文档文本内容
§1.2 常用逻辑用语
课标要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条
件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p 是q 的 条件，q 是p 的 条件
p 是q 的充分不必要条件
p 是q 的必要不充分条件
p
q 且q⇒p
p 是q 的 条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p
q 且q
p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表
示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中任意一个x，p(x)成立
存在M 中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p 是q 的充分条件时，q 是p 的必要条件.( )
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.( )
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.( )
(4)命题“∃x∈R，sin2 x
2+cos2 x
2=1
2”是真命题.( )
2.命题“∀x∈R，x2-x+2≥0”的否定为( )
A.∃x∈R，x2-x+2<0
B.∀x∈R，x2-x+2≤0
C.∃x∈R，x2-x+2≤0
D.∀x∈R，x2-x+2<0
3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知“p：2≤x<3”是“q：x>m”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 .
1.谨记两个常用结论
(1)p 是q 的充分不必要条件，等价于綈q 是綈p 的充分不必要条件.
(2)命题p 和綈p 的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
2.理清一个关系
“A 的充分不必要条件是B”是指B 能推出A，且A 不能推出B；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A
能推出B，而B 不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同.
题型一 充分、必要条件的判定
例1 (1)(2024·连云港模拟)“λ=-1”是“直线l1：x+λy+9=0 与l2：(λ-2)x+3y+3λ=0 平行”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(2)祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题.内容为：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，
“势”是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.设A，B 为两
个等高的几何体，p：A，B 的体积相等，q：A，B 在同一高处的截面积相等.根据祖暅原理可知，p 是q
的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
思维升华 充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p 是否成立进行判断.
(2)集合法：根据p，q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立
为止.
跟踪训练1 (1)设x∈R，则“cos x=1”是“sin x=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2025·北京房山区模拟)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0，且在[0，+∞)上单调递减，对于
实数a，b，则“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题型二 充分、必要条件的应用
例2 (1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ；若p
是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是 .
(2)已知p：x>1 或x<-3，q：x>a(a 为实数).若綈q 的一个充分不必要条件是綈p，则实数a 的取值范围是
.
思维升华 求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不
等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
跟踪训练2 (1)已知p：1
x >1，q：x>m，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )
A.[0，+∞)
B.[1，+∞)
C.(-∞，0]
D.(-∞，1]
(2)已知α：-1<x<0，β：m-1<x<-3m.若α 是β 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 .
题型三 全称量词与存在量词
命题点1 含量词的命题的否定
例3 (多选)下列说法正确的是( )
A.“菱形是正方形”是全称量词命题
B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”
C.命题“有一个奇数不能被3 整除”的否定是“有一个奇数能被3 整除”
D.“A=B”是“sin A=sin B”的必要不充分条件
命题点2 含量词的命题的真假判断
例4 (多选)下列命题中，为真命题的是( )
A.∀x∈R，2x-1>0
B.∃x∈R，x2+1<2x
C.∀xy>0，x+y≥2√xy
D.∃x，y∈R，sin(x+y)=sin x+sin y
命题点3 含量词的命题的应用
例5 (1)(2024·台州模拟)若命题“∃x∈R，使x2-x-m=0”是真命题，则实数m 的取值范围是( )
A.{m|- 1
4 ≤m≤0}
B.{m|0≤m≤1
4}
C.{m|m≥- 1
4}
D.{m|m≤1
4}
(2)已知命题“∃x∈R，ax2-ax+1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是 .
思维升华 含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.
当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
跟踪训练3 (1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则( )
A.p 和q 都是真命题
B.綈p 和q 都是真命题
C.p 和綈q 都是真命题
D.綈p 和綈q 都是真命题
(2)(多选)(2025·海口模拟)以下说法正确的是( )
A.“∀x∈R，3x2-2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2-2<0”
B.“x>3”是“log3(2x+1)>2”的充分不必要条件
C.若命题“∃x∈R，x2+(a-1)x+1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围是(-1，3)
D.若命题“∀x∈R，2ax2+ax-3
8≤0”是真命题，则-3≤a≤0
答案精析
落实主干知识
1.充分 必要 p⇒q 且q p 充要
2.(1)∀ (2)∃
3.∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x)
自主诊断
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.A 3.C 4.(-∞，2)
探究核心题型
例1 (1)A [当λ=-1 时，直线l2：-3x+3y-3=0，即x-y+1=0，与直线l1：x-y+9=0 平行，充分性成立；
直线l1：x+λy+9=0 与l2：(λ-2)x+3y+3λ=0 平行，有λ(λ-2)=3，解得λ=-1 或λ=3，
其中当λ=3 时，两直线重合，舍去，故λ=-1，必要性成立.
故“λ=-1”是“直线l1：x+λy+9=0 与l2：(λ-2)x+3y+3λ=0 平行”的充要条件.]
(2)C [已知A，B 为两个等高的几何体，由祖暅原理知q⇒p，而p 不能推出q，可举反例，两个相同的圆
锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不一定相等，则p 是
q 的必要不充分条件.]
跟踪训练1 (1)A
(2)C [由定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0，得函数f(x)是R 上的偶函数，而f(x)在[0，+∞)上单调递
减，因此f(a)>f(b)⇔f(|a|)>f(|b|)⇔|a|<|b|⇔a2<b2，所以“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的充要条件.]
例2 (1)(-∞，1) (-∞，1]
解析 因为p：x≤1，q：x≤a，
若p 是q 的必要不充分条件，
则(-∞，a] (-∞，1]，因此a<1，
即实数a 的取值范围是(-∞，1).
若p 是q 的必要条件，
则(-∞，a]⊆(-∞，1]，
因此a≤1，
即实数a 的取值范围是(-∞，1].
(2)[1，+∞)
解析 由已知得綈p：-3≤x≤1，
綈q：x≤a.
设A={x|-3≤x≤1}，B={x|x≤a}，
若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则綈p⇒綈q，綈q
綈p，
所以集合A={x|-3≤x≤1}是集合B={x|x≤a}的真子集.
所以a≥1.
跟踪训练2 (1)C
(2)(-∞，0)
解析 因为α 是β 的充分不必要条件，
所以{x|-1<x<0}是{x|m-1<x<-3m}的真子集，
则{
m-1≤-1，
-3m≥0
(不同时取等号)，解得m<0，
所以实数m 的取值范围是(-∞，0).
例3 AB [对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A 正确；
对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，故B 正确；
对于C，命题“有一个奇数不能被3 整除”的否定是“所有的奇数都能被3 整除”，故C 错误；
对于D，因为A=B 时，sin A=sin B 成立，而sin A=sin B 时，A=B 不一定成立，如A=π
3 ，B=2π
3 ，故
“A=B”是“sin A=sin B”的充分不必要条件，故D 错误.]
例4 AD [对于A 项，∀x∈R，2
x-1>0，A 项正确；
对于B 项，∵x2+1-2x=(x-1)2≥0，∴x2+1≥2x，B 项错误；
对于C 项，当x<0，y<0 时，x+y<0<2√xy，C 项错误；
对于D 项，取x=y=0，则sin(x+y)=sin 0=0=sin 0+sin 0=sin x+sin y，D 项正确.]
例5 (1)C [因为“∃x∈R，x2-x-m=0”是真命题，所以Δ=1-4×(-m)≥0，解得m≥-1
4 .]
(2)[0，4)
解析 由题意得不等式ax2-ax+1>0 对∀x∈R 恒成立.
①当a=0 时，不等式1>0 在R 上恒成立，符合题意；
②当a≠0 时，若不等式ax2-ax+1>0 对∀x∈R 恒成立，
则{
a>0，
Δ=a
2- 4 a<0，解得0<a<4.
综上，实数a 的取值范围是[0，4).
跟踪训练3 (1)B
(2)AD [对于A，“∀x∈R，3x2-2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2-2<0”，故A 正确；
对于B，log3(2x+1)>2 即log3(2x+1)>log39，解得x>4，因为x>4⇒x>3，且x>3 x>4，所以“x>3”是
“log3(2x+1)>2”的必要不充分条件，故B 错误；
对于C，命题的否定是假命题，则命题“∃x∈R，x2+(a-1)x+1<0”是真命题，即Δ=(a-1)2-4>0，解得a>3 或
a<-1，故C 错误；
对于D，因为“∀x∈R，2ax2+ax-3
8≤0”是真命题，即2ax2+ax-3
8≤0 对∀x∈R 恒成立.当a=0 时，命题成
立；当a≠0 时，{
a<0，
Δ=a
2+3a≤0，解得-3≤a<0，综上可得，-3≤a≤0，故D 正确.]
