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§1.2 常用逻辑用语
分值：95 分
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.“x<0”是“√x
2=-x”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.命题“∃x∈R，ex>ln x+1”的否定是( )
A.∀x∈R，ex≤ln x+1
B.∃x∈R，ex≤ln x+1
C.∀x∉R，ex>ln x+1
D.∃x∉R，ex>ln x+1
3.(2025·常州调研)已知a，b∈R，则“b=ea”是“a=ln b”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2025·朔州模拟)已知A，B 为实数，则“AB<0”是“Ax2+By2=1 为双曲线方程”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.下列叙述错误的是( )
A.命题“∃x∈R，x2-1≤-1”的否定是“∀x∈R，x2-1>-1”
B.若幂函数y=(m2-2m-2)x2-4m在(0，+∞)上单调递增，则实数m 的值为-1
C.∀x∈(0，+∞)，2x>log2x
D.设a∈R，则“a2>3”是“a>√3”的充分不必要条件
6.(2024·南通模拟)若“∃x∈(0，π)，sin 2x-ksin x<0”为假命题，则k 的取值范围为( )
A.(-∞，-2]
B.(-∞，2]
C.(-∞，-2)
D.(-∞，2)
7.(2025·宁波模拟)命题“∃x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≤-1
4
B.a≤0
C.a≥6
D.a≥8
8.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n 项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{
Sn
n }为等差数列，则(
)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.下列既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.∃x∈R，|x|<0
B.∃x∈Z，cos π
2 x=-1
C.至少有一个x∈Z，使x 能同时被3 和5 整除
D.每个平行四边形都是中心对称图形
10.下列说法正确的是( )
A.命题“∃x≥1，x2>1”的否定是“∀x<1，x2≤1”
B.“a>0 且Δ=b2-4ac≤0”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0 的解集为R”的充要条件
C.“a>0”是“a>1”的必要不充分条件
D.已知a，b∈R，则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是“ab>0”
11.下列说法正确的为( )
A.异面直线所成的角的范围是[0，π]
B.已知A={x|-1≤x≤2}，B={x|2x-a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是
a>4
C.若命题“∃x∈R，mx2+mx+1<0”是假命题，则0<m<4
D.已知p：0<x≤1，q：4x+2x-m≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为m≥6
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明： .
13.(2025·晋城联考)已知集合P={y|y=x+a，-1<x≤2}，Q={x|ln(2-x)<0}，若x∈P 是x∈Q 的必要不充分条件，
则实数a 的取值范围为 .
14.已知命题“∃x∈[-1，2]，x2-3x+a>0”是假命题，则实数a 的取值范围是 .
15，18 题每小题5 分，16，17 题每小题6 分，共22 分
15.(2025·秦皇岛模拟)下列说法正确的是( )
A.“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件
B.命题“∀x∈(0，+∞)，x+1
x >1”的否定是“∀x∈(0，+∞)，x+1
x ≤1”
C.“ω=π”是“函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件
D.“cos2α+sin2β=1”的充要条件是“α=β”
16.(多选)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z 的方程xn+yn=zn没有正整
数解”.经历三百多年，由数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，
则下列命题正确的为( )
A.至少存在一组正整数组(x，y，z)是关于x，y，z 的方程x3+y3=z3的解
B.关于x，y 的方程x3+y3=1 有正有理数解
C.关于x，y 的方程x3+y3=1 没有正有理数解
D.当整数n>3 时，关于x，y，z 的方程xn+yn=zn有正实数解
17.(多选)已知p：∀x∈[0，1]，不等式2x-2≥m2-3m 恒成立，q：∃x∈[1，3]，不等式x2-ax+4≤0，则下列说
法正确的是( )
A.p 的否定是：∃x∈[0，1]，不等式2x-2<m2-3m
B.q 的否定是：∀x∈[1，3]，不等式x2-ax+4≤0
C.若p 为真命题，则1≤m≤2
D.若q 为假命题，则a<4
18.若“∃x∈(0，m)，使得x> 5
lg30
3
lg0.5”为假命题，则m 的最大值为 .
答案精析
1.A 2.A
3.A [根据指数式和对数式的互化公式可知b=ea⇔a=ln b，所以“b=ea”是“a=ln b”的充要条件.]
4.C [当Ax2+By2=1 表示双曲线时，AB<0，而当AB<0 时，Ax2+By2=1 表示的是双曲线，所以“AB<0”是
“Ax2+By2=1 为双曲线方程”的充要条件.]
5.D [对于A，命题“∃x∈R，x2-1≤-1”的否定是“∀x∈R，x2-1>-1”，A 正确；
对于B，由{
m
2-2m-2=1，
2- 4 m>0，
解得m=-1，B 正确；
对于C，当x>0 时，函数y=2x的图象在直线y=x 上方，函数y=log2x 的图象在直线y=x 下方，则2x>log2x，C
正确；
对于D，由a2>3，得a<-√3或a>√3，因此“a2>3”是“a>√3”的必要不充分条件，D 错误.]
6.A [依题意知命题“∃x∈(0，π)，sin 2x-ksin x<0”为假命题，则“∀x∈(0，π)，sin 2x-ksin x≥0”为真命
题，所以2sin xcos x≥ksin x，则k≤2cos x 在x∈(0，π)时恒成立，解得k≤-2，所以k 的取值范围为(-
∞，-2].]
7.D [若命题“∃x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题，
则命题的否定“∀x∈[-2，1]，x2-x-a≤0”为真命题，
即a≥x2-x，x∈[-2，1]恒成立，
对于函数y=x2-x=(x - 1
2)
2
-1
4 ，x∈[-2，1]，
当x=-2 时，取得最大值y=6，
所以a≥6，选项中只有{a|a≥8}是{a|a≥6}的真子集，
所以命题“∃x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件为a≥8.]
8.C [方法一 甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn=na1+n(n-1)
2
d，Sn
n =a1+n-1
2
d=d
2
n+a1-d
2 ，Sn+1
n+1-Sn
n =d
2 ，
因此{
Sn
n }为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：{
Sn
n }为等差数列，
即Sn+1
n+1-Sn
n =n Sn+1-(n+1)Sn
n(n+1)
=nan+1- Sn
n(n+1) 为常数，设为t，
即nan+1- Sn
n(n+1) =t，
则Sn=nan+1-t·n(n+1)，
有Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1)，n≥2，
两式相减得an=nan+1-(n-1)an-2tn，
即an+1-an=2t，对n=1 也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
方法二 甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
即Sn=na1+n(n-1)
2
d，
则Sn
n =a1+n-1
2
d=d
2 n+a1-d
2 ，
因此{
Sn
n }为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：{
Sn
n }为等差数列，
设数列{
Sn
n }的公差为D，
则Sn+1
n+1-Sn
n =D，Sn
n =S1+(n-1)D，
即Sn=nS1+n(n-1)D，
当n≥2 时，
Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D，
上边两式相减得
Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D，
所以an=a1+2(n-1)D，
当n=1 时，上式成立，
又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D 为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.]
9.BC [选项A 为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负，
即|x|≥0，所以A 是假命题；
选项B 为存在量词命题，当x=2 时，满足cos(
π
2 ·2)=cos π=-1，所以B 既是存在量词命题又是真命题；
选项C 为存在量词命题，15 能同时被3 和5 整除，所以C 既是存在量词命题又是真命题；
选项D 是全称量词命题，所以D 不符合题意.]
10.BC [对于A，命题的否定是“∀x≥1，x2≤1”，故A 错误；
对于B，若a>0 且Δ=b2-4ac≤0，则不等式的解集为R，充分性成立，若不等式的解集为R，则a>0 且
Δ=b2-4ac≤0，即必要性成立，故B 正确；
对于C，若a>0，不可以推出a>1，例如a=1
2，即充分性不成立，若a>1，可以推出a>0，即必要性成立，
故C 正确；
对于D，例如a=b=0，可以推出|a+b|=|a|+|b|，即|a+b|=|a|+|b|不可以推出ab>0，故D 错误.]
11.BD [对于A，异面直线所成的角的范围是(0，π
2]，A 错误；
对于B，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得集合A 真包含于集合B，所以a
2>2，即a>4，B 正确；
对于C，若命题是假命题，则“∀x∈R，mx2+mx+1≥0”是真命题，故m=0 或{
m>0，
Δ=m
2- 4 m≤0，解得
0≤m≤4，C 错误；
对于D，由p 是q 的充分条件，则p⇒q，即对于0<x≤1，4x+2x-m≤0 恒成立，令t=2x，t∈(1，2]，则
m≥t2+t 对于t∈(1，2]恒成立，又y=t2+t=(t + 1
2)
2
-1
4 ∈(2，6]，则m≥6，D 正确.]
12.存在一个素数不是奇数
解析 因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为
了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数.
13.[0，2]
解析 由y=x+a，-1<x≤2，则a-1<y≤a+2，
所以P={y|a-1<y≤a+2}，
由ln(2-x)<0，即ln(2-x)<ln 1，解得1<x<2，
所以Q={x|1<x<2}，
因为x∈P 是x∈Q 的必要不充分条件，则Q⫋P，
所以{
a-1≤1，
a+2≥2，
解得0≤a≤2.
所以实数a 的取值范围为[0，2].
14.(-∞，-4]
解析 由题意得，“∀x∈[-1，2]，x2-3x+a≤0”是真命题，则a≤-x2+3x 对∀x∈[-1，2]恒成立，在区间
[-1，2]上，-x2+3x 的最小值为-(-1)2+3×(-1)=-4，所以a≤(-x2+3x)min=-4，即a 的取值范围是(-∞，-4].
15.C [对于A，“若a>b，则a2>b2”是假命题，
例如1>-2，而12<(-2)2，
“若a2>b2，则a>b”是假命题，例如(-2)2>12，而-2<1，
即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，A 错误；
对于B，命题“∀x∈(0，+∞)，x+1
x >1”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此它的否定是“∃x∈(0，+∞)，x+1
x ≤1”，B 错误；
对于D，当α=π
3 ，β=2π
3 时，cos2α+sin2β=1 成立，因此cos2α+sin2β=1 成立，不一定有α=β，D 错误；
对于C，当ω=π 时，函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2，
当函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2 时，ω=π 或ω=-π.
所以“ω=π”是“函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件，C 正确.]
16.CD [当正整数n>2 时，关于x，y，z 的方程xn+yn=zn没有正整数解，故方程x3+y3=z3没有正整数解，A
错误；
x3+y3=z3没有正整数解，即(
x
z)
3
+(
y
z)
3
=1(z≠0)没有正有理数解，B 错误，C 正确；
方程xn+yn=zn，当x=y=1，z=2
1
n时满足条件，故有正实数解，D 正确.]
17. ACD
[p 的否定是：∃x∈[0，1]，不等式2x-2<m2-3m，A 正确；
q 的否定是：∀x∈[1，3]，不等式x2-ax+4>0，B 错误；
若p 为真命题，则(2x-2)min≥m2-3m，x∈[0，1]，即m2-3m+2≤0，
解得1≤m≤2，C 正确；
若q 为假命题，则x2-ax+4>0，x∈[1，3]恒成立，即a<x+4
x ，x∈[1，3]恒成立，
因为x+4
x ≥2√x· 4
x =4，当且仅当x=4
x ，即x=2 时取等号，所以a<4，D 正确.]
18. 15
解析 因为“∃x∈(0，m)，使得x> 5
lg30
3
lg0.5”为假命题，
所以“∀x∈(0，m)，x≤5
lg30
3
lg0.5”为真命题，
因为5
lg30
3
lg0.5=5
lg10+lg3
3
-lg2 =5
1+lg3
3
-lg2 =5×5lg 3×3lg 2，
设5lg 3=t>0，所以log5t= lgt
lg5=lg 3，
所以lgt
lg3=lg 5，
所以log3t=lg 5，所以t=3lg 5，所以5lg 3=3lg 5，
所以5
lg30
3
lg0.5=5×3lg 5×3lg 2=5×3lg 5+lg 2=15，
即∀x∈(0，m)，x≤15，
所以0<m≤15，所以m 的最大值为15.
