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2019 年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题4 分，共48 分.
1．（4 分）（2019•兰州）
的相反数是
A．
B．2019
C．
D．
2．（4 分）（2019•兰州）如图，直线
，被直线
所截，
，
，则
A．
B．
C．
D．
3．（4 分）（2019•兰州）计算：
A．
B．
C．3
D．
4．（4 分）（2019•兰州）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴
对称又是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
5．
（4 分）
（2019•兰州）
是关于
的一元二次方程
的解，则
A．
B．
C．
D．
6．（4 分）（2019•兰州）如图，四边形
内接于
，若
，则
第1页（共34页）
A．
B．
C．
D．
7．（4 分）（2019•兰州）化简：
A．
B．
C．
D．
8．（4 分）（2019•兰州）已知
△
，
，
，则
A．2
B．
C．3
D．
9．（4 分）（2019•兰州）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只
雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设
一只雀的重量为
斤，一只燕的重量为
斤，则可列方程组为
A．
B．
C．
D．
10．（4 分）（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系
中，将四边形
先向下平移，再向
右平移得到四边形
，已知
，
，
，则
的坐标为
A．
B．
C．
D．
第2页（共34页）
11．（4 分）（2019•兰州）已知点
，
在抛物线
上，则下列结论正
确的是
A．
B．
C．
D．
12．（4 分）（2019•兰州）如图，边长为
的正方形
的对角线
与
交于点
，将
正方形
沿直线
折叠，点
落在对角线
上的点
处，折痕
交
于点
，则
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分.
13．（4 分）（2019•兰州）因式分解：
．
14．（4 分）（2019•兰州）在
中，
，
，则
．
15．（4 分）（2019•兰州）如图，矩形
的顶点
在反比例函数
的图象上，
，则
．
16．（4 分）（2019•兰州）如图，矩形
，
，以点
为圆心，以任意长为半径作
弧分别交
，
于点
，两点，再分别以点
，为圆心，以大于
的长作半径作
弧交于点
，作射线
交
于点
，若
，则矩形
的面积等于 ．
第3页（共34页）
三、解答题：本大题共12 小题，共86 分.
17．（5 分）（2019•兰州）计算：
．
18．（5 分）（2019•兰州）化简：
．
19．（5 分）（2019•兰州）解不等式组：
．
20．（6 分）（2019•兰州）如图，
，
，
，求证：
．
21．（6 分）（2019•兰州）2019 年5 月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国
学少年强
国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，
参赛选手须在每个环节中各选一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用
，
，
，
表示）；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用
，
，
表示）．
（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；
（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．
22．（7 分）（2019•兰州）如图，
，分别以
、为圆心，以长度5 为半径作弧，两条弧分
别相交于点
和
．依次连接
、
、
、
，连接
交
于点
．
（1）判断四边形
的形状并说明理由；
（2）求
的长．
第4页（共34页）
23．（7 分）（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系
中，反比例函数
的图象经
过等边三角形
的顶点
，
，点
在反比例函数图象上，连接
，
．
（1）求反比例函数
的表达式；
（2）若四边形
的面积是
，求点
的坐标．
24．（7 分）（2019•兰州）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八
年级1 班和2 班本门课程的期末成绩进行了调查分析．
小佳对八年级1 班全班学生
名）的成绩进行分析，过程如下：
收集、整理数据：
表一
分数段
班级
八年级1 班
7
5
10
3
分析数据：
表二
统计量
班级
平均数
中位数
众数
极差
方差
第5页（共34页）
八年级1 班
78
85
36
105.28
小丽用同样的方法对八年级2 班全班学生
名）的成绩进行分析，数据如下：
表三
统计量
班级
平均数
中位数
众数
极差
方差
八年级2 班
75
76
73
44
146.80
根据以上信息，解决下列问题：
（1）已知八年级1 班学生的成绩在
这一组的数据如下：
85，87，88，80，82，85，83，85，87，85
根据上述数据，将表二补充完整；
（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．
25．（7 分）（2019•兰州）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一
课题进行了探究，过程如下：
问题提出：
如图1 是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳
光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．
方案设计：
如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面
的遮阳蓬
．
数据收集：
通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线
与遮
阳蓬
的夹角
最大
；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线
与遮
阳蓬
的夹角
最小
．窗户的高度
．
问题解决：
第6页（共34页）
根据上述方案及数据，求遮阳蓬
的长．
（结果精确到
，参考数据：
，
，
，
，
，
26．（9 分）（2019•兰州）如图，在
中，
，
，点
为
的中点，
，将
绕点
顺时针旋转
度
，角的两边分别交直线
于
、
两点，设
、
两点间的距离为
，
，
两点间的距离为
．
小涛根据学习函数的经验，对函数
随自变量
的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小涛的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是
，
两点间的距离
进行取点、画图、测量，分别得到了
与
的几组对应值：
0
0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10
2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15
3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87
请你通过计算，补全表格；
（2）描点、连线，在平面直角坐标系
中，描出表格中各组数值所对应的点
，并画出
函数
关于
的图象．
（3）探究性质：随着自变量
的不断增大，函数
的变化趋势： ．
（4）解决问题：当
时，
的长度大约是
．（保留两位小数）．
第7页（共34页）
27．（10 分）（2019•兰州）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在
，
，将斜边
绕点
顺时针旋转
得到
，过点
作
于点
，可以推理得到
，进而得到
，
．
我们把这个数学模型成为“
型”．
推理过程如下：
【模型应用】
如图，在
内接于
，
，
，将斜边
绕点
顺时针旋转一定的
角度得到
，过点
作
于点
，
，
，连接
交
于点
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）连接
交
于点
，连接
．求证：
．
28．（12 分）（2019•兰州）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在
，
，将斜边
绕点
顺时针旋转
得到
，过点
作
第8页（共34页）
于点
，可以推理得到
，进而得到
，
．
我们把这个数学模型成为“
型”．
推理过程如下：
【模型迁移】
二次函数
的图象交
轴于点
，
两点，交
轴于点
．动点
从点
出发，以每秒2 个单位长度的速度沿
方向运动，过点
作
轴交直线
于点
，交抛物线于点
，连接
，设运动的时间为秒．
（1）求二次函数
的表达式；
（2）连接
，当
时，求
的面积；
（3）在直线
上存在一点
，当
是以
为直角的等腰直角三角形时，求此时点
的坐标；
（4）当
时，在直线
上存在一点
，使得
，求点
的坐标．
第9页（共34页）
2019 年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题4 分，共48 分.
1．（4 分）
的相反数是
A．
B．2019
C．
D．
【考点】14：相反数
【分析】根据相反数的概念求解可得．
【解答】解：
的相反数为2019，
故选：
．
2．（4 分）如图，直线
，
被直线
所截，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【考点】平行线的性质
【分析】先利用对顶角相等得到
，然后根据平行线的性质，利用
可计
算出
的度数．
【解答】解：如图，
，
，
，
，
．
故选：
．
第10页（共34页）
3．（4 分）计算：
A．
B．
C．3
D．
【考点】二次根式的加减法
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：
，
故选：
．
4．（4 分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心
对称图形的是
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称
图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
【解答】解：、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，不是中
心对称图形，故此选项错误；
、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，
故此选项错误．
、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，旋转
能与原图形
第11页（共34页）
重合，是中心对称图形，故此选项正确；
、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转
不能与原图形重合，此图形是轴对
称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：
．
5．（4 分）
是关于
的一元二次方程
的解，则
A．
B．
C．
D．
【考点】一元二次方程的解
【分析】先把
代入方程
得
，然后利用整体代入的方法计算
的值．
【解答】解：把
代入方程
得
，
所以
，
所以
．
故选：
．
6．（4 分）如图，四边形
内接于
，若
，则
A．
B．
C．
D．
【考点】圆内接四边形的性质
【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算
的度数．
【解答】解：
四边形
内接于
，
，
．
故选：
．
7．（4 分）化简：
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的加减法
【分析】先根据法则计算，再因式分解、约分即可得．
第12页（共34页）
【解答】解：原式
，
故选：
．
8．（4 分）已知
△
，
，
，则
A．2
B．
C．3
D．
【考点】相似三角形的性质
【分析】直接利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：
△
，
．
故选：
．
9．（4 分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共
重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量
为
斤，一只燕的重量为
斤，则可列方程组为
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：
．
10．（4 分）如图，在平面直角坐标系
中，将四边形
先向下平移，再向右平移得到四
边形
，已知
，
，
，则
的坐标为
第13页（共34页）
A．
B．
C．
D．
【考点】坐标与图形变化
平移
【分析】根据
和
的坐标得出四边形
先向下平移2 个单位，再向右平移6 个单位得
到四边形
，则
的平移方法与
点相同，即可得到答案．
【解答】解：由
，
可知四边形
先向下平移2 个单位，再向右平移6 个单位
得到四边形
，
，
的坐标为
，
故选：
．
11．（4 分）已知点
，
在抛物线
上，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】分别计算自变量为1 和2 对应的函数值，然后对各选项进行判断．
【解答】解：当
时，
；
当
时，
；
所以
．
故选：
．
第14页（共34页）
12．（4 分）如图，边长为
的正方形
的对角线
与
交于点
，将正方形
沿直线
折叠，点
落在对角线
上的点
处，折痕
交
于点
，则
A．
B．
C．
D．
【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【分析】根据正方形的性质得到
，
，
，求得
，得到
，根据折叠的性质得到
，
，求得
，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
将正方形
沿直线
折叠，点
落在对角线
上的点
处，
，
，
，
，
，
第15页（共34页）
在
与
中，
，
，
，
故选：
．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分.
13．（4 分）因式分解：
．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式
，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平
方公式：
．
【解答】解：
，
，
（提取公因式）
．
（完全平方公式）
故答案为：
．
14．（4 分）在
中，
，
，则
70
．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算
的度数．
【解答】解：
，
，
，
．
故答案为70．
第16页（共34页）
15．（4 分）如图，矩形
的顶点
在反比例函数
的图象上，
，则
6
．
【考点】反比例函数系数
的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质
【分析】因为过双曲线上任意一点引
轴、轴垂线，所得矩形面积
是个定值，即
．
【解答】解：根据题意，知
，
，
又因为反比例函数位于第一象限，
，
所以
，
故答案为6．
16．（4 分）如图，矩形
，
，以点
为圆心，以任意长为半径作弧分别交
，
于点
，两点，再分别以点
，为圆心，以大于
的长作半径作弧交于点
，作
射线
交
于点
，若
，则矩形
的面积等于
．
【考点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【分析】根据矩形的性质得到
，求得
，由作图知，
是
的平分线，得到
，根据等腰三角形的性质得到
，过
作
于
，求得
，求得
，解直角三角形得到
，
，于是
得到结论．
【解答】解：
四边形
是矩形，
第17页（共34页）
，
，
，
由作图知，
是
的平分线，
，
，
，
过
作
于
，
，
，
，
，
矩形
的面积
，
故答案为：
．
三、解答题：本大题共12 小题，共86 分.
17．（5 分）计算：
．
【考点】零指数幂；实数的运算；特殊角的三角函数值
【分析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：原式
．
18．（5 分）化简：
．
【考点】单项式乘多项式；平方差公式
【分析】先去括号，再注意到
可以利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即
可
【解答】解：
原式
第18页（共34页）
19．（5 分）解不等式组：
．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
解不等式①得：
，
解不等式②得：
，
所以，不等式组的解集为
．
20．（6 分）如图，
，
，
，求证：
．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】要证明
，只要证明
即可，要证明
，只要证明
即可，根据题目中的条件可以证明
，本题得以解决．
【解答】证明：
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
．
21．（6 分）2019 年5 月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强
国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须
第19页（共34页）
在每个环节中各选一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用
，
，
，
表示）；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用
，
，
表示）．
（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；
（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．
【考点】列表法与树状图法
【分析】（1）利用画树状图展示所有12 种等可能的结果数；
（2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有12 种等可能的结果数；
（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，
所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率
．
22．（7 分）如图，
，分别以
、为圆心，以长度5 为半径作弧，两条弧分别相交于点
和
．依次连接
、
、
、
，连接
交
于点
．
（1）判断四边形
的形状并说明理由；
（2）求
的长．
【考点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质
【分析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形
为菱形；
（2）根据菱形的性质得
，
，
，然后利用勾股定理计算出
，
从而得到
的长．
第20页（共34页）
【解答】解：（1）四边形
为菱形；
由作法得
，
所以四边形
为菱形；
（2）
四边形
为菱形，
，
，
，
在
中，
，
．
23．（7 分）如图，在平面直角坐标系
中，反比例函数
的图象经过等边三角形
的顶点
，
，点
在反比例函数图象上，连接
，
．
（1）求反比例函数
的表达式；
（2）若四边形
的面积是
，求点
的坐标．
【考点】等边三角形的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数
的几何意义；
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）作
于
，根据等边三角形的性质和勾股定理求得
，
，进
而求得三角形
的面积，根据系数
的几何意义即可求得
，从而求得反比例函数
的表达式；
（2）求得三角形
的面积，即可求得
的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点
的坐
标．
【解答】解：（1）作
于
，
第21页（共34页）
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
反比例函数
的图象在一三象限，
，
反比例函数的表达式为
；
（2）
，
，
，
，
把
代入
，求得
，
点
的坐标为
，
．
第22页（共34页）
24．（7 分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1 班和2
班本门课程的期末成绩进行了调查分析．
小佳对八年级1 班全班学生
名）的成绩进行分析，过程如下：
收集、整理数据：
表一
分数段
班级
八年级1 班
7
5
10
3
分析数据：
表二
统计量
班级
平均数
中位数
众数
极差
方差
八年级1 班
78
80
85
36
105.28
小丽用同样的方法对八年级2 班全班学生
名）的成绩进行分析，数据如下：
表三
统计量
班级
平均数
中位数
众数
极差
方差
八年级2 班
75
76
73
44
146.80
根据以上信息，解决下列问题：
（1）已知八年级1 班学生的成绩在
这一组的数据如下：
85，87，88，80，82，85，83，85，87，85
根据上述数据，将表二补充完整；
（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．
【考点】中位数；算术平均数；方差；极差；频数（率分布表；众数
【分析】（1）根据中位数的定义找出第13 个数，然后确定
这一组中最小的数即可；
第23页（共34页）
（2）从平均数、中位数、众数和方差的意义可判断八年级1 班学生的成绩更为优异．
【解答】解：（1）共有25 个数据，第13 个数落在
这一组中，此组最小的数为第13 个
数，
所以八年级1 班学生的成绩的中位数为80；
故答案为80；
（2）八年级1 班学生的成绩更为优异．
理由如下：八年级1 班学生的成绩的平均数比2 班高，1 班的中位数比2 班的中位数大，并且
1 班的众数为85，比2 班的众数大，1 班的方差比2 班小，比较稳定．
25．（7 分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探
究，过程如下：
问题提出：
如图1 是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳
光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．
方案设计：
如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面
的遮阳蓬
．
数据收集：
通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线
与遮
阳蓬
的夹角
最大
；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线
与遮
阳蓬
的夹角
最小
．窗户的高度
．
问题解决：
根据上述方案及数据，求遮阳蓬
的长．
（结果精确到
，参考数据：
，
，
，
，
，
第24页（共34页）
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据正切的定义分别用
表示出
、
，根据题意列式计算即可．
【解答】解：在
中，
，
则
，
在
中，
，
则
，
由题意得，
，即
，
解得，
，
答：遮阳蓬
的长约为
．
26．（9 分）如图，在
中，
，
，点
为
的中点，
，将
绕点
顺时针旋转
度
，角的两边分别交直线
于
、
两点，设
、
两点间的距离为
，
，
两点间的距离为
．
小涛根据学习函数的经验，对函数
随自变量
的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小涛的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是
，
两点间的距离
进行取点、画图、测量，分别得到了
与
的几组对应值：
0
0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10
3 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15
3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87
请你通过计算，补全表格；
（2）描点、连线，在平面直角坐标系
中，描出表格中各组数值所对应的点
，并画出
函数
关于
的图象．
第25页（共34页）
（3）探究性质：随着自变量
的不断增大，函数
的变化趋势： ．
（4）解决问题：当
时，
的长度大约是
．（保留两位小数）．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】（1）①当
时，则
；②
，则
，即可求解；
（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量
的不断增大，函数
的变化趋势；
（3）
，即
，在上图中作直线
，即可求解．
【解答】解：（1）①当
时，
连接
，则
，
，
第26页（共34页）
，则
，
则
；
②
，
在
中，
，
，
，
，
过点
作
于点
，
则
，则
，
，
则
，
故
，
则
；
故：答案为3，
；
（2）描点出如下图象，
第27页（共34页）
从图象可以看出：
时，
随
最大而减小，
当
时，
随
最大而增大；
（3）
，即
，
在上图中作直线
，
直线与曲线交点的纵坐标为：2.68 和7.45，
故答案为：2.68 或7.45．
27．（10 分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在
，
，将斜边
绕点
顺时针旋转
得到
，过点
作
于点
，可以推理得到
，进而得到
，
．
我们把这个数学模型成为“
型”．
推理过程如下：
【模型应用】
如图，在
内接于
，
，
，将斜边
绕点
顺时针旋转一定的
角度得到
，过点
作
于点
，
，
，连接
交
于点
．
第28页（共34页）
（1）求证：
是
的切线；
（2）连接
交
于点
，连接
．求证：
．
【考点】
：圆的综合题
【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点
在
上，
为
直径，故只需
证
即可．由
和
可证得
，而
、
、
在同一直线上，用
减去
即为
，得证．
（2）依题意画出图形，由要证的结论
联想到对应边成比例，所以需证
．其中
为公共角，即需证
．
为圆周角，
所对的弧为弧
，故连接
后有
，问题又转化为证
．
把
延长交
于点
后，有
，故问题转化为证
．只要
，由等腰三角形三线合一即有
，故问题继续转化为证
．
联系【模型呈现】发现能证
，得到
，
，即能求
．又因为
为
中点，可得到
，再加上第（1）题证得
，可得
，所以
，
，得证．
【解答】证明：（1）
为
的外接圆
为斜边
中点，
为直径
第29页（共34页）
是
的切线
（2）延长
交
于点
，连接
于点
绕点
旋转得到
在
与
中
，
为
中点
，即
平分
，即
，
第30页（共34页）
28．（12 分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在
，
，将斜边
绕点
顺时针旋转
得到
，过点
作
于点
，可以推理得到
，进而得到
，
．
我们把这个数学模型成为“
型”．
推理过程如下：
【模型迁移】
二次函数
的图象交
轴于点
，
两点，交
轴于点
．动点
从点
出发，以每秒2 个单位长度的速度沿
方向运动，过点
作
轴交直线
于点
，交抛物线于点
，连接
，设运动的时间为秒．
第31页（共34页）
（1）求二次函数
的表达式；
（2）连接
，当
时，求
的面积；
（3）在直线
上存在一点
，当
是以
为直角的等腰直角三角形时，求此时点
的坐标；
（4）当
时，在直线
上存在一点
，使得
，求点
的坐标．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将点
，
代入
即可；
（2）由已知分别求出
，
，
，根据
的面积
的面积
的面积即可求解；
（3）由已知可得
，设
，根据勾股定理可得
，
，再由
，得到
与的关系式：
，因为
，则有
求出
或
，即可求
点坐标；
（4）当
时，
，
，可知点
在抛物线对称性
上；过点
作
的垂线，以
为
圆心
为直径构造圆，圆与
的交点分别为
与
，由
，可得圆半径
，
即可求
点坐标分别为
，
，
，
．
第32页（共34页）
【解答】解：（1）将点
，
代入
，
，
，
；
（2）
，
的直线解析式为
，
当
时，
，
，
，
，
，
，
的面积
的面积
的面积
；
（3）
，
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
或
，
或
，
或
；
（4）当
时，
，
，
第33页（共34页）
点
在抛物线对称性
上，
如图：过点
作
的垂线，以
为圆心
为直径构造圆，圆与
的交点分别为
与
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
与
关于
轴对称，
，
，
点坐标分别为
，
，
，
；
第34页（共34页）
