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第4 节 随机事件、频率与概率
考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，理解概率的意义以
及频率与概率的区别. 2.理解事件间的关系与运算.
【知识梳理】
1.样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E 的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω 表示.
全体样本点的集合称为试验E 的样本空间，常用Ω 表示.
②有限样本空间：如果一个随机试验有n 个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样
本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω 的子集称为随机事件，简称事件.
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.
2.事件的关系
定义
表示法
图示
包含
关系
若事件A 发生，事件B 一定发生，称事
件B 包含事件A(或事件A 包含于事件B)
B ⊇ A (或A⊆B)
互斥
事件
如果事件A 与事件B 不能同时发生，称
事件A 与事件B 互斥(或互不相容)
若
A∩B
＝
∅，则A 与B
互斥
对立
事件
如果事件A 和事件B 在任何一次试验中
有且仅有一个发生，称事件A 与事件B
互为对立，事件A 的对立事件记为A
若
A∩B
＝
∅，且A∪B
＝Ω，则A 与
B 对立
3.事件的运算
定义
表示法
图示
并事件
事件A 与事件B 至少有一个发生，称这
个事件为事件A 与事件B 的并事件(或和
A ∪
B (或A＋B)
事件)
交事件
事件A 与事件B 同时发生，称这样一个
事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事
件)
A ∩
B (或AB)
4.概率与频率
(1)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩
小，即事件A 发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A 发生的概率
P ( A ) .我们称频率
的这个性质为频率的稳定性.
(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A).
[常用结论与微点提醒]
1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A 的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组
成的集合的补集.
2.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，
即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.( )
(3)若随机事件A 发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.( )
(4)6 张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中
奖的概率.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
解析 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故(1)错误.(4)中，
甲中奖的概率与乙中奖的概率相同.
2.(必修二P235T1 改编)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次
中靶”互为对立的是( )
A.至多一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都没有中靶
答案 D
解析 连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶；②只有一次中靶；③两次
都没有中靶，故选D.
3.(必修二P235T2 改编)掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1 或3”为事件
A，“向上的点数是1 或5”为事件B，则( )
A.A∪B 表示向上的点数是1 或3 或5
B.A＝B
C.A∪B 表示向上的点数是1 或3
D.A∩B 表示向上的点数是1 或5
答案 A
解析 设A＝{1，3}，B＝{1，5}，
则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，5}，
∴A≠B，A∩B 表示向上的点数是1，A∪B 表示向上的点数为1 或3 或5.
4.(必修二P257T1 改编)把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000 次，其中有496 次
正面向上，504 次反面向上，则掷一次硬币正面向上的概率为________.
答案 0.5
解析 掷一次硬币正面向上的概率为0.5.
考点一 随机事件与样本空间
例1 (1)在1，2，3，…，10 这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三
个数字的和大于5”这一事件是________.(填“必然事件”或“不可能事件”)
答案 必然事件
解析 从1，2，3，…，10 这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字
和的最小值为1＋2＋3＝6，
∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，
∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件.
(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3 次，每
次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
答案 D
解析 因为是有放回地随机摸3 次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，
红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，
(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}.共8 个.
感悟提升 确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件.
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等
的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.
训练1 (1)下列说法错误的是( )
A.任一事件的概率总在[0，1]内
B.不可能事件的概率一定为0
C.必然事件的概率一定为1
D.概率是随机的，在试验前不能确定
答案 D
解析 任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率
为1，概率是客观存在的，是一个确定值.
(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A 为“所得点数之和小
于5”，则事件A 包含的样本点的个数是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
答案 D
解析 事件A 包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6 个样本
点.
考点二 事件的关系与运算
例2 (1)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不
对立的两个事件的是( )
A.至少有一个红球；至少有一个白球
B.恰有一个红球；都是白球
C.至少有一个红球；都是白球
D.至多有一个红球；都是红球
答案 B
解析 对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个
白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；
对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，
而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；
对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对
立事件；
对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事
件.
(2)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两
弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，
事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是( )
A.A∩D＝
B.B∩D＝
C.A∪C＝D
D.A∪B＝B∪D
答案 BC
解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚
击中，
“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都
击中，
故A∩D≠，B∩D＝，A∪C＝D，A∪B≠B∪D.
感悟提升 1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发
生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立
的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥
事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一
定是互斥事件.
训练2 (1)(多选)口袋里装有1 红，2 白，3 黄共6 个除颜色外完全相同的小球，
从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少
有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不
同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是( )
A.A 与D 为对立事件
B.B 与C 是互斥事件
C.C 与E 是对立事件D.P(C∪E)＝1
答案 AD
解析 当取出的两个球为一黄一白时，B 与C 都发生，B 不正确；
当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C 与E 都发生，C 不正确；
显然A 与D 是对立事件，A 正确；
C∪E 为必然事件，P(C∪E)＝1，D 正确.
(2)(多选)下列说法正确的是( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A，B 为两个互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C.若事件A，B，C 两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D.若事件A，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B 互为对立事件
答案 AB
解析 对于C，概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一
定是必然事件，错误；
对于D，对立事件和的概率公式逆用不正确，例如两种没有联系的事件，概率和
满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B 不对立，故D 错误.
考点三 频率与概率
例3 如图，A 地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100 位从A 地到达
火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40 分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40 分钟和50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能
在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.
解 (1)由已知共调查了100 人，其中40 分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16
＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为p＝＝0.44.
(2)选择L1的有60 人，选择L2的有40 人，
故由调查结果得频率为
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40 分钟内赶到火车站；B1，B2分别表
示乙选择L1和L2时，在50 分钟内赶到火车站.
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.
感悟提升 1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率
是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频
率来作为随机事件概率的估计值.
2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率
会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
训练3 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，
售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完.根
据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低
于25 ℃，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300 瓶；
如果最高气温低于20 ℃，需求量为200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了
前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，
35)
[35，
40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的
进货量为450 瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率.
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由
表中数据可知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450 瓶时，
若最高气温低于20 ℃，
则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20，25)，
则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25 ℃，
则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y 的所有可能值为－100，300，900.
Y 大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，
由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8.
因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.
【A 级 基础巩固】
1.下列事件中不可能事件或必然事件的个数是( )
①2025 年8 月18 日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4 ℃时结冰；
③从标有1，2，3，4 的4 张号签中任取一张，恰为1 号签；
④x∈R，则|x|的值不小于0.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 B
解析 ①为随机事件，②为不可能事件，③为随机事件，④为必然事件.
2.(2024·三明调研)一个不透明的袋子中装有8 个红球、2 个白球，除颜色外，球
的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3 个球.下列事件为不可能
事件的是( )
A.3 个都是白球
B.3 个都是红球
C.至少1 个红球
D.至多2 个白球
答案 A
解析 从8 个红球、2 个白球中采用不放回的方式从中摸出3 个白球，不可能发
生，故选A.
3.(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都
中靶”，则下列结论正确的是( )
A.A⊆B
B.A∩B＝∅
C.A∪B＝“至少一次中靶”
D.A 与B 互为对立事件
答案 BC
解析 事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B 是互斥但
不是对立事件，所以A，D 错误，B 正确；
A∪B＝“至少一次中靶”，C 正确.
4.已知随机事件A 和B 互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P(A)＝( )
A.0.5
B.0.1
C.0.7
D.0.8
答案 A
解析 ∵随机事件A 和B 互斥，且
P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，
∴P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，
∴P(A)＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5.
5.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1 或2”为事件A，“向上的点数是2 或3”为
事件B，则( )
A.A⊆B
B.A＝B
C.A＋B 表示向上的点数是1 或2 或3
D.AB 表示向上的点数是1 或2 或3
答案 C
解析 由题意，可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，则AB＝{2}，A＋B＝{1，2，3}，
∴A＋B 表示向上的点数是1 或2 或3.
6.(多选) 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2 张，一次任意取出2 张
卡片，则与事件“2 张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A.2 张卡片不全为红色
B.2 张卡片中恰有一张为红色
C.2 张卡片中至少有一张红色
D.2 张卡片都为绿色
答案 BD
解析 C 中“2 张卡片中至少一张为红色”包含事件“2 张卡片都为红色”，二
者并非互斥；
A 中“2 张卡片不全为红色”与“2 张卡片都为红色”是对立事件.B，D 正确.
7.(多选)(2024·太原段考)下列说法正确的是( )
A.若事件A 与B 互斥，则A∪B 是必然事件
B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大
名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼
梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E 与F 是互斥但不对立事件
C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件
B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A
D.10 个产品中有2 个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2 个
样本点
答案 BCD
解析 对于A，事件A 与B 互斥时，A∪B 不一定是必然事件，故A 错误；
对于B，事件E 与F 不会同时发生，所以E 与F 是互斥事件，但除了事件E 与F
之外还有“丙取到《红楼梦》”“丁取到《红楼梦》”，所以E 与F 不是对立
事件，故E 与F 是互斥但不对立事件，故B 正确；
对于C，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，
所以B 包含于A，故C 正确；
对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2 个样本点，故D 正确.
8.笼子中有4 只鸡和3 只兔，依次取出一只，直到3 只兔全部取出，记录剩下动
物的脚数.则该试验的样本空间Ω＝________.
答案 {0，2，4，6，8}
解析 最少需要取3 次，最多需要取7 次，
那么剩余鸡的只数最多4 只，最少0 只，
所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.
9.某城市2024 年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50 时，空气质量为优；50＜T≤100 时，空气质量为良；100＜
T≤150 时，空气质量为轻微污染，则该城市2024 年空气质量达到良或优的概率
为________.
答案
解析 由题意可知2024 年空气质量达到良或优的概率P＝＋＋＝.
10.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300 双，商场经理为考察其中各种尺码
皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40 双皮鞋的尺码为一个样本，分为5 组，
已知第3 组的频率为0.25，第1，2，4 组的频数分别为6，7，9.若第5 组表示的
是尺码为40～42 的皮鞋，则售出的这300 双皮鞋中尺码为40～42 的皮鞋约为
________双.
答案 60
解析 ∵第1，2，4 组的频数分别为6，7，9，
∴第1，2，4 组的频率分别为
＝0.15，＝0.175，＝0.225.
∵第3 组的频率为0.25，
∴第5 组的频率是
1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，
∴售出的这300 双皮鞋中尺码为40～42 的皮鞋约为0.2×300＝60(双).
11.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续
保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的
160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知，一年内出险次数小于2 的频率为＝0.55，
故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1 且小于4.
由所给数据知，一年内出险次数大于1 且小于4 的频率为＝0.3，
故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200 名续保人的平均保费为
0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05
＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
12.(2024·荆州调考)在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子2 次，观察
每次掷出的点数”中，事件A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件
Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的
点数为j”，事件B 表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，事件C 表示随
机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”.
(1)试用样本点表示事件A∩B 与A∪B；
(2)试判断事件A 与事件B，事件A 与事件C，事件B 与事件C 是不是互斥事件；
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
解 由题意可知试验E 的样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，
(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，
3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，
4)，(6，5)，(6，6)}.
(1)因为事件A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，所以满足条件的样本点
有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6).
因为事件B 表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，所以满足条件的样本点
有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1).
所以A∩B＝{(1，5)}，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，
6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
(2)因为事件C 表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝
{(1，4)，(2，5)，(3，6)}.
因为A∩B＝{(1，5)}≠，A∩C＝{(1，4)}≠，B∩C＝，所以事件A 与事件
B，事件A 与事件C 不是互斥事件，事件B 与事件C 是互斥事件.
(3)因为事件Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第
二次掷出的点数为j”，
所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，
A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}，
所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
【B 级 能力提升】
13.(多选)(2024·昆明诊断)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)
随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：
所需时间(分钟)
30
40
50
60
线路一
0.5
0.2
0.2
0.1
线路二
0.3
0.5
0.1
0.1
则下列说法正确的是( )
A.任选一条线路，“所需时间小于50 分钟”与“所需时间为60 分钟”是对立事
件
B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C.如果要求在45 分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100 分钟的概率为0.08
答案 BD
解析 “所需时间小于50 分钟”与“所需时间为60 分钟”是互斥而不对立事件，
A 错误；
线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路
二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以B 正
确；
线路一所需时间小于45 分钟概率为0.7，线路二所需时间小于45 分钟概率为
0.8，小张应选线路二，故C 错误；
所需时间之和大于100 分钟则线路一，线路二的时间可以为(上班线路一50，下
班线路二60)，(上班线路一60，下班线路二60)，(上班线路一60，下班线路二
50)，(上班线路二60，下班线路一50)，(上班线路二60，下班线路一60)，(上班
线路二50，下班线路一60)，共6 种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1
＋0.1×0.2＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.08，故D 正确.
14.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦·时)与该河
上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关.据统计，当X＝70 时，Y＝460；X 每
增加10，Y 增加5.已知近20 年X 的值为140，110，160，70，200，160，140，
160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20 年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率
视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦·时)或超过
530(万千瓦·时)的概率.
解 (1)在所给数据中，降雨量为110 毫米的有3 个，降雨量为160 毫米的有7 个，
降雨量为200 毫米的有3 个.
故近20 年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)根据题意，Y＝460＋×5＝＋425，
故P(“发电量低于490 万千瓦·时或超过530 万千瓦·时”)＝P(Y＜490 或Y＞530)
＝P(X＜130 或X＞210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝＋＋＝.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦·时)或超过530(万千瓦·时)
的概率为.
