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大题 06 新定义题型
继2024年九省联考的第19题考查了新定义问题，已有部分地区考试采用了该结构考试。2024年的新高考
试卷第19题极大可能也会考查新定义问题，难度较大。新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”
“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自
己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与
运算、信息迁移的能力。
题型一：集合的新定义问题
（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）已知集合 中含有三个元素 ，同时满足① ；②
；③ 为偶数，那么称集合 具有性质 .已知集合 ，对于
集合 的非空子集 ，若 中存在三个互不相同的元素 ，使得 均属于 ，则称集合
是集合 的“期待子集”.
（1）试判断集合 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）若集合 具有性质 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”；
（3）证明：集合 具有性质 的充要条件是集合 是集合 的“期待子集”.集合新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知集合 ，若集合
，且对任意的 ，存在 ， ，使得 （其中
），则称集合 为集合 的一个 元基底．
（1）分别判断下列集合 是否为集合 的一个二元基底，并说明理由；
① ， ；
② ， ．
（2）若集合 是集合 的一个 元基底，证明： ；
（3）若集合 为集合 的一个 元基底，求出 的最小可能值，并写出当 取最小值时
的一个基底 ．
2．（2024·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）设 为正整数，集合
. 任取集合A中的 个元素（可以重复）
， ， ，
，其中 .
（1）若 ， ，直接写出；
（2）对于 ， ， ，证明： ；
（3）对于某个正整数 ，若集合A满足：对于A中任意 个元素 ，都有
，则称集合A具有性质 . 证明：若 ，集合A具有性质 ，则
，集合A都具有性质 .
题型二：函数与导数的新定义问题
（2024·陕西安康·高三校联考阶段练习）记函数 的导函数为 ， 的导函数为 ，设 是
的定义域的子集，若在区间 上 ，则称 在 上是“凸函数”.已知函数
.
（1）若 在 上为“凸函数”，求 的取值范围；
（2）若 ，判断 在区间 上的零点个数.
函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，
会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读
出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。
1．（2023·上海浦东新·统考二模）设 是坐标平面 上的一点，曲线 是函数 的图象．若过点
恰能作曲线 的 条切线 ，则称 是函数 的“ 度点”．（1）判断点 与点 是否为函数 的1度点，不需要说明理由；
（2）已知 ， ．证明：点 是 的0度点；
（3）求函数 的全体2度点构成的集合．
2．（2024·广东茂名·统考一模）若函数 在 上有定义，且对于任意不同的 ，都有
，则称 为 上的“ 类函数”.
（1）若 ，判断 是否为 上的“3类函数”；
（2）若 为 上的“2类函数”，求实数 的取值范围；
（3）若 为 上的“2类函数”，且 ，证明： ， ， .
题型三：复数与不等式的新定义问题
（2024·全国·高三校联考竞赛）设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，
使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且 中的数对应的点都在圆外，则称A是一个
M的“可分离子集”．
（1）判断 是否是 的“可分离子集”，并说明理由；
（2）设复数z满足 ，其中 分别表示z的实部和虚部．证明： 是
的“可分离子集”当且仅当 ．新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情
景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达
到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的
要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
1．（2024·湖南邵阳·高三邵阳市第二中学校考开学考试）设 是一个关于复数z的表达式，若
（其中x，y， ， 为虚数单位），就称f将点 “f对应”到点 ．
例如 将点 “f对应”到点 ．
（1）若 点 “f对应”到点 ，点 “f对应”到点 ，求点 、 的坐标；
（2）设常数 ， ，若直线l： ， ，是否存在一个有序实数对 ，使得直
线l上的任意一点 “对应”到点 后，点Q仍在直线 上？若存在，试求出所有的有序实数
对 ；若不存在，请说明理由；
（3）设常数 ， ，集合 且 和 且 ，若 满足：①
对于集合D中的任意一个元素z，都有 ；②对于集合A中的任意一个元素 ，都存在集合D中的
元素z使得 ．请写出满足条件的一个有序实数对 ，并论证此时的 满足条件．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知由实数组成的数组 满足下面两个条件：
① ；② ．
（1）当 时，求 ， 的值；
（2）当 时，求证 ；
（3）设 ，且 ，求证： ．题型四：三角函数的新定义问题
（2023·高三课时练习）定义非零向量 的“相伴函数”为 （ ），向量
称为函数 的“相伴向量”（其中 为坐标原点）．记平面内所有向量的
“相伴函数”构成的集合为 ．
（1）已知点 满足 ，求 的最小值；
（2）设 ，其中 ，求证： ，并求 的“相伴向量”的模的取
值范围；
（3）已知 （ ）为圆 ： 上一点，向量 的“相伴函数” 在 处取得
最大值．当点 在圆 上运动时，求 的取值范围．
1．（2021上·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）记 表示数组：
中的最大值.
（1）判断函数 ， 的奇偶性，并说明理由；
（2）讨论函数 ， 的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、最值与零点（不需要证
明）；
（3）已知函数 ， 与 都定义在实数集 上，且函数 是单调递增函数， 是周期函数，
是单调递减函数，求证： 是单调递增函数的充要条件是：对任意 ，
， .
2．（2023·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）对于函数 ， ，如果存在一组常数 ， ，…，（其中k为正整数，且 ）使得当x取任意值时，有
则称函数 为“k级周天函数”.
（1）判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：① ；② ；
（2）求证：当 时， 是“3级周天函数”；
（3）设函数 ，其中b，c，d是不全为0的实数且存在 ，使得
，证明：存在 ，使得 .
题型五：平面向量的新定义问题
（2022·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函
数 的相伴特征向量，同时称函数 为向量 的相伴函数．
（1）若 为 的相伴特征向量，求实数m的值；
（2）记向量 的相伴函数为 ，求当 且 时 的值；
（3）已知 ， ， 为（1）中函数， ，请问在 的图象上是否存在
一点P，使得 ，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
1．（2023·全国·高三专题练习）对于向量 ，若 ， ， 三数互不相等，令向量
，其中 ， ， ， .
（1）当 时，试写出向量 ；
（2）证明：对于任意的 ，向量 中的三个数 ， ， 至多有一个为0；（3）若 ，证明：存在正整数 ，使得 .
2．（2024·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）对于给定的正整数n，记集合
，其中元素 称为一个n维向量.特别地，
称为零向量.设 ， ， ，定义加法和数乘：
， .对一组向量 ， ，…， ，若存
在一组不全为零的实数 ， ，…， ，使得 ，则称这组向量线性相关.否则，称为
线性无关.
（1）对 ，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
① ， ；
② ， ， .
（2）已知 ， ， 线性无关，判断 ， ， 是线性相关还是线性无关，并说明理由.
（3）已知 个向量 ， ，…， 线性相关，但其中任意 个都线性无关，证明：
①如果存在等式 （ ， ，2，3，…，m），则这些系数 ， ，…， 或
者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式 ， （ ， ， ，2，3，…，m）
同时成立，其中 ，则 .
题型六：数列的新定义问题
（2024·江苏南通·高三统考开学考试）设正整数 ，有穷数列 满足 ，且
，定义积值
（1）若 时，数列 与数列 的S的值分别为 ，①试比较 与 的大小关系；
②若数列 的S满足 ，请写出一个满足条件的
（2）若 时，数列 存在 使得 ，将 ， 分别调整为 ，
，其它2个 ，令 数列 调整前后的积值分别为 ，写出 的大小关系
并给出证明；
（3）求 的最大值，并确定S取最大值时 所满足的条件，并进行证明.
数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五
种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透
彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握
好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
1．（2024·江苏·校联考模拟预测）在数列 中，若存在常数 ，使得 恒成立，
则称数列 为“ 数列”．
（1）若 ，试判断数列 是否为“ 数列”，请说明理由；
（2）若数列 为“ 数列”，且 ，数列 为等比数列，且 ，求数列
的通项公式；
（3）若正项数列 为“ 数列”，且 ， ，证明： ．
2．（2024·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于 个正数
，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即 ，当且仅当
时，等号成立．若无穷正项数列 同时满足下列两个性质：① ；② 为单调数列，则称数列 具有性质 ．
（1）若 ，求数列 的最小项；
（2）若 ，记 ，判断数列 是否具有性质 ，并说明理由；
（3）若 ，求证：数列 具有性质 ．
题型七：立体几何的新定义问题
（2024·河南·高三校联考期末）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：
若 ，则称 为空间向量 与
的叉乘，其中 ， ， 为单位正交基底.
以 为坐标原点、分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知 ，
是空间直角坐标系中异于 的不同两点
（1）①若 ， ，求 ；
②证明 .
（2）记 的面积为 ，证明： .
（3）证明： 的几何意义表示以 为底面、 为高的三棱锥体积的 倍.
1．（2024·重庆·校联考一模）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴 ，短轴长 为下底面椭圆的左右焦点， 为上底面椭圆的右焦点，
为 上的动点， 为 上的动点， 为过点 的下底面的一条动弦（不与 重合）．
（1）求证：当 为 的中点时， 平面
（2）若点 是下底面椭圆上的动点， 是点 在上底面的投影，且 与下底面所成的角分别为
，试求出 的取值范围．
（3）求三棱锥 的体积的最大值．
2．（2023·全国·高三专题练习）无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安
门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严 金帆合唱
团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这
是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家
都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正
六棱台（图3），正六棱柱的侧棱 交 的延长线于点 ，经测量 ，且
（1）写出三条正六棱台的结构特征.
（2）“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁
厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式： ）
（3）“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感
性的数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多美妙!”
“小迷糊”：“.....”亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下 的最大值吧.
题型八：平面解析几何的新定义问题
（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）椭圆方程 ，平面上有一点 ．定义
直线方程 是椭圆 在点 处的极线．已知椭圆方程 ．
（1）若 在椭圆 上，求椭圆 在点 处的极线方程；
（2）若 在椭圆 上，证明：椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
（3）若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ， ，割线交椭圆 于 ， 两点，
过点 ， 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 ．证明： ， ， 三点共线．
1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点是直
角三角形的三个顶点，且椭圆E过 ，直线 与椭圆E交于A、B．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线TA、TB的斜率分别为 ， ，证明： ；（3）直线 是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义 为椭圆E的弦切角， 为弦
TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角 与弦TB对应的椭圆周角 的关系，并证明你的论．
2．（2023·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）定义：若椭圆 上的两个点
满足 ，则称 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 .已知椭圆 的
一个焦点坐标为 ，且椭圆 过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求“共轭点对” 中点 所在直线 的方程；
（3）设 为坐标原点，点 在椭圆 上，且 ，（2）中的直线 与椭圆 交于两点 ，且
点的纵坐标大于0，设四点 在椭圆 上逆时针排列.证明：四边形 的面积小于 .
题型九：概率统计的新定义问题
（2024·河北·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要
概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余
后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量 所有可能的取值为
，且 ，定义 的信息熵 .
（1）当 时，计算 ；
（2）若 ，判断并证明当 增大时， 的变化趋势；
（3）若 ，随机变量 所有可能的取值为 ，且 ，
证明： .1．（2024·辽宁·校联考一模）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数
法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示
为 ，2表示为 ，3表示为 ，5表示为 ，发现若 可表示为二进制表达式
，则 ，其中 ， 或1（ ）.
（1）记 ，求证： ；
（2）记 为整数 的二进制表达式中的0的个数，如 ， .
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）求 （用数字作答）.
2．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）给定正整数 ，已知项数为 且无重复项的数对序列
： 满足如下三个性质：① ，且 ；②
；③ 与 不同时在数对序列 中.
（1）当 ， 时，写出所有满足 的数对序列 ；
（2）当 时，证明： ；
（3）当 为奇数时，记 的最大值为 ，求 .
题型十：高等数学背景下的新定义问题
（2024·河北·高三张北县第一中学校联考开学考试）设a，b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 ．
（1）求证： ；
（2）若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则 ，这个定理称之为费马小定理．应用费
马小定理解决下列问题：
①证明：对于任意整数x都有 ；
②求方程 的正整数解的个数．
1．（2024·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试）“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算
经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二：五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”
问题的意思是，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么这个数是多少？若一个数 被 除余 ，
我们可以写作 ．它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的．大衍求一术
（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述条件的正整数从小到大
依次排序．中国剩余定理：假设整数 ， ，…， 两两互质，则对任意的整数： ， ，…， 方程
组 一定有解，并且通解为 ，其中 为任意整数，
， ， 为整数，且满足 ．
（1）求出满足条件的最小正整数，并写出第 个满足条件的正整数；
（2）在不超过4200的正整数中，求所有满足条件的数的和．（提示：可以用首尾进行相加）．
2．（2024·重庆·高三重庆八中校考开学考试）如果函数 的导数 ，可记为
．若 ，则 表示曲线 ，直线 以及 轴围
成的“曲边梯形”的面积．（1）若 ，且 ，求 ；
（2）已知 ，证明： ，并解释其几何意义；
（3）证明： ， ．
1．（2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测）已知集合 ，其中 且
，若对任意的 ，都有 ，则称集合 具有性质 .
（1）集合 具有性质 ，求 的最小值；
（2）已知 具有性质 ，求证： ；
（3）已知 具有性质 ，求集合 中元素个数的最大值，并说明理由.
2．（2024·北京朝阳·高三统考期末）已知 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于 ，定义集合
，设 为集合 中的元素个数，若 时，规定 .
（1）若 ，写出 及 的值；
（2）若数列 是等差数列，求数列 的通项公式；
（3）设集合 ，求证： 且 .3．（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）在无穷数列 中，令 ，若 ，
，则称 对前 项之积是封闭的．
（1）试判断：任意一个无穷等差数列 对前 项之积是否是封闭的？
（2）设 是无穷等比数列，其首项 ，公比为 ．若 对前 项之积是封闭的，求出 的两个值；
（3）证明：对任意的无穷等比数列 ，总存在两个无穷数列 和 ，使得 ，其中
和 对前 项之积都是封闭的．
4．（2024·全国·校联考模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不
等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数 ，在 时，有不等式
成立；在 时，有不等式 成立．
（1）猜想伯努利不等式等号成立的条件；
（2）当 时，对伯努利不等式进行证明；
（3）考虑对多个变量的不等式问题．已知 是大于 的实数（全部同号），证明
5．（2024·全国·高三专题练习）约数，又称因数.它的定义如下：若整数 除以整数 除得的商正
好是整数而没有余数，我们就称 为 的倍数，称 为 的约数.设正整数 共有 个正约数，即为
.
（1）当 时，若正整数 的 个正约数构成等比数列，请写出一个 的值；
（2）当 时，若 构成等比数列，求正整数 ；
（3）记 ，求证： .6．（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有
应用．设 ， ， ， 是直线 上互异且非无穷远的四点，则称 （分式中各项均为有向线段长
度，例如 ）为 ， ， ， 四点的交比，记为 ．
（1）证明： ；
（2）若 ， ， ， 为平面上过定点 且互异的四条直线， ， 为不过点 且互异的两条直线， 与
， ， ， 的交点分别为 ， ， ， ， 与 ， ， ， 的交点分别为 ， ， ， ，证明：
；
（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若 与 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一
点，则 与 对应边的交点在一条直线上．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 是定义在 上的函数，如果存在常数 ，对区间
的任意划分： ， 恒成立，则称函
数 为区间 上的“有界变差函数”；
（1）试判断函数 是否为区间 上的“有界变差函数”，若是，求出M的最小值；若
不是，说明理由；
（2）若 与 均为区间 上的“有界变差函数”，证明： 是区间 上
的“有界变差函数”；
（3）证明：函数 不是 上的“有界变差函数”.
8．（2024·重庆·校联考一模）如图1，已知 ， ， ， ， ， .（1）求将六边形 绕 轴旋转半周（等同于四边形 绕 轴旋转一周）所围成的几何体的体
积；
（2）将平面 绕 旋转到平面 ，使得平面 平面 ，求异面直线 与 所成的角；
（3）某“ ”可以近似看成，将图1中的线段 、 改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将其绕
轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积.
9．（2024·安徽合肥·统考一模）“ 数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设 是非零实数，对任意
，定义“ 数” 利用“ 数”可定义“ 阶乘”
和“ 组合数”，即对任意 ，
（1）计算： ；
（2）证明：对于任意 ，
（3）证明：对于任意 ，
1．（2018·北京·高考真题）设n为正整数，集合A= ．对于集合
A中的任意元素 和 ，记
M（ ）= ．（Ⅰ）当n=3时，若 ， ，求M（ ）和M（ ）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素 ，当 相同时，M（ ）是奇
数；当 不同时，M（ ）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素 ，M（ ）
=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
2．（2023·北京·统考高考真题）已知数列 的项数均为m ，且
的前n项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义
，其中， 表示数集M中最大的数.
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，且 ，求 ；
（3）证明：存在 ，满足 使得 ．
3．（2022·北京·统考高考真题）已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续
可表数列．
（1）判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
（2）若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
4．（2020·北京·统考高考真题）已知 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ；②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ．
(Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列.
5．（2018·江苏·高考真题）设 ，对1，2，···，n的一个排列 ，如果当s<t时，有 ，则称
是排列 的一个逆序，排列 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一
个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记 为1，2，···，n的所有排列
中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求 的值；
（2）求 的表达式(用n表示)．
6．（2021·北京·统考高考真题）设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
① ，且 ；
② ；
③ ， ．
（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；
（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的p；
如果不存在，说明理由．
7．（2019·北京·高考真题）已知数列 ，从中选取第 项、第 项、…、第 项 ，若，则称新数列 为 的长度为 的递增子列．规定：数列 的任意一项
都是 的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列 的长度为 的递增子列的末项的最小值为 ，长度为 的递增子列的末项的最小值为
.若 ，求证： ；
