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专题02 平面向量与复数
4 大考点概览
考点01 复数
考点02 平面向量的线性运算
考点03 平面向量的基本定理及其坐标表示
考点04 平面向量的数量积
1．（2026·湖南邵阳·一模）已知复数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数
在复平面内对应的点位于第一象限
C．复数
的共轭复数为
D．将复数
对应的向量绕原点按逆时针方向旋转
，所得向量对应的复数为
【答案】B
【分析】由复数的除法法则可得
，计算复数的模判断A；写出对应的点判断B；求出其共轭复数判
断C；求出旋转所得向量对应的复数，判断D.
【详解】由复数
满足
，得
，所以
，A 错误；
复数
对应的点为
，位于第一象限，B 正确；
复数
的共轭复数是
，C 错误；
复数
对应的点为
，绕原点按逆时针方向旋转
，得到的点为
，所以所得向量对应的复数
应为
，D 错误.
2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知是虚数单位，若复数z 满足
，则
在复平面内对应的点
位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】先利用复数的除法，求出复数
，再求共轭复数，然后判定所在象限.
考点1
复数
1
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【详解】由题意知，
，则
，
故复数
在复平面内对应的点为
，在第四象限.
3．（2026·湖南岳阳·一模）在复平面内，若
，则
的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数的除法化简复数
，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得结果.
【详解】因为
，则
，
所以
，故
的共轭复数
对应的点位于第三象限.
故选：C.
4．（2026·湖南常德·一模）已知复数
满足：
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据方程求出复数
，然后计算复数的模.
【详解】因为复数
满足：
，
所以
，所以
，解得
.
所以
.
故选：B.
5．（2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，
为等边三角形，点
为坐标原点，点
对应的复数为
，点
在第二象限，则点
对应的复数的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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【答案】C
【分析】先根据点
对应的复数求出其坐标，再利用等边三角形的性质求出点
的坐标，最后根据复数的
几何意义得到点
对应的复数，进而求出其虚部.
【详解】已知点
对应的复数为
，根据复数的几何意义，所以点
的坐标为
.
所以向量
.又因为
为等边三角形，
所以
，且
.
又因为
，所以
，即
.
设
，则
.
又因为
而
，联立方程组可得
或
.
由题可知点
在第二象限，所以
即点
的坐标为
.
即点
对应的复数为
.所以虚部为
.
故选：C.
6．（2026·湖南永州·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数模的运算性质计算出
，然后利用共轭复数的性质求解即可.
【详解】
，
．
3
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.
故选：A.
7．（2026·湖南株洲·一模）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复数的运算法则可得答案.
【详解】原式
，
.
故选：C
8．（2026·湖南·模拟预测）如图，
中，
，
为
边靠近
的三等分点，
为
中点，过
作
垂线交
于点
，
，若
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．8
【答案】A
【分析】利用共线向量定理及平面向量基本定理用
表示
，再利用数量积运算律求解.
【详解】由
为
边靠近
的三等分点，得
，
不妨设
，由
三点共线得
，
设
，则
，
又
不共线，则有
，
4
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即
，解得
，即
，
由
，得
，因
，
，
因此
，
因
，
所以
.
1．（2026·湖南永州·一模）已知菱形
的边长为2，
是
的中点，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【答案】C
【分析】以
为基底表示出
，再利用向量数量积的运算律求解.
【详解】
，
.
故选：C.
2．（2026·湖南邵阳·一模）在平行四边形ABCD 中，点
在线段AC 上，且
.若
，其中
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
考点2
平面向量的线性运算
5
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【详解】由
，
又
，则
，故
.
3．（2026·湖南怀化·一模）在平行四边形
中，
与
交于点
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量共线定理和向量的平行四边形定则求解即可.
【详解】
.
因为
，
，
三点共线，根据向量共线定理可知，
，解得
.
1．（2026·湖南永州·一模）设向量
绕点
顺时针旋转
得到向量
，且
，则向
量
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
考点3
平面向量的基本定理及其坐标表示
6
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【分析】设
，若以
所在射线为终边的一个角为
，则以
所在射线为终边的角为
.
由此可得
的坐标，根据
列出方程，求得
，即可得到
的坐标.
【详解】设
，
若以
所在射线为终边的一个角为
，则以
所在射线为终边的角为
.
因为
，
所以
.
又
，所以
.
所以
.
即
，解得
.
所以
.
故选：B.
2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知
为
的重心，过
的直线与
，
边分别交于
，
点，若
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三点共线得到
的关系式，再代入，利用导数求得函数最值即可.
【详解】因为
为
的重心，
7
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所以
，
又因为
，
，
所以
，
又因为
三点共线，
所以
，
因为
在线段
上，所以
与
同向且
，
于是
，同理
，
结合
得
.
目标函数为
，
记
，
，
求导，得：
，
所以
在
上单调递增，
故选：C
3．（2026·湖南邵阳·一模）已知
是
内的一点，且
，
.若
，
8
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和
的面积分别为1，
，
，则
的最小值是（ ）
A．
B．9
C．15
D．20
【答案】C
【分析】根据向量数量积的定义，三角形的面积公式求得
的面积，依题意求出
的值，利用基本
不等式“1”的妙用求解.
【详解】因
，则
，
则
，于是
，
，
和
的面积分别为1，
，
，
，
，
，
，
当且仅当
时，即
，等号成立，
的最小值是
.
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知向量
满足
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将
两端平方，从而解出
与
的夹角.
考点4
平面向量的数量积
9
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【详解】因为
，所以
，
所以
，所以
．
2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）平面向量
，
满足
，
，且向量
，
的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【详解】因为
，且向量
，
的夹角为
，所以
，
由
，得
，
则
，解得
（负值舍）.
3．（2026·湖南岳阳·一模）已知向量
，若
，则
（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．4
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算求解.
【详解】因为
，所以
，
若
，则
，解得
，
故选：D.
4．（2026·河南南阳·模拟预测）已知
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用投影向量公式即可求解.
【详解】因为
，所以
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所以
在
上的投影向量为
故选：B
5．（2026·湖南株洲·一模）已知向量
，将向量
绕坐标原点
逆时针旋转
角得到向量
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可得
，利用向量的模与数量积的关系计算可判断ABC；利用数量积可判断D.
【详解】因为
，所以
，所以
，
对于A，
，所以
，
当
时，即
时，
，故A 错误；
对于B，由A 可知
，
又
，
当
时，
，可得
，故B 错误；
对于C，当
，
，可得
，
所以
，故C 错误；
对于D，因为
，
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所以
，故D 正确.
故选：D.
6．（2026·湖南常德·一模）已知平面向量
，
为单位向量，且
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的运算律，利用夹角计算公式先求出余弦值，再求出正切值即可.
【详解】由向量
，
为单位向量，又
，知
.
因为
，则
，
所以
.
又
，得
，
则
，
故选：A.
7．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量
，
满足
，
，则向量
在向量
上的投影
向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【分析】先根据
得到
，再根据投影向量的概念求解.
【详解】由
，
所以
.
所以向量
在向量
上的投影向量为
.
故选：A
8．（2026·湖南岳阳·一模）如图，圆
，圆
，动圆
与圆
外切于点
，
与圆
内切于点
，记圆心
的轨迹为曲线
，若直线
与曲线
交于
两点，则下面说法正确
的是（ ）
A．曲线
的方程为
B．
的最小值为
C．
D．当直线
斜率都存在时，
【答案】ABC
【分析】对A，直接根据椭圆的定义可得答案；对B，
与
互补，求出
的最大角即可；
13
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对于C：直接利用向量的坐标运算求解；对于D：设
，
，结合斜率公式及点在椭
圆上即可判断.
【详解】
对于A，设动圆
的半径为，又动圆
与圆
外切且与圆
内切，
，
则
且
不重合，
故点
的轨迹是以
为焦点的椭圆（去掉
重合的点），
则曲线
的方程为
，故A 正确，
对于B，由图可知
与
互补，当点P 为椭圆短轴端点时，
最大，此时
，所以
，
则
的最大值为
，所以
的最小值为
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
即
时等号成立，故C 正确；
对于D，设
，则
，即
，
由题意设
，则
，即
，
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则
，故D 错误，
故选：ABC.
15
