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2024 年新试卷题型适应模拟训练卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得如下数据：
2
色差x 21 25 27
3
1
色度y 15 19 20
8
已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且 ，现有一对测量数据为 ，则
该数据的残差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意可得 ， ，所以 ，
解得 ，所以 ，所以当 时 ，所以该数据的残差为
；
故选：C
2．如图，在 中， ， ， 是 的中点， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得： ， ，
故
，故选：C
3．已知公差不为零的等差数列 满足： ，且 是 与 的等比中项.设数列 满足
，则数列 的前 项和 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据题意可得 ，则 ，解得 ，所以 ，
，
.
故选：A.
4．已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若 ， ， ，则 ；②若 ， ，则 ；③若 ， 是异面直线，则存在 ，
，使 ， ，且 ；④若 ， 不垂直，则不存在 ，使 ．
其中正确的命题有．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】①由图可知符合： ， ， ，但 ， 为异面直线，不平行，故①错误.
②由图知符合： ， ，
但 ，故②错误.
③根据条件： ， 是异面直线，则存在 ， ，使 ， ，可画出 ，
如图所示： ，即存在 ，故③正确.
④假设： ， ，由平面与平面垂直的判定可得： ，与已知矛盾，
故 ， 不垂直，则不存在 ，使 ，④正确.
故选：B
5．苗族四月八日“姑娘节”是流传于湖南省绥宁县的民俗活动，国家级非物质文化遗产之一.假设在即将
举办的“姑娘节”活动中，组委会原排定有8个“歌舞”节目，现计划增加2个“对唱”节目.若保持原来
8个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（ ）
A．56 B．90 C．110 D．132
【答案】B【详解】根据题意分两类，
第一种两个“对唱”节目相邻： ，
第一种两个“对唱”节目不相邻： ，
则不同的排法种数为 .
故选：B
6．若对函数 的图象上任意一点处的切线 ，函数 的图象上总存在一
点处的切线 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，设该导函数值域为B，
(1)当 时，导函数单调递增， ，
由题意得
故 ，解得 ；
(2)当 时，导函数单调递减， ，同理可得 ，与 矛盾，舍去；
（3）当 时，不符合题意.
综上所述： 的取值范围为 .
故选： .
7．已知单位向量 的夹角为 ，且 ，若向量 ，则
A． B． C． D． 或【答案】A
【详解】由 ， 为 的夹角，故 为锐角，所以求得 ；
又因为
所以 ．
故选：A．
8．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除
以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C： 的左，右焦点分别是 ，
，P是C上一点， ， ，C的面积为12π，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由椭圆的定义可知 ，又 ，所以 ， .又 ，
，所以 ，所以 ，
.又椭圆的面积为12π，所以 ，解得 ， ， .
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．“ 为第一象限角”是“ 为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件
B．“ ， ”是“ ”的充要条件C．设 ， ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．“ ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】AC
【详解】对于A,因为 为第一象限角，
所以 ，
则 ,
当 为偶数时， 为第一象限角，
当 为奇数时， 为第三象限角，
所以充分性成立；
当 时， 为第一象限角，则 ，为第二象限角，
即必要性不成立，故A正确；
对于B，当 ， 时，
成立，则充分性成立；
当 时， 或 ， ,
故必要性不成立，则B错误；
对于C， ，
而 ，
则 ，故则“ ”是“ ”的充分不必要条件，故C正确；
对于D,当 时， ,
则 ，则 ，故充分性成立，
当 时， ，
则 ，
则 成立，
所以“ ”是“ ”的充要条件，故D错误，
故选：AC.
10．已知复数 ，复数 满足 ，则（ ）
A．
B．
C．复数 在复平面内所对应的点的坐标是
D．复数 在复平面内所对应的点为 ，则
【答案】AB
【详解】由已知 ，其对应点坐标为 ，C错； ，A正确；
由 知 对应的点在以 对应点为圆心，2为半径的圆上， ，
因此 ，B正确； 对应点坐标为 ，因此 ,故D错误，
故选：AB.
11．已知定义在 上的连续函数 ，其导函数为 ，且 ，函数 为奇
函数，当 时， ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】ABD
【详解】A项，在 中， ，函数 为奇函数，
所以函数 为偶函数，则 ，
所以函数 关于 对称，
所以 ，故A正确；
B项，令 ，
因为当 时 ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，
所以 ，B正确；
C项，当 时， ，
所以 ，函数 单调递增，
所以当 时，函数 单调递减，
则 在 取得最小值为1，
所以不存在 ，C错误；
D项，由函数 关于 对称，
当 时，令 ， ，函数 单调递增，所以 ，则 ，
所以 ， ，
令 ， ，
所以函数 单调递减， ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 与 的差大于 与 的差，
因为函数 关于 对称，当 时，函数 单调递增，
所以 ，D正确；
故选：ABD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若 ，则实数 的一个取值为 .
【答案】 （答案不唯一）
【详解】因为 ，
且当 时，即 时， ，
当 时，即 时，才有可能使得 ，
当 的两根刚好是 时，即 ，此时 的解集为 刚好满足
，
所以 ，所以实数 的一个取值可以为 .
故答案为:13．已知Q为抛物线C： 上的动点，动点M满足到点 的距离与到点F（F是C的焦点）的距
离之比为 则 的最小值是 .
【答案】
【详解】
由题意得 ， 等于点 到准线 的距离，
过点 作 垂直准线于点 ，则 ，
设动点 ，则 ，整理得 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心，半径为 的圆，
所以 ，所以当 四点共线时， 最小，
故 .
故答案为： .
14．如图所示，在正方体 中，M是棱 上一点，平面 与棱 交于点N．给出下
面几个结论：①四边形 是平行四边形；②四边形 可能是正方形；③存在平面 与直线 垂直；④
任意平面 都与平面 垂直．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①④
【详解】对于①，因为平面 与棱 交于点 ，所以 四点共面，
在正方体 中，由平面 平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
同理可得 ，故四边形 一定是平行四边形，故①正确
对于②，在正方体 中， 面 ，
因为 面 ，所以 ，
若 是正方形， 有 ， ，
若 不重合，则 与 矛盾，
若 重合，则 不成立，故②错误；
对于③，因为 平面 ， ，
若直线 与平面 垂直，则直线 ，显然矛盾，
所以平面 与直线 不可能垂直，故③错误对于④，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
同理： ，又 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，故④正确.
故答案为：①④.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知 .
（1）若 在 处取极值，求 在点 处切线方程；
（2）若函数 在区间 最小值为－1，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【详解】解：（1）∵ ，又 在 处取极值，
∴ 得 ，
当 时 ，函数在 和 上单调递增，在 上单调递减，满足题意；
∴ ，切点为 ，切线斜率为
∴ 在点 的切线方程为
（2）∵ ，令 得 或
若 ，则 时 ， 在[0，1]为增函数
此时 舍去
若 ，则 ，此时 时 ， 在[0，1]为减函数，得 满足题意
若 ，则 ，此时 时 ， 时
在 单调递减，在 单调递增，
此时 解得 舍去
综合以上得
16．（15分）为参加凉山州第八届“学宪法讲宪法”演讲比赛，某校组织选拔活动，通过两轮比赛最终决
定参加州级比赛人选，已知甲同学晋级第二轮的概率为 ，乙同学晋级第二轮的概率为 ．若甲、乙能进
入第二轮，在第二轮比赛中甲、两人能胜出的概率均为 ．假设甲、乙第一轮是否晋级和在第二轮中能否
胜出互不影响．
(1)若甲、乙有且只有一人能晋级第二轮的概率为 ，求 的值；
(2)在（1）的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加州级比赛的概率．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设事件 表示“甲在初赛中晋级”，事件 表示“乙在初赛中晋级”，
由题意可知， ，
解得 .
（2）设事件 为“甲､乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”， 为“甲能参加市级比赛”， 为“乙
能参加市级比赛”，
则 ，
，所以 .
17．（15分）如图，在平行四边形 中， ， ， ，四边形 为矩形，平
面 平面 ， ，点 在线段 上运动．
(1)当 时，求点 的位置；
(2)在（1）的条件下，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)点 为 的中点(2)
【详解】（1）解： ， ， ，
，
， ， ，又 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
所以以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，则 ，
设 ．
则 ，
， ，解得 ， ．
当 时，点 为 的中点．
（2）解：由（1）可得 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
，
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．18．（17分）已知椭圆 ： 与抛物线 ： 在第一象限交于点 ，
， 分别为 的左、右顶点.
(1)若 ，且椭圆 的焦距为2，求 的准线方程；
(2)设点 是 和 的一个共同焦点，过点 的一条直线 与 相交于 ， 两点，与 相交于 ，
两点， ，若直线 的斜率为1，求 的值；
(3)设直线 ，直线 分别与直线 交于 ， 两点， 与 的面积分别为 ， ，若
的最小值为 ，求点 的坐标.
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）由题意得 ，故 ，则 ，解得 ，
故椭圆 ： ，
因为 在第一象限， ，所以 ，
所以 ，将其代入 中，即 ，解得 ，
故 的准线方程为 ；
（2）由题意得 ，解得 ，
故 ， ，
直线 的方程为 ，联立 得， ，设 ，则 ， ，
故 ，
联立 与 得， ，
设 ，则 ， ，
故 ，
若 方向相同， ，
若 方向相反， ，
所以 ；
（3）由 ， ， 三点共线，可得
，故 ，
同理，由 ， ， 三点共线，可得
，则
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
故 ，
因为 ，令 ，
则 ，
所以 ，
其中 ，
因为 ，所以 的开口向下，
对称轴为 ，
其中 ，
故当 时， 取得最大值，
最大值为 ，故 的最小值为 ，
令 ，解得 ，负值舍去，
故 ，解得 ，
，
又 ，故 ，
则点 的坐标为 .
19．（17分）已知有穷数列 的各项均不相等，将 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列
，称 为 的“序数列”.例如，数列 ､ ､ 满足 ，则其“序数列” 为1､3､2，
若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”.
(1)若数列 ､ ､ 的“序数列”为2､3､1，求实数x的取值范围；
(2)若项数均为2021的数列 ､ 互为“保序数列”，其通项公式分别为 ，
（t为常数），求实数t的取值范围；
(3)设 ，其中p､q是实常数，且 ，记数列 的前n项和为 ，若当正整数 时，数列 的前k项与数列 的前k项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p､q满足的条件.
【答案】(1) (2) (3)答案见解析
【详解】（1）由题意得 ，即 ，解得 ；
（2） ，
当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
故 ，
又 ， ， ，因此 的序数列为 ，…，2021．
又因 、 互为“保序数列”，故 ，
只需满足 ，解得： ．
（3）① 当 或 时，数列 中有相等的项，不满足题意.
② 当 时，数列 单调递增，故 也应单调递增，
从而 对 且 恒成立.又数列 单调递增，故 .
③ 当 时，数列 单调递减，故 也应单调递减，
从而 对 且 恒成立.
又数列 单调递减，故 .
④ 当 时，数列 单调递减，且 ； 单调递增，且 ，
于是 对 且 恒成立，即 ，从而
.另一方面， 对 且 恒成立，即 ，从
而 .
综上， ，即 .
此时 ， ，满足题意.
综上，当 时， 、 满足的条件是 ；
当 时， 、 满足的条件是 ；
当 时， 、 满足的条件是 .
