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专题02 计数原理与二项式定理
题型1 两个计数原理
思路：(1) 弄清完成一件事是做什么；(2) 确定是先分类后分步，还是先分步后分类；(3)
弄清分步、分类的标准是什么；(4) 利用两个计数原理求解．
1．（2025·浙江·模拟预测）将
个相同的球放入编号为、
、的个盒子中，要求每个盒子至少放个
球，且编号为的盒子中球数不超过
个，则不同的放法种数为 ．（用数字作答）
2．（2025·四川·模拟预测）在如下
的数阵中选出3 个数，要求这3 个数既不在同一行，也不在同一列．
若这3 个数的极差不大于5，那么满足条件的选法共有 种．
2
5
7
4
9
10
6
8
11
1
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3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）学校要求学生从物理、化学、生物、历史、地理、政治这6 科中选3 科组
合学习，要求物理历史两科中必须选且只能选择其中一科，则选科方式共有（ ）种．
A．24
B．20
C．12
D．6
4．（2025·陕西西安·模拟预测）电视台有6 个不同的节目准备当天播出，每半天播出3 个节目，其中某电
视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为
（用数字作答）
5．（2025·贵州·模拟预测）省会贵阳已开通的地铁线路如图所示.某人乘坐地铁从贵阳北站（
点）前往贵
州大学（
点），若同一站点最多经过一次，则不同的乘坐线路共有（ ）
A．6 条
B．7 条
C．8 条
D．9 条
题型2 两个计数原理的综合应用
利用两个基本计数原理解决问题的步骤
2
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6．（2025 高二·河北石家庄·期末）如图，一只蚂蚁位于点M 处，去搬运位于N 处的糖块，
的最短
路线有 条．
7．（2025 高二·山东菏泽·期末）用1，2，3 组成三位数，数字最多用次，其中
，则满足条件的
三位数个数是（ ）
A．15 个
B．18 个
C．19 个
D．27 个
8．（2025·全国·模拟预测）二维码是一种由黑色和白色组成的双色方格阵图，规定如果一个
的二维码
有对称轴且绕其中心逆时针旋转
后能与自身重合，称其为“转转码”，则“转转码”的个数为 .（用数
字作答）
9．（2025·安徽安庆·模拟预测）将1，2，3，4，5，6 随机排成一行，前3 个数字构成三位数
，后三个数
字构成三位数
.记
，则
小于100 的概率为 .
10．（2025·河北邯郸·模拟预测）设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为
，
，，若
，
，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251 和121 都是“峰型三位数”，在由0，1，2，3，4，5 中的
部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为 .
题型3 涂色问题
涂色问题的解法
（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法；
（2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种
数；
（3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分
类计数原理求出不同涂色方法种数.
3
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11．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，某社区为墙面
、
、
、
四块区域宣传标语进行涂色装饰，
每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4 种颜色可供使用，则恰好使用了3 种
颜色的涂法有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．48 种
D．144 种
12．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，现要用5 种不同的颜色对某市的4 个区县地图进行着色，要求有
公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（ ）
A．120
B．160
C．180
D．300
13．（2025 高二·湖南·阶段练习）给图中五个区域染色，有4 种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区
域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．216 种
B．192 种
C．180 种
D．168 种
14．（2025·江苏南京·模拟预测）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球
面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976 年由阿佩尔和哈肯借助计算机
完成证明.如图，一个地区分为6 个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要
求：每个区域涂1 种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4 种颜色可供选择，则不同的涂色方法有
种（用数字作答）.
4
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15．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1 区域
､
2 区域
､
3 区域
､
4 区域
､
5 区域
､
6 共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有
种不同的涂色方案．
16．（2025·辽宁·模拟预测）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了
“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅
具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：
“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；
“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6 种不同食物（足够量），其中1 种适合
放入中间格，3 种适合放入十字格，2 种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若
同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 相邻、相间问题
5
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相邻、相间问题的解题策略：
(1) 相邻问题的模型为将n 个不同元素排成一排，其中k 个元素排在相邻位置上，求不同
排法的种数．解决此问题的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，视为一个整体，当作
一个元素同其他元素一起进行排列，共有A 种排法，然后再将“捆绑”在一起的元素“内
部”进行排列，共有A 种排法，根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有A·A
种．
(2) 对于不相邻的排列问题，我们往往先安排无约束条件的元素，再让不相邻的其余元
素插空排列，即先排m＋n 个元素中无约束条件的n 个元素，然后将有约束条件的m 个元素
插入n＋1 个空位中，则共有A·A 种排法．
17．（2025·山东·模拟预测）现有3 名男生和3 名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3 名女
生有且仅有2 名相邻的站法总数为 .（结果用数字作答）.
18．（2025·贵州·模拟预测）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六
艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，
则“六艺”讲座不同的次序共有 种．
19．（2025·海南·模拟预测）某电影院一排有7 个座位，中间有条过道，过道左侧有4 个座位，右侧有3 个
座位，现有包含小明，小刚，小强在内的7 位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小
强想坐在右侧，则共有（ ）种不同的排法．
A．216
B．264
C．312
D．528
20．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）在一场毕业晚会上，共有4 个舞蹈节目和2 个唱歌节目．在制定
节目单时，必须保证2 个唱歌节目不相邻，并且甲舞蹈不能排在最后，则不同的排法共有 种．
21．（2025·陕西安康·模拟预测）某班级策划五一活动，其中歌曲类3 个节目，语言类1 个节目，才艺展
示类3 个节目，抽奖2 次（一次抽一等奖名单，一次抽二等奖名单），要求开场和结束安排歌曲类，2 次
抽奖不连续，则有 种安排方法.（用数字作答）
22．（2025·辽宁·模拟预测）某急救小组有1 名司机，2 名医生和3 名护士，6 人排成一排合影留念，要求
2 名医生不相邻，3 名护士互不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．36
B．48
C．72
D．120
题型5 定序问题
6
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定序问题的求解方法
n 个不同元素的全排列有An
n种排法，m 个特殊元素的全排列有Am
m种排法.当这m 个元素顺序确定时，
共有
An
n
Am
m种排法.
提醒 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.
23．（2025 高二·上海·阶段练习）在一张节目单中原有7 个节目已排好顺序，现要插入3 个节目，并要求
不改变原有7 个节目前后相对顺序，则一共有 种不同的插法．
24．（2025·重庆·模拟预测）有6 位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2 位同学，如果要求他们仍站
成一排，同时原来6 位同学的相对顺序保持不变，则有 种不同的站法．（用数字作答）
25．（2025 高二·安徽滁州·阶段练习）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中
的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在
宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A．128
B．64
C．48
D．24
题型6 分组、分配问题
1.分配问题属于“排列”问题，要按排列模型求解；而分组问题属于“组合”问题，要按组合模型求解.
区分是分组问题还是分配问题的关键是看有无分配对象，若没有分配对象，则为分组问题；若有确定的
分配对象，则为定向分配问题，否则，为不定向分配问题.
2.对不同元素分组、分配问题的求解策略
（1）对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要
除以An
n（n 为均分的组数），避免重复计数.这类问题有无序平均分组和有序平均分组两种情形；
（2）对于部分均分，即不平均分组中的部分平均分组问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘
数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几
个这样的全排列数，这类问题也有无序和有序两种情形；
（3）对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除
以全排列数，这类问题也有无序不平均分组和有序不平均分组两种情形.
26．（2025·云南昆明·模拟预测）将甲、乙等6 名志愿者分配到3 个社区协助开展活动，每个社区至少1 人，
每个人只去1 个社区，且甲、乙两人不在同1 个社区，则不同的分配方法数是（ ）
7
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A．540
B．504
C．408
D．390
27．（2025·湖南郴州·模拟预测）“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、
乙、丙三个球队.这批设备分别为
个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能
全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
28．（25-26 高三·重庆大足·阶段练习）“新韵重庆·渝超同行”2025 新鸥鹏重庆城市足球超级联赛已于9 月
13 日正式拉开帷幕！某场比赛期间需将3 名志愿者小李、小张、小明分配到A，B 两个场馆服务，每个场
馆至少分配一名，恰好小李与小明分到同一个场馆的概率为 ．
29．（25-26 高三·广东·阶段练习）为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4 个价钱相同的礼盒全部
分给这3 名同学，若购买的4 个礼盒仅有2 个相同，按一人2 个礼盒，另两人各1 个礼盒进行分配，共有
种分法.（用数字作答）
30．（2025·全国·模拟预测）2025 年1 月7 日9 时5 分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8 级地震．现从
各省共抽派7 支抢险工作队前往5 个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（
）
A．1800
B．16800
C．14280
D．25200
31．（2025·山东·模拟预测）甲、乙、丙等8 名同学将作为志愿者参加三个养老院的志愿服务工作，每个
养老院至少安排2 名志愿者，每名志愿者只能去一个养老院，且甲、乙、丙三人必须在同一养老院进行志
愿服务，则有 种不同的分配方案.
32．（2025·吉林长春·模拟预测）甲、乙等6 名志愿者参加2025 年文化和旅游发展大会的A、B、C 三项服
务工作，要求每名志愿者只能参加1 项工作，每项工作至少安排1 人，甲不参加A 项工作，且甲乙不参加
同一项工作，则不同的安排方法数有 种（用数字作答）.
33．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）将李老师、唐老师等六名优秀教师委派到三个学校进行督导活动，其中
每个老师都必须去一个学校，每个学校至少派一名老师，则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有（
）
A．240 种
B．360 种
C．390 种
D．420 种
34．（2025·辽宁锦州·模拟预测）渤大附中校园景色优美，道路和楼宇的命名都蕴含着深远的意义，值得
同学们在三年的时光里驻足留意.小陈､小张等6 位即将毕业的同学在知博楼､君子路､红色文化广场､三到园
4 个标志性场所中各选择一个拍照留念，若每个地方至少有一位同学拍照，每位同学都恰选择一处地方拍
照，且小陈､小张不在同一个地方拍照，则不同的拍照方式共有 种.（用数字作答）
8
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题型7 隔板法
对于相同元素的分配问题，可以利用分类加法计数原理分类讨论，还可以利用“隔板
法”．
把n 个相同的小球放到m(m＜n)个不同盒子中，不同放法的种数的求解方法是：
(1) 若每个盒子至少放一球，则只需在n 个小球产生的n－1 个间隙中放置m－1 块隔板
分隔成m 份即可，共有C 种不同放法．此类型问题等价于“将n 个相同元素分成m(m≤n)
组，每组至少一个”的分组问题，可把n 个元素排成一排，从n－1 个空中选m－1 个空，
各插一个隔板，有C 种分法．
(2) 若允许某些盒子不放球，则相当于在n＋m－1 个位置中选放m－1 块隔板，共有C
种不同放法．
35．（2025 高三·江苏·期末）把5 个相同的小球分给3 个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（
）
A．4 种
B．6 种
C．21 种
D．35 种
36．（2025·安徽·模拟预测）现将12 个相同的小球全部放入4 个不同的盒子里，每个盒子至少放2 个小球，
则不同的放法共有（ ）
A．24 种
B．35 种
C．56 种
D．70 种
37．（2025·全国·模拟预测）不等式
，其中
是非负整数，则使不等式成立的
四元数组
的组数为（ ）
A．1360
B．2380
C．2510
D．760
题型8 求二项展开式的特定项
二项展开式中的特定项求解
二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的
特定项的关键点如下：
（1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项．
（2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
9
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（3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
38．（2025·湖南长沙·模拟预测）二项式
的展开式中第5 项的系数为（ ）
A．252
B．-252
C．210
D．-210
39．（2025·江西·模拟预测）
展开式中的第
项是（ ）
A．
B．
C．
D．
40．（2025·上海·模拟预测）二项式
展开式中的常数项为 .（用数字作答）
41．（2025·浙江杭州·模拟预测）在二项式
的展开式中，常数项是 ，有理项的个数是
.
42．（2025·湖南娄底·模拟预测）若
的展开式中
的系数为231，则
.
43．（2025·浙江丽水·模拟预测）
展开式中的常数项是 ．
题型9 两个二项式之积问题
(1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有
理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意
适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
44．（2025·浙江宁波·模拟预测）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．0
B．20
C．10
D．
10
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45．（2025·广东深圳·模拟预测）
的展开式中
的系数为 ．
46．（2025·广东·模拟预测）
的展开式中，
的系数为（ ）
A．60
B．30
C．45
D．15
47．（2025·四川广安·模拟预测）
的展开式中
的系数为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
48．（2025·全国·模拟预测）
的展开式中
的系数为（ ）
A．252
B．162
C．126
D．36
49．（2025·全国·模拟预测）
展开后
的系数为 ．
50．（2025·河北唐山·模拟预测）
的展开式中
的系数为 .（用数字作答）
题型10 求三项展开式中的指定项
（a＋b＋c）n展开式中特定项的求解方法
51．（2025·辽宁丹东·模拟预测）
展开式中
的系数为（ ）
A．
B．12
C．
D．18
11
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52．（2025·广东广州·模拟预测）
展开式中的常数项为 。
53．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）
的常数项为 .
54．（2025·浙江·模拟预测）
的展开式中，
的系数为（ ）
A．60
B．120
C．240
D．360
55．（2025·江西·模拟预测）
的展开式中
的系数为 .
56．（2025·甘肃白银·模拟预测）
的展开式中
项的系数为 .（用数字回答）
57．（2025·广东佛山·模拟预测）若
的展开式中的常数项为31，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
58．（2025·辽宁·模拟预测）在
的展开式中，常数项为 .
59．（2025·四川宜宾·模拟预测）
的展开式中，含
的项的系数是（ ）
A．
B．
C．30
D．60
60．（2025·河北保定·模拟预测）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．20
题型11 二项式系数的和与各项的系数和问题
（1）系数和问题常用“赋值法”求解
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数
和题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1 等．
12
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②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
（2）二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n.
61．【多选】（2025·云南大理·模拟预测）
的展开式中，则（ ）
A．含
项的系数为40
B．第3 项与第4 项的二项式系数相等
C．所有项的二项式系数之和为32
D．所有项的系数之和为32
62．【多选】（2025·江苏宿迁·模拟预测）
的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共8 项
B．含
项的系数为480
C．无常数项
D．所有项的二项式系数之和为128
63．（2025·全国·模拟预测）若
的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．160
B．
C．20
D．
64．（2025·山东济宁·模拟预测）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
65．（2025·湖南益阳·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
66．【多选】（25-26 高三·重庆·阶段练习）已知
13
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，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型12 求二项式系数最值
二项式系数先增后减中间项最大
（1）如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数
最大；
（2）如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数
，
相等且最大．
67．（2025·江苏南通·模拟预测）
的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中
二项式系数最大的项为（ ）
A．
B．
C．
D．
68．（2025 高二·天津滨海新·期中）在
的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式
中
的系数是（ ）
A．
B．
C．
D．7
69．（2025 高二·江苏·专题练习）在
的展开式中含
项的系数为15，则展开式中二项式系数最
大的是第（ ）项
A．2
B．3
C．4
D．5
14
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70．（2025·四川成都·模拟预测）
的展开式中系数最大的项为（ ）
A．第3 项
B．第4 项
C．第5 项
D．第6 项
71．（2025 高三·北京·开学考试）若
的二项展开式中，当且仅当第5 项是二项式系数最大的项，
则其展开式中含
项的系数（ ）
A．
B．252
C．7
D．8
72．（2025·山西临汾·模拟预测）
的展开式中
的系数等于其二项式系数的最大值，则
的值为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．
题型13 求项的系数最值
求展开式中系数最大项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋
1，且第k 项系数最大，则{
Ak≥Ak −1，
Ak≥Ak +1，解出k．
73．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知
展开式的所有二项式系数之和为32，则
展开式的
各项中系数的最大值为（ ）
A．252
B．210
C．120
D．10
74．（2025·安徽·模拟预测）已知
的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为
（ ）
A．第5 项
B．第6 项
C．第7 项
D．第8 项
75．（2025 高二·河北邢台·阶段练习）
的展开式中，系数最大的项是（ ）
15
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A．第11 项
B．第12 项
C．第13 项
D．第14 项
76．（2025·四川雅安·模拟预测）
的展开式中，系数最小的项是（ ）
A．第4 项
B．第5 项
C．第6 项
D．第7 项
77．（2025·全国·模拟预测）
的展开式中系数最大的项为（ ）
A．70
B．56
C．
或
D．
78．（2025·江西南昌·模拟预测）若
的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中
系数最大的是（ ）
A．第二项
B．第三项
C．第四项
D．第五项
题型14 二项式定理的应用
1．利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理的变形，从而构造二项式．应注
意：要证明一个整式能被另一个整式整除，只要证明这个整式按二项式定理展开后的各项
均能被另一个整式整除即可．
2．求余数问题中，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)与余式的关系及余
式的取值范围．
3．二项式定理的逆用．
4．“算两次”是一种重要的数学思想方法，本质上是把同一个量用两种不同的方法表
示出来，即同一个量“算两次”，从而建立相等关系，这就是算两次原理.
79．（2025·江西新余·模拟预测）100 除
的余数为：（ ）．
A．48
B．49
C．50
D．51
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80．（2025·甘肃白银·模拟预测）98 除
的余数是（ ）
A．1
B．9
C．3
D．6
81．（2025·云南昭通·模拟预测）若
，则
被整
除的余数为（ ）
A．
B．
C．
D．
82．（2025·江西吉安·模拟预测）
的小数点后第二位的数字是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．5
83．（2025·北京西城·模拟预测）某放射性物质的质量每年比前一年衰减
，其初始质量为
，
年后
的质量为
，则下列各数中与
最接近的是（ ）
A．
B．
C．
D．
84．（2025·全国·模拟预测）已知
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型15 杨辉三角
杨辉三角的性质：
1．每一行都是对称的，且两端的数都是1.
2．从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．
3．当k<时，二项式系数是逐渐变大的；当k>时，二项式系数是逐渐变小的．
4．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系
数相等且最大．
5．C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1(n∈N*)；C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n(n∈N*)．
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85．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组
合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用
代表第行，第
个数，
，例如
，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第
行中，
最大
C．
D．
86．（2025·安徽合肥·模拟预测）将三项式展开，得到下列等式：
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0 行
为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3 个数（不足3 个数时，缺少的数以0 计）之和，第k 行
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共有2k+1 个数．则关于x 的多项式式
的展开式中，
项的系数（ ）
A．
B．
C．
D．
87．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在“杨辉三角”中从第2 行右边的1 开始按箭头所指的数依次构成一
个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，
，则此数列的前
项的和为（ ）
A．680
B．679
C．816
D．815
88．（2025·甘肃·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合
数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
A．第6 行的第7 个数、第7 行的第7 个数及第8 行的第7 个数之和等于第9 行的第8 个数
B．第2023 行中第1012 个数和第1013 个数相等
C．记“杨辉三角”第
行的第个数为
，则
D．第34 行中第15 个数与第16 个数之比为
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89．（2025 高二·安徽阜阳·期末）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书
中，画了一个由二项式
展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就
是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2 行开始，除1 以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值
之和，每一行第k（
，
）个数组成的数列称为第k 斜列．该三角形数阵前5 行如图所示，则该
三角形数阵前2022 行第k 斜列与第
斜列各项之和最大时，k 的值为（ ）
第1 行 1 1
第2 行 1 2 1
第3 行 1 3 3 1
第4 行 1 4 6 4 1
第5 行 1 5 10 10 5 1
A．1009
B．1010
C．1011
D．1012
90．（2025·辽宁·模拟预测）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》
《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500 年左右，由此可见我国古代数学的成就是非
常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如
开方、数列等.
我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
；
若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列
，则关于数列
叙述正确的是（ ）
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A．
B．
C．数列
的前n 项和为
D．数列
的前n 项和为
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