文档文本内容
专题24.6 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】........................................................................................2
【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】............................................................................................4
【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】............................................................................................6
【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】.......................................................................................................9
【题型5 定义法判断切线】.................................................................................................................................13
【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】.........................................................................................................15
【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】.........................................................................................................19
【题型8 利用切线的性质求线段长度】............................................................................................................. 23
【题型9 利用切线的性质求角度】.....................................................................................................................27
【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】.................................................................................................30
【知识点1 直线与圆的位置关系】
直
线
与
圆
的
位
置
关
系
设
的半径为
，圆心
到直线的距离为
则有：
相交：直线和圆有两
个公共点
r
d
直线和
相交
相切：直线和圆只有
一个公共点
d=r
直线和
相切
相离：直线和圆没有
公共点
d
r
直线和
相离
【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】
【例1】（2022 春•金山区校级月考）已知同一平面内有⊙O 和点A 与点B，如果⊙O 的半径为6cm，线段
OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB 与⊙O 的位置关系为（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．相交或相切
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O 的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，
即点A 到圆心O 的距离大于圆的半径，点B 到圆心O 的距离等于圆的半径，
∴点A 在⊙O 外．点B 在⊙O 上，
∴直线AB 与⊙O 的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【变式1-1】（2022 秋•韶关期末）已知⊙O 的半径等于3，圆心O 到直线l 的距离为5，那么直线l 与⊙O
的位置关系是（ ）
A．直线l 与⊙O 相交
B．直线l 与⊙O 相切
C．直线l 与⊙O 相离
D．无法确定
【分析】根据“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离”即
可得到结论．
【解答】解：∵⊙O 的半径等于3，圆心O 到直线l 的距离为5，3＜5，
∴直线l 与⊙O 相离．
故选：C．
【变式1-2】（2022 秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为O，点P 在函数y = 1
4 x
2−1的图象上，
以点P 为圆心，以OP 为半径的圆与直线y＝﹣2 的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．三种情况均有可能
【分析】设P（t，1
4 t2﹣1），利用两点间的距离公式计算出OP= 1
4 t2+1，再计算出P 点到直线y＝﹣2
的距离为1
4 t2+1，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可得到圆与直线y＝﹣2 相切．
【解答】解：设P（t，1
4 t2﹣1），
∴OP=√t
2+( 1
4 t
2−1)
2=√( 1
4 t
2+1)
2= 1
4
t2+1，
∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴P 点在直线y＝﹣2 的上方，
∴P 点到直线y＝﹣2 的距离为1
4 t2﹣1﹣（﹣2）= 1
4 t2+1，
∴P 点到直线y＝﹣2 的距离等于圆的半径，
∴以点P 为圆心，以OP 为半径的圆与直线y＝﹣2 的位置关系是相切．
故选：B．
【变式1-3】（2022 秋•自贡期末）如图，⊙O 的半径为5，圆心O 到一条直线的距离为2，则这条直线
可能是（ ）
A．l1
B．l2
C．l3
D．l4
【分析】利用直线与圆的位置的判定方法进行判断．
【解答】解：∵直线l1与⊙O 相切，
∴圆心O 到一条直线l1的距离为5，
∵直线l2与⊙O 相离，
∴圆心O 到一条直线l2的距离大于5，
∵直线l3与l4与⊙O 相交，
∴圆心O 到一条直线l3和直线l4的距离都小于5，
而圆心O 到直线l3的距离较小，
∴圆心O 到一条直线的距离为2，这条直线可能是直线l3．
故选：C．
【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】
【例2】（2022 秋•北仑区期末）⊙O 的半径为5，若直线l 与该圆相交，则圆心O 到直线l 的距离可能是
（ ）
A．3
B．5
C．6
D．10
【分析】根据直线l 和⊙O 相交⇔d＜r，即可判断．
【解答】解：∵⊙O 的半径为5，直线l 与⊙O 相交，
∴圆心D 到直线l 的距离d 的取值范围是0≤d＜5，
故选：A．
【变式2-1】（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C
为圆心的圆与斜边AB 有公共点，那么⊙C 的半径r 的取值范围是（ ）
A．0≤r≤12
5
B．12
5 ≤r≤3
C．12
5 ≤r≤4
D．3≤r≤4
【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即
可得出答案．
【解答】解：过点C 作CD⊥AB 于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB 只有一个公共点，圆与斜边AB 只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r= 12
5 ，
当直线与圆如图所示也可以有交点，
∴12
5 ≤r≤4．
故选：C．
【变式2-2】（2022 秋•丛台区校级期中）已知矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝3，以点B 为圆心r 为半径作
圆，且⊙B 与边CD 有唯一公共点，则r 的取值范围为（ ）
A．3≤r≤4
B．3≤r＜5
C．3≤r＜4
D．3≤r≤5
【分析】由于BD＞AB＞BC，根据点与圆的位置关系得到3≤r≤5．
【解答】解：∵矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC=√A B
2+ BC
2=5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B 为圆心作圆，⊙B 与边CD 有唯一公共点，
∴⊙B 的半径r 的取值范围是：3≤r≤5；
故选：D．
【变式2-3】（2022 秋•丛台区校级期中）以坐标原点O 为圆心，作半径为4 的圆，若直线y＝﹣x+b 与⊙O
相交，则b 的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2√2
B．﹣4√2≤b≤4√2
C．﹣2√2＜b＜2√2 D．﹣4√2＜b＜4√2
【分析】求出直线y＝﹣x+b 与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b 与圆相切，且
函数经过二、三、四象限时b 的值，则相交时b 的值在相切时的两个b 的值之间．
【解答】解：当直线y＝﹣x+b 与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b 中，令x＝0 时，y＝b，则与y 轴的交点是B（0，b），
当y＝0 时，x＝b，则与y 轴的交点是A（b，0），
则OA＝OB＝b，即△OAB 是等腰直角三角形，
在Rt△ABC 中，
AB=√O A
2+O B
2=√b
2+b
2=√2b，
连接圆心O 和切点C，则OC＝4，OC⊥AB，
∵S△AOB= 1
2OA•OB= 1
2AB•OC，
∴4= OA ⋅OB
AB
= b⋅b
√2b ，
则b＝4√2；
同理，当直线y＝﹣x+b 与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣4√2；
则若直线y＝﹣x+b 与⊙O 相交，则b 的取值范围是﹣4√2＜b＜4√2．
故选：D．
【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例3】（2022 秋•武汉期末）已知⊙O 的半径等于5，圆心O 到直线l 的距离为6，那么直线l 与⊙O 的公
共点的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无法确定
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l 和⊙O 相离，然后根据相离的定义对各选项进
行判断．
【解答】解：∵⊙O 的半径等于5，圆心O 到直线l 的距离为6，
即圆心O 到直线l 的距离大于圆的半径，
∴直线l 和⊙O 相离，
∴直线l 与⊙O 没有公共点．
故选：A．
【变式3-1】（2022 秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A 为圆心，4.8 长度为半
径的圆与直线BC 的公共点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．不能确定
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，
则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝10，
∴斜边上的高为：AB⋅AC
BC
=4.8，
∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，
∴圆与该直线BC 的位置关系是相切，交点个数为1，
故选：B．
【变式3-2】（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个
圆的公共点的个数是（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．0 或1 或2
【分析】根据当圆的半径r＞圆心到直线的距离d 时，直线与圆相交，即可得出直线l 和这个圆的公共
点的个数．
【解答】解：∵圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，
∴r＞d，
∴直线与圆相交，
∴这条直线和这个圆的公共点的个数为2．
故选：C．
【变式3-3】（2022 秋•沭阳县期中）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C 为圆心，r
为半径画圆．
（1）当r＝
2.4
时，⊙C 与边AB 相切；
（2）当r 满足
3 ＜
r ≤
4 或
r ＝
2.4
时，⊙C 与边AB 只有一个交点；
（3）随着r 的变化，⊙C 与边AB 的交点个数还有哪些变化？写出相应的r 的值或取值范围．
【分析】（1）当⊙C 与边AB 相切时，则d＝r，由此求出r 的值即可；
（2）根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可
得出答案；
（3）随着r 的变化，⊙C 与边AB 的交点个数由0 个、1 个、2 个三种情况．
【解答】解：（1）过点C 作CD⊥AB 于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB 只有一个公共点，圆与斜边AB 只有一个公共点，如图1，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝2.4，
故答案为：r＝2.4．
（2）①当直线与圆相切时，即d＝r＝2.4，圆与斜边AB 只有一个公共点，圆与斜边AB 只有一个公共
点，
②当直线与圆如图所示也可以有一个交点，如图2，
∴3＜r≤4，
故答案为：3＜r≤4 或r＝2.4；
（3）①如图3，当0≤r＜2.4 时，圆C 与边AB 有0 个交点；
②如图1，当r＝2.4 时，圆C 与边AB 有1 个交点；
③如图4，当2.4＜r≤3 时，圆C 与边AB 有2 个交点；
④如图2，当3＜r≤4 时，圆C 与边AB 有1 个交点；
⑤如图5，当r＞4 时，圆C 与边AB 有0 个交点；
综上所述，当0≤r＜2.4 或r＞4 时，圆C 与边AB 有0 个交点；
当3＜r≤4 或r＝2.4 时，圆C 与边AB 有1 个交点；
当2.4＜r≤3 时，圆C 与边AB 有2 个交点．
【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】
【例4】（2022 秋•常熟市期中）如图，直线y= 3
4 x+3 与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，点P 是以C（1，
0）为圆心，1 为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB 面积的最小值是（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【分析】作CH⊥AB 于H 交⊙O 于E、F．当点P 与E 重合时，△PAB 的面积最小，求出EH、AB 的长
即可解决问题
【解答】解：作CH⊥AB 于H 交⊙O 于E、F．
∵C（1，0），直线AB 的解析式为y= 3
4 x+3，
∴直线CH 的解析式为y=−4
3 x+ 4
3 ，
由 {
y =−4
3 x + 4
3
y = 3
4 x +3
解得{
x =−4
5
y = 12
5
，
∴H（−4
5 ，12
5 ），
∴CH=√(1+ 4
5 )
2+( 12
5 )
2=3，
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，
∴EH＝3﹣1＝2，
当点P 与E 重合时，△PAB 的面积最小，最小值= 1
2 ×5×2＝5，
故选：A．
【变式4-1】（2022 秋•凉山州期末）点A 是半径为2 的⊙O 上一动点，点O 到直线MN 的距离为3．点P
是MN 上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA 的最小值是 √13 ．
【分析】根据勾股定理用OP 表示出PA，根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：∵∠POA＝90°，
∴PA=√O A
2+O P
2=√4 +O P
2，
当OP 最小时，PA 取最小值，
由题意得：当OP⊥MN 时，OP 最小，最小值为3，
∴PA 的最小值为：√4+3
2=√13，
故答案为：√13．
【变式4-2】（2022•乐亭县一模）如图，⊙O 的半径是5，点A 在⊙O 上．P 是⊙O 所在平面内一点，且
AP＝2，过点P 作直线l，使l⊥PA．
（1）点O 到直线l 距离的最大值为
7
；
（2）若M，N 是直线l 与⊙O 的公共点，则当线段MN 的长度最大时，OP 的长为 √21 ．
【分析】（1）如图1，当点P 在圆外且O，A，P 三点共线时，点O 到直线l 距离的最大，于是得到结
论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN 是⊙O 的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，∵l⊥PA，
∴当点P 在圆外且O，A，P 三点共线时，点O 到直线l 的距离最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N 是直线l 与⊙O 的公共点，当线段MN 的长度最大时，
线段MN 是⊙O 的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO＝90°，
∵AP＝2，OA＝5，
∴OP=√O A
2−P A
2=√21，
故答案为：7，√21．
【变式4-3】（2022•广汉市模拟）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D 为线段BC 上一动
点．以CD 为⊙O 直径，作AD 交⊙O 于点E，连BE，则BE 的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E 在以AC 为直径的⊙Q 上，继而知点Q、E、
B 共线时BE 最小，根据勾股定理求得QB 的长，即可得答案．
【解答】解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，
∴点E 在以AC 为直径的⊙Q 上，
∵AC＝10，
∴QC＝QE＝5，
当点Q、E、B 共线时BE 最小，
∵BC＝12，
∴QB=√BC
2+QC
2=13，
∴BE＝QB﹣QE＝8，
故选：B．
【知识点2 切线的判定】
（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
【题型5 定义法判断切线】
【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（ ）
A．过半径外端的直线
B．与圆心的距离等于该圆半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．与圆有公共点的直线
【分析】根据选项举出反例图形即可判断A、C、D；根据切线的判定即可判断B．
【解答】解：切线的判定定理有：①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，②与圆心
的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，
A、如图EF 不是⊙O 的切线，故本选项错误；
B、与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、如图，EF⊥半径OA，但EF 不是⊙O 的切线，故本选项错误；
D、如上图，EF⊙O 有公共点，但EF 不是⊙O 的切线，故本选项错误；
故选：B．
【变式5-1】（2022 秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，
故A，B，D 选项不正确，C 选项正确，
故选：C．
【变式5-2】（2022 秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线．（2）与圆只有
一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．（4）和三角形三边所在
直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．1 个
【分析】利用切线的性质进行判断后即可得到答案．
【解答】解：（1）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题错误．
（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，原命题正确．
（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线，正确．
（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有四个，原命题错误．
故选：A．
【变式5-3】（2022 秋•慈溪市期末）已知⊙O 的半径为5，直线EF 经过⊙O 上一点P（点E，F 在点P 的
两旁），下列条件能判定直线EF 与⊙O 相切的是（ ）
A．OP＝5
B．OE＝OF
C．O 到直线EF 的距离是4
D．OP⊥EF
【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．
【解答】解：
∵点P 在⊙O 上，
∴只需要OP⊥EF 即可，
故选：D．
【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】
【例6】（2022•顺德区一模）如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A 作
AE∥BC 交CD 延长线于点E．
（1）求∠ABC 的大小；
（2）证明：AE 是⊙O 的切线．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，根据等边三角形的性
质解答即可；
（2）连接AO 并延长交BC 于F，根据垂径定理的推论得到AF⊥BC，根据平行线的性质得到AF⊥AE，
根据切线的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，
∴△ABC 为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
（2）证明：连接AO 并延长交BC 于F，
∵AB＝AC，
∴^
AB =^
AC，
∴AF⊥BC，
∴AF⊥AE，
∵OA 是⊙O 的半径，
∴AE 是⊙O 的切线．
【变式6-1】（2022•昭平县一模）如图，AB 是⊙O 的弦，OP⊥AB 交⊙O 于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB 的长；
（2）若C 是OP 的中点，求证：PB 是⊙O 的切线．
【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，则∠OAD＝30°，所以OD
= 1
2OA＝1，AD=√3OD=√3，再根据垂径定理得AD＝BD，所以AB＝2√3；
（2）由（1）∠BOC＝60°，则△OCB 为等边三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而
CP＝CO＝CB，则∠CBP＝∠P，可计算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根据
切线的判定定理得PB 是⊙O 的切线．
【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，
∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，
∴∠AOC＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD= 1
2OA= 1
2 ×2＝1，
∴AD=√3OD=√3，
又∵OP⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝2√3；
（2）证明：由（1）∠BOC＝60°，
而OC＝OB，
∴△OCB 为等边三角形，
∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴C 是OP 的中点，
∴CP＝CO＝CB，
∴∠CBP＝∠P，
而∠OCB＝∠CBP+∠P，
∴∠CBP＝30°
∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，
∴OB⊥BP，
∴PB 是⊙O 的切线．
【变式6-2】（2022 春•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点
D，O 为AB 上一点，经过点A，D 的圆O 分别交AB，AC 于点E，F，连接EF．
求证：BC 是圆O 的切线．
【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠CAD＝∠ODA，根据平行线的判定
得出OD∥AC，求出OD⊥BC，再根据切线的判定推出即可．
【解答】证明：连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∵OD 过圆心O，
∴BC 是圆O 的切线．
【变式6-3】（2022 秋•武夷山市期末）如图，点P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点（PB＜OB），点E 是
线段OP 的中点．在直径AB 上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC 是⊙O 的切线．
【分析】连接OC，根据线段中点的定义得到OE＝EP，求得OE＝EC＝EP，得到∠COE＝∠ECO，
∠ECP＝∠P，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连接OC，
∵点E 是线段OP 的中点，
∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC 是⊙O 的半径，
∴PC 是⊙O 的切线．
【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】
【例7】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D，E 为AB 上
的一点，DE＝DC，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC 是⊙D 的切线；
（2）求线段AC 的长．
【分析】（1）过点D 作DF⊥AC 于F，求出BD＝DF 等于半径，得出AC 是⊙D 的切线．
（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出
AB+EB＝AC．
【解答】证明：（1）过点D 作DF⊥AC 于F；
∵AB 为⊙D 的切线，
∴∠B＝90°
∴AB⊥BC
∵AD 平分∠BAC，DF⊥AC
∴BD＝DF
∴AC 与⊙D 相切；
（2）在△BDE 和△DCF 中；
∵BD＝DF，DE＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB＝FC．
∵AB＝AF，
∴AB+EB＝AF+FC，
即AB+EB＝AC，
∴AC＝5+3＝8．
【变式7-1】（2022 秋•滨海县期末）如图，以点O 为圆心作圆，所得的圆与直线a 相切的是（ ）
A．以OA 为半径的圆
B．以OB 为半径的圆
C．以OC 为半径的圆
D．以OD 为半径的圆
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵OD⊥a 于D，
∴以点O 为圆心，OD 为半径的圆与直线a 相切．
故选：D．
【变式7-2】（2022•椒江区一模）如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相切于
点D．求证：AC 是⊙O 的切线．
【分析】过点O 作OE⊥AC 于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三
线合一的性质得出AO 是∠BAC 的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．
【解答】证明：过点O 作OE⊥AC 于点E，连接OD，OA，
∵AB 与⊙O 相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，
∴AO 是∠BAC 的平分线，
∴OE＝OD，即OE 是⊙O 的半径，
∵圆心到直线的距离等于半径，
∴AC 是⊙O 的切线．
【变式7-3】（2022 秋•丹江口市期中）如图，O 为正方形ABCD 对角线上一点，以点O 为圆心，OA 长为
半径的⊙O 与BC 相切于点E．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若正方形ABCD 的边长为10，求⊙O 的半径．
【分析】（1）首先连接OE，并过点O 作OF⊥CD，由OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点E，可得OE
＝OA，OE⊥BC，然后由AC 为正方形ABCD 的对角线，根据角平分线的性质，可证得OF＝OE＝OA，
即可判定CD 是⊙O 的切线；
（2）由正方形ABCD 的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设OA＝r，可得OE＝EC＝r，由勾股
定理求得OC=√2r，则可得方程r+√2r＝10√2，继而求得答案．
【解答】（1）证明：连接OE，并过点O 作OF⊥CD．
∵BC 切⊙O 于点E，
∴OE⊥BC，OE＝OA，
又∵AC 为正方形ABCD 的对角线，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴OF＝OE＝OA，
即：CD 是⊙O 的切线．
（2）解：∵正方形ABCD 的边长为10，
∴AB＝BC＝10，∠B＝90°，∠ACB＝45°，
∴AC=√A B
2+ BC
2=10√2，
∵OE⊥BC，
∴OE＝EC，
设OA＝r，则OE＝EC＝r，
∴OC=√O E
2+ EC
2=√2r，
∵OA+OC＝AC，
∴r+√2r＝10√2，
解得：r＝20﹣10√2．
∴⊙O 的半径为：20﹣10√2．
【知识点3 切线的性质】
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【题型8 利用切线的性质求线段长度】
【例8】（2022•新平县模拟）如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，点C 是切点，弦CF⊥AB
于点E，连接AC．
（1）求证：AC 平分∠DCF；
（2）若AD⊥CD，BE＝2，CF＝8，求AD 的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ACO＝
∠CAE，根据等角的余角相等可得出结论；
（2）根据垂径定理得到CE= 1
2CF＝4，根据勾股定理求出⊙O 的半径，根据角平分线的性质定理解答
即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD 切⊙O 于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°．
∵CF⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACF+∠CAE＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAE，
∴∠ACD＝∠ACF；
（2）解：由（1）可知，∠ACD＝∠ACF．
∵CF⊥AB，CF＝8，
∴CE= 1
2CF＝4，
设⊙O 的半径为r，则OE＝r﹣3，
在Rt△OEC 中，OC2＝OE2+CE2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣2＝8，
∵∠ACD＝∠ACF，AD⊥CD，CF⊥AB，
∴AD＝AE＝8．
【变式8-1】（2022•泸县一模）如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的弦，过O 作OH⊥AC 于
点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O 的半径和AC 的长．
【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝
CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC 的长．
【解答】解：∵AB 为切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
在Rt△OAB 中，OA=√O B
2−A B
2=√13
2−12
2=5，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH，
在Rt△OAH 中，AH=√O A
2−O H
2=√5
2−3
2=4，
∴AC＝2AH＝8，
答：⊙O 的半径为5，AC 的长为8．
【变式8-2】（2022•建邺区一模）如图，AB、CD 是⊙O 的切线，B、D 为切点，AB＝2，CD＝4，AC＝
10．若∠A+∠C＝90°，则⊙O 的半径是
4
．
【分析】连接OB，OD，根据切线的性质得到∠OBE＝∠ODE＝90°，延长AB，CD 交于E，求得∠AEC
＝90°，根据正方形的性质得到BE＝DE＝OB，设⊙O 的半径是r，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接OB，OD，
∵AB、CD 是⊙O 的切线，B、D 为切点，
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
延长AB，CD 交于E，
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEB 是矩形，
∵OB＝OD，
∴四边形ODEB 是正方形，
∴BE＝DE＝OB，
设⊙O 的半径是r，
∴AE＝r+2，CE＝r+4，
∵AE2+CE2＝AC2，
∴（r+2）2+（r+4）2＝102，
解得：r＝4（负值舍去），
∴⊙O 的半径是4，
故答案为：4．
【变式8-3】（2022•新抚区校级三模）如图，△ACD 内接于⊙O，AB 是⊙O 的切线，∠C＝45°，∠B＝
30°．AD＝4，则AB 长为（ ）
A．4
B．2√2
C．2√3
D．2√6
【分析】如图，连接OA、OD，构造等腰直角△AOD 和直角△AOB．首先利用勾股定理求得OA 的长度，
然后通过解直角△AOB 求得边AB 的长度．
【解答】解：如图，连接OA、OD，
∵∠C＝45°．
∴∠AOD＝2∠C＝90°．
又∵OA＝OD，AD＝4，
∴AD2＝2OA2＝16，则OA＝2√2．
又∵AB 是⊙O 的切线，
∴∠OAB＝90°．
∵∠B＝30°，OA＝2√2，
∴AB=√3OA＝2√6．
故选：D．
【题型9 利用切线的性质求角度】
【例9】（2022•红桥区三模）已知PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，连接AO 并延长，交PB 的延长
线于点C，连接PO，交⊙O 于点D．
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C 的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C 的大小．
【分析】（Ⅰ）根据切线的性质和三角形的内角和解答即可；
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP 为x，利用三角形内角和解答即可．
【解答】
解：（Ⅰ）连接BO，
∵PA、PB 是⊙O 的切线，
∴∠APO＝∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB，
∵∠AOP＝65°，
∴∠APO＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
＜∠AOP＝∠BPO+∠C，
∴∠C＝∠AOP﹣∠BPO＝65°﹣25°＝40°，
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP＝x，
∵PA、PB 是⊙O 的切线，
∴∠APO＝∠BPO＝x，PA⊥AO，PB⊥OB，
∴∠APO＝90°﹣∠AOP＝90°﹣x，
∠BOP＝90°﹣∠BPO＝90°﹣x，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠BOP＝180°﹣2x，
∴∠OCB＝90°﹣∠BOC＝90°﹣2x，
∵OC∥BD，
∴∠DBP＝∠C＝90°﹣2x，
∴∠OBD＝2x，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝2x，
∵∠OBD+∠ODB+∠DOB＝180°，
∴x＝30°，
∴∠C＝90°﹣2x＝30°．
【变式9-1】（2022 秋•香洲区期末）如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，AC 是⊙O 的直径，
∠BAC＝35°，求∠P 的度数．
【分析】根据题意可以求得∠OAP 和∠OBP 的度数，然后根据∠BAC＝35°，即可求得∠P 的度数．
【解答】解：∵PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，AC 是⊙O 的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠BAC＝35°，OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠PAB＝∠PBA＝55°，
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝70°，
即∠P 的度数是70°．
【变式9-2】（2022•老河口市模拟）PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 是切点，点C 是⊙O 上不与A，B 重合
的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB 的度数为
55°
或
125°
．
【分析】根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根据四边形内角和得到∠AOB＝110°，然
后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求∠ACB 的度数．
【解答】解：∵PA，PB 是⊙O 的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∵∠APB＝70°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
当点C 在劣弧AB 上，则∠ACB= 1
2∠AOB＝55°，
当点C′在优弧AB 上，则∠AC′B＝180°﹣55°＝125°．
则∠ACB 的度数为55°或125°．
故答案为：55°或125°．
【变式9-3】（2022•曲阜市二模）已知BC 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，切点为A，AD 交CB 的延长
线于点D，连接AB，AO．
（Ⅰ）如图①，求证：∠OAC＝∠DAB；
（Ⅱ）如图②，AD＝AC，若E 是⊙O 上一点，求∠E 的大小．
【分析】（Ⅰ）先由切线和直径得出直角，再用同角的余角相等即可；
（Ⅱ）由等腰三角形的性质和圆的性质直接先判断出∠ABC＝2∠C，即可求出∠C．
【解答】解：（Ⅰ）∵AD 是⊙O 的切线，切点为A，
∴DA⊥AO，
∴∠DAO＝90°，
∴∠DAB+∠BAO＝90°，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠DAB，
（Ⅱ）∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C，
∵AD＝AC，
∴∠D＝∠C，
∴∠OAC＝∠D，
∵∠OAC＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠D，
∵∠ABC＝∠D+∠DAB，
∴∠ABC＝2∠D，
∵∠D＝∠C，
∴∠ABC＝2∠C，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴2∠C+∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠E＝∠C＝30°
【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】
【例10】（2022•五华区三模）如图，在△ABC 中，点D 是AC 边上一点，且AD＝AB，以线段AB 为直径
作⊙O，分别交BD，AC 于点E，点F，∠BAC＝2∠CBD．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若CD＝2，BC＝4，求点B 到AC 的距离．
【分析】（1）连接AE，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，由等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠DAE，进
而征得∠BAE＝∠CBD，得到∠ABE+∠CBD＝∠ABC＝90°，根据切线的判定即可证得BC 是⊙O 的切线；
（2）连接BF，可得AF⊥AC，在Rt△ABC 中，根据勾股定理求出AB＝3，AC＝5，由三角形的面积公
式即可求出BF．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵线段AB 为⊙O 的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BD，∠BAE+∠ABE＝90°，
∵AD＝AB，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵∠BAC＝2∠CBD，
∴∠BAE＝∠CBD，
∴∠ABE+∠CBD＝∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴BC 是⊙O 的切线；
（2）解：连接BF，
∵线段AB 为⊙O 的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥AC，
在Rt△ABC 中，AB2+BC2＝AC2，BC＝4，AC＝AD+CD＝AB+2，
∴AB2+42＝（AB+2）2，
∴AB＝3，
∴AC＝5，
∵S△ABC= 1
2AB•BC= 1
2AC•BF，
∴BF= AB⋅BC
AC
= 3×4
5
= 12
5 ，
即点B 到AC 的距离为12
5 ．
【变式10-1】（2022•邵阳模拟）如图，AC 是⊙O 的直径，OD 与⊙O 相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC 的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ABC＝90°，求出∠ACB+∠CAB＝90°，求出∠OAD＝90°，再根据
切线的判定得出即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得出OA= 1
2OD，求出OA，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
又∵∠ACB＝∠DAB，
∴∠DAB+∠CAB＝90°，即∠OAD＝90°，
∵OA 是⊙O 的半径，
∴AD 是⊙O 的切线；
（2）解：由（1）可知∠OAD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
∴OA= 1
2OD= 1
2（OB+BD），
∵OA＝OB，BD＝2，
∴OA＝2，
∴AC＝2OA＝4．
【变式10-2】（2022•衡阳）如图，AB 为⊙O 的直径，过圆上一点D 作⊙O 的切线CD 交BA 的延长线于点
C，过点O 作OE∥AD 交CD 于点E，连接BE．
（1）直线BE 与⊙O 相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE 的长．
【分析】（1）连接OD，理由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得
OE 平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即
可解答；
（2）设⊙O 的半径为r，先在Rt△ODC 中，利用勾股定理求出r 的长，再利用（1）的结论可得DE＝
BE，最后在Rt△BCE 中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：（1）直线BE 与⊙O 相切，
理由：连接OD，
∵CD 与⊙O 相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵AD∥OE，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOE＝∠EOB，
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵OB 是⊙O 的半径，
∴直线BE 与⊙O 相切；
（2）设⊙O 的半径为r，
在Rt△ODC 中，OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴AB＝2r＝6，
∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，
由（1）得：△DOE≌△BOE，
∴DE＝BE，
在Rt△BCE 中，BC2+BE2＝CE2，
∴82+BE2＝（4+DE）2，
∴64+DE2＝（4+DE）2，
∴DE＝6，
∴DE 的长为6．
【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC 内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO 并延长交⊙O 于点D，
连接BD，过点C 作CE∥AD 与BA 的延长线交于点E．
（1）求证：CE 与⊙O 相切；
（2）若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC 的长．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，再根据AD∥EC，可得∠OCE＝90°，从而证
明结论；
（2）过点A 作AF⊥EC 交EC 于F，由AD 是圆O 的直径，得∠ABD＝90°，又AD＝4，∠D＝60°，即
得AB=√3BD＝2√3，根据∠ABC＝45°，知△ABF 是等腰直角三角形，AF＝BF= √2
2 AB=√6，又△AOC
是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，得AC＝2√2，故CF=√A C
2−A F
2=√2，从而BC＝BF+CF
=√6+√2．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵AD∥EC，
∴∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC 为半径，
∴CE 是⊙O 的切线；
（2）解：过点A 作AF⊥BC 于F，如图：
∵AD 是圆O 的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝4，∠D＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD= 1
2AD＝2，
∴AB=√3BD＝2√3；
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF 是等腰直角三角形，
∴AF＝BF= √2
2 AB= √2
2 ×2√3=√6，
∵△AOC 是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，
∴AC＝2√2，
∴CF=√A C
2−A F
2=√(2√2)
2−(√6)
2=√2，
∴BC＝BF+CF=√6+√2．
答：线段AB 的长为2√3，线段BC 的长为√6+√2．
