文档文本内容
§2.10 指、对、幂的大小比较
重点解读 函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐.每年高考基本
都会出现，难度逐年上升.高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角
函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解
答.
题型一 直接法比较大小
命题点1 利用函数的性质
例1 (2024·鄂尔多斯模拟)已知a=0.7
3
4，b=log83
4 ，c=4
3
4，则( )
A.b<a<c
B.a<c<b
C.b<c<a
D.a<b<c
命题点2 找中间值
例2 设a=0.20.5，b=log53，c=50.2，则a，b，c 的大小关系是( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.c<a<b
命题点3 特殊值法
例3 已知a>b>1，0<c<1
2，则下列结论正确的是( )
A.ac<bc
B.abc<bac
C.alogbc<blogac
D.logac<logbc
思维升华 利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“-1，0，1
2，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简
化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知
1=log22<log23<log24=2，进而可估计log23 是一个1~2 之间的小数，从而便于比较.
跟踪训练1 (1)(2024·宁河模拟)设a=2-0.5，b=(
1
2)
0.3
，c=log0.50.3，则a，b，c 的大小关系为( )
A.c<b<a
B.a<b<c
C.b<a<c
D.c<a<b
(2)(2025·天津模拟)设a=log2π，b=log1
2π，c=π-2，则( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.a>c>b
D.c>b>a
题型二 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
命题点1 作差法
例4 设a=log62，b=log123，c=log405，则( )
A.a<b<c
B.b<a<c
C.c<a<b
D.a<c<b
命题点2 作商法
例5 (2025·成都模拟)若a=3
- 1
4，b=(
3
2)
- 1
3，c=log1
2
2
5，则a，b，c 的大小关系为( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.c>b>a
命题点3 乘方法
例6 已知a=log35，b=log57，c=4
3 ，则( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>b>a
D.a>c>b
思维升华 求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大
小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.
跟踪训练2 (1)已知正数a，b，c 满足2 024a=2 025，2 025b=2 024，ec=2，下列说法正确的是( )
A.logac>logbc
B.logca>logcb
C.ac<bc
D.ca<cb
(2)若a=4
lo g2 √3
2 ，b=log147，c=log126，则( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.a>c>b
答案精析
例1 A [由于y=0.7x是R 上的减函数，
则0<0.7
3
4<0.70=1，所以0<a<1，
由于y=log8x 是(0，+∞)上的增函数，
则log83
4 <log81=0，所以b<0，
由于y=4x是R 上的增函数，
则4
3
4>40=1，所以c>1，
所以b<a<c.]
例2 A [0<a=0.20.5
=√5
5 <√2.5
2
5
=1
2，
1>b=log53>log55
1
2=1
2，
c=50.2>50=1，所以a<b<c.]
例3 C [取特殊值，令a=4，b=2，c=1
4 ，
则ac=4
1
4，bc=2
1
4，∴ac>bc，故A 错误；
abc=4×2
1
4=2
9
4，bac=2×4
1
4=2
3
2，
∴abc>bac，故B 错误；
logac=log41
4 =-1，logbc=log21
4 =-2，
alogbc=-8，blogac=-2，
∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C 正确，D 错误.]
跟踪训练1 (1)B [因为a=2-0.5，b=(
1
2)
0.3
=2-0.3，
易知函数y=2x在R 上是增函数，
又-0.5<-0.3<0，
所以a<b<20=1，
又易知y=log0.5x 在(0，+∞)上是减函数，
所以c=log0.50.3>log0.50.5=1，
综上，a<b<c.]
(2)C [依题意，a=log2π>log22=1，b=log1
2π<log1
21=0，0<c=π-2<π0=1，所以a>c>b.]
例4 D [∵1
b=log312=1+log34
=1+lg 4
lg3
=1+2lg2
lg3 ，1
c =log540
=1+log58=1+lg8
lg5
=1+3lg2
lg5 ，
∴1
b-1
c =2lg2
lg3 -3lg2
lg5
=2lg2×lg5-3lg2×lg3
lg3×lg5
=lg2(2lg5-3lg3)
lg3×lg5
=lg2(lg25-lg27)
lg3×lg5
<0，
∴1
b<1
c ，
又b>0，c>0，∴b>c；
∵1
c =1+log58<1+log5√125
=1+log55
3
2=5
2，∴c>2
5，
∵1
a=log26=1+log23>1+log2√8
=1+log22
3
2=5
2，∴a<2
5，
∴a<c.∴a<c<b.]
例5 D [因为0<a=3
- 1
4<30=1，
0<b=(
3
2)
- 1
3<(
3
2)
0
=1，
令a
b=
3
- 1
4
(
3
2)
- 1
3 =3
- 1
4 + 1
3×2
- 1
3
=3
1
12×2
- 1
3，
而(3
1
12 ×2
- 1
3)
12
=(3
1
12)
12
×(2
- 1
3)12
=3×2-4= 3
16<1，
即3
1
12×2
- 1
3<1，所以a<b，
又因为c=log1
2
2
5=log1
2
4
10>log1
2
5
10=log1
2
1
2=1，所以c>b>a.]
例6 D [因为53=125>(3
4
3 )
3=81，所以5>3
4
3，
所以log35>log33
4
3=4
3 ，即a>c.
因为73=343<(5
4
3 )
3=625，
所以7<5
4
3，
所以log57<log55
4
3=4
3 ，即b<c.
所以a>c>b.]
跟踪训练2 (1)D [∵2 024a=2 025，2 025b=2 024，ec=2，
∴a=log2 0242 025>1，
b=log2 0252 024<1，c=ln 2<1，
∴a>1，0<b<1，0<c<1，
∴logac<0，logbc>0，∴logac<logbc，故A 错误；
∵0<c<1，a>b，∴logca<logcb，ac>bc，ca<cb，故B，C 错误，D 正确.]
(2)A [a=4
lo g2 √3
2 =2
2lo g2 √3
2 =2
lo g2(
√3
2 )
2
=(
√3
2 )
2
=3
4 ，
b=log147=1-log142=1- ln2
ln14 ，c=log126=1-log122=1- ln2
ln12，
因为4log142=log1424=log1416>1，则log142>1
4 ，
所以1-log142<1-1
4 =3
4 ，即b<a；
而ln 2>0，ln 14>ln 12>0，
所以ln 2
ln14 < ln 2
ln12，
所以1- ln 2
ln14 >1- ln 2
ln12，即b>c，
综上，a>b>c.]
