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补上一课 数列中的奇偶项、放缩问题
题型分析 1.数列中的奇偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，
利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列. 2.证明数列不等式，
有时需要应用放缩法结合数列的求和解决，求解的方法有先放缩再求和或先求和
再放缩.
题型一 奇偶项问题
角度1 含有(－1)n的类型
例1 已知bn＝(－1)nn2，求数列{bn}的前n 项和Tn.
解 ∵bn＝(－1)nn2，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝－12＋22－32＋42－…＋(－1)n·n2，
当n 为偶数时，Tn＝－12＋22－32＋42－…＋(－1)n·n2＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
当n 为奇数时，Tn＝－12＋22－32＋42－…＋(－1)n·n2＝－12＋22－32＋42－…－n2
＝－12＋(22－32)＋(42－52)＋…＋[(n－1)2－n2]
＝－.
∴数列{bn}的前n 项和Tn＝(－1)n·.
角度2 已知条件明确的奇偶项问题
例2 (2023·新高考Ⅱ卷节选)已知an＝2n＋3，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}
的前n 项和，证明：当n>5 时，Tn>Sn.
证明 因为an＝2n＋3，
bn＝
所以Sn＝＝n2＋4n.
当n 为奇数时，
Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7
＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]
＝＋
＝.
当n>5 时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＝>0，
所以Tn>Sn；
当n 为偶数时，
Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋
(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]
＝＋＝.
当n>5 时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＝>0，
所以Tn>Sn.
综上可知，当n>5 时，Tn>Sn.
感悟提升 1.含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和；
2.对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和
与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1.
训练1 (2024·青岛模拟)已知递增等比数列{an}的前n 项和为Sn，且S3＝13，a＝
3a4，等差数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2－1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn＝请判断c2n－1＋c2n与a2n的大小关系，并求数列{cn}的前20 项和.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
由题意得
即解得或
又等比数列{an}单调递增，所以
所以an＝a1·qn－1＝3n－1，
所以b1＝a1＝1，b2＝a2－1＝2，
所以等差数列{bn}的公差为1，
故bn＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知cn＝
所以c2n－1＋c2n＝－(2n－1)·32n－1＋2n·32n－1＝32n－1＝a2n，
所以T20＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c19＋c20
＝(c1＋c2)＋(c3＋c4)＋…＋(c19＋c20)
＝3＋33＋…＋319＝＝(910－1).
题型二 放缩问题
角度1 先求和再放缩
例3 (2024·石家庄模拟节选)已知an＝－2n＋1，记数列的前n 项和为Sn，证明：
Sn<.
证明 令bn＝，由an＝－2n＋1，
可得bn＝＝
＝＝，
所以Sn＝
＝＝－，
因为n∈N*，可得>0，
所以Sn<.
感悟提升 先对通项进行化简变形，再对数列求和(可以等差、等比数列求和、
错位相减、分组求和、倒序相加、裂项相消求和等)，再对最后的和进行放缩，
完成解题目标.
角度2 先放缩再求和
例4 已知an＝3n－1，bn＝2n－1，证明：对任意n≥2，有＋＋…＋<.
证明 ＝＝
＝，
当n＝2 时，＝＝1<，
当n>2 时，3n－2－2n－2>0，
所以＝<，
＋＋…＋<＋＋＋…＋
＝＝<，
所以对任意n∈N*且n≥2，有
＋＋…＋<.
感悟提升 1.先放缩再求和方法的使用
(1)使用情景：数列结构复杂，不方便直接求和，通项比较方便放缩(通常放缩成
等差数列、等比数列、差比数列或裂项相消数列).
(2)解题步骤：先放缩数列的通项，再求和，完成解题目标.
2.放缩的常见技巧
(1)添加或舍去一些项，如：>＝|a|，>＝n，<＝n.
(2)将分子或分母放大或缩小，如：<＝－，>＝－.
(3)利用基本不等式等，如：<.
训练2 (2024·南京调研)已知函数f(x)＝2sin x，把方程|f(x)|＝2 的正数解从小到大
依次排成一列，得到数列{an}，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝，设数列{bn}的前n 项和为Tn，求证：Tn<.
(1)解 因为f(x)＝2sin x，
令|f(x)|＝2，即＝1，
所以x＝kπ＋，k∈Z，
解得x＝2k＋1(k∈Z)，
所以方程|f(x)|＝2 的正数解从小到大依次为1，3，5，7，…，
所以an＝2n－1.
(2)证明 记bn＝，数列{bn}的前n 项和为Tn，
bn＝＝＝<＝，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
<
＝<.
【A 级 基础巩固】
1.已知数列{an}的通项公式为an＝，前n 项和为Sn，证明：Sn<2.
证明 由an＝知Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，
所以Sn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×，
两式作差得Sn＝＋＋＋＋…＋－＝－＝1－，
所以Sn＝2－<2.
2.设cn＝(－1)n＋1(2n－1)，求数列{cn}的前n 项和Sn.
解 当n 为偶数时，
Sn＝(21－1)－(22－1)＋(23－1)－(24－1)＋…＋(2n－1－1)－(2n－1)
＝21－22＋23－24＋…＋2n－1－2n
＝＝[1－(－2)n]
＝(1－2n)；
当n 为奇数时，n－1 为偶数，
所以Sn＝Sn－1＋cn＝(1－2n－1)＋2n－1＝，
综上所述，Sn＝
3.(2024·福州调研)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，其公比q≠－1，＝，且S4
＝a3＋93.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知bn＝求数列{bn}的前n 项和Tn.
解 (1)因为{an}是等比数列，公比q≠－1，
则a4＝a1q3，a5＝a1q4，a7＝a1q6，a8＝a1q7，
所以＝＝＝，
解得q＝3，
由S4＝a3＋93，可得＝9a1＋93，
解得a1＝3，
所以数列{an}的通项公式为an＝3n.
(2)由(1)得bn＝
当n 为偶数时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)
＝－(1＋3＋…＋n－1)＋(32＋34＋…＋3n)
＝－＋
＝(3n－1)－；
当n 为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(3n＋1－1)－－3n＋1＝×3n＋1－－；
综上所述，Tn＝
【B 级 能力提升】
4.(2024·武汉模拟)已知数列{an}的各项均为正数，其前n 项和为Sn满足2＝an＋
1，数列{bn}满足bn＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n 项和为Tn，若<Tn<5m 对一切n∈N*恒成立，求实数m 的取
值范围.
解 (1)由2＝an＋1，得Sn＝，
当n＝1 时，a1＝S1＝，解得a1＝1，
当n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1＝－，
化简得an－an－1＝2，
∴数列{an}是以1 为首项，2 为公差的等差数列.
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)由(1)可得bn＝＝
＝，
∴数列{bn}的前n 项和
Tn＝
＝＝.
∵Tn＋1－Tn＝－
＝>0，
∴{Tn}单调递增，∴Tn≥T1＝，
∵Tn＝＝－<，
∴≤Tn<，
若使得<Tn<5m 对一切n∈N*恒成立，
则解得≤m<，
∴实数m 的取值范围是.
