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专题02 高中全部补充函数培优归类
题型1 对勾函数型
对勾函数：
图像特征
形如
称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax
1
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2.“拐点”：解方程
（即第一象限均值不等式取等处）
1.（23-24 高三·黑龙江哈尔滨·模拟）已知函数
，若对于任意的实数
、
、
，均存在以
、
、
为三边边长的三角形，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对实数
分
、
、
三种情况讨论，求出函数
的最大值
和最小值
，由题意得出
，由此可求出实数
的取值范围.
【详解】当
时，
，当且仅当
时，等号成立，且
，
，此时，
；
①若
时，函数
在区间
上单调递减，则
，即
，
那么，当
时，
，
，
由题意可得
，则有
，解得
，此时，
；
②当
时，且当
时，
，则
，
，
成立，此
时
；
③当
时，函数
在区间
上单调递增，则
，即
，则
，
，
由题意可得
，则有
，解得
，此时
.
综上所述，
.故选B.
【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了分段函数的最值，解题的关键就是将题意转化为关于函
数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
2.（22-23 高三上·广东清远·阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析可知函数
为
上的偶函数，且该函数在
上单调递增，将所求不等式变形为
，可得出关于实数
的不等式，即可得解.
【详解】由题意可知，函数
的定义域为
，
且
，
所以，函数
为偶函数，
当
时，
且
不恒为零，所以，函数
在
上为增函数，
由
可得
，则
，可得
，
整理可得
，解得
.故选：D.
3.（24-25 高三上·浙江·期中）已知函数
，若
，
，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知可得
为偶函数，则
，利用对数函数的性质和指数函数的性质，
可得
，
，
，又当
时，由
，可得
为单调递增函数，即可得到
答案.
【详解】因为函数
且定义域为R，则
，所以
为偶函数，
因为
，
则
，
又
，
，
，
，
，
则
，所以
，
当
时，因为
，所以
为单调递增函数，
所以
.故选：B.
4.（2020·湖南娄底·模拟预测）已知函数
（
且
）是偶函数，则关于x 的不等
3
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式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】根据
是偶函数求得
，利用函数的单调性和奇偶性不等式等价于
，解不等式
即可.
【详解】∵
是偶函数∴
，即
化简得
∴
，
（
，
）
,
时都能得到
，所以
在
上是增函数
∴
（
，
）为偶函数且在
上是增函数，
∴
，
，即
，即
或
解得
或
.即
.故选：B.
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题.
题型2 双曲函数
双曲函数（双刀函数）
1.有“渐近线”：y=ax 与y=-ax
2.“零点”：解方程
（即方程等0 处）
1.（2025·江西·模拟预测）已知函数
，若
，使
成立，
4
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则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先研究函数是奇函数，再求导，用均值不等式和余弦函数特点，知道函数在整个取值范围递增.利
用奇函数性质变成
，结合单调性得出
.
参变分离，转化为求
的最值即可.
【详解】因为
，所以
为奇函数，
又
，故
在
上单调递增，
由
，得
，所以
，
若
，
，即
，只需
，
令
，由对勾函数的性质可知
在
上单调递增，
故
，故
.
故选：D.
2.（23-24 高一下·河南濮阳·期末）已知函数
，若
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义可得
为奇函数，结合单调性可得
，然后结合基本不等式即可
得到结果.
【详解】因为
的定义域为
，
且
，即函数
为奇函数，
又因为
在
上单调递增，
则
在
上也单调递增，
因为
，即
，
则
，所以
，
则
，
当且仅当
时，即
，取等号.
所以
的最小值为.
故选：D.
5
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3.（24-25 高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解即可.
【详解】因为
，
，
所以
，所以函数
为偶函数；
设
，则
，
因为
，所以
，
，
，所以
，即
所以函数
在
上单调递增.
由函数
为偶函数，所以函数
的图象关于
轴对称，在
上单调递减.
所以
且
.
故选：D
4.（22-23 高三上·四川成都·阶段练习）已知函数
，则关于t 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，判断出
利用奇偶性、导数判断出
的单调性，由
得
，再利用奇偶性、单调性解不等式可得答案.
【详解】
，令
，
，所
以
为奇函数，
因为
，所以
为单调递增函数，
由
得
，即
，
所以
，解得
.
故选：A.
题型3 复合分式型“反比例”函数
6
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反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再
用穿线法求解
形如：
。对称中为P
，其中
。
1.（23-24 高二下·广东茂名·期末）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】证明函数的奇偶性，再分析出其单调性，从而得到
，解出即可.
【详解】由
可得
且
，则
为偶函数，
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，则
恒成立，
则
在
单调递减，在
单调递增，
，解得
或
.
故选：D.
2．（23-24 高三江苏南通·阶段练习）已知函数
，
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，从而有
在
上单调递增，再结合单调性可求解．
【详解】解：
，在
在
上单调递增，
，
7
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或
，解可得，
或
，即
，故选A．
【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用．
3．（23-24 高二下·甘肃兰州·阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】作出函数图像，由图像判断函数的单调性，进而解出答案.
【详解】函数图像如图所示，
则不等式等价于
或
∴
.故选：A.
4．（24-25 高一下·云南昭通·开学考试）已知函数
，若对任意的
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先用基本不等式求最值，再解一元二次不等式即可.
【详解】对任意的
，
，
因为
，令
，
，
因为
，当且仅当
，即
，即
时，等号成立，
所以
，
因为
恒成立，所以
，即
，解得：
，
故选：D.
8
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题型4 绝对值型函数
绝对值函数：
1.（2019·天津和平·一模）已知函数
，
若关于
的方程
恰有
三个不相等的实数解，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，则
是
的图象沿着
上下平移得到，分析函数
与
的图象，
利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．
【详解】
设
，则
是
的图象沿着
上下平移得到，当x=1 时，（1）
（1）
，
所以直线x=1 与函数h(x)的图像的交点坐标为（1，m）,当x=1 时，g(1)=0,
当x=2 时，
（2）
，所以直线x=2 与函数g(x)的图像的交点为（2，-2），
当x=2 时，（2）
，所以直线x=2 与函数h(x)的图像的交点为（2，ln2+m）,
要使方程
恰有三个不相等的实数解，则等价为
与
的图象有三个不同的交点，
则满足
，即
得
，即
，即实数
的取值范围是
，
，故选
．
【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平和分析推理能力.
2.（24-25 高二下·河北·期末）已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
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【答案】C
【分析】设
，分
，
，
三种情况去掉绝对值符号得到
的解析式
及值域，即可得解.
【详解】设
，
.
所以当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
所以当
时，
的最小值为3，
故选：C
3.（24-25 高二下·江苏南京·期末）已知函数
的值域为
，则实数a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】当
时，若
，则
，若
，则
，
函数
的值域不可能为
；
当
时，
，
在
上单调递增，
在
上单调递增，，
若函数
的值域为
，则
，解得
；
综上所述，实数a 的取值范围是
.故选：B.
4.（24-25 高二下·浙江丽水·期末）已知函数
，若关于
的不等式
的解集中有
且仅有
个整数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将不等式
化为
，令
，即
.然后分
和
两种情况去掉绝对值符号，得到相应的解析式，计算
取
时的函数值，画出函数的部
分图象，数形结合即可得解.
【详解】因为函数
，所以关于
的不等式
可化为
，即
，令
，即
.
当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
；当
时，
，
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在
上单调递减，且
.
如图所示，结合函数图象及
取
时的函数值可知，要使
的解集中有且仅有
个整数，这两个整数解只能是
和，
所以实数
的取值范围为
，即
.故选：C
题型5 取整函数（高斯函数）
取整函数（高斯函数）
表示不超过
的最大整数，又叫做“高斯函数”，
1.（22-23 高三·江苏徐州·阶段练习）符号
表示不超过
的最大整数，如
，
，定义函
数
，那么下列说法正确的个数是（ ）
函数
的定义域为 R ，值域为 1, 0
②方程
有无数多个解
③对任意的
，都有
成立
④函数
是单调减函数
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据取整函数的定义，可得函数
的最小正周期为1，在区间
上是减函
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数，且函数的值域为
.由此与各个选项加以比较，即可得到本题的答案.
【详解】对于①，根据
的定义，得x 为整数时，
，从而
，此时
得最大值；
当x 的小数部分不为0 时,
，故
.综上所述，得
的定义域为R，值域
为
，故①正确.
对于②，当
时，
，从而
，因此方程
有无数多个解，故
②正确.
对于③，因为一个数增加1 个单位后，它的小数部分不变，而整数部分增加1，因此
，从而
得到
，所以对任意的
，都有
成立，故③正确.
对于④，函数
在区间
上是减函数，但是由于函数
是分段函数，图象不连续，
所以
不是R 上的减函数，故④不正确.
故选：C
【点睛】本题以取整函数为例，要我们判断关于函数
性质的几个命题的真假，着重考查了函
数的单调性、周期性以及函数的定义域、值域等知识，属于中档题.
2.（22-23 高三上·江西·阶段练习）已知
表示不超过实数
的最大整数(
)，如：
，
，
．定义
，给出如下命题：
①使
成立的
的取值范围是
；
②函数
的定义域为
，值域为
；
③
．
其中正确的命题有
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【分析】利用所给取整函数的定义逐个判断. ①讨论x 的范围，判断何时
；
②考虑x 为整数或介与两个整数之间求函数
的值域；③对等式左边利用二项式定理及[x]的定义化简求
和.
【详解】①由
，
，所以
；x<2 或
时
.
②当x 为整数时
，当
时，[x]=n，
所以
的值域为[0,1).③因为
=
所以n 为偶数时
=
n 为奇数时
=
所以
=
=1010
综上，只有命题①正确，故选B.
【点睛】本题考查对新概念的理解、简单运用，考查函数的值域，二项式定理及应用，属于中档题.
3.（23-24 高一上·云南楚雄·阶段练习）数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如
下：对任意的
，函数
称为狄利克雷函数；记
为不超过
的最大整数，则称
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为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的值域为
【答案】C
【分析】利用狄利克雷函数与高斯函数的定义，逐项推理判断即得.
【详解】由高斯函数的定义知，
都是整数，即都是有理数，所以
，A 正确；
若
为有理数，则
也是有理数，
；若
为无理数，则
也是无理数，
，B 正确；
取
，则
，C 错误；
的值域是
，所以
的值域为
，D 正确．
故选：C
4.（2024 高三·北京·专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函
数”为：设
，用
表示不超过
的最大整数，则
称为高斯函数，例如：
，已
知函数
，设
，则下列结论错误的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是奇函数
C．
在
上是增函数
D．
的值域是
【答案】B
【分析】利用奇偶性定义及特殊值法判断A、B；根据指数函数、复合函数的单调性判断C，由函数新定义
及分式型函数、指数函数性质求
的值域判断D．
【详解】由
且
，则
是奇函数，A 对；
由
，根据指数函数、复合函数单调性易知：
在
上是增函数，C 对；
由
，
，显然
，B 错；
当
时，
，则
，此时
；
当
时，
，则
，此时
；
所以
的值域是
，D 对．
故选：B
题型6 一元三次型函数
一元三次函数：
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所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图像的对称
中心，
设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．
1.（22-23 高三上·湖北·阶段练习）已知函数
是
上的增函数．当实数
取最大值时，若
存在点
，使得过点
的直线与曲线
围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点
的坐标为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】试题分析：
，由题意
时，
恒成立，所以
，
而当
时，
，所以
，即
的最大值为2．此时
，由于
函数
是奇函数，关于点
对称，所以函数
的图象关于点
对称，
所以点
的坐标为
．
2.（21-22 高三上·河南信阳·阶段练习）已知函数
是
上的增函数．
当实数
取最大值时，若存在点
，使得过点
的直线与曲线
围成两个封闭图形，且这两个封
闭图形的面积总相等,则点
的坐标为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】试题分析：由
，
是
上的增函数，
在
上恒成立，即
在
上恒成立．设
，即不等式
在
上恒成立，设
，
所以函数
上单调递增，因此
又
，故
，
的最大值为2，故得
，将函数
的图像
向上平移2 个长度单位，所得图像相应的函数解析式为
，由
于
，
为奇函数，故
的图像关于坐标原点成中心对称．由此即可函数
的
图像关于点
成中心对称．这表明存在点
，使得过点
的直线若能与函数
的图像围
成两个封闭图形，则封闭图形的面积总相等；故选C．
考点：定积分在球面积中的应用
3.（23-24 高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数
，现给出定义：设
是
函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
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的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数
都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数
，则函数的对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求导，即可根据拐点定义求解.
【详解】由
，得
，进而
，
令
，故
，
所以
，故对称中心为
故选：B
4.（20-21 高二下·北京西城·期中）对于三次函数
，给出定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”
就是对称中心，设函数
，则以下说法正确的是（ ）
①函数
对称中心
②
的值是
③)函数
对称中心
④
的值是
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④
【答案】C
【分析】根据题意求出函数
对称中心，然后根据函数对称中心的性质进行求解即可．
【详解】
,
令
，解得
，
，
由题意可知：函数
的对称中心为
；
因为函数
的对称中心为
，
所以有
，
设
，
所以有
，
得，
，
即
的值是99.
故选：C
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题型7 指数绝对值函数
指数函数核心特征是“一点一线”。
1. 一点，即一定点。
2. 一线，即一条渐近线（x 轴）
3. 指数函数的定点，类似中心对称的点，两个点关于“定点”满足“积定值。这个性质。
4. 无论指数函数怎么变换，要注意“一点一线”是否存在且“跟随”变换。
1.（24-25 高三·江西·阶段练习）若函数
有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将题目转化为
与
的图象有两个交点，再作出函数图象即可得到范围.
【详解】函数
有两个不同的零点，
即
与
的图象有两个交点，
令
，作出
与
的大致图象如图所示，
由图可知
，则
，
所以实数
的取值范围是
.故选：B.
2.（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
方程
有四个不同的实数根，从
小到大依次为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将方程
有四个不同的实数根，转化为函数
，
有四个不同的交点，利用
数形结合得到
的范围，再根据
为方程
的两根，
为方程
的两根，利用韦达定
理建立
的函数，再利用函数的单调性求解．
【详解】
在
上单调递减，在
上单调递增，当
时取得最小值1，
当
时函数值为，当
趋近于
时，函数值趋于正无穷；
在
上单调递减，在
上单调递增，当
时取得最小值1，
当
趋近于0 时趋近于
，当
趋近于
时趋近于
，如图所示：
16
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由方程
有四个不同的实数根，得函数
的图象与直线
有四个不同的交点，
由图知：
，
设
为方程
的两根，即
的两根，即
的两根，
则
，设
为方程
的两根，即
的两根，
则
，因此
，
由
，得
，即
，则
，
所以
．故选：A
3.（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数
，
，若关于
的方程
有3 个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，作出函数函数
的大致的图象，结合图象得出关于x 的方程根的情况，再根据一
元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解.
【详解】由题意，作出函数
的大致图象，如图．
令
，由图可知，当
时，关于
的方程
有2 个不同的实数根；
当
时，关于
的方程
无实数根；
当
或
时，关于
的方程
只有1 个实数根．
因为关于
的方程
有3 个不同实数根，
所以关于
的方程
的一个根在
内，
另一个根在
内，或一个根为0，另一个根在
内．
当
为方程
的根时，
，且方程的另一根为
．
当
时，方程的另一个根为
，不符合题意；
当
时，方程的另一个根为
，不符合题意．
当
为方程
的根时，有
，则
或
．
当
时，方程的另一个根为
，不符合题意；
当
时，方程的另一个根为
，不符合题意．
所以关于
的方程
的一个根在
内，另一个根在
内．令
，
17
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则
即
解得
．综上所述，实数的取值范围是
．故选：B.
4.（24-25 高三·江西·阶段练习）已知函数
，则函数
的零点个
数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【分析】令
，由
可得
，
，
，分类讨论结合函数图象分析求解即可.
【详解】求函数
的零点个数，即求方程
的不同实数根的个数，
如图，作出函数
的大致图象，
令
，则
，解得
，
，
．
当
时，
，则
，此时方程无解；
当
时，
，则
，此时方程有3 个不同实数根；
当
时，
，则
，此时方程有2 个不同实数根．
综上可知，函数
的零点个数为5．
故选：A．
题型8 对数型绝对值函数
对数绝对值型函数
对于
，
若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
18
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1.（24-25 高二下·山东日照·阶段练习）已知函数
，若方程
有四个不同的
实根
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出
的图象，确定
的范围，再根据对数的运算以及二次函数的对称性得
和
，进而利用二次函数的性质求出范围.
【详解】作出函数
的图象，且
，
方程
有四个不同的实根
，则
，
由
，得
，即
，由
，得
，
，
，
函数
在
上单调递增，当
时，
，
则
的取值范围为
，所以
的取值范围为
.
故选：C
2.（24-25 高二下·天津滨海新·阶段练习）已知实数
，
是函数
的两个零点，则
下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
19
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【分析】根据题意
的零点，即函数
与函数
的交点，作图可初步判断
，根据函数值可进一步判断
，得到
，再对通过判断
的符号，得到
即可.
【详解】根据题意
的零点，即函数
与函数
的交点如图，
由图可得
，
，
，
，
，
，综上，
.故选：B.
3.（24-25 高三上海·阶段练习）已知
存在实数
满足
，则
的
取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析函数的单调性，画出函数图象，数形结合求出
的取值范围，即可得解.
【详解】因为
，
所以当
时
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时
，所以
在
上单调递增，所以
的图象如下所示，
又
，
，
，∵存在
，满足
，
函数图象可知，
，
，所以
，
20
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∴
，即
，
，
的取值范围是
.故选：B．
4.（24-25 高一上·云南曲靖·期末）已知函数
，若关于
的方程
（
）有
四个不同的根，它们从小到大依次记为
，
，
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分析可知
与
的图象有4 个交点，结合函数
的图象，可得
，
，
，代入运算求解即可.
【详解】作出函数
的图象，
关于
的方程
有四个不同的解，
可知
与
的图象有4 个交点，结合图象可得
，且
，即
，
又因为
，即
，可得
，所以
，即
，
则
，
因为
在
内单调递增，且
，
，
可知
，即
，可得
，
所以的取值范围是
.故选：C.
题型9 对数无理型
21
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对称中心横坐标如果相同，可以叠加纵坐标为合成中心
1.（2025·河北·模拟预测）若
（其中
）是偶函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】由偶函数的性质和对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意知：
，
则
，
化简为
，则
，解得
．
故选：A．
2.（2025·河北·模拟预测）函数
与函数
的图象的交点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】分析函数
的性质，再按
分段并结合导数及零点存在性定理推理判
断.
【详解】令函数
，
，则
定义域为
，
，
是奇函数，
22
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当
时，
；
由
为奇函数可得当
时，
，
而函数
是偶函数，且当
时，
，
则函数
与
的图象在
时无交点；
当
时，令
，求导得
，
函数
在
上单调递增，又
，
，因此
在
上只有一个零点，
所以函数
与
的图象交点只有一个.
故选：B
3.（2025·陕西咸阳·二模）已知
是定义在
上的函数，且
为奇函数，若函数
的图象与函数
的图象有
个交点
，…，
，且
，则
的值为（ ）
A．1010
B．1012
C．1014
D．1016
【答案】B
【分析】由
为奇函数，得到
，求得
的图象关于点
对称，再由
，根据
奇偶性，得到
为奇函数，
且
的关于
对称，求得
的值，得到答案.
【详解】因为
为奇函数，所以
，
所以
的图象关于点
对称，
函数
，
对于函数
，
可得
，
所以函数
为奇函数，其图象关于原点对称，
所以
的图象关于
对称，
所以
为偶数，这些根成对出现，每对和为
，
所以设
，则
，所以
，解得
.
23
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故选：B.
4.（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，由
是奇函数且是增函数，
将原不等式
通过
转化为不等式
计算求解．
【详解】令
，则
，
可得
，
，所以
，
．
因为
，所以
为奇函数．
当
时，
为增函数，且
为连续函数，
则
在
上单调递增，所以原不等式等价于
，
即
，即
，解得
．
故选：D．
题型10 对数反比例型
24
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实战解题巧法：对称中心必然是定义域的“对称中点”处，可以借助这个特性来
直接解出参数值
1.（23-24 高三·云南昭通·阶段练习）函数
为奇函数，
的值为（ ）
A．
B．0
C．2
D．4
【答案】C
【分析】求出函数
的定义域，结合奇函数的性质求出
的值，再利用定义判断得解.
【详解】函数
有意义，则
，即
，
由
是奇函数，得
，解得
，此时
的定义域为
，
函数
，
，因此
是奇函数，
所以
的值为4.故选：C
2.（24-25 高三·湖南长沙·开学考试）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据解析式、对数复合函数的单调性判断
的定义域和单调性，再应用对数运算、基本不等
式判断
的大小，进而判断函数值的大小.
【详解】因为
，所以定义域为
，且
，
易知
为减函数，
为增函数，所以
为减函数.
25
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，
又
，所以
，则
.故选：A
3.（24-25 高三下·江苏泰州·开学考试）已知
R，
，函数
，则（ ）
A．当
时，函数
在其定义域上单调递减
B．当
时，函数
在其定义域上单调递增
C．存在实数a，使函数
的图像是轴对称图形
D．当
时，函数
的图像恒为中心对称图形
【答案】D
【分析】求
的导数即可判断AB，计算
即可判断C，计算
是否为定
值即可判断D.
【详解】由已知
，
的定义域为
，
当
时，
的定义域为
，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
的定义域为
，
，函数
在
上单调递减，故B 错误；
当
时，
的定义域为
，
，函数
在
上单调递减，
故A 错误；
若
，故不存在
，故C 错误；
，
当
，即
时，
为定值
，则
关于
对称.
故选：
4.（2025 高三·全国·专题练习）若函数
的图象关于坐标原点对称，则
（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据题意，得到函数
为奇函数，得到
，列出方程，求得
的
值，即可求解.
【详解】因为函数
为偶函数且函数
为奇函数，
所以
为奇函数，即
，
可得
，则
，
整理得
，所以
且
，解得
.
故选：A.
题型11 指数反比例型
1.（24-25 高二下·河南周口·期末）已知
是奇函数，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
27
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【分析】利用奇函数的定义列式求解.
【详解】函数
的定义域为
，由
为奇函数，得
，
即
，则
.
故选：B
2.（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数
，则下列是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分别求得定义域，由定义域不关于原点对称，可判断AC；BD 定义域关于原点对称，进而令
，利用奇函数的定义计算可判断B，令
，利用奇函数的定义计算可判
断D.
【详解】因为
，
对于A，
，定义域不关于原点对称，
所以
不是奇函数，故A 错误；
对于B，所以
，则
，
令
，定义域关于原点对称，
，所以B 正确；
对于C，
，定义域不关于原点对称，
所以
不是奇函数，故C 错误；
对于D，所以
，则
，
令
，定义域关于原点对称，
，
所以
不是奇函数，所以D 不正确；
故选：B.
3.（2025·四川成都·模拟预测）已知函数
，数列
满足
，
，
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
28
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【分析】结合数列的周期性，求出
，即可求解，函数解析式已知，代入列方程即可得解.
【详解】由已知，
，则
，
即
，整理可得
，
即
，解方程得
，所以
，
，
.
故选：A.
4.（2025·辽宁·模拟预测）已知
是
上的奇函数，当
时，
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意求得当
时，
，不等式
可得
，
根据函数奇偶性、单调性及
列式求解即可.
【详解】因为
是
上的奇函数，
所以
，解得
．
易知当
时，
因为
在区间
内单调递增，所以函数
在区间
内单调递减，
又
为奇函数，所以
在
上单调递减．因为
，
，
所以不等式
可化为
，即
，
则
，又
，所以
，则
，
由函数的单调性可知
，解得
或
．
故选：A．
题型12 对数反比例：绝对值型
对数反比例绝对值型函数
，有以下几点性质（可以参考下图特殊函数）
29
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1. 定义域是断点型：
2. 图像一上一下，一左一右，具体有两个判断：
（1）、两个断点处；（2）、断点处左右两边极限处带特殊值，判断函数值正负。
1.（24-25 高三上·山东日照·期末）若
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】根据定义域先求出
，再根据奇函数的性质求出
，从而可求
.
【详解】
，则自变量
满足
，则
，
故函数定义域中不能有
，故
即
，此时
，
而
，故
，故
，故
.故选：D
2.（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数
为奇函数，且
在区
间
上有最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由奇函数的性质可求出
，对
求导，根据极值的定义求出
的
极小值，要使
在区间
上有最小值，即
的极小值在
，解不等式即
30
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可.
【详解】因为
为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
易知
，所以
，即有
，得到
，所以
，
函数
定义域为
,得到
，所以
，
故
，有
，此时，函数
为奇函数，即
，
满足题意，所以
，定义域为
，
当
时，
，函数
，
在
上单调递增，
函数
在
上单调递减，所以函数
在
上单调递增；
当
时，
，
，由
，得
到
当
时，
，函数
在
上单调递减，当
时，
，函数
在
上单
调递增，
所以
是函数
的极小值点，当
时，
，结合奇函数的性质，可得函数的大致图象
如图，
又
在区间
上有最小值，所以
，解得
，
故选：D.
3.（24-25 高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】应用偶函数的定义列式结合对数运算计算求参.
【详解】因为函数
为偶函数，所以
，
31
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所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
且
，则
.
4.（2025·河南·模拟预测）已知函数
恰有一个零点，则实数
（ ）
A．1
B．
C．0
D．
【答案】A
【分析】判断函数的奇偶性，由偶函数且恰有一零点可得
，求出
后再检验即可得解.
【详解】由
得
，而
，
故
为偶函数.由对称性，
，从而
当
时，
当
时，
，即
无零点，
由对称性，
时，
也无零点，从而
仅有一解
，即
满足题意.
故选：A
题型13 对数复合指数反比例
对数-指数复合反比例型：
对数-指数复合反比例型原理：
1.（2025·黑龙江·一模）已知函数
是偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质求解参数，结合导数判断单调性，再利用对数的运算性质将所有数转化到同一
单调区间内，比较大小即可.
【详解】因为函数
是偶函数，
且
，
，
所以
，即
，
解得
，得到
，其定义域关于原点对称，
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此时
，
，
故
是偶函数，符合题意，
而
，
令
，
，令
，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
，且
，得到
，
而由偶函数性质得
，
而
，则
，
得到
成立，故A 正确.
故选：A
2.（24-25 高三·安徽阜阳·阶段练习）若函数
是
上的偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【分析】利用偶函数的定义建立方程，求解参数，再代回检验即可.
【详解】由题意得
的定义域为
，关于原点对称，
因为
是
上的偶函数，所以
，
而
，
，
则
，解得
，
此时
，
，
，
符合题意，故A 正确.
故选：A
3.（2025·福建厦门·一模）若函数
的图象关于直线
对称，则
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用特殊值结合对称性求出a 的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】依题意，
，其图象关于直线
对称，
则
，
所以
，所以
，解得
，
所以
，此时
，满足题意；
因为
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，
故选：B．
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4.（2025·山西临汾·三模）已知
，则满足
的实数m 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合函
数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案.
【详解】由
，易知其定义域为
，
由
，则函数
为偶函数，
，
由
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
由
，则
，即
，
整理可得
，化简可得
，解得
.故选：A
结束
34
