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进阶2 隐零点与零点赋值
分值：34 分
1.(17 分)设a∈R，已知函数f(x)=ln( x +a)
x
，g(x)=e-x.
(1)当a=1 时，证明：当x>0 时，f(x)>g(x)；(7 分)
(2)当a>1 时，证明：函数y=f(x)-g(x)有唯一零点.(10 分)
2.(17 分)已知函数f(x)=aex-1-x-1.
(1)讨论f(x)的单调性；(6 分)
(2)证明：当a≥1 时，f(x)+x-ln x≥2a-2
a+1 .(11 分)
答案精析
1.(1)解 函数f(x)=ex-sin x-1，
当x>0 时，f'(x)=ex-cos x>1-cos x≥0，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.
(2)证明 由(1)知，f'(x)=ex-cos x，
当x∈(- π ，- π
2]时，f'(x)>0，
函数f(x)单调递增，
f(-π)=e-π-1<0，
f (- π
2)=e
- π
2>0，
因此函数f(x)在(- π ，- π
2]内有唯一零点；
当x∈(- π
2 ，0]时，
令g(x)=ex-cos x，
得g'(x)=ex+sin x，
g'(x)在(- π
2 ，0]上单调递增，
g'(- π
2)=e
- π
2-1<0，g'(0)=1>0，
则存在x0∈(- π
2 ，0)，使得g'(x0)=0，
当x∈(- π
2 ，x0)时，g'(x)<0，
函数g(x)即f'(x)单调递减，
当x∈(x0，0)时，g'(x)>0，
函数g(x)即f'(x)单调递增，
又f ' (- π
2)=e
- π
2>0，
f'(x0)<f'(0)=0，
则存在x1∈(- π
2 ，x0)，
使得f'(x1)=0，
当x∈(- π
2 ，x1)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(x1，0)时，
f'(x)<0，函数f(x)单调递减，
而f (- π
2)=e
- π
2>0，f(0)=0，
因此函数f(x)在(- π
2 ，0]内有唯一零点，
所以函数f(x)在区间(-π，0]内有且仅有两个零点.
2.解 (1)由f(1)=2a-2=4，
解得a=3，
∴f(x)=3x+√x-1
2ln x，
则f'(x)=3+ 1
2√x - 1
2 x ，则f'(1)=3，
∴切线方程为y-4=3(x-1)，
即y=3x+1.
(2)由f(x)=ax+(a-2)√x-1
2ln x，
得f'(x)=a+a-2
2√x - 1
2 x =2ax +(a-2)√x -1
2 x
=(a√x -1)(2√x +1)
2 x
，x>0，
当a≤0 时，f'(x)<0 在(0，+∞)上恒成立，
f(x)在(0，+∞)上单调递减，不符合题意，舍去；
当a>0 时，令f'(x)<0，得0<x< 1
a
2 ，f(x)在(0，1
a
2)上单调递减；
令f'(x)>0，得x> 1
a
2 ，f(x)在(
1
a
2 ，+ ∞)上单调递增.
当x→0 时，f(x)→+∞，
当x→+∞时，f(x)→+∞，
则f (
1
a
2)=1
a+a-2
a
-1
2ln 1
a
2=1
a+1-2
a+ln a=1-1
a+ln a<0，
令g(a)=1-1
a+ln a，a>0，
则g'(a)= 1
a
2+1
a>0，
∴g(a)在(0，+∞)上单调递增.
又∵g(1)=0，∴当a∈(0，1)时，g(a)<0，当a∈(1，+∞)时，g(a)>0，
∴0<a<1，∴a 的取值范围是(0，1).
