥
，其
中单项式是_______________，多项式是_______________.
【答案】①②③，④⑥
4．已知多项式
3
2
3
1
2
2
4
6
7
5
3
m
x
xy
x
y
y
x y
．
(1)求多项式各项的系数和次数．
(2)如果多项式是七次五项式，求m 的值．
【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项
2
6xy
的系数是-6，次数是3；第二项
3
1
2
7
m
x
y
的系数是-7，次数是3m+1；第三项
3
4
3 x y 的系数是4
3 ，次数是4；第四项
2x y
系
数是-l，次数3；第五项-5 系数是-5，次数是0．
(2)由多项式是七次五项式，可得
3
1
2
7
m
x
y
的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2．
【总结升华】对于单项式
3
1
2
7
m
x
y
的次数为3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用
字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．
举一反三：
【高清课堂：整式的概念 ------练习题---3】
【变式】多项式
3
4
b
a
x
x
x
b
是关于x 的二次三项式，求a 与b 的差的相反数．
【答案】
4
0
4
2
2
4
2
2.
a
a
b
b
a
b
解：由题意得
5．（2016•延庆县一模）已知：x2﹣5x=6，请你求出代数式10x﹣2x2+5 的值．
【思路点拨】先把10x﹣2x2+5 变形为﹣2（x2﹣5x）+5，然后把x2﹣5x=6 整体代入进行计算即
可．
【答案与解析】
解：10x﹣2x2+5
=﹣2（x2﹣5x）+5，
∵x2﹣5x=6，
∴原式=﹣2×6+5=﹣12+5=﹣7．
【总结升华】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入
进行求值．
