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§2.14 函数模型的应用
课标要求 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直
线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的
广泛应用.
1.三种函数模型的性质
函数
性质
y=ax
(a>1)
y=logax
(a>1)
y=xα
(α>0)
在(0，+∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x 的增大逐渐表现为
与 平行
随x 的增大逐渐表现为
与 平行
随α 值的变化而各有不同
2.常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a，b，c 为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)=k
x +b(k，b 为常数，k≠0)
指数函数模型
f(x)=bax+c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)=blogax+c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)=axα+b(a，b，α 为常数，a≠0，α≠0)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.( )
(2)A 公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔.( )
(3)已知a>1，在(0，+∞)上，随着x 的增大，y=ax的增长速度会超过并远远大于y=xa和y=logax 的增长速度.
( )
(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.( )
2.下列函数中，随着x 的增长，y 的增长速度最快的是( )
A.y=50
B.y=1 000x
C.y=2ln x
D.y=
1
1 000ex
3.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
x
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
y
-2.0
-1.0
0
1.0
2.0
3.0
在下列四个函数模型(a，b∈R)中，最能反映x，y 函数关系的是( )
A.y=a+bx
B.y=a+bx
C.y=a+logbx
D.y=a+b
x
4.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.
如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)=-5t2+15t+20，那么烟花冲出后在
爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )
A.26 米
B.28 米
C.31 米
D.33 米
(1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍
增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.
(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
(3)解题时，易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问
题的合理性.
题型一 用函数图象刻画变化过程
命题点1 函数的增长差异
例1 设f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x，当x∈(4，+∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结
论正确的是( )
A.f(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
B.g(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
C.g(x)的增长速度最快，f(x)的增长速度最慢
D.f(x)的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢
命题点2 用函数图象刻画变化过程
例2 (多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药
浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1 单位某药物后，体内血药浓度及相
关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是( )
A.首次服用1 单位该药物，约10 分钟后药物发挥治疗作用
B.每次服用1 单位该药物，两次服药间隔小于2 小时时，一定会产生药物中毒
C.首次服用1 单位该药物，约5.5 小时后第二次服用1 单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用1 单位该药物，3 小时后再次服用1 单位该药物，不会发生药物中毒
思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排
除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
跟踪训练1 为了能在规定时间T 内完成预期的运输量Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方
案的运输量Q 与时间t 的关系如图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选
项是( )
题型二 已知函数模型的实际问题
例3 (1)2024 年1 月5 日，第40 届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢
彩，游客如潮，充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系
统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N=N0e-kt(N0为最初污染物数量).如
果前2 个小时消除了20%的污染物，那么前6 个小时消除了污染物的( )
A.51.2%
B.48.8%
C.52%
D.48%
(2)在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量
m(kg)的函数关系是y=4[ln(m+x)-ln(√2m)]+2ln 2，要使火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料质量与火箭
质量的比值是 .
思维升华 已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
跟踪训练2 (2024·本溪模拟)我国量子计算机“悟空”预计到2025 年可以操控的超导量子比特达到1
024 个.已知1 个超导量子比特共有2 种叠加态，2 个超导量子比特共有4 种叠加态，3 个超导量子比特
共有8 种叠加态，…，每增加1 个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若N=a×10k(1≤a<10，
k∈N)，则称N 为k+1 位数，已知1 024 个超导量子比特的叠加态的种数是一个m 位的数，则m 等于(参
考数据：lg 2≈0.301)( )
A.308
B.309
C.1 023
D.1 024
题型三 构造函数模型的实际问题
例4 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间
的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间
分为4 段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离
分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3 时，通过大数据统计分析得到如表(其中
系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9).
阶段
准备
人的反应
系统反应
制动
时间
t0
t1=0.8 s
t2=0.2 s
t3
距离
d0=30 m
d1
d2
d3= v
2
20k m
(1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式；
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以
下？
思维升华 构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型.
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解.
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得
到实际问题的解.
跟踪训练3 “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次
数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时
的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时
的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵
同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23)( )
A.6
B.7
C.8
D.9
答案精析
落实主干知识
1.y 轴 x 轴
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.D 3.C 4.C
探究核心题型
例1 B [画出函数f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x 的图象，如图所示，
结合图象，可得三个函数f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x 中，
当x∈(4，+∞)时，函数g(x)=2x增长速度最快，h(x)=log2x 增长速度最慢.
所以选项B 正确.]
例2 ABC [从图象中可以看出，首次服用1 单位该药物，约10 分钟后药物发挥治疗作用，A 正确；根据
图象可知，首次服用1 单位该药物，约1 小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于
2 小时时，一定会产生药物中毒，B 正确；服药5.5 小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血
药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C 正确；首次服用1 单位该药物4 小时后与再次服用1 单位该
药物1 小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D 错误.]
跟踪训练1 B [由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B 满足.]
例3 (1)B [依题意有N0e-2k
=(1-20%)N0，
可得e-2k=0.8，
当t=6 时，N0e-6k=N0(e
-2k)
3=0.512N0=(1-48.8%)N0，
因此，前6 个小时消除了污染物的48.8%.]
(2)e3-1
解析 根据题意，可得4[ln(m+x)-ln(√2m)]+2ln 2=12，
所以ln(
m+ x
√2m)
4
+ln 4=12，
即ln(
m+ x
m )
4
=ln e12，
可得(1+ x
m)
4
=e12，
而1+ x
m>0，则1+ x
m=e3，
所以x
m=e3-1，
即燃料质量与火箭质量的比值是e3-1.
跟踪训练2 B [根据题意，得n 个超导量子比特共有2n种叠加态，
所以当有1 024 个超导量子比特时共有N=21 024(种)叠加态.
两边取以10 为底的对数得lg N=lg 21 024=1 024lg 2≈1 024×0.301=308.224，
所以N≈10308.224=100.224×10308.
由于1<100.224<10，
故N 是一个309 位的数，
即m=309.]
例4 解 (1)根据题意，d=d0+d1+d2+d3=30+0.8v+0.2v+ v
2
20k
=30+v+ v
2
20k (0≤v≤33.3).
(2)根据题意，对任意的k∈[0.5，0.9]，d<90 恒成立，即对任意的k∈[0.5，0.9]，30+v+ v
2
20k <90 恒成立.
易知当v=0 时，满足题意；
当0<v≤33.3 时，有1
20k <60
v
2 -1
v 对任意的k∈[0.5，0.9]恒成立，
由k∈[0.5，0.9]，得1
20k ∈[
1
18 ，1
10]，
所以60
v
2 -1
v > 1
10，
即v2+10v-600<0，解得-30<v<20，
所以0<v<20.
综上，0≤v<20.
所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s 以下.
跟踪训练3 C [设石片第n 次接触水面时的速度为vn，
则vn=20×0.85n-1，
由题意得20×0.85n-1≥6，
即0.85n-1≥0.3，
得n-1≤log0.850.3，
又log0.850.3= lg0.3
lg0.85= lg3-1
lg85-2=
lg3-1
lg17+lg5-2=
lg3-1
lg17-lg2-1≈7.4，
所以n≤8.4，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8.]
