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专题24.6 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】........................................................................................2
【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】............................................................................................2
【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】............................................................................................3
【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】.......................................................................................................4
【题型5 定义法判断切线】...................................................................................................................................5
【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】...........................................................................................................6
【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】...........................................................................................................7
【题型8 利用切线的性质求线段长度】............................................................................................................... 8
【题型9 利用切线的性质求角度】.......................................................................................................................9
【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】.................................................................................................10
【知识点1 直线与圆的位置关系】
直
线
与
圆
的
位
置
关
系
设
的半径为
，圆心
到直线的距离为
则有：
相交：直线和圆有两
个公共点
r
d
直线和
相交
相切：直线和圆只有
一个公共点
d=r
直线和
相切
相离：直线和圆没有
公共点
d
r
直线和
相离
【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】
【例1】（2022 春•金山区校级月考）已知同一平面内有⊙O 和点A 与点B，如果⊙O 的半径为6cm，线段
OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB 与⊙O 的位置关系为（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．相交或相切
【变式1-1】（2022 秋•韶关期末）已知⊙O 的半径等于3，圆心O 到直线l 的距离为5，那么直线l 与⊙O
的位置关系是（ ）
A．直线l 与⊙O 相交
B．直线l 与⊙O 相切
C．直线l 与⊙O 相离
D．无法确定
【变式1-2】（2022 秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为O，点P 在函数y = 1
4 x
2−1的图象上，
以点P 为圆心，以OP 为半径的圆与直线y＝﹣2 的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．三种情况均有可能
【变式1-3】（2022 秋•自贡期末）如图，⊙O 的半径为5，圆心O 到一条直线的距离为2，则这条直线
可能是（ ）
A．l1
B．l2
C．l3
D．l4
【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】
【例2】（2022 秋•北仑区期末）⊙O 的半径为5，若直线l 与该圆相交，则圆心O 到直线l 的距离可能是
（ ）
A．3
B．5
C．6
D．10
【变式2-1】（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C
为圆心的圆与斜边AB 有公共点，那么⊙C 的半径r 的取值范围是（ ）
A．0≤r≤12
5
B．12
5 ≤r≤3
C．12
5 ≤r≤4
D．3≤r≤4
【变式2-2】（2022 秋•丛台区校级期中）已知矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝3，以点B 为圆心r 为半径作
圆，且⊙B 与边CD 有唯一公共点，则r 的取值范围为（ ）
A．3≤r≤4
B．3≤r＜5
C．3≤r＜4
D．3≤r≤5
【变式2-3】（2022 秋•丛台区校级期中）以坐标原点O 为圆心，作半径为4 的圆，若直线y＝﹣x+b 与⊙O
相交，则b 的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2√2
B．﹣4√2≤b≤4√2
C．﹣2√2＜b＜2√2 D．﹣4√2＜b＜4√2
【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例3】（2022 秋•武汉期末）已知⊙O 的半径等于5，圆心O 到直线l 的距离为6，那么直线l 与⊙O 的公
共点的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无法确定
【变式3-1】（2022 秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A 为圆心，4.8 长度为半
径的圆与直线BC 的公共点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．不能确定
【变式3-2】（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个
圆的公共点的个数是（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．0 或1 或2
【变式3-3】（2022 秋•沭阳县期中）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C 为圆心，r
为半径画圆．
（1）当r＝ 时，⊙C 与边AB 相切；
（2）当r 满足 时，⊙C 与边AB 只有一个交点；
（3）随着r 的变化，⊙C 与边AB 的交点个数还有哪些变化？写出相应的r 的值或取值范围．
【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】
【例4】（2022 秋•常熟市期中）如图，直线y= 3
4
x+3 与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，点P 是以C（1，
0）为圆心，1 为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB 面积的最小值是（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【变式4-1】（2022 秋•凉山州期末）点A 是半径为2 的⊙O 上一动点，点O 到直线MN 的距离为3．点P
是MN 上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA 的最小值是 ．
【变式4-2】（2022•乐亭县一模）如图，⊙O 的半径是5，点A 在⊙O 上．P 是⊙O 所在平面内一点，且
AP＝2，过点P 作直线l，使l⊥PA．
（1）点O 到直线l 距离的最大值为 ；
（2）若M，N 是直线l 与⊙O 的公共点，则当线段MN 的长度最大时，OP 的长为 ．
【变式4-3】（2022•广汉市模拟）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D 为线段BC 上一动
点．以CD 为⊙O 直径，作AD 交⊙O 于点E，连BE，则BE 的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【知识点2 切线的判定】
（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
【题型5 定义法判断切线】
【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（ ）
A．过半径外端的直线
B．与圆心的距离等于该圆半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．与圆有公共点的直线
【变式5-1】（2022 秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
【变式5-2】（2022 秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线．（2）与圆只有
一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．（4）和三角形三边所在
直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．1 个
【变式5-3】（2022 秋•慈溪市期末）已知⊙O 的半径为5，直线EF 经过⊙O 上一点P（点E，F 在点P 的
两旁），下列条件能判定直线EF 与⊙O 相切的是（ ）
A．OP＝5
B．OE＝OF
C．O 到直线EF 的距离是4
D．OP⊥EF
【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】
【例6】（2022•顺德区一模）如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A 作
AE∥BC 交CD 延长线于点E．
（1）求∠ABC 的大小；
（2）证明：AE 是⊙O 的切线．
【变式6-1】（2022•昭平县一模）如图，AB 是⊙O 的弦，OP⊥AB 交⊙O 于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB 的长；
（2）若C 是OP 的中点，求证：PB 是⊙O 的切线．
【变式6-2】（2022 春•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点
D，O 为AB 上一点，经过点A，D 的圆O 分别交AB，AC 于点E，F，连接EF．
求证：BC 是圆O 的切线．
【变式6-3】（2022 秋•武夷山市期末）如图，点P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点（PB＜OB），点E 是
线段OP 的中点．在直径AB 上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC 是⊙O 的切线．
【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】
【例7】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D，E 为AB 上
的一点，DE＝DC，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC 是⊙D 的切线；
（2）求线段AC 的长．
【变式7-1】（2022 秋•滨海县期末）如图，以点O 为圆心作圆，所得的圆与直线a 相切的是（ ）
A．以OA 为半径的圆
B．以OB 为半径的圆
C．以OC 为半径的圆
D．以OD 为半径的圆
【变式7-2】（2022•椒江区一模）如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相切于
点D．求证：AC 是⊙O 的切线．
【变式7-3】（2022 秋•丹江口市期中）如图，O 为正方形ABCD 对角线上一点，以点O 为圆心，OA 长为
半径的⊙O 与BC 相切于点E．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若正方形ABCD 的边长为10，求⊙O 的半径．
【知识点3 切线的性质】
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【题型8 利用切线的性质求线段长度】
【例8】（2022•新平县模拟）如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，点C 是切点，弦CF⊥AB
于点E，连接AC．
（1）求证：AC 平分∠DCF；
（2）若AD⊥CD，BE＝2，CF＝8，求AD 的长．
【变式8-1】（2022•泸县一模）如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的弦，过O 作OH⊥AC 于
点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O 的半径和AC 的长．
【变式8-2】（2022•建邺区一模）如图，AB、CD 是⊙O 的切线，B、D 为切点，AB＝2，CD＝4，AC＝
10．若∠A+∠C＝90°，则⊙O 的半径是 ．
【变式8-3】（2022•新抚区校级三模）如图，△ACD 内接于⊙O，AB 是⊙O 的切线，∠C＝45°，∠B＝
30°．AD＝4，则AB 长为（ ）
A．4
B．2√2
C．2√3
D．2√6
【题型9 利用切线的性质求角度】
【例9】（2022•红桥区三模）已知PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，连接AO 并延长，交PB 的延长
线于点C，连接PO，交⊙O 于点D．
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C 的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C 的大小．
【变式9-1】（2022 秋•香洲区期末）如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，AC 是⊙O 的直径，
∠BAC＝35°，求∠P 的度数．
【变式9-2】（2022•老河口市模拟）PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 是切点，点C 是⊙O 上不与A，B 重合
的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB 的度数为 ．
【变式9-3】（2022•曲阜市二模）已知BC 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，切点为A，AD 交CB 的延长
线于点D，连接AB，AO．
（Ⅰ）如图①，求证：∠OAC＝∠DAB；
（Ⅱ）如图②，AD＝AC，若E 是⊙O 上一点，求∠E 的大小．
【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】
【例10】（2022•五华区三模）如图，在△ABC 中，点D 是AC 边上一点，且AD＝AB，以线段AB 为直径
作⊙O，分别交BD，AC 于点E，点F，∠BAC＝2∠CBD．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若CD＝2，BC＝4，求点B 到AC 的距离．
【变式10-1】（2022•邵阳模拟）如图，AC 是⊙O 的直径，OD 与⊙O 相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC 的长度．
【变式10-2】（2022•衡阳）如图，AB 为⊙O 的直径，过圆上一点D 作⊙O 的切线CD 交BA 的延长线于点
C，过点O 作OE∥AD 交CD 于点E，连接BE．
（1）直线BE 与⊙O 相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE 的长．
【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC 内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO 并延长交⊙O 于点D，
连接BD，过点C 作CE∥AD 与BA 的延长线交于点E．
（1）求证：CE 与⊙O 相切；
（2）若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC 的长．
