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§2.13 函数与方程的综合应用
分值：52 分
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.若方程-x2+ax+4=0 的两实根中一个小于-1，另一个大于2，则 a 的取值范围是( )
A.(0，3)
B.[0，3]
C.(-3，0)
D.(-∞，1)∪(3，+∞)
2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)={
3 x
2-12 x +12, x ≥1,
|3
x -1|, x<1,
若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t，且x1≠x2≠x3≠x4，则实数t 的取值范围是( )
A.(0，1)
B.(0，2)
C.(0，3)
D.(1，3)
3.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)={
- x
2- x , x ≤0,
ln x , x>0, 函数g(x)=f(x)-m 有三个零点x1，x2，x3，则x1·x2·x3的取值范
围是( )
A.[0，1
4)
B.[0，1
e)
C.[0，e
1
4
4 )
D.[0，e]
4.(2025·汕头模拟)已知函数y=f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0 时，f(x)={(
1
2)
x
,0≤x ≤2,
lo g16 x , x>2,
若关于x 的方
程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a，b∈R)有且只有7 个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )
A.(-2，- 5
4)
B.(-2，-1)
C.(
1
4 ，1)
D.(
1
4 ，+∞)
5.已知定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)，对于任意x∈R，
2
f ( x)- g( x)=3x恒成立，若函数y=3f(x)
+2g(x)+m 有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围为( )
A.(-∞，-2√5)
B.(0，2√3)
C.(2√3，2√5)
D.(2√5，+∞)
6.已知函数f(x)={
2
x+2
2
, x ≤1,
|lo g2( x -1)|, x>1,
则函数F(x)=f(f(x))-2f(x)-3
2的零点个数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.已知x1，x2是关于x 的方程x2-2ax+2=0(a∈R)的两个不相等的实数根，则下列说法正确的有( )
A.若1
x1
+ 1
x2
=2，则a=2
B.若x1<1<x2，则a>3
2
C.若0<α<β<π
2 ，且x1=tan α，x2=tan β，则α+β 为锐角
D.若x1，x2均小于2，则a∈(-∞，-√2)∪(√2，3
2)
8.已知函数f(x)={
e|x -2|, x>0,
- x
2-2 x +1, x ≤0,则下列结论正确的是( )
A.函数y=f(x)-x 有2 个零点
B.若函数y=f(x)-t 有4 个零点，则t 的取值范围为(1，2)
C.若关于x 的方程f(x)=t 有4 个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=1
D.若关于x 的方程[f(x)]2-3f(x)+α=0 有8 个不相等的实根，则α 的取值范围为(2，9
4)
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.若方程x2-mx-m+3=0 满足一个根在(0，1)之间，一个根在(1，2)之间，则实数m 的取值范围为
.
10.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)={
|3
x -1|, x ≤2,
x
2-10 x +24 , x>2,若方程2[f(x)]2-mf(x)=0 有6 个不相等的实根，则非零
实数m 的取值范围为 .
答案精析
1.A 2.A
3.C [作出函数f(x)的图象如图所示，
不妨设x1<x2<x3，则方程f(x)=m 有三个不同的根，则0≤m<1
4 ，
当x≤0 时，-x2-x-m=0，
得x2+x+m=0，
则x1·x2=m；
当x>0 时，ln x3=m，x3=em，
则x1·x2·x3=mem，
设h(m)=mem(0≤m< 1
4)，
则h'(m)=(m+1)em>0，
所以h(m)在[0，1
4)上单调递增，
所以h(m)∈[0，e
1
4
4 )，
即x1·x2·x3的取值范围是[0，e
1
4
4 ).]
4.A [由题可画出函数f(x)的大致图象，
∵关于x 的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a，b∈R)有且只有7 个不同的实数根，
设t=f(x)，则t≥1
4 ，结合函数图象，可知方程t2+at+b=0 必有两个根t1，t2，
且t1=1，t2∈(
1
4 ，1)，
∴t1+t2=-a∈(
5
4 ，2)，
则-2<a<-5
4 ，
即a 的取值范围是(-2，- 5
4).]
5.A [由
2
f ( x)- g( x)=3x可得f(x)-g(x)=2×3-x，①
所以f(-x)-g(-x)=2×3x，
因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(x)+g(x)=2×3x，②
由①②，可得f(x)=3x+3-x，g(x)=3x-3-x，
所以y=3f(x)+2g(x)+m
=3(3x+3-x)+2(3x-3-x)+m
=5×3x+3-x+m，
令y=0，上式可化为5×32x+m×3x+1=0，
令t=3x(t>0)，方程可化为5t2+mt+1=0，
因为函数t=3x是增函数，若函数y=3f(x)+2g(x)+m 有且仅有两个零点，
只需要方程5t2+mt+1=0 有两个不相等的正实数根，记为t1，t2.
有{
Δ=m
2-20>0，
t1+t2=-m
5 >0，
t1t2= 1
5 >0，
解得m<-2√5，
故所求实数m 的取值范围为(-∞，-2√5).]
6.A [令t=f(x)，则t≥0，
若F(x)=0，则f(t)-2t-3
2=0，
作出y=f(x)的图象和直线y=2x+3
2 ，由图象可得有两个交点，设横坐标分别为t1，t2，t1<t2，
∴t1=0，t2∈(1，2).
当f(x)=t1时，有x=2，即有一解；当f(x)=t2时，有三个解，
综上，F(x)=0 共有4 个解，
即函数F(x)有4 个零点.]
7.ABD [∵x1，x2是关于x 的方程x2-2ax+2=0(a∈R)的两个不相等的实数根，
∴Δ=4a2-8>0，
∴a>√2或a<-√2.
由根与系数的关系得x1+x2=2a，x1x2=2，
∵1
x1+ 1
x2=2，
则2x1x2=x1+x2，∴4=2a，
∴a=2，故A 正确；
令f(x)=x2-2ax+2，若x1<1<x2，
则f(1)<0，得a>3
2 ，故B 正确；
若0<α<β<π
2 ，且x1=tan α，x2=tan β，则x1+x2>0，
由{
Δ>0，
2a>0，得a>√2，
∵tan(α+β)= tan α + tan β
1- tan α tan β = 2a
1-2=-2a<-2√2，
又∵α+β∈(0，π)，
∴α+β 为钝角，故C 不正确；
若x1，x2均小于2，则{
f (2)>0，
Δ>0，
a<2，
即{
4 - 4 a+2>0，
4 a
2-8>0，
a<2，
∴a∈(-∞，-√2)∪(√2，3
2)，故D 正确.]
8.BD [函数y=e|x-2|的图象关于直线x=2 对称，函数y=-x2-2x+1 的图象开口向下，关于直线x=-1 对称，
当x≥2 时，f(x)=ex-2单调递增，当0<x<2 时，f(x)=e2-x单调递减，
当x<-1 时，f(x)=-x2-2x+1 单调递增，当-1≤x≤0 时，f(x)=-x2-2x+1 单调递减，
函数y=f(x)-x 的零点，即函数y=f(x)的图象与直线y=x 交点的横坐标，
在同一直角坐标系内作出函数y=f(x)的图象与直线y=x，如图1，
观察图象知，函数y=f(x)的图象与直线y=x 有3 个交点，因此函数y=f(x)-x 有3 个零点，A 错误；
函数y=f(x)-t 的零点，即方程f(x)=t 的根，亦即函数y=f(x)的图象与直线y=t 交点的横坐标，
在同一直角坐标系内作出函数y=f(x)的图象与直线y=t，如图2，
观察图象知，当1<t<2 时，函数y=f(x)的图象与直线y=t 有4 个交点，
因此函数y=f(x)-t 有4 个零点，则t 的取值范围为(1，2)，B 正确；
若关于x 的方程f(x)=t 有4 个不相等的实根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4，如图2，
显然有x1+x2=-2，x3+x4=4，因此x1+x2+x3+x4=2，C 错误；
令f(x)=m，由选项B 知，当且仅当m∈(1，2)时，方程f(x)=m 有4 个不相等的实根，
要关于x 的方程[f(x)]2-3f(x)+α=0 有8 个不相等的实根，
则当且仅当方程m2-3m+α=0 在(1，2)上有2 个不相等的实根，
则{
Δ=9- 4 α >0，
f (1)=α -2>0，
f (2)=α -2>0，
解得2<α<9
4 ，
所以α 的取值范围是(2，9
4)，D 正确.]
9.(2，7
3)
解析 设f(x)=x2-mx-m+3，
由题意可得{
f (0)=3-m>0，
f (1)= 4 -2m<0，
f (2)=7 -3m>0，
解得2<m<7
3.
因此，实数m 的取值范围是(2，7
3).
10.[2，16)
解析 函数f(x)={
|3
x -1|，x ≤2，
x
2-10 x +24，x>2
的图象如图，且f(2)=8，
由2[f(x)]2-mf(x)=0，可得f(x)=0 或f(x)=m
2 ，
由图象可知方程f(x)=0 有3 个不相等的实根，
又方程2[f(x)]2-mf(x)=0 有6 个不相等的实根，
则f(x)=m
2 有3 个不相等的实根，
所以m
2 ∈[1，8)，解得m∈[2，16).
