大题02数列（6大题型）（解析版）_数学_二轮复习_2024年_2024年高考数学第三次模拟资源精选_资料_模块六大题精做

大题 02 数列
数列是高考数学的热门考点之一，其中等差(比)数列的通项公式，前n项和公式，以递堆数列为命题背景
考查等差(比)数列的证明方法，以及等差（比）数列有关的错位相减法和裂项相消法求和是考查的重点内
容。有时也会结合不等式进行综合考查，此时难度较大。
题型一：等差数列与等比数列证明
（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知数列 满足 ， .
（1）求 ， ；
（2）求 ，并判断 是否为等比数列.
【答案】（1） ；（2） ，是等比数列
【思路分析】
（1）分别令 ， ，计算可得所求值；
（2）利用累加法，结合等差数列、等比数列的求和公式，可求数列 的通项公式，可得 ，
得解．
【规范解答】
（1） ，
（2）因为 ，所以 ，
所以 ， ，…， ，将以上各式相加得
.
因为 ，所以 ，
又 也满足 ，所以 ，
所以 ，
所以 是等比数列，且首项、公比均为2.
判断数列是否为等差货等比数列的策略
1、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行判断；
2、若要判断一个不是等差（等比）数列，则只需说明某连续三项（如前三项）不是等差（等比）数列即
可。
1．（2022·全国·高三专题练习）记数列 的前 项积为 ，且 ，其中 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求证：数列 是等比数列．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【分析】（1）在 中令 ，得 成等比数列，结合 即可得
解.
（2）由等比数列定义结合已知即可得证.
【解析】（1）令 ，则 ，即 ，
成等比数列，则公比为 ．
，即 ．
（2） ，
两式相除得 ，即 ①，由①得 ②，
②÷①得 ，即 ，
即 ，由（1）知 ，
数列 是等比数列．
2．（2022·河南·高三校联考专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求数列 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）借助 与 的关系消去 后化简可得 ，即可得证；
（2）计算出 后再次借助 与 的关系计算即可得数列 的通项公式.
【解析】（1）由已知 ，令 ，解得 ，
又 ，
则 ，则 ，则 ，
则 ，则 ，即 ，
又 ，故 是以 为首项， 为公差的等差数列；
（2）由（1）可知， ，
故 ，则 ，
由（1）可知， ，当 时， ，
综上，可得 ．
题型二：分组转化法求数列的前n项和
（2024·贵州贵阳·贵阳一中校考一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在数列 中， ，求数列 的前 项和 ．
【思路分析】
（1）根据 求解即可；
（2）利用分组求和法求解即可.
【规范解答】
（1）由 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，即 ，
所以数列 是从第二项开始以 为公比的等比数列，所以 ；
（2）当 时， ，此时
当 时， ，
则 ，
此时 ，
当 时， ，上式成立，所以 .
1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，
注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
2、常见类型：
（1）分组转化法：若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列：
n n n n n
（2）奇偶并项求和：通项公式为a＝的数列，其中数列{b}，{c}是等比数列或等差数列。
n n n
1．（2024·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，
．
（1）若数列 满足 ，求 的通项公式；
（2）求数列 的通项公式，并求 ．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】（1）根据数列 的递推公式推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可
求得数列 的通项公式；（2）求出数列 的通项公式，分 为奇数、偶数两种情况讨论，设
、 ，可得出数列 的通项公式，分别求出 、 ，相加可得 .
【解析】（1）因为数列 满足 ， ，
则 ，
因为 ，且 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以， ，则 .
（2）由（1）可得 ，
所以， ，当 为奇数时，设 ，则 ，
则 ；
当 为偶数时，设 ，则 ，则 .
综上所述， .
因为 ，
，
所以， .
2．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .等比数列
是正项递增数列，且 .
（1）求数列 的通项 和数列 的通项 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和.
【答案】（1） ， ；（2） （或 ）
【分析】（1）根据题意分别求出数列 的首项和公差，以及数列 的首项和公比，进而可得出答案；
（2）利用并项求和法求解即可.
【解析】（1）由题意，设等差数列 的首项为 ，公差为 ，又 ，
所以 解得 ，
故 ，
因为数列 为各项为正的递增数列，设公比为 ，且 ，
因为 ，所以 ，得 ，又 ，所以 ，即 ，
又 ，解得 ，从而 ，所以 ；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和为
（或 ）.
题型三：裂项相消法求数列的前n项和
（2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【思路分析】
（1）由 之间的关系即 ， 时， 即可求解.
（2）由裂项相消法即可求解.
【规范解答】
（1）由题意 ，
当 时， ，且 满足上式，
所以 .
（2）由题意 ，
所以 .1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相
消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
1 1 1 1 1 1 1 1
 (  )  (  )
（1） n(nk) k n nk （2）4n2 1 2 2n1 2n1
1 1 1 1  2n1 1 1
     
（3）
n(n1)(n2) 2n(n1) (n1)(n2)
（4）
n2(n1)2 n2 (n1)2
n1 1 1 1  1 1
     ( nk  n)
（5） n2(n2)2 4n2 (n2)2  （6） nk  n k
2n (2n11)(2n 1) 1 1
  
(2n11)(2n 1) (2n11)(2n 1) 2n 1 2n11
（7）
1．（2024·四川·高三校联考期末）在等差数列 中， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用等差数列的定义及性质计算基本量即可求通项公式；
（2）利用裂项相消法求和即可.
【解析】（1）设 的公差为 ，则 ，解得 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ，
所以．
2．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知正项数列 的前n项和为 ．
（1）求数列 的前n项和 ;
（2）令 ，求 的前9项之和．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由 ，得到 ，两式相减，整理得到 ，得到数
列 是等差数列，结合等差数列的通项公式和求和公式，即可求解；（2）由（1）得到
，结合裂项法去和，即可求解.
【解析】（1）正项数列 的前n项和为 ，满足 ，可得 ，
两式相减可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，解得 ，
所以数列 是以首项为1，公差为2的等差数列，
则数列 的通项公式为 ，可得 .
（2）由（1）知 ，
可得 ，
所以 ．
题型四：错位相减法求数列的前n项和（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【思路分析】
（1）根据题意，当 时，用 替换 ，然后代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果.
【规范解答】
（1）当 时， ．
当 时，由 ，得 ，
则 ，则 ，
因为 也符合上式，所以 ．
（2）由（1）可知， ，
则 ，
则 ，
两式相减得 ，则 ．
1、解题步骤2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S －qS”的表达
n n n n
式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
c =(An+B)⋅qn
3、等差乘等比数列求和，令 n ，可以用错位相减法．
T =(A+B)q+(2A+B)q2 +(3A+B)q3 +...+(An+B)qn
n ①
qT =(A+B)q2 +(2A+B)q3 +(3A+B)q4 +...+(An+B)qn+1
n ②
得： ．
An B A B A
T =( + − )qn+1 −( − )q
整理得：
n q−1 q−1 (q−1) 2 q−1 (q−1) 2
.
1．（2024·浙江金华·高三统考期末）已知数列 是等差数列， ， ，且 ， ， 构成等比
数列，
（1）求 ；
（2）设 ，若存在数列 满足 ， ， ，且数列 为等比数列，求 的
前 项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由等差数列的性质和等比中项列方程解出公差，再由基本量法写出等差数列的通项公式.
（2）由已知和等比数列的性质求出 ，再由错位相减法和等差数列的前 和公式共同求出结果.
【解析】（1）∵ 是等差数列， ， ，∴ ， ．
∵ ， ， 构成等比数列，∴ ，
化简可得 ，∴ ，所以 ．
（2）∵ ， ， ，
又数列 为等比数列，∴ ，
而 ，∴ ，∴ ，
所以 ，设数列 的前 项和为 ，
则 ①，②，
①②相减得 ，
化简可得
又因为等差数列 的前 项和为 ，
综上可得 ．
2．（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足
．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用 与 的关系式，即可得出结论；
（2）错位相减法求解数列的前 项和.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
当 时， ，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）知， ，所以 ，
因为 ①，
所以 ②，
由①-②得： ，
所以 ．题型五：数列与不等式综合问题
（2024·广东广州·统考二模）已知数列 中， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，记 为 的前 项和，证明： 时， .
【思路分析】
（1）利用递推关系，把 换成 ，得到两式相减，得到 ，再累乘后可得到通项；
（2）用错位相减法求出 ，再将证明不等式作差，之后利用导数的单调性证明即可.
【规范解答】
（1）因为 ，
所以 ，
作差可得 ，变形为 ，
即 ，即 ，化简为 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以数列 的通项公式为 .
（2）因为 ，
所以 ， ，
作差可得 ，
所以 ，
，
设 ，则 在给定区间上递减，
又 ，故 在 是减函数，，
所以当 时， .
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：
一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题
来求解；
二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
1．（2022·全国·高三专题练习）已知单调递增的等比数列 满足 ，且 是 和 的
等差中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ,设数列 的前n项和为 ，且对任意 ，都有 恒成立，
求实数m的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）设等比数列 的公比为q，由 求解；
（2）由（1）得到 ，利用错位相减法求得 ，将对任意 ，都有
恒成立，转化为 对任意 恒成立求解.
【解析】（1）设等比数列 的公比为q，
因为 是 和 的等差中项，所以 ，又 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
又因为数列 是递增的等比数列，所以 ．（2）由（1）知 ,
①，
②，
得 ,
．由 得 ,
对任意 恒成立．
当n为偶数时， ，则 ,
当n为奇数时， ,即 ,则 ，
∴实数m的取值范围是 ．
2．（2024·云南保山·高三统考期末）已知 为等比数列，且 为数列 的前 项和， ，
.
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【分析】（1）由 的定义，可得等比数列 的公比和首项；
（2）利用放缩法及等比数列求和公式可证.
【解析】（1）由 ，所以 ，故数列 的公比为3，
所以 ，故而 ，所以 .
（2）证明：由（1）知， ，
当 时， 成立；
当 时，且 ，所以
，
综上， .
题型六：数列中的探究问题
（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）已知等比数列 的前 项和为 ，且
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在3
项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说
明理由．
【思路分析】
（1）利用等比数列定义，根据将 ， 代入构造方程组解得 ， ，可得数列 的通项公
式 ；
（2）假设存在 ， ， 成等比数列，由 ， ， 成等差数列可得 ，且
，解得 ，与已知矛盾，因此不存在这样的3项.
【规范解答】
（1）由题意知当 时， ①
当 时， ②
联立①②，解得 ， ；
所以数列 的通项公式 ．
（2）由（1）知 ， ，
所以 ，可得 ；设数列 中存在3项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列，则 ，
所以 ，即 ；
又因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
所以 ，化简得 ，即 ；
又 ，所以 与已知矛盾；
所以在数列 中不存在3项 ， ， 成等比数列．
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方
法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来
进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不
定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：
①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②
归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而
得出原命题结论成立．
1．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知数列 与数列 满足下列条件：①
， ；② ， ；③ ， ，记数列 的前 项积为
.
（1）若 ， ， ， ，求 ；
（2）是否存在 ， ， ， ，使得 ， ， ， 成等比数列？若存在，请写出一组 ， ， ， ；
若不存在，请说明理由；
（3）若 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2）不存在，理由见解析；（3） .
【分析】（1）利用已知数据直接计算即得；（2）假定存在，分两种情况讨论即得.
（3）设 ，分析出 ，再求出
的最大值即可.【解析】（1）由 ，得 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，所以 .
（2）不存在.
假设存在，设 公比为 ，
若 ，则 ，公比 ，矛盾，
若 ，则 ，公比 ，矛盾，
因此假设不成立，所以不存在.
（3）依题意， ，且 ， ，
设 ，则 ，得 ，
于是 ，显然 的值从大到小依次为 ，
若 ，则 且 ，当数列 为 或 ，可以取得，
显然当 时， 最大，此时 ，则 ，
，
从而
，又 ，
所以 .
2．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知正项数列 满足：
.
（1）设 ，试证明 为等比数列；
（2）设 ，试证明 ；（3）设 ，是否存在 使得 为整数？如果存在，则
求出 应满足的条件；若不存在，请给出理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，
【分析】（1）根据递推公式 可得 ，即 ，从而
可求解；（2）由（2）可得 利用放缩可得 ，从而可求解.
（3）由（1）可得 ，然后分情况讨论 ， ， 时是否能使
为整数，从而求解.
【解析】（1）由题可知， ，
则 ，即 ，
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2） ，
，（当且仅当 时取等），
当 时， ；
当 时， .
（3），
当 时， 不是整数；
当 时， 不是整数
当 时， 必定为整数，
故只需要考虑 是否为整数即可.
又因为
故只需要 为整数即可，则 .
综上所述， .
1．（2024·安徽六安·高三统考期末）已知数列 的前 项和为 ， .
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）当 时，设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据 作差得到 ，即可得证；
（2）由（1）可得 ，则 ，再利用裂项相消法计算可得.
【解析】（1）因为 ，当 时， ，解得 ，
由 得 ，
两式作差得 ，
即 ，则 ，又 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）当 时，由（1）得 ，
又 ，
所以 ，
所以
.
2．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知数列 中， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据条件可得数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，即可求出结果；
（2）由（1）可得 ，再利用裂项相消法即可求出结果.
【解析】（1）由 ，可得 ，又 ，
故数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，得到 ．
（2）由（1）可知 ，故 ．
3．（2024·山西临汾·统考一模）已知数列 的首项 ，且满足 ，等比数列 的首
项 ，且满足 .
（1）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和
【答案】（1）证明见解析， ；（2）
【分析】（1）利用定义法判断等比数列并求解通项公式即可；（2）利用错位相减法求和即可.
【解析】（1）因为 ，
又因为 ，所以 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，所以
（2）因为 ，所以 ，故 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
，
所以
，所以
4．（2024·河北·高三高碑店一中校联考期末）在数列 中， ，且
.（1）求 的通项公式；
（2）若 ，数列的前 项和为 ，求
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）当 时， ，当 时，得到 ，从而得到 从第2项起成等比数列，即
可得到答案；（2）根据（1）得到 ，当 为大于1的奇数时， ，当 为偶数时，
.再利用分组求和、错位相减求和即可得到答案.
【解析】（1）当 时， ，则 .
当 时，由 ，
得 ，
则 ，则 .
因为 ，所以 从第2项起成等比数列， .
（2） ，当 为大于1的奇数时， ，
当 为偶数时， .
.
，
则 ，
则 ，
，
则 ，则 .
5．（2024·浙江·校联考一模）已知数列 满足 ，记数列 的前
项和为 ．
（1）求 ；
（2）已知 且 ，若数列 是等比数列，记 的前 项和为 ，求使得 成立的
的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由递推关系首先得 结合等差数列求和公式即可求解；（2）由题意首项得
，进一步有通过等比数列求和将原问题转换为求 不等式的正整数解集.
【解析】（1） ①
②
②-①得， ，得 ．
当 时，①式为 ，得 ，也满足上式．
，数列 是等差数列，所以 ．
（2） ，则数列 是以1为首项，3为公比的等比数列， ，
又 ，得 ，
得 ．
令 ，即 ，即 ．
当 时，经验证，（*）式满足要求．
令 ，则 ，所以当 时， ，即当 时， 式不成立．
使得 成立的 的取值范围是 ．
6．（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ．问：是否存在 ，使得 ， 成等比数列，若
存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）不存在，理由见解析
【分析】（1）由题意求出等差数列的首项和公差，即可求得答案；（2）由（1）可得 的表达式，
利用错位相减法求出 的表达式，由此可得到 的表达式，结合二项式定理说明 ，
即可得结论.
【解析】（1）设等差数列 的公差为d，
由 ，取 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，解得 ，
则 ．
（2）由（1）得 ，故 ，
即 ，
则 ，
两式相减，得到
即 ．
则 ，
因为 ，
，
即 ，
所以 ，故不存在正整数 ，使得 成等比数列.1．（2023·全国·统考高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据题意列式求解 ，进而可得结果；
（2）先求 ，讨论 的符号去绝对值，结合 运算求解.
【解析】（1）设等差数列的公差为 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，
（2）因为 ，
令 ，解得 ，且 ，
当 时，则 ，可得 ；
当 时，则 ，可得
；
综上所述： .
2．（2023·全国·统考高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据 即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．【解析】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得，
，即 ， ．
3．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而
得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二次函数的
性质计算可得．
【解析】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，即 ，即 ，
所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
4．（2023·天津·统考高考真题）已知 是等差数列， ．
（1）求 的通项公式和 ．
（2）设 是等比数列，且对任意的 ，当 时，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及前 项和．
【答案】（1） ， ；（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ，前 项和为 .
【分析】（1）由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得 ，据此可求得数列的通项公式，
然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前 项和公式计算可得 .
（2）(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当 时， ，取 ，当 时， ，取 ，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前 项和
公式即可计算其前 项和.
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
则数列 的通项公式为 ，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当 时， ，
取 ，则 ，即 ，
当 时， ，
取 ，此时 ，
据此可得 ，综上可得： .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知： ，
则数列 的公比 满足 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，所以 ，
所以数列的通项公式为 ，其前 项和为： .
5．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 分别为数
列 的前 项和．
（1）若 ，求 的通项公式；（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由 为等差数列得出 或 ，再由等差数列的性质可得 ，分类讨论即可得解.
【解析】（1） ， ，解得 ，
，
又 ， ，
即 ，解得 或 （舍去）， .
（2） 为等差数列， ，即 ，
，即 ，解得 或 ，
， ，
又 ，由等差数列性质知， ，即 ，
，即 ，解得 或 （舍去）
当 时， ，解得 ，与 矛盾，无解；
当 时， ，解得 .
综上， .
6．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，用 表示 及 ，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶结合分组求和法求出 ，并与 作差比较
作答；方法2，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出 ，并与 作差
比较作答.
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，
因此 ，所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，
则
显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .7．（2022·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
（1）证明： ；
（2）求集合 中元素个数．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得 ，即可解出．
【解析】（1）设数列 的公差为 ，所以， ，
即可解得， ，所以原命题得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，
即 ，亦即 ，解得 ，
所以满足等式的解 ，
故集合 中的元素个数为 ．
8．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为
．
（1）若 ，求 ；
（2）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前 项和公式化简条件，求出 ，再求 ；
（2）由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求 的范围.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
（2）因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
，
，
由已知方程 的判别式大于等于0，
所以 ，
所以 对于任意的 恒成立，
所以 对于任意的 恒成立，
当 时， ，
当 时，由 ，可得
当 时， ，
又 ，所以
9．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
【答案】（1） ；（2）见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，利用和与项的
关系得到当 时， ,进而得： ，利用累乘法求得
，检验对于 也成立，得到 的通项公式 ；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得.【解析】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ，整理得： ，即 ,
∴ ，
显然对于 也成立，∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
10．（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
（1）求 与 的通项公式；
（2）设 的前n项和为 ，求证： ；
（3）求 ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得 ，进而由并项求和可得 ，
再结合错位相减法可得解.
【解析】（1）设 公差为d， 公比为 ，则 ，
由 可得 （ 舍去），所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，即证 ，
而 显然成立，所以 ；
（3）因为
，
所以 ，
设
所以 ，
则 ，
作差得 ，