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1
立体几何七类大题梳理
题型归纳
题型一：空间异面直线夹角的求解
（23-24 高三上·河北衡水·月考）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是平行四边
形，且
是等边三角形，
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
是等腰三角形，求异面直线
与
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【解析】（1）因为底面
是平行四边形，且
是等边三角形，
所以四边形
是菱形，则有
，
又
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）设
，
∵
是等腰三角形，
2
∴
，
，
以O 为坐标原点，射线
，
分别为x 轴，y 轴的正半轴建立空间直角坐标系
，
如图，
则
，
，B (1,0,0)，
，
所以
，
，
设
与
所成角为
，
所以
，
即
与
所成角的余弦值为
.
1、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角
的取值范围是
，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异
面直线所成的角．
2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
（1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
（2）中位线平移法；
（3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
3、异面直线所成角：若
分别为直线
的方向向量，
为直线
的夹角，则
3
.
1．（24-25 高三上·江西南昌·开学考试）如图，圆锥
的轴截面
是边长为4 的等边三角形，
是
的中点，
是底面圆周上一点，
.
(1)求
的值；
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值.
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）
中，
，
，
，
根据余弦定理，
.
（2）如图，以点
为原点，
为
轴和
轴，
过点
作
为
轴，建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
,
，
设异面直线
与
所成角为
，
则
4
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
2．（24-25 高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱
中，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由题知
面
，又
面
，所以
，
又
，
，
面
，所以
面
，
又
面
，所以
，
又
，所以四边形
是正方形，得到
，
又
，
面
，所以
平面
.
（2）如图，建立空间直角坐标系，因为
，
则
，
，
得到
，
，
设直线
与
所成角为
，则
，
所以直线
与
所成角的余弦值为
.
5
题型二：空间直线与平面夹角的求解
（24-25 高三上·江苏南京·期中）如图，在四棱锥
中，平面
⊥平面
，
，
，
，
，
，
，
(1)求证：平面
⊥平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为平面
平面
，且平面
平面
，
且
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
又
，且
，
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
；
（2）
6
取
中点为
，连接
，
，
又因为
，所以
，则
，
因为
，所以
，则
，
以O 为坐标原点，分别以
，
，
所在直线为
，
，
轴，建立如图所示的空间直角坐
标系
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
设
是平面
的一个法向量，
则
，得
，
令
，则
，
，所以
，
设
与平面
所成的角为
，
则
，
所以
与平面
所成的角的正弦值为
.
1、垂线法求线面角（也称直接法）：
（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B 为斜足；找线在面外的一点A，过点A 向平面
做垂线，确
定垂足O；
（2）连结斜足与垂足为斜线AB 在面
上的投影；投影BO 与斜线AB 之间的夹角为线面角；
7
（3）把投影BO 与斜线AB 归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
3、公式法求线面角（也称等体积法）：
用等体积法，求出斜线PA 在面外的一点P 到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ = h
l ，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长。
方法：已知平面β 内一个多边形的面积为S，它在平面α 内的射影图形的面积为S射影，
平面α 和平面β 所成的二面角的大小为θ ，则COSθ = S射影
S
.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
4、直线与平面所成角：设
是直线的方向向量，
是平面
的法向量，直线与平面的夹角为
.则
.
1．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在三棱柱
中，
，
，
，
，
为
中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）连接
，
因为
，
为
中点，所以
，
8
因为
，所以
，所以
，
又
，所以
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
；
（2）以
为坐标原点，
所在直线为
，
过
作
的平行线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为
，所以
，
则
，
则
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
，
所以平面
的一个法向量为
，
又
，所以
，
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
2．（24-25 高三上·云南大理·月考）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，侧棱
底面
，
.点
是棱
的中点，点
为棱
上的一点，且
.
(1)求证：平面
平面
；
9
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【解析】（1）在
中，
，即
，
又
，则有
，即
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
（2）由（1）可知，
，
，
，
故以D 为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意得，
，
，
，
，
，
设点
，由
，
，
三点共线，则有
，
又
，
，
，解得
，
，
，故
，
设平面
的法向量为⃗n=(x , y , z)，
，
，
由
，得
，即
，
取平面
的一个法向量
，
设直线
与平面
所成角为
，则
，
，
所以
，
，
，
10
故
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
题型三：空间平面与平面夹角的求解
（24-25 高三上·湖北·期中）如图，球
的半径为
，
为球面上三点，若三角形
为直角三角形，
其中
.延长
与球
的表面交于点
.
(1)求证：
平面
；
(2)若直线
与平面
所成的角分别为
，试求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【解析】（1）因为
是球的直径，所以
.
因为
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，
平面
，所以
平面
.
（2）因为直线
与平面
所成的角分别为
，所以
.
不妨令
，则
，
由题设，易知
，
以
为坐标原点，
所在直线为
轴，过点
作
的平行线为
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
11
则
.
所以
，
设平面
的法向量为
，平面
法向量为
，
由
，取
，得
，
由
，取
，得
，
设二面角
的平面角为
，则
，易知
.
1、几何法
（1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直
于棱的射线．
（2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作
垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面
角
（3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所
成的角就是二面角的平面角。
（4）射影面积法求二面角
2 、向量法：若
分别为平面
的法向量，
为平面
的夹角，则
.
12
1．（24-25 高三上·福建南平·期中）如图，在四棱锥
中，点
在平面
上射影是
的外
心，且
是棱
的中点，且
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）分别取
的中点为
，连接
，延长
至
，使得
，
连接
，如下图：
在
中，
为中位线，则
，
在
中，由
，则
为外心，即
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）在
中，
，则
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
，
以
为原点，分别以
所在的直线为
轴，建立空间直角坐标系，如下图：
13
在
中，
，则
，
，
在
中，
，则
，
则
，
取
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，则
，所以平面
的一个法向量为
；
设平面
的法向量为
，则
，
取
，则
，所以平面
的一个法向量为
；
设二面角
的大小为
，
，
则
.
2．（24-25 高三上·北京·月考）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
平面
，
，M 为线段
的动点.
14
(1)若直线
平面
，求证：
为
的中点：
(2)求证：平面
平面
(3)若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【解析】（1）证明：如图所示，连接
，交
于点
，连接
，
因为直线
平面
，且平面
平面
，
平面
，
所以
，
又因为四边形
为正方形，所以点
为
的中点，所以
为
的中点.
（2）证明：因为四边形
为正方形，可得
，
又因为
平面
，且
平面
，所以
，
因为
，且
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以平面
平面
.
（3）解：因为四边形
为正方形，且
平面
，所以
两两垂直，
以
为坐标原点，以
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，设
，可得
，
则
，
设
，则
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，可得
，所以
，
连接
，由四边形
为正方形，可得
，
因为
平面
，且
平面
，所以
，
又因为
，且
平面
，所以
平面
，
所以向量
为平面
的一个法向量，
则
，解得
或
（舍），
所以
.
15
题型四：空间点、线、面间的距离求解
（24-25 高三上·贵州贵阳·月考）如图，
是正三角形
的一条中位线，
，将
沿
折起，
得到四棱锥
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：因为
，
所以
.
又因为
平面
，所以
平面
.
（2）解：如图，点
为坐标原点，建立空间直角坐标系，
16
三角形的边长为2，
则
.
设
，因为
，
所以
所以
.
因为
，所以
，
所以
.
设
平面
，
所以
故
.
又
，
17
所以点
到平面
的距离为
.
1、几何法求点面距
（1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；
（2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；
（3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．
2、向量法求空间距离：
（1）点面距：已知平面
的法向量为
,
是平面
内的任一点，
是平面
外一点,过点
作则平面
的垂线，交平面
于点
，则点
到平面
的距离为
（2）直线
a
与平面
之间的距离：
|
|
AB n
d
n
，其中
,
A
a B
，
n
是平面
的法向量。
（3）两平行平面,
之间的距离：
|
|
AB n
d
n
，其中
,
A
B
，
n
是平面
的法向量。
1．（24-25 高三上·广东广州·月考）已知四棱柱
中，底面ABCD 为梯形，
，
平面
，
，其中
，
.
，
分别是线段
和线段
上的
动点，且
，
.
(1)求证：
平面
；
18
(2)若
到平面
的距离为
，求
的长度.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）
因为
平面
，
平面
，
所以
，又
，
所以
两两垂直，
以
为原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，如图，
因为
，
，
则
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
又
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
所以
，即
，令
，则
，
所以
，
所以
，所以
平面
，
19
（2）若
到平面
的距离为
，则
，
又
，
所以
，
整理可得
，解得
或
（舍去），
所以
，所以
.
2．（24-25 高三上·福建福州·月考）如图，在直四棱柱
中，底面四边形
为梯形，
，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求直线BD 到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为
，
，所以
，
可得
，又
为直四棱柱，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
且
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
可得
，因为
，
所以
；
（2）由（1），以
为原点，
所在的直线分别为
轴的正方向建立
空间直角坐标系，设
，
20
则
，
，
设⃗n=(x , y , z)为平面
的一个法向量，
则
，即
，令
，则
，
，
所以
，
设直线
与平面
所成角为
，
因为直线
与平面
所成角的正弦值为
，
所以
，
解得
，
，
因为平面
，平面
平面
，
平面
平面
，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，所以直线BD 到平面
的距离
可转化为点B 到平面
的距离，
，
.
题型五：空间几何体的体积求解
21
（23-24 高三上·海南海口·月考）如图，在长方体
中，
，
，
分别
为
，
的中点．
(1)证明：
；
(2)求三棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）连接
，因为A1B1C1D1为正方形，所以
，
又在长方体
中，
平面A1B1C1D1，
且
平面A1B1C1D1，故
．
又
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，故
．
（2）由
，
，
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
．
设平面
的一个法向量为
，则
，
即
，令
，得
．
又
，则点
到平面
的距离
．
又
，所以
的面积为
，
22
所以三棱锥
的体积为
．
1、处理空间几何体体积的基本思路
（1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的
高转换为容易看出并容易求解的高；
（2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；
（3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原
乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。
2、求体积的常用方法
（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；
（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成
规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；
（3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面
作为三棱锥的底面进行等体积变换
1．（24-25 高三上·广东深圳·月考）如图，将长方形
（及其内部）绕
旋转一周形成圆柱，其中
，
，劣弧
的长为
，
为圆
的直径，平面
与平面
的交线为.
23
(1)证明：
；
(2)若平面
与平面
夹角的正切值为
，求四棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）法一：
，
平面
，
平面
，
平面
，
又
平面
，平面
平面
，
；
法二：
圆面
圆面
，平面
圆面
，
平面
圆面
，
，
又
，
；
（2）法一：
以
为原点，
分别为
轴，垂直于
轴直线为
轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则
，
，
24
劣弧
的长为
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
由
，即
，
令
，则
，
，
平面
的法向量为
，
设平面
与平面
夹角为
，
则
，
则
，
即
，
(负值舍去)，
即
到平面
距离为
，
则
.
法二：
如图，过
作
，即平面
与平面
的交线为
，
作
于
，连接
，
平面
，
平面
，
，
25
又
，
平面
，
平面
，
，
是平面
与平面
夹角，
的长为
，
，
，
，
则
，
，
即
到平面
距离为
，
.
2．（24-25 高三上·河南·开学考试）如图，四棱锥
中，底面四边形
为凸四边形，且
，
，
．
(1)证明：
；
(2)已知平面
与平面
夹角的余弦值为
，求四棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)16
【解析】（1）因为
，
，
所以
，所以
，
26
同理
，又
，
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
连接
，因为
，
，
，
所以
，所以
．
又
，由等腰三角形三线合一，得
．
因为
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
．
（2）因为
，
，所以
，
所以
，又
，
，故
，
，
两两垂直，
故以
为坐标原点，
，
，
所在的直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，所以
，
，
由（1）知
平分
，设
，所以
．
设平面
的法向量为
，则
，
令
，得
，
，所以
，
27
设平面
的法向量为
，则
，
令
，得
，
，所以
，
设平面
与平面
夹角的大小为
，
则
，
两边平方并化简得
，解得
或
．
因为
，
，所以点
到
的距离为
，
因为四边形
为凸四边形，所以
，所以
不合题意，
即
，则
，可得
，
所以
．
题型六：空间几何体的翻折问题
（23-24 高三下·山东·模拟预测）如图，在菱形
中，
，
是
的中点，将
沿直线
翻折使点
到达点
的位置，
为线段
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，求直线
与平面
所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【解析】（1）取线段
的中点为
，连接
，
28
因为
为线段
的中点，所以
，且
；
又
是
的中点，所以
，且
；
所以
，且
，故四边形
为平行四边形；
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以 直线
平面
；
（2）因为
是
的中点，所以
，所以
；
因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
.
以
为原点，
分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
则
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
即
，
取
，则
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角为
.
29
翻折问题的两个解题策略
1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数
量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折
痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的
关系则要在立体图形中解决
2、确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，
会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．
只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明
与计算
1．（24-25 高三上·云南昆明·期中）已知在长方形
中，
，
，点
是边
的中点，如
图甲所示.将
沿
翻折到
，连接
，
，得到四棱锥
，其中
，如
图乙所示.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
和平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
．
【解析】（1）连接
，因为
是
中点，所以
，
从而
，所以
，
又
，所以
，所以
，
，
平面
，
所以
平面
，又因为
平面
，
所以平面
平面
；
30
（2）取
的中点
，连接
，则
，又平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，
，
以
为原点，过
平行于
的直线为
轴，
为
轴，
过
平行于
的直线为
轴建立空间直角坐标系，如图，
则
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量是
，
则
，取
得
，
设平面
的一个法向量是
，
则
，取
，得
，
，
所以平面
和平面
夹角的余弦值为
．
31
2．（2024·河北承德·二模）如图1，在直角
中，
为
中点，
，取
中
点
，连接
，现把
沿着
翻折，形成三棱锥
如图2，此时
，取
中点
，
连接
，记平面
和平面
的交线为
为上异于
的一点.
(1)求证：
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长度.
【答案】(1)证明见解析；(2)
或
【解析】（1）由题意知
为等腰直角三角形，又
为
的中点，
所以
，
，
，
由
，解得
，
当
时，有
，即
，
而
平面
，故
平面
；
（2）以
为
轴，
轴，过
作平面
的垂线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
又
，
所以
所以
，
，
32
所以
，
于是
，
设平面
的法向量为
，
则
，不妨取
，解得
，
设
，则
，
，
因为
为
中点，
为
中点，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
平面
和平面
的交线为，
平面
，
所以
，又
为上异于
的一点，所以
，即
与
共线，
设为
，则
，
故
，
因此
.
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
化简得
，解得
或
，
33
当
时
，则
，
当
时
，则
，
因此
或
.
题型七：空间动点存在性问题的探究
（24-25 高三上·四川德阳·月考）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
平面
为
棱
上的动点.
(1)若
为
中点，证明：
平面
；
(2)若
，在线段
上是否存在点
使得面
与面
夹角余弦值为
，若存
在，求出点
位置，若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析
【解析】（1）连接
，交
于点
，
因为底面
为矩形，故
为BD的中点，
又因为
为
的中点，
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
34
（2）底面
为矩形，所以
，
平面
，又
平面
，
，
如图，以
为原点，
所在直线为
轴、
轴，
轴建立空间直角坐标系，
由题意得
，
，
设
，设
，
所以
，可得
，
所以
，
，
，
，
设面
的法向量为
，
则
，
取
，则
，
为平面
的一个法向量，
设面
的法向量为
，
则
，
取
，则
，
可取
，
设面
与面
夹角为
，
则
，
35
化简得
，即
，
解得
或
（舍），
所以在线段
上存在点
使得面
与面
夹角余弦值为
，
此时
，即点
为
（靠近点
）的三等分点.
借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所
要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来
确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．
1．（24-25 高三上·江西南昌·月考）如图，在矩形纸片
中，
，沿
将
折起，
使点
到达点
的位置，且满足平面
⊥平面
.
(1)求证：平面
平面
，并求
的长度；
(2)若
是线段
上（不包括端点）的一个动点，是否存在点
，使得直线
与平面
的夹角为
？
若存在，求
的长度；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明过程见解析，
；
36
(2)存在点
，使得直线
与平面
的夹角为
，
，理由见解析
【解析】（1）过点
作
⊥
于点
，
因为平面
⊥平面
，交线为
，
⊥
，
平面
，
所以
⊥平面
，
因为
平面
，所以
⊥
，
又
⊥
，
，
平面
，
所以
⊥平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，
因为
⊥平面
，
平面
，所以
⊥
，
又
，由勾股定理得
；
（2）存在点
，使得直线
与平面
的夹角为
，此时
，理由如下：
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
垂直于平面
的直线为
轴，建立空间直角坐标系，
由（1）知，
，
，故
，
由勾股定理逆定理得
⊥
，且
，
所以
，
过点
作
⊥
于点
，
由（1）知，平面
平面
，故
⊥平面
，
且
，
，
所以
，
其中
，设
，
，
设
，则
，
解得
，故
，
设平面
的一个法向量为
，
37
则
，
令
，则
，
所以
，
与平面
的夹角为
，故
与
夹角为
或
，
又
，
所以
，即
，
解得
，则
.
2．（24-25 高三上·湖南·月考）如图，侧面
水平放置的正三棱台
，侧棱
长为
为棱
上的动点.
(1)求证：
平面
；
(2)是否存在点
，使得平面
与平面
的夹角的余弦值为
？若存在，求出点
；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点
为
中点
【解析】（1）延长三条侧棱交于一点
，如图所示，
38
由于
，所以
，
所以
，所以
，同理
.
又
，
平面
，
所以
平面
，即
平面
.
（2）由（1）知
，如图建立空间直角坐标系，
则
，
，
所以
，
.
设
，
则
，
设平面
和平面
的法向量分别为
，
所以
取
，
则
.
整理得
，即
，所以
或
（舍），
故存在点
（点
为
中点时），满足题意.
39
必刷大题
1．（24-25 高三上·江苏扬州·月考）已知三棱锥
底面
，
点
是
的中点，点
为线段
上一动点，点
在线段
上.
(1)若
平面
，求证：
为
的中点；
(2)若
为
的中点，求直线
与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）连接
，因为
平面
平面
，
平面
平面
，所以
，
又因为
是
的中点，所以
是
中点；
（2）方法一：因为
底面
，如图建立坐标系
，
40
则
，可得
，
，
设平面
的法向量为⃗n=(x , y , z)，则
，
令
，则
，可得
，
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，又
，则
，
因此直线
与平面
所成角的余弦值为
.
方法二：过点
作
交
于
，连接
，
因为
底面
底面
，则
，
且
平面
，则
平面
，
由
平面
，可得
，且
，
平面
，所以
平面
，
可知
即为直线
与平面
所成角，
在
中，
，则
，所以
，
又
，
，则
，
所以直线
与平面
所成角的余弦值为
.
2．（24-25 高三上·江苏苏州·月考）如图，在平行四边形
中，
，以
为
折痕将
折起，使点M 到达点D 的位置，且
.
41
(1)证明：平面
平面
.
(2)Q 为线段
上一点，P 为线段
上一点，且
，求点P 到平面ABQ 的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由题意平行四边形ABCM 中，
，则
，又
，所以
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，所以平面
平面
；
（2）由于
，
平面
，平面
平面
，所以
平面
，
以
为
轴，平行于
的直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
又Q 为线段
上一点，P 为线段
上一点，且
，
则
，
，
，
设平面
的一个法向量是
，
则
，取
，则
，
又
，
则
到平面
的距离等于
，
42
3．（24-25 高三上·浙江宁波·模拟考试）在三棱锥
中，侧面
是边长为2 的等边三角形，
，
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）
取
的中点为
，连接
，
因为
是边长为2 的等边三角形，所以
，
，
在直角三角形
中，
，
为
中点，所以
，
又
，所以
，
43
所以
，即
，又
为平面
内两条相交直线，
所以
平面
，又
在平面
内，
所以平面
平面
.
（2）
由（1）知过
作
的平行线作为
轴，
分别为
轴，
则
，
所以
，
,
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，可得
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，可得
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
.
44
4．（24-25 高三上·黑龙江大庆·期中）在梯形
中，
，
，
，
为
的中点，线段
与
交于
点（如图1）.将△
沿
折起到△
位置，使得
（如图2）.
(1)求证：平面
平面
；
(2)线段
上是否存在点
，使得
与平面
所成角的正弦值为
?若存在，求出
的值；若不
存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，
【解析】（1）证明：∵在梯形
中，
，
，
，
为
的中点，
∴
，
，
，
∴
是正三角形，四边形
为菱形，
∴
，
，
∵
，
又∵
平面ABC，
∴
平面ABC，
∵
平面
，
∴平面
⊥平面ABC.
45
（2）存在，
，理由如下：
∵
平面
，OP⊥AC，
∴
，
，
两两互相垂直，
如图，以点
为坐标原点，
，
，
所在直线为
，
，
轴建立空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
∴
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，即
，令
，则
，
，
，
设
，
∵
，
，
∴
，
设
与平面
所成角为
，则
，
即
，
，解得
，
∴线段
上存在点
，且
，使得
与平面
所成角的正弦值为
.
46
5．（24-25 高三上·北京·期中）如图，在四棱锥
中，直线
平面
.
，
，
，
，
，平面
平面
，F 为线段
的中点，E 为
线段
上一点.
(1)证明：
；
(2)证明：
；
(3)是否存在点E，使得点E 到平面
的距离是
，若存在求出
的值，若不存在请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，
.
【解析】（1）证明：因为
平面
，
平面
，平面
平面
，
所以
；
（2）因为
，F 为线段
的中点，
所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
；
（3）取
的中点
，连接
，过
作
‖
，交
于
，
因为F 为线段
的中点，
，所以
‖
，
因为
，所以
，所以
，
由（2）可知
平面
，
平面
，
所以
，
47
所以
两两垂直，所以以
所在的直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为
‖
，
，
，
所以四边形
为矩形，
所以
，
因为
，所以
,
因为
，所以
，
所以
，
因为
，
，所以
为等边三角形，
所以
，
，
设
，则
，
因为
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
，
若点E 到平面
的距离是
，则
，
所以
，解得
，
所以
，所以
.
48
6．（24-25 高三上·浙江·月考）在四棱锥
中，
，
，
底面
，点O 在
上，且
.
(1)求证：
；
(2)若
，
，点
在
上，
平面
，求
的值；
(3)若
，二面角
的正切值为
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
；(3)
.
【解析】（1）连接
，
因为
底面
，
平面
，
所以
，即
，
又
，
，所以
，
所以
，故
又
，
所以
，
，
又
，所以
，
因为
底面
，
平面
，
所以
，
又
，
49
所以
；
（2）连接
交
于点
，连
，
因
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
，故
，
因为
，
，
所以
，故四边形
是圆内接四边形，
又
，所以
，
因
，
，点
为
的中点，
所以
，
，
故
，设
，
则
，
，
在
中，
由余弦定理可得
，
所以
，于是
；
50
（3）以点
为原点，
，
，
为
，
，
轴正方向建立如图所示的坐标系，
则
,
所以
,
设⃗n1=(x1, y1, z1)为平面
的法向量,
所以
，
故
，令
，则
，
所以
为平面
的一个法向量，
过点
作
于
，
因为
底面
，
平面
，
所以
，
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
故二面角
的平面角为
，
由已知
，
所以
，于是
，
，
又
，所以
，又
，
所以
，故
，
所以点
的横坐标为
，纵坐标为
，
51
所以点
的坐标为
，
所以
，
设
平面
的法向量，
所以
，
两式相减得
，
令
，则
，
所以
为平面
的一个法向量，,
所以
，
观察可得二面角
的平面角为锐角，
所以二面角
的余弦值为
.
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
，
，
,点
在
上，且
，
．
(1)若
为线段
中点，求证：
平面
．
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
52
【解析】（1）取
的中点为，接
，则
，
而
，故
，故四边形
为平行四边形，
故
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）
因为
，故
，故
，
故四边形
为平行四边形，故
，所以
平面
，
而
平面
，故
，而
，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
则
设平面
的法向量为
，
则由
可得
，取
，
设平面
的法向量为
，
则由
可得
，取
，
故
，
故平面
与平面
夹角的余弦值为
53
2．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形
ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的
中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为
为
的中点，所以
，
四边形
为平行四边形，所以
，又因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）如图所示，作
交
于
，连接
，
因为四边形
为等腰梯形，
，所以
，
结合（1）
为平行四边形，可得
，又
，
所以
为等边三角形，
为
中点，所以
，
又因为四边形
为等腰梯形，
为
中点，所以
，
四边形
为平行四边形，
，
所以
为等腰三角形，
与
底边上中点
重合，
，
，
因为
，所以
，所以
互相垂直，
以
方向为
轴，
方向为
轴，
方向为
轴，建立
空间直角坐标系，
，
，
，
，设平面
的法向量为⃗m=(x1, y1, z1)，
54
平面
的法向量为⃗n=(x2, y2, z2)，
则
，即
，令
，得
，即⃗m=(√3,3,1)，
则
，即
，令
，得
，
即
，
，则
，
故二面角
的正弦值为
.
3．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由
，
得
，又
，在
中，
55
由余弦定理得
,
所以
，则
，即
，
所以
，又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
故
；
（2）连接
，由
，则
，
在
中，
，得
，
所以
，由（1）知
，又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，则
两两垂直，建立如图空间直角坐标系
，
则
，
由
是
的中点，得
，
所以
，
设平面
和平面
的一个法向量分别为
，
则
，
，
令
，得
，
所以
，
所以
，
设平面
和平面
所成角为
，则
，
即平面
和平面
所成角的正弦值为
.
56
4．（2024·广东江苏·高考真题）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）（1）因为
平面
，而
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
而
平面
，所以
.
因为
，所以
， 根据平面知识可知
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）如图所示，过点D 作
于
，再过点
作
于
，连接
，
因为
平面
，所以平面
平面
，而平面
平面
，
所以
平面
，又
，所以
平面
，
根据二面角的定义可知，
即为二面角
的平面角，
即
，即
．
因为
，设
，则
，由等面积法可得，
，
57
又
，而
为等腰直角三角形，所以
，
故
，解得
，即
．
5．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱
中，
平面
，
，
．
分别为
的中点，
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)
；(3)
【解析】（1）取
中点
，连接
，
，
由
是
的中点，故
，且
，
由
是
的中点，故
，且
，
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则有
、
，
故四边形
是平行四边形，故
，
又
平面
，
平面
，
故
平面
；
（2）以
为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有A (0,0,0)、
、
、
、C (1,1,0)、
，
则有
、
、
，
设平面
与平面
的法向量分别为
、
，
则有
，
，
分别取
，则有
、
、
，
，
即
、
，
则
，
故平面
与平面
的夹角余弦值为
；
（3）由
，平面
的法向量为
，
则有
，
即点
到平面
的距离为
.
