78.三大主流教材与椭圆十大定义
关于椭圆与双曲线的定义，在人教版，苏教版，北师大版新教材中均有涉及，而且不光是
第一定义，焦点与准线型定义，斜率型定义均作为例题和习题出现，而且教材也鲜明地指
出了这三个定义之间的关系. 翻看近年全国卷的题目，我们发现很多选填题都是会涉及到
这三个定义（解答题亦有考察），本节，我将从椭圆的第一定义出发，逐次推出二，三定
义，并通过例题分析其进一步的应用，同时再给出其他常见的定义
一．基本原理（公众号：凌晨讲数学）
★定义1.标准定义
椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集
，于是，假设焦点
，
的坐标分别为
，点
}
2
|
|
|
||
{
2
1
a
MF
MF
M
P
1F
2
F
)
0,
(
),
0,
(
c
c
，那么：
)
,
(
y
x
P
①
a
y
c
x
y
c
x
2
)
(
)
(
2
2
2
2
将①式左端的一个根号移到右端，再两边平方整理可得：
②
2
2
2
)
(
y
c
x
a
cx
a
对②式继续平方，再整理可得：
③
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
c
a
a
y
a
x
c
a
由定义可知：
，令
，那么可得椭圆标准方程
④.
c
a
2
2
2
c
a
b
)
0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在
轴上椭圆标准方程④.
x
★定义2.椭圆的第二定义
继续定位到②式，
⑥.
a
c
x
c
a
y
c
x
y
c
x
a
cx
a
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
⑥式表明椭圆上的点
到右焦点
的距离与到直线
的距离之比是离心率
.
P
2
F
c
a
x
2
e
★定义3.椭圆第三定义（公众号：凌晨讲数学）
由④式，
⑦，⑦式表明椭圆
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
)(
(
1
b
a
a
x
y
a
x
y
b
y
a
a
x
a
x
b
y
a
x
上的点
到左右两顶点的斜率之积为一个定值.
P
实际上，若我们将上述第三定义的推导过程进一步推广，假设
是椭圆上任意两点且关
B
A,
于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点
（不与
重合）到
点的斜率之积为一
P
B
A,
B
A,
个定值.
证明：设
的坐标分别为
，
，则由于三点均在椭圆上，故
B
A,
)
,
(
),
,
(
0
0
0
0
y
x
y
x
)
,
(
y
x
P
满足：
，即
.
1
1
2
2
2
2
2
2
0
2
2
0
b
y
a
x
b
y
a
x
，
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
0
2
2
0
a
b
x
x
y
y
x
x
y
y
b
y
a
x
b
y
a
x
★定义4.
如图，圆
的圆心为
，点
，点
为圆上任意一点，求线段
的垂
2
2
1
16
x
y
B
(
)
1,0
A
C
AC
直平分线与线段
的交点
的轨迹方程．
l
CB
P
解析：连接
，如下图：由题意可知，
，圆的半径
，且
，
PA
( 1,0)
B
|
| 4
r
BC
(
)
1,0
A
由垂直平分线定理可知，
，故
|
| |
|
PA
PC
|
|
|
| |
|
|
| |
| 4 |
| 2
PB
PA
PB
PC
BC
AB
由椭圆定义可知，
的轨迹为椭圆，设
的轨迹方程为：
(
)，
P
P
2
2
2
2
1
x
y
a
b
0
a
b
从而
，即
，又因为
、
，所以
，又由
可知，
2
4
a
2
a
(
)
1,0
A
( 1,0)
B
1
c
2
2
2
b
a
c
，
3
b
从而
的轨迹方程为：
.
P
2
2
1
4
3
x
y
★定义5.
已知两圆
，动圆
在圆
内部且和圆
内切，和
2
2
2
2
1
2
:(
2)
18,
:(
2)
2
C
x
y
C
x
y
M
1
C
1
C
圆
外切. 求动圆圆心
的轨迹方程
.
2
C
M
C
解析：设圆
的半径的
，则
，
M
R
1
2
1
2
3 2
2
4 2
4
MC
MC
R
R
C C
所以
的轨迹是以
的焦点的椭圆，则
，
，所以
，
，
M
1
2
,
C C
2
4 2
a
2
4
c
2 2
a
2
c
，故动圆圆心
轨迹方程
为
2
2
2
b
a
c
M
C
1
4
8
2
2
y
x
★定义6.丹德林双球的定义
如下图所示，在圆锥内放入两个球
，
，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相
1
O
2
O
切），切点圆分别为
，
.这两个球都与平面
相切，切点分别为
，
，丹德林
1
C
A
2
C
A
1F
2
F
（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面
与圆锥侧面的交线为椭圆，
，
为此椭圆的
1F
2
F
两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球.
图 图
如图，设直线
分别与圆锥母线交于
两点，再设过点
的母线分别与
，
2
1F
F
B
A,
B
A,
1
C
A
交于
两点，由切线长定理：
，
，故
2
C
A
D
C,
AC
AF
1
AD
AF
2
.
a
AD
AC
AF
AF
2
2
1
同理，对于平面
与圆锥侧面的交线上任意一点
，过
的母线分别与
，
交于
P
P
1
C
A
2
C
A
两点，则
. 即椭圆的长轴长切点圆之间的母线长.
Q
M ,
a
MQ
PF
PF
2
2
1
★定义7.压缩变换
将圆
上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并
2
2
4
x
y
说明它是什么曲线．
解析：设所得曲线上任一点的坐标为
，圆
上的对应点的坐标为
．
,x y
2
2
4
x
y
,
x y
由题意可得
．因为
，所以
，即
．这就是所得曲
2
x
x
y
y
2
2
4
x
y
2
2
4
4
x
y
2
2
1
4
x
y
线的方程，该曲线是一个椭圆．
定义8.矩形分割
1．（人教A 版选择性必修一P116）如图，矩形ABCD 中，
，
|
| 2
AB
a
|
| 2 (
0)
BC
b a
b
．E，F，G，H 分别是矩形四条边的中点，R，S，T 是线段OF 的四等分点，
，
，
是
R
S
T
线段CF 的四等分点．证明直线ER 与
、ES 与
、ET 与
的交点L，M，N 都在椭圆
GR
GS
GT
上．
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
解析：由题得
，
，所以
，所以直线
的方程为
(0,
)
E
b
1
(
,0)
4
R
a
4
1
4
ER
b
b
k
a
a
ER
，①，由题得
，所以
，所以直线
的方
4b
y
x
b
a
3
(0, ),R ( ,
)
4
G
b
a
b
3
4
0
4
GR
b
b
b
k
a
a
GR
程为
，②，联立方程①②解之得
所以直线
的交点为
4
b
y
x
b
a
8
15
,
,
17
17
a
b
x
y
,
ER GR
，
8
15
(
,
)
17
17
a
b
L
代入椭圆方程得
，所以直线
的交点
在椭圆上.同理ES 与
、
2
2
2
2
22
6
5
28
4
2
1
9
89
a
b
a
b
,
ER GR
L
GS
ET 与
的交点M，N 都在椭圆
上．
GT
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
2．（苏教版选修第一册P87）把矩形的各边n 等分，如图连接直线，判断对应直线的交点
是否在一个椭圆上，为什么？
解析：设矩形
的长
，宽
，以
的中点
为原点，
所在的直线为
A ABB
A A
a
AB
b
A A
O
A A
轴，
的中垂线为
轴，建立直角坐标系，则
由于整个
x
A A
y
,0 ,
,0 ,
,
,
2
2
2 2
a
a
a b
A
A
B
图形关于
轴对称，我们只研究第一象限，设
点是
上自右到左的第
y
M
B B
k
个分点，
点是
上自上到下的第
个分点，则
*
0
,
k
n k
N
N
AB
k
*
0
,
k
n k
N
，
，
,
2
2
a
ka
M
b
,
2
2
a kb
N
所以
①，
②，①，②式相乘且整理得
:
2
nb
a
AM
y
x
ka
:
2
kb
a
A N y
x
na
③，因为点
是直线
与
的交点，所以点
满足方程③
2
2
2
2
1
2
2
x
y
a
b
,
P x y
AM
A N
,
P x y
故点
在椭圆上．
P
定义9.达芬奇椭圆仪
（2015 年湖北卷理科数学）（苏教版87 页）一种作图工具如图1 所示．
是滑槽
的中
O
AB
点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽
AB 滑动，且
，
．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕
转
1
DN
ON
3
MN
O
动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C．以
为原点，
所在的
O
AB
直线为
轴建立如图2 所示的平面直角坐标系．求曲线C 的轨迹方程；
x
解析：设点
，依题意，
，且
0
0
,0
2 ,
,
,
,
D t
t
N x
y
M x y
2
MD
DN
，即
，由于当点
2
2
0
0
0
0
2
2
0
0
1
1
,
2
,
,
1
x
t
y
DN
ON
t
x
y
x
t y
x
y
0
0
0
2
2
2
2
0
t
x
x
t
y
y
t t
x
不动时，点N 也不动，所以不恒等于0，于是
，故
，代入
D
t
0
2
t
x
0
0
,
4
2
x
y
x
y
2
2
0
0
1
x
y
，可得
，即所求的曲线
的方程为
.
2
2
1
16
4
x
y
C
2
2
1
16
4
x
y
定义10.圆周取点
（苏教版81 页）准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点
，将纸片折起，使
F
圆周过点
（如图），然后将纸片展开，就得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出
F
l
l
来）．这样继续折下去，得到若干折痕．观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？
解析：如图所示：设圆心为点
，圆
的半径为，设点
关于直线的对称点为
，连
O
O
r
F
l
M
接
交直线于点
，连接
，由对称性可得
，所以，
MO
l
P
PF
FP
PM
（定值），又因为
，由椭圆的定义可知，点
PF
PO
PM
PO
OM
r
OF
OM
P
的轨迹是以
、
为焦点的椭圆.
F
O
二．典例分析
例1.（2022 甲卷）椭圆
的左顶点为
，点
均在
上，且
)
0
(1
:
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
C
A
Q
P,
C
关于
轴对称．若直线
的斜率之积为
，则的离心率为
y
AQ
AP,
1
4
A．
B．
C．
D．
3
2
2
2
1
2
1
3
解析：椭圆
的右顶点为
，由于点
均在
上，且关于
轴对称，所以直线
C
B
Q
P,
C
y
也关于
轴对称，由椭圆第三定义，即
，
AQ
BP,
y
2
1
1
4
AP
BP
AP
AQ
k
k
k
k
e
2
3
4
e
，
．
3
2
e
例2．
为椭圆
的右顶点，过坐标原点的直线交于
两点，直线
D
2
2
1
4
2
x
y
,
P A
,
AD PD
交直线
于
两点，求
的最小值．
3
x
,
E F
EF
解析：设
，则
．所以
0
0
,
P x
y
0
0
,
,
(2,0)
A
x
y
D
2
0
0
0
2
0
0
0
2
2
4
DP
DA
y
y
y
k
k
x
x
x
．
又
，所以
．设直线
的斜率为
，则直线
2
2
0
0
1
4
2
x
y
2
0
2
0
2
2
1
4
2
DA
DP
x
k
k
x
DP
k
DA
的斜率为
，所以直线
的方程为
，直线
的方程为
1
2k
DP
2
y
k x
DA
．
令
得
．
所
以
1 (
2)
2
y
x
k
3
x
1
3,
,
(3, )
2
E
F
k
k
，当且仅当
时取等号．所以
的最小值为
1
1
|
|
|
|
2
2
2
EF
k
k
k
k
…
2
2
k
EF
．
2
例3.（2019 全国1 卷）已知椭圆C 的焦点为
，过F2 的直线与C 交于
1
2
( 1,0)
(1,0)
F
F
，
A，B 两点.若
，
，则C 的方程为
2
2
|
|
2|
|
AF
F B
1
|
|
|
AB
BF
|
A．
B．
C．
D．
2
2
1
2
x
y
2
2
1
3
2
x
y
2
2
1
4
3
x
y
2
2
1
5
4
x
y
解：如图所示：
设
，由
，代入焦半径
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
|
|
3
|
|
|
|
|
||,
|
2
|
|
2
1
1
2
2
BF
BF
BF
AB
B
F
AF
公
式
到
可
得
：
.再
由
|
|
3
|
|
2
1
BF
BF
)1
.(
2
1
)
(
3
2
2
2
2
a
x
ex
a
ex
a
|
|
3
|
|
2
2
BF
AF
.结合（1），（2）式可得，
，故
)
2
.(
2
)
(
2
2
1
2
2
1
a
x
x
ex
a
ex
a
0
1
x
，
，这样在三角形
与三角形
中分别使
a
AF
AF
|
|
|
|
2
1
2
|
|,
2
3
|
|
2
1
a
BF
a
BF
1
ABF
2
1F
AF
用余弦定理可得:
.
2
2
2
3 ,
3 1
2
a
b
a
c
小结：通过坐标表示出焦半径的关系，进而解出椭圆上点的坐标是解题的关键.
例4.（2019 全国三卷）
设
为椭圆
的两个焦点，
为
上一点且在第一象限.若
1
2
F
F
，
2
2
:
+
1
36
20
x
y
C
M
C
1
2
MF F
△
为等腰三角形，则
的坐标为___________.
M
解：由已知可得
，
2
2
2
2
2
36 ,
20 ,
16 ,
4
a
b
c
a
b
c
．∴
．由焦半径公式可知
1
1
2
2
8
MF
F F
c
2
4
MF
设
，由焦半径公式可知
)
,
(
0
0 y
x
M
3
4
3
2
6
|
|
0
0
0
2
x
x
ex
a
MF
再代入椭圆方程可解得
的坐标为
．
M
3, 15
例5.椭圆
的左、右焦点分别为
、
，P 为C 上一点，且P 在第一象限，
2
2
:
1
6
2
x
y
C
1F
2
F
，则点P 的坐标为_______.
1
2
PF
PF
解析：由题意，
，
，
，设
，则
6
a
2
c
6
3
e
0
0
,
P x
y
0
0
0,
0
x
y
，
，
由
可
得
1
0
6
6
3
PF
x
2
0
6
6
3
PF
x
1
2
PF
PF
，解得：
，代入椭圆方程得
，故
2
2
2
2
1
2
0
1
2
4
12
16
3
PF
PF
x
F F
0
3
x
0
1
y
.
3,1
P
例6.椭圆
的左、右焦点分别为
、
，P 为C 上一点，且P 在第一象限，
2
2
:
1
8
2
x
y
C
1F
2
F
，则点P 的坐标为_______.
1
2
PF
PF
解析：显然
，
，
，设
，则
2 2
a
6
c
3
2
e
0
0
,
P x
y
0
0
0,
0
x
y
1
0
3
2 2
2
PF
x
，
，
，代
2
0
3
2 2
2
PF
x
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
0
0
3
4 3
16
24
2
3
PF
PF
PF
PF
F F
x
x
入椭圆方程得
，故
.
0
6
3
y
4 3
6
,
3
3
P
例7.（2021·新高考Ⅰ卷）已知
、
是椭圆
的两个焦点，点M 在C 上，
1F
2
F
2
2
:
1
9
4
x
y
C
则
的最大值为（
）
1
2
MF
MF
A.13
B.12
C.9
D.6
解析：由题意，
，
，
，离心率
，设
，
，
3
a
2
b
5
c
5
3
e
0
0
,
M x
y
0
3
3
x
则
，
，所以
，
1
0
5
3
3
MF
x
2
0
5
3
3
MF
x
2
1
2
0
5
9
9
MF
MF
x
故当
时，
取得最大值9.
0
0
x
1
2
MF
MF
例8．如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪．木条中间挖一道槽，在另
一活动木条
的P 处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B 各在一条槽内移动，可以放松
PAB
移动以保证
与
的长度不变，当A，B 各在一条槽内移动时，P 处笔尖就画出一个椭
PA
PB
圆E．已知
，且P 在右顶点时，B 恰好在O 点，则E 的离心率为（ ）
3
PA
AB
A．
B．
C．
D．
1
4
3
4
7
4
7
3
解析：设
，
，由题
，则
，当
滑动到
位置时，
在上
AB
x
0
x
3
PA
AB
3
PA
x
A
O
P
顶点或下顶点，则
，又当
在右顶点时，
恰好在
位置，则
，
3
b
PA
x
P
B
O
4
a
PB
x
所以
，故离心率为
.故选：C.
2
2
4
3
7
c
x
x
x
7
7
4
4
c
x
e
a
x
例9.（2018 全国三卷）
已知斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，线段
的中点为
k
l
2
2
1
4
3
x
y
C
：
A
B
AB
．
1
0
M
m
m
，
（1）证明：
；
1
2
k
（2）设
为
的右焦点，
为
上一点，且
，证明
F
C
P
C
0
FB
FA
FP
|
||,
||,
|
FB
FP
FA
成等差数列，并求该数列的公差.
解析：（1）设
，则
.
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
2
2
2
2
1
1
2
2
1,
1
4
3
4
3
x
y
x
y
两式相减，并由
得
.
1
2
1
2
y
y
k
x
x
1
2
1
2
0
4
3
x
x
y
y
k
由题设知
，于是
.①
1
2
1
2
1,
2
2
x
x
y
y
m
3
4
k
m
由题设得
，故
.
3
0
2
m
1
2
k
（2）由题意得
(1,0)
F
，设
3
3
(
,
)
P x
y
，则
3
3
1
1
2
2
(
1,
)
(
1,
)
(
1,
)
(0,0)
y
x
x
y
x
y
.
由（1）及题设得
3
3
2
1
2
1
3
(
)
1,
(
)
2
0
y
y
x
x
y
x
m
. 又点P 在C 上，所以
3
4
m
，从而
3
(1,
)
2
P
，
3
|
|
2
FP
. 于是
2
2
2
2
1
1
1
1
1
|
|
(
1)
(
1)
3(1
)
2
4
2
x
x
FA
x
x
y
. 同理
2
|
| 2
2
x
FB
.
所以
1
2
1
|
|
|
| 4
(
)
3
2
FA
FB
x
x
.故2 |
| |
|
|
|
FP
FA
FB
，即|
|,|
|,|
|
FA
FP
FB
成
等差数列.设该数列的公差为d，则
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2 |
| ||
|
|
||
|
|
(
)
4
2
2
FB
FA
x
x
x
x
x x
d
.②
将
3
4
m
代入①得
1
k .所以l 的方程为
7
4
y
x
，代入C 的方程，并整理得：
2
1
7
14
0
4
x
x
.故
1
2
1
2
1
2,
28
x
x
x x
，代入②解得
3 21
|
|
28
d
. 所以该数列的公差
为3 21
28
或
3 21
28
.（公众号：凌晨讲数学）
注：椭圆的焦半径公式在例4 的解题中起到了关键性作用！对于该公式，其推导很简单，
就是两点间距离公式再结合椭圆方程可得，所以，在解答题中，考生们完全有机会自行推
倒后利用其解题！
推广：若
是椭圆
上不同的三点，
)
,
(
),
,
(
),
,
(
3
3
2
2
1
1
y
x
P
y
x
B
y
x
A
)
0
(1
:
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
C
且
，设
为
的右焦点，且
，则
)
(
2
2
1
2
1
x
x
c
x
x
F
C
0
FB
FA
FP
FB
FP
FA
,
,
成等差数列.
证明：由题设知
.
)
,
(
),
,
(
),
,
(
3
3
2
2
1
1
y
c
x
FP
y
c
x
FB
y
c
x
FA
由椭圆的第二定义知
，即
，同理
.
e
x
c
a
FA
1
2
1
ex
a
FA
3
2,
ex
a
FP
ex
a
FB
若
，则
，所以
.
0
FB
FA
FP
c
x
x
c
x
2
1
3
3
ec
a
FP
又
，所以
，即
成
ec
a
x
x
e
a
FB
FA
2
2
)
(
2
2
1
FP
FB
FA
2
FB
FP
FA
,
,
等差数列.
例10．（2023 届广州一模）如图是数学家 Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口
曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都
相切，设图中球
，球
的半径分别为4 和2，球心距离
，截面分别与球
1
O
2
O
1
2
2 10
O O
1
O
，球
相切于点
（
是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.
2
O
,
E F
,
E F
解析：设
，由
，解得
，
1
2
O O
EF
D
2
2
1
1
2
1
1
2
2 10
O D
O F
O D
O E
O D
O D
2
1
2 10
4 10
,
3
3
O D
O D
所以
，所以
，
2
2
2
2
4 10
4
2 10
2
4
,
2
3
3
3
3
DE
DF
4
2
2
2,
1
3
3
c
c
设直线
与圆锥的母线相交于点
， 圆锥的母线与球相切于
两点，如图所示，
EF
A
,
B C
则
，两式相加得
，即
,
AB
AE
AC
AF
2
AB
AC
AE
AF
a
c
a
c
a
，过
作
，垂直为
，则四边形
为矩形，所以
2
BC
a
2
O
2
1
O G
O B
G
2
BGO C
，
，所以椭圆的离心率为
. 故答案为：
2
2
2
2 10
2
6
a
BC
3
a
1
3
c
a
1
3
例11．（2003 年全国卷）已知常数
，在矩形
中，
，
，
为
0
a
ABCD
4
AB
4
BC
a
O
AB
的中点，点
、
、
分别在
、
、
上移动，且
，
为
与
E
F
G
BC
CD
DA
BE
CF
DG
BC
CD
DA
P
GE
的交点（如图），问是否存在两个定点，使
到这两点的距离的和为定值？若存在，求
OF
P
出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由
解析:按题意有
,
,
,
，设
由此
2 0
A ，
2 0
B
，
2 4
C
a
，
2 4
D
a
，
0
1
BE
CF
DG
k
k
BC
CD
DA
有
，
，
，直线
的方程为：
①
2 4
E
ak
，
2
4 4
F
k
a
，
2 4
4
G
a
ak
，
OF
2
(2
1)
0
ax
k
y
直线
的方程为：
②，从①，②消去参数
，得点
的坐标
GE
(2
1)
2
0
a
k
x
y
a
k
( , )
P x y
满足方程
，整理得:
.
2
2
2
2
2
0
a x
y
ay
2
2
2
1
1
2
y
a
x
a
当
时，点
的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
2
1
2
a
P
当
时，点
轨迹为椭圆的一部分，点
到该椭圆焦点的距离的和为定长
2
1
2
a
P
P
当
时，点
到椭圆两个焦点
，
的距离之和为定值
.
2
1
0
2
a
P
2
1
,
2
a
a
2
1
,
2
a
a
2
当
时，点
到椭圆两个焦点
,
的距离之和为定值
.
2
1
2
a
P
2
1
0,
2
a
a
2
1
0, +
2
a
a
2a
十大定义在各教材呈现数量统计与高考考情
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人教
A 版
√
√
√
√
√
√
√
√
苏教
版
√
√
√
√
√
√
√
√
√
北师
大版
√
√
√
√
√
√
全国
卷
√
√
√
√
√
