96.新试卷背景下排列组合问题的十大应用
本节主要介绍排列组合与二项式定理中的基本问题，新高考目前在该板块主要考察一道小
题，同时排列组合问题会和古典概型结合深度考察，但难度整体不大，属于基础题，读者
只需掌握常见的排列组合模型与二项式定理的基本性质便可轻松应考.
一．基本原理
考点1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理
1.分类计数原理定义：
做一件事，完成它有
类办法，在第一类办法中有
种不同的方法，在第二类办法中有
n
1
m
2
m
种不同的方法
在第
类办法中有
种不同的方法.那么完成这件事共有方法数：
n
n
m
1
2
n
N
m
m
m
2.分步计数原理定义：
做一件事，完成它需要分成
个步骤，做第一个步骤有
种不同的方法，做第二个步骤有
n
1
m
种不同的方法……做第
个步骤有
种不同的方法，那么完成这件事共有方法数：
2
m
n
n
m
1
2
n
N
m
m
m
考点2.排列
1.排列的定义
一般地，从
个不同元素中取出
个元素
，按照一定的顺序排成一列，叫
n
m
*
(
, ,
)
m
n n m
N
做从
个不同元素中取
个元素的一个排列．
n
m
2.排列数
（1）排列数定义
（2）排列数公式
(
1)(
2)
(
1)
m
nA
n n
n
n
m
1
2
1
2 1
1
2 1
n n
n
n
m
n
m
n
m
n
m
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
!
n
n
m
(
) !
（1）全排列
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
个元素的一个全排列，这时公式中
，即
n
n
m
n
有
．
(
1)
(
2)
2 1
n
n
A
n
n
n
1.组合的定义
一般地，从
个不同元素中取出
个元素合成一组，叫做从n 个不同元素
n
*
(
, ,
)
m m
n n m
N
中取出
个元素的一个组合，也就是说，组合是从
个不同的元素中取出
m
n
个元素，不分次序构成一组.
*
(
, ,
)
m m
n n m
N
2.组合数
3.组合数公式
，
(
1)
(
1)
!
m
m
n
n
m
m
A
n n
n
m
C
A
m
，规定：
.
!
!(
)!
m
n
n
C
m n
m
0
1,
1
n
n
n
C
C
4.组合数的性质
（1）性质1：
m
n m
n
n
C
C
（2）性质2:
1
1
m
m
m
n
n
n
C
C
C
考点4.常见的一些排列问题及其解决方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排
列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面
元素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化的方法
4.分组分配问题
4.1（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
将
个不同元素分成
组，且每组的元素个数分别为
，
n
m
m
m
m
m
m
,
,
,
,
3
2
1
记
.
m
m
m
m
m
m
n
m
m
m
n
m
m
n
m
n
C
C
C
C
N
)
(
)
(
1
2
1
3
2
1
2
1
1
（1）非均匀不编号分组：
个不同元素分成
组，每组元素数目均不相等，且不考虑各
n
m
组间的顺序，其分法种数为
.
N
（2）均匀不编号分组：将
个不同元素分成不编号（即无序）的
组，每组元素数目相
n
m
等，其分法种数为
.
m
m
A
N
（3）部分均匀不编号分组：将
个不同元素分成不编号的
组，其中有
组元素个数相
n
m
r
等，其分法种数为
，如果再有
组均匀分组，应再除以
.
r
rA
N
k
k
k
A
4.2 分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
二．典例分析
★1.排列，组合公式及应用
例1．若
，
为正整数且
，则（ ）
m
n
1
n
m
A．
B．
1
2
C
C
C
2
n
n
n
n
n
1
1
1
C
C
C
m
m
m
n
n
n
C．
D．
1
1
C
(
1)C
m
m
n
n
m
n
1
1
A
A
A
m
m
m
n
n
n
m
解析：对A：
，又
，故A 错误；
0
1
2
1 1
C
C
C
n
n
n
n
n
n
0
C
1
n
对B：
1
1
1
1 !
!
C
C
1 !
!
1 !
1 !
m
m
n
n
n
n
m
n
m
m
n
m
，故B 正确；
1 !
!
1
!
!
C
1
!
!
1
!
!
1
!
!
!
!
m
n
n
n
m
n
n
n
m
n
n
m
m n
m
m
m n
m
m
m n
m
m n
m
对C：
，
1
1
1 !
1 !
1 !
C
1 !
!
1 !
!
!
!
m
n
n
m n
m n
m
n
m
m m
n
m
m n
m
，即
，故C 错误；
!
C
!
!
m
n
m n
m
m n
m
1
1
C
(
1)C
m
m
n
n
m
n
对D：
，
1
1
!
1 !
!
!
A
A
!
1 !
1 !
1 !
m
m
n
n
n
m
m
n
n
n
m n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
，即
，故D 正确.故选：BD.
1
1 !
A
1 !
m
n
n
n
m
1
1
A
A
A
m
m
m
n
n
n
m
★2.排列组合中的特殊优先原则
例2．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有
这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，
如121，241142 等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有
（ ）
A．100 个
B．125 个
C．225 个
D．250 个
解析：依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位
与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：
最多1 个0，取奇数字有
种，取能重复的偶数字有
种，它们排入数位有
种，取偶
1
5
A
1
4
A
2
2
A
数字占百位有
种，不同“回文数”的个数是
个，
1
5
A
1
1
2
1
5
4
2
5
A A A A
200
最少2 个0，取奇数字有
种，占万位和个位，两个0 占位有1 种，取偶数字占百位有
1
5
A
种，
1
5
A
不同“回文数”的个数是
个，由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有
1
1
5
5
A A
25
且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有
个.故选：C
200
25
225
例2．为确保马拉松赛事在某市顺利举行，组委会在沿途一共设置了7 个饮水点，每两个
饮水点中间再设置一个服务站，一共6 个服务站.由含甲､乙在内的13 支志愿者服务队负责
这13 个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务，则甲队和乙队在不
同类型的站点服务且不相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
13
3
13
4
13
5
13
解析：由题意可知甲队和乙队共有
种不同安排方法，
2
13
A
13 12
甲队和乙队在不同类型的站点服务且不相邻，分以下三种情况，
1、从2 个端点饮水点任选一个安排甲，再从与该饮水点不相邻的5 个服务站选一个安排
乙；
2、从中间5 个饮水点任选一个安排甲，再从不与该饮水点相邻的4 个服务站选一个安排
乙；
3、从6 个服务站任选一个安排甲，再从不与该服务站相邻的5 个饮水站选一个安排乙；
共有
种不同安排方法，所以甲队和乙队在不同类型的站点服务且不
1
1
1
1
1
1
2
5
5
4
6
5
C C
C C
C C
60
相邻的概率为
.故选：D.
60
5
13 12
13
P
例3．为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5 个数字再加一
个0 来设定自己教室储物柜密码，若两个0 之间至少有一个数字，且两0 不都在首末两
位，可以设置的密码共有（ ）
A．72
B．120
C．216
D．240
解析：从左到右的6 个位置分别为
，若两个0 之间有一个数字，此时两个
, ,
,
,
,
A B C D E F
0 的位置有
或
或
或
四种情况，在把剩余的4 个数进行全排列，此时共有
,
A C
,
B D
,
C E
,
D F
种，若两个0 之间有两个数字，此时两个0 的位置有
或
或
三种情
4
4
4A
96
,
A D
,
B E
,
C E
况，
剩余的4 个数进行全排列，此时有
种，若两个0 之间有三个数字，此时两个0 的
4
4
3A
72
位置有
或
两种情况，剩余的4 个数进行全排列，此时有
种，综上，可以
,
A E
,
B F
4
4
2A
48
设置的密码共有
个.故选：C
96
72
48
216
★3.相邻问题
例4.有甲乙丙丁戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同
排列方式有多少种（
）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
12
24
36
48
解析：先利用捆绑法排乙丙丁戊四人，再用插空法选甲的位置，则有
种．选
2
3
1
2
3
2
A A C =24
B.
例5．某学校参加社会实践活动的1 名教师和甲、乙、丙、丁4 名学生站成一排合影留
念，则教师不站在两端，且甲、乙相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
5
3
10
1
5
1
10
解析：教师和4 名学生站成一排一共有
种方法，将甲和乙看成一个元素，有
种
5
5
A
120
2
2
A
方法，这样就有4 个不同的元素，教师不站两端，则教师有2 种方法，其余3 个元素有
3
3
A
种方法，则满足条件的站法有
种，所以教师不站两端，且甲、乙相邻的概率
2
3
2
3
2A A
24
.故选：C
24
1
120
5
P
★4.不相邻问题
例6．将4 个1 和2 个0 随机排成一行，则2 个0 不相邻的概率为
( )
A．
B．
C．
D．
1
3
2
5
2
3
4
5
解析：将4 个1 和2 个0 随机排成一行，可利用插空法，4 个1 产生5 个空，若2 个0 相
邻，则有
种排法，若2 个0 不相邻，则有
种排法，所以2 个0 不相邻的概
1
5
5
C
2
5
10
C
率为
．故选：C．
10
2
5 10
3
例7.已知3 名男同学、2 名女同学和1 名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，
则不同的排法共有（ ）
A．336 种
B．284 种
C．264 种
D．186 种
解析：当2 名女生站在两端时，3 名男生和1 名老师排在中间，共有
种排法；当有1 名女生排在一端，另一端排男生时，共有
2
4
2
4
A A
2 4 3 2 1
48
种排法；当男生排在两端时，共有
1
1
1
3
2
3
3
3
2A A A A
2 2 3 3 3 2 1
216
种排法；故不同的排法共有
（种），故
2
2
2
2
3
2
2
3
C A A A
3 2 2 3 2
72
48
216
72
336
选：A
★5.定序问题
例8．在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、
新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄
子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序
共有（ ）
A．72 种
B．36 种
C．12 种
D．6 种
解析：由题意可知六种原料中可以把香菌、新笋、豆腐干看成一种，即有
种放法，又
4
4
A
茄子净肉放在鸡脯肉后，则有
种放法.故选：C
4
4
2
2
A
12
A
例9.将
,
六个字母排成一排, 且
均在
的同侧,则不同的排法共有
, ,
A B C
,
,
D E F
,
A B
C
________种 (用数字作答).
解析：先不考虑
的顺序限制, 任意排列
这6 个字母,共有
个不
, ,
A B C
, ,
,
,
,
A B C D E F
6
6
A
同排列. 其中, 当
的位置固定时,任意交换
这3 个字母的位置, 共有
种
,
,
D E F
, ,
A B C
3
3
A
不同的排列,而符合
均在
的同侧这一条件的排列有
个.
,
A B
C
1
2
2
2
C A
在所有的
种排列方法中, 符合顺序要求的排法所占比例为
. 所以,不同的排法共
6
6
A
1
2
2
2
3
3
C A
A
种.
1
2
6
2
2
6
3
3
C A
A
480
A
★6.涂色问题
例10．如图，用4 种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个
区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A．48
B．56
C．72
D．256
解析：将四个区域标记为
，如图所示：
, ,
,
A B C D
第一步涂
种涂法，第二步涂
种涂法，第三步涂
种涂法，第四步涂
种涂
: 4
A
:3
B
: 2
C
: 2
D
法，根据分步乘法计数原理可知，一共有
种着色方法.故选：A.
4 3 2 2
48
例11．已知正四棱锥
，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶
P
ABCD
点只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240
B．420
C．336
D．120
解析：当只用三种颜色时，
同色且
同色，5 种颜色选择3 种，且有
种选
,
A C
,
B D
3
5
A
60
择，当只用四种颜色时，
同色或
同色，从5 种颜色中选择4 种，再从
和
,
A C
,
B D
,
A C
,
B D
中二选一，涂相同颜色，故有
种选择，当用五种颜色时，每个顶点用1 种颜
4
1
4
5
2
4
C C A
240
色，故有
种选择，综上，共有
种选择.故选：B
5
5
A
120
60
240 120
420
★7.分组分配问题
例12．甲、乙、丙、丁、戊5 位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中
一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5
18
6
25
9
25
8
9
解析：先将5 名志愿者分成3 组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分
配到三项活动中，总方法数为
，因甲、乙、丙三位同学所报活动
3
1
2
2
3
5
2
5
3
3
2
2
2
2
C C
C C
A
150
A
A
各不相同，故只需先把甲,乙,丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两人分别在三项活
动中选择，其方法数为
. 故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为
3
1
1
3
3
3
A C C
54
．故选:C．
54
9
150
25
P
例13．将甲、乙、丙等7 名志愿者分到
三个地区，每个地区至少分配2 人，则甲、
, ,
A B C
乙、丙分到同一个地区的概率为（）
A．
B．
C．
D．
1
48
1
24
1
70
1
35
解析：将甲、乙、丙等7 名志愿者分到
三个地区，每个地区至少分配2 人，
, ,
A B C
则有3 人分到一个地区，分配方法共有
种，其中甲、乙、丙分到同一个地区的分
3
2
3
7
4
3
2
2
C C
A
A
配方法有
，故所求的概率为
，故选：D
2
3
4
3
2
2
C
A
A
2
3
4
3
2
2
3
2
3
3
7
4
7
3
2
2
C
A
A
1
1
C C
C
35
A
A
例14. 将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培
训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共
有（
）
A. 60 种
B. 120 种
C. 240 种
D. 480 种
解析：根据题意，有一个项目中分配2 名志愿者，其余各项目中分配1 名志愿者，可以先
从5 名志愿者中任选2 人，组成一个小组，有
种选法；然后连同其余三人，看成四个
2
5
C
元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有
4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
种不同的分配方案，故选：C.
2
5
4!
240
C
★8.正难则反
例11.甲､乙､丙､丁､戊5 名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有
三个小区可
, ,
A B C
供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在
小区
A
的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
193
243
100
243
2
3
5
9
解析：首先求所有可能情况，5 个人去3 个地方，共有
种情况，再计算5 个人去
53
243
3 个地方，且每个地方至少有一个人去，5 人被分为
或
当5 人被分为
时，
3,1,1
2,2,1
3,1,1
情况数为
;当5 人被分为
时，情况数为
；所以共有
3
3
5
3
C
A
60
2,2,1
2
1
3
4
5
3
2
2
C
C
A
90
A
.由于所求甲不去
，情况数较多，反向思考，求甲去
的情况数，最后用
60
90
150
A
A
总数减即可，当5 人被分为
时，且甲去
，甲若为1，则
，甲若为3，则
3,1,1
A
3
2
4
2
C
A
8
，共计
种，
2
2
4
2
C
A
12
8 12
20
当5 人被分为
时，且甲去
，甲若为1，则
，甲若为2，则
2,2,1
A
2
2
4
2
2
2
C
A
6
A
，共计
种，所以甲不在
小区的概率为
1
1
2
4
3
2
C
C
A
24
6
24
30
A
，故选：B.
150
20
30
100
243
243
9.★不定方程与挡板问题
挡板法
讨论不定方程
r
x
x
x
n
2
1
的非负整数解.
（1）方程
r
x
x
x
n
2
1
的正整数解为
1
1
n
r
C
个.
（2）方程
r
x
x
x
n
2
1
的非负整数解为
1
1
n
r
n
C
个.
例12．不定方程
12
x
y
z
的非负整数解的个数为（
）
A．55
B．60
C．91
D．540
解析：不定方程
12
x
y
z
的非负整数解的个数将12个相同小球放入三个盒子，
允
许有空盒的放法种数.
现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有
空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，
因此，不定方程
12
x
y
z
的非负整数解的个数为
2
14
91
C
. 故选：C.
例13.方程
1
2
3
4
12
x
x
x
x
的正整数解共有（
）组
A．165
B．120
C．38
D．35
解析：如图，将12 个完全相同的球排成一列，
在它们之间形成的11 个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得
球
的数目依次是
1x 、
2x 、
3x 、
4x ，显然满足
1
2
3
4
12
x
x
x
x
，故
1
2
3
4
,
,
,
x x
x x
是方
程
1
2
3
4
12
x
x
x
x
的一组解，
反之，方程
1
2
3
4
12
x
x
x
x
的每一组解都对应着一种在12 个球中插入隔板的方式，
故方程
1
2
3
4
12
x
x
x
x
的正整数解的数目为：
3
11
11 10 9
165
3 2 1
C
，
故选：A.
10.★排列组合综合应用（新情境）
例14．若数列
的通项公式为
，记在数列
的前
项中任取两
na
1
( 1)n
na
n
na
*
2
N
n
n
数都是正数的概率为
，则（ ）
nP
A．
B．
C．
D．
1
2
3
P
9
10
P
P
10
11
P
P
11
12
P
P
解析：
为奇数时，前
项中有
个奇数项，即有
个正数，
n
2
n
3
2
n
3
2
n
，
，故A 错误；
2
3
2
2
2
3
1
C
3
1
3
2
2
C
2
1
4
2
1
4
2
n
n
n
n
n
n
n
n
P
n
n
n
n
n
1
1
3
P
为偶数时，前
项中有
个奇数项，即有
个正数，
n
2
n
2
2
n
2
2
n
，
，
，
2
2
2
2
2
2
C
2
2
2
C
2
1
4
2
1
4
1
n
n
n
n
n
n
n
n
P
n
n
n
n
n
9
10
12
10
10
,
44
4 11
44
P
P
9
10
P
P
故B 错误；
，故C 正确；
，故D 错误.故选：C.
11
10
14
7
4 13
26
P
P
12
11
12
3
4 13
13
P
P
例15．通信工程中常用
元数组
表示信息，其中
或
n
1
2
3
,
,
,
,
n
a a a
a
0
ia
．设
表示
和中相对应
*
1 ,
N ,1
i n
i
n
1
2
3
1
2
3
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
n
n
u
a a a
a
v
b b b
b
d u v
u
v
的元素（
对应
，
）不同的个数，则下列结论正确的是（ ）
ia
ib
1,2,
,
i
n
A．若
，则存在5 个5 元数组，使得
0,0,0,0,0
u
v
,
1
d u v
B．若
，则存在12 个5 元数组，使得
1,1,1,1,1
u
v
,
3
d u v
C．若
元数组
，则
n
0
0,0,
,0
n
w
个
,
,
,
d u w
d v w
d u v
D．若
元数组
，则
n
1
1,1,
,1
n
w
个
,
,
,
d u w
d v w
d u v
解析：选项A：由题意，5 个位置选则1 个位置安排1 即可，满足条件的数组共有
1
5
C
5
个，故A 正确；
选项B：由题意5 个位置选则3 个位置安排0 即可，满足条件的数组共有
个，故B
3
5
C
10
错误；
选项C：设
中对应项同时为0 的共有
个，同时为1 的共有
,u v
0
m
m
n
0
s
s
n
m
个，
从而对应项一项为1 与另一项为0 的共有
个，这里
，
n
m
s
n
m
s
从而
，而
，故C
,
d u v
n
m
s
,
,
2
,
2
,
d u w
d v w
s
n
m
s
d u v
s
d u v
正确，同理D 正确．故选：ACD
例16（24 届合肥高三第一次质检）．“
数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设
是非
q
q
零实数，对任意
，定义“
数”
利用“
数”可定义“
阶乘”
*
nN
q
1
( )
1
n
q
n
q
q
q
q
和“
组合数”，即对任意
，
!
(1) (2)
( ) ,
0 !
1.
q
q
q
q
q
n
n
且
q
*
,
,
k
n
k
n
N
N
!
!
!
q
q
q
q
n
n
k
k
n
k
（1）计算：
；
2
5
3
（2）证明：对于任意
，
*
,
,
1
k n
k
n
N
1
1
1
k
q
q
q
n
n
n
q
k
k
k
（3）证明：对于任意
，
*
,
,
,
1
k m
n
k
n
N
N
0
1
.
1
1
m
n k i
i
q
q
q
n
m
n
n
i
q
k
k
k
解析：（1）由定义可知，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5
5 !
(1) (2) (3) (4) (5)
3
3 !
2 !
(1) (2) (3)
(1) (2)
.
2
3
2
3
4
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
(4) (5)
155
(1) (2)
1
1
2
（2）因为
，
!
( )
1 !
!
!
!
!
q
q
q
q
q
q
q
q
n
n
n
n
k
k
n
k
k
n
k
1 !
1 !
1
1
1
1 !
!
!
1 !
k
q
q
k
q
q
q
q
q
q
n
q
n
n
n
q
k
k
k
n
k
k
n
k
1 !
( )
(
)
!
!
q
k
q
q
q
q
n
k
q
n
k
k
n
k
.又
,
1
1
( )
(
)
1
1
k
k
k
n k
q
q
k
q
n
k
q
q
q
q
q
1
1
( )
n
q
q
q
n
所以
1
1
1
k
q
q
q
n
n
n
q
k
k
k
（3）由定义得：对任意
.结合（2）可知
*
N,
N ,
,
q
q
n
n
k
n
k
n
k
n
k
1
1
1
n k
q
q
q
q
n
n
n
n
q
k
n
k
n
k
n
k
1
1
1
n k
q
q
n
n
q
k
k
即
，也即
.
1
1
1
n k
q
q
q
n
n
n
q
k
k
k
1
1
1
n k
q
q
q
n
n
n
q
k
k
k
所以
，
，
1
1
1
n m k
q
q
q
n
m
n
m
n
m
q
k
k
k
1
1
1
1
1
n m
k
q
q
q
n
m
n
m
n
m
q
k
k
k
……
.上述
个等式两边分别相加得：
1
1
1
n k
q
q
q
n
n
n
q
k
k
k
1
m
.
0
1
1
1
m
n k i
i
q
q
q
n
m
n
n
i
q
k
k
k
例17.几个重要的竞赛（强基）背景
（1）容斥原理下的错位排列.
设集合
，其所有元素的一个全排列
满足
，都有
，则称
}
,.....
2,1
{
n
I
nt
t
t
....
, 2
1
n
i
i
ti
这样的全排列为错位全排列.
证明：错位全排列数为：
.
)!
)1
(
!3
3
!2
2
!1
1
1(!
n
n
n
n
证明：记
为满足
的全排列的集合，则显然
iA
i
ti
1
|
|
....
|
|,
|
|
2
1
2
2
1
1
n
n
n
j
i
n
n
i
A
A
A
A
A
A
A
A
由容斥原理，排列数为
0
0
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
)1
(
)1
(
A
C
A
C
A
C
A
C
A
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
，证毕.
)!
)1
(
!3
3
!2
2
!1
1
1(!
n
n
n
n
（2）卡塔兰数：
n
n
n
n
n
n
n
C
n
C
C
C
2
1
2
2
1
1
已知
，并且满足
，
n
i
xi
2
,2,1
},
1,1
{
0
2
1
ix
x
x
)1
2
,2,1
(
n
i
，求有序数组
的个数
.
0
2
1
n
x
x
}
,...
,
{
2
2
1
n
x
x
x
n
C
解：依题，
中共有
个，
个
，先不考虑
记
ix
n
1
n
1
0
2
1
ix
x
x
)1
2
,2,1
(
n
i
为（*）式，则共有
种，接下来考虑排除法，若
不符合（*）式，则一定
n
n
C2
}
,...
,
{
2
2
1
n
x
x
x
存在一个的自然数
，使得：
)
(
n
s
s
，现将
全部改变符号，即有
：
1
0
1
2
2
2
2
1
s
s
x
x
x
x
1
2
2
1
,
,
s
x
x
x
f
，对应后则有
个，
个
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
n
s
s
f
n
s
s
x
x
x
x
x
x
x
x
1
n
1
1
n
1
，反之，对任一个
个，
个
组成的有序数组
，其必然存在一个
1
n
1
1
n
1
)
,...
,
(
2
2
1
n
x
x
x
最小的自然数
，满足
.
s
1
1
2
2
1
s
x
x
x
作对应
，显然，
与
互为逆映
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(:
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
n
s
s
f
n
s
s
x
x
x
x
x
x
x
x
g
f
g
射，从而不满足（*）式的个数，就是由
个，
个
组成的有序数组的个数，从
1
n
1
1
n
1
而
.
1
2
2
n
n
n
n
n
C
C
C
三．习题演练
1．某校甲、乙、丙、丁4 个小组到A，B，C 这3 个劳动实践基地参加实践活动，每个小
组选择一个基地，则每个基地至少有1 个小组的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
9
1
3
4
9
8
9
解析：每个小组选择一个基地，所有的选择情况有
种，每个基地至少有1 个小组的
43
81
情况有
,故概率为
，故选：C
2
1
2
4
3
2
C C A
36
36
4
81
9
2．现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三
人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（ ）
A．216
B．432
C．864
D．1080
解析：求不同的安排种数需要分成3 步，把3 名心理教师分配到三所学校，有
种方法，
3
3
A
再把4 名语文教师按
分成3 组，并分配到三所学校，有
种方法，最后把2 名数
2:1:1
2
3
4
3
C A
学教师分配到只有1 名语文教师的两所学校，有
种方法，由分步乘法计数原理得不同
2
2
A
的安排种数为
.故选：B
3
2
3
2
3
4
3
2
A
C A
A
432
3．某表彰会上3 名男同学和4 名女同学从左至右排成一排上台领奖，则女生甲与女生乙
相邻，且女生丙与女生丁相邻的排法种数为（ ）
A．194
B．240
C．388
D．480
解析：因为女生甲与女生乙相邻，且女生丙与女生丁相邻，则捆绑起来算作两个元素，与
3 名男同学构成5 个元素，则排法共有：
种，故选：D
5
2
2
5
2
2
A
A
A
480
4．小明将1，4，0，3，2，2 这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，
若两个2 之间只有一个数字，且1 与4 相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48
B．32
C．24
D．16
解析：1 与4 相邻，共有
种排法，两个2 之间插入1 个数，共有
种排法，再
2
2
A
2
1
2
2
A
把组合好的数全排列，共有
种排法，则总共有
种密码．故选：C
3
3
A
6
2 2 6
24
5．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色
光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时
被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的
信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（ ）
A．60 种
B．68 种
C．82 种
D．108 种
解析：每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，所以需把
3 个亮的发光原件插入未点亮的元件中，有
种方法，且不同颜色数有
3
4
C
4
3 3 3
27
种，所以这排电子元件能表示的信息种数共有
种.故选：D
4 27
108
6．现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着
不同颜色的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
144
625
64
125
9
64
3
64
解析：根据题意，用四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，每个部分都有4
种涂色方法，则有
种涂色方法；
4
4
4
4
4
1024
若其中任意有公共边的两块着不同颜色，有两种情况：①只用三种颜色涂这5 个区域，则
有
种涂色方法；②用四种颜色涂这5 个区域，则有
种涂色方
3
3
4
3
C
2 A
48
4
4
4 A
96
法，所以若其中任意有公共边的两块着不同颜色，共有144 种涂色方法，故四种不同的颜
色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为
.
144
9
1024
64
故选：
