随机变量及其分布单元复习（提高卷2）
一：单项选择题：本题共8 小题，每小题满分5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
选对得5 分，选错得0 分．
1.已知P(B)>0，A1 A2= ϕ，则下列式子成立的是（ ）
①P¿； ②P¿；
③P¿ ④P¿.
A．①②③④
B．②
C．②③
D．②④
2.一袋中装有4 个白球和2 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若
为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则P(X ≤2)=（ ）
A．4
5
B．2
5
C．1
5
D．3
5
3.现随机安排甲、乙等4 位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一
位同学参加，事件A =“甲参加跳高比赛”，事件B =“乙参加跳高比赛”，事件C =“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A 与B 相互独立
B．事件A 与C 为互斥事件
C．P(C|A)= 5
12
D．P( B|A)= 1
9
4.现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某
物理量做n 次测量，最后结果的误差X n∼N(0, 2
n)
，则为使|X n|≥1
4
的概率控制在0.0456 以下，至少要测量的次数
为（ ）
A．32
B．64
C．128
D．256
5.已知随机变量ξ的分布列为：
ξ
x
y
P
y
x
则下列说法正确的是（ ）
A．存在x，y ∈(0,1)，E(ξ)>1
2
B．对任意x，y ∈(0,1)，E(ξ)≤1
4
C．对任意x，y ∈(0,1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在x，y ∈(0,1)，D(ξ)>1
4
6.某人在n次射击中击中目标的次数为X，X ∼B (n, p)，其中n∈N
∗,0< p<1，击中奇数次为事件A，则（ ）
A．若n=10, p=0.8，则P(X =k )取最大值时k =9 B．当p= 1
2
时，D (X )取得最小值
C．当0< p< 1
2
时，P( A)随着n的增大而增大 D．当1
2 < p<1时，P( A )随着n的增大而减小
7.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出
n(1≤n≤6,n∈N
∗)个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着
n(1≤n≤6,n∈N
∗)的增加，下列说法正确的是（ ）
A．Eξ增加，Dξ增加
B．Eξ增加，Dξ减小
C．Eξ减小，Dξ增加
D．Eξ减小，Dξ减小
8.李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3 个小球a和3
个小球b，当发生有效碰撞时，a，b上的计数器分别增加2 计数和1 计数，a，b球两两发生有效碰撞的概率均为1
2
，
现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三个球
里，小球a个数的期望是（ ）个
A．1.2
B．1.6
C．1.8
D．2
二：多项选择题：本题共4 小题，每小题满分5 分，共20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分．
9．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义
卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A 为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B 为“只有甲同学
一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）
A．四名同学的报名情况共有
种 B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有72 种
C．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D．
10．国庆节期间某高校学生会联合校团委举行国学知识有奖问答活动，活动一共有两关，以小组为单位参加，每小组
3 人.第一关每小组的3 个人分别回答问题，过关者才能参加第二关活动，第二关由每小组第一关的过关者共同回答问
题，若第二关该小组回答问题过关，可获得500 元奖励.已知甲､乙､丙3 人为一组，甲､乙､丙各自过第一关的概率分别
为
，若该小组第一关仅1 人过关，该小组过第二关的概率为
；若该小组第一关有2 人过关，该小组过第二关
的概率为
；若该小组第一关有3 人过关，该小组过第二关的概率为
，则（ ）
A．甲､乙､丙3 人至少有1 人在第一关过关的概率为
B．若甲､乙､丙3 人至少有1 人在第一关过关，则甲在第一关过关的概率为
C．设甲､乙､丙这一组进入第二关的人数为
，则
D．甲､乙､丙这一组获得500 元奖励的概率为
11．已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正
整数的随机变量
，根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数
，寿命恰好为
的植物在所有寿命不小于
的植物中的占比为
.记“一株植物的寿命为
”为事件
，“一株植物的寿命不小于
”为事件
.则下列结论
正确的是（ ）
A．
B．
C．设
，则
为等比数列 D．设
，则
三．填空题（共4 小题，满分20 分，每小题5 分）
13.设随机变量X ∼N (μ,σ
2)(σ >0)，已知P( X > μ+2σ )=0.0228, P(|X −μ|≤σ )=0.6826，则
P( μ−2σ < X < μ+σ )= .
14.射击运动是用枪支对准目标打靶的竞技项目，该项目在世界上居于领先地位的国家有中国美国匈牙利俄罗斯和
､
､
､
德国射击运动可以培养细致沉着坚毅等优良品质，有益于身心健康
､
､
.已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有
n(n∈N
∗)发子弹，假设某人每次打靶的命中率均为0.8，靶场规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便
立刻停止射击，记标靶上的子弹数量为随机变量X，则X 的数学期望为 .
15.现有一款闯关游戏，共有4 关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n 次
抛掷所出现的点数之和大于2
n+n，则算闯过第n关，n=1，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序
号是 ．
（1）直接挑战第2 关并过关的概率为7
12
；
（2）连续挑战前两关并过关的概率为5
24
；
（3）若直接挑战第3 关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5 点”，则P¿；
（4）若直接挑战第4 关，则过关的概率是35
1296
．
16.袋中装有5 个相同的红球和2 个相同的黑球，每次从中抽出1 个球，抽取3 次按不放回抽取，得到红球个数记为
X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为ξ．下列结论中正确的是 ．
①E (X ): E (Y )=5:2；②D (X )> D (Y )；③E (X )= E (ξ)；④D (X )< D (ξ)．
（注：随机变量X 的期望记为E ( X )、方差记为D (X )）
四．解答题（共6 小题，满分70 分）
17.某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000 元，每工作1 小时获取30 元．从该快餐店中任意
抽取一名小时工，设其月工作时间为X 小时，获取的税前月工资为Y 元．
(1)当X =110时，求Y 的值；
(2)写出X 与Y 之间的关系式；
(3)若P(X ≤120)=0.6，求P(Y >4600)的值．
18.全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地
农村经济情况，随机抽取该地2000 户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布
直方图．
(1)求这2000 户农户家庭年收入的样本平均数x（同一组的数据用该组区间中点值代表）．
(2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布N (μ,σ
2)，其中μ近似为样本平均数x，σ
2近似为样本方差s
2，
其中s
2=2.3.
①估计这2000 户农户家庭年收入超过9.52 万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4 户，即年
收入不超过9.52 万元的农户家庭数为ξ，求P(ξ ≤3).4 月23 日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某
地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500 名高一学生进行在线调查，得到了这500 名学生的日平
均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，
(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500 名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在(10,12]内的概率；
(2)为进一步了解这500 名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12,14]，
(14,16]，(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10 人，现从这10 人中随机抽取3 人，记日平均阅读时
间在(14,16]内的学生人数为X，求X 的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10 名学生，用P(k )表示这10 名学生中恰有k 名学生日
平均阅读时间在(8,12]内的概率，其中k =0，1，2，…，10．当P(k )最大时，写出k 的值．（只需写出结论）
19.双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，
失败者编入负者组继续比赛.之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘
汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、C、D 四人参加的双淘汰赛制的流
程如图所示，其中第6 场比赛为决赛.
(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求：
①队伍A 和D 在决赛中过招的概率；
D
②
在一共输了两场比赛的情况下，成为亚军的概率；
(2)若A 的实力出类拔萃，即有A 参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D 进入决赛且先前与对手
已有过招的概率.
20.魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974 年发明的机械益智玩具．魔
方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通
常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔
方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的
单身贵族（独立钻石棋）并称为智力游戏界的三大不可思议．在2018WCA 世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47 秒
的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4 秒的选
手．
(1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为3
5
，小吴每局比赛获胜的概率均为2
5
，若采用三
局两胜制，两人共进行了X局比赛，求X的分布列和数学期望；
(2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比赛的概率为
0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两
胜制”？
21.某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中
长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3 三组.观察一段时间后，分别从1,2,3 三组随机抽取40 株
鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
株高增量（单位：厘米）
(4,7 (7,10 (10,13 (13,16
第1 组鸡冠花株数
9
20
9
2
第2 组鸡冠花株数
4
16
16
4
第3 组鸡冠花株数
13
12
13
2
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
(1)从第1 组所有鸡冠花中随机选取1 株，估计株高增量为(7,10]厘米的概率；
(2)分别从第1 组，第2 组，第3 组的所有鸡冠花中各随机选取1 株，记这3 株鸡冠花中恰有X株的株高增量为(7,10]厘
米，求X的分布列和数学期望EX；
(3)用“ξk =1”表示第k组鸡冠花的株高增量为(4,10]，“ξk =0”表示第k组鸡冠花的株高增量为(10,16]厘米，
k =1,2,3，直接写出方差D ξ1，D ξ2，D ξ3的大小关系.（结论不要求证明）
22.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫
一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽
查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100 个，将其质量指标值分成以下五组：
，
，
，
，
，得到如下频率分布直方图．
（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130 的为二级口罩，质量指标值不
低于130 的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8 个口罩，再从中抽取3 个，求恰好取到一级
口罩个数为
的概率；
（2）在2020 年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A、B 两店各一
个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由
个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在A、B 两店订单“秒
杀”成功的概率分别为
，
，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为
，
．
①求
的分布列及数学期望
；
②求当
的数学期望
取最大值时正整数
的值．
