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空间向量与立体几何
猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据
关于空间向量与立体几何的考查，题量维持 空间几何体点线面位置关系
在2-3道，必有一道主观题.应注意以下几个 以及夹角问题，表面积体积
方面的问题： 以及圆锥对应面积的运算一
2024全国新高考
直是高考的热门考点，要加
I卷5、17 1.几何体的结构特征及面积、体积的计算； 以重视，另外台体的表面积
2024全国新高考 2.多面体、旋转体与球的切、接问题，综合 体积应该重点复习
Ⅱ卷7、17 考查几何体结构特征、面积或体积的计算， 几何体内切球外接球问题是
以及线面关系的应用；
高考立体几何中的难点，近
2023全国新高考
空间向量 I卷12、14、18
3.空间点线面位置关系的判断，包括各种角 两
握
年
长
考
常
查
规
比
的
较
空
少
间
，
几
但
何
是
体
应
的
掌
外
与立体几 的简单计算；
接球内切球的简单技巧
何 2023全国新高考
4.以棱锥、棱柱为载体，证明线线关系、线
Ⅱ卷9、14、20 空间几何体容易与其他知识
面或面面关系，求线面角的函数值；
点相结合构成新的情景类问
2022全国新高考
5.以棱锥、棱柱为载体，证明线线关系、线 题也是近年来高考新改革的
I卷4、8、19
面或面面关系，求二面角的函数值； 一个重要方向
2022全国新高考 6.以棱锥、棱柱为载体，证明线线关系、线
Ⅱ卷7、11、20 面或面面关系，根据线面角或二面角求其它
量；
7.适当注意距离的计算问题.
题型一 旋转体的结构特征，表面积与体积
1．（2025高三·全国·专题练习）底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高
为1的圆锥，所得圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·福建莆田·阶段练习）已知圆锥的母线长为2，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．3．（2025高三·全国·专题练习）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为 ，
则上下两个几何体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为 ，则此圆台的表面积与
其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·四川自贡·二模）已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（
）
A． B． C． D．2
6．（2025·辽宁·一模）圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，
则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·山东济南·一模）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的
绝对值为（ ）
A．π B．2π C．4π D．8π
8．（2025·黑龙江·一模）已知圆锥的轴截面是一个斜边长为 的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为
（ ）A． B． C． D．
题型二 多面体的结构特征，表面积与体积
1．（2025·贵州黔东南·一模）已知第一个正四棱台的上底面边长为 ，下底面边长为 ，侧棱
长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二
个正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知正四棱台 ， ， 分别是棱 ，
的中点，平面 将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三·全国·专题练习）在正四棱锥 中， ，二面角 的大小为 ，则该
四棱锥的体积为（ ）
A．4 B． C．1 D．
4．（2025·甘肃·一模）用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是
.5．（2025·湖南邵阳·二模）已知正六棱锥的高为 ，它的外接球的表面积是 ．若在此正六棱锥内放一
个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为 ．
6．（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱台 中， ， ，侧棱 ，则该
棱台的体积为 ．
7．（2025高一·全国·专题练习）四面体 的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，
则截面面积的最小值是 .
8．（2025·江西·模拟预测）在斜三棱柱 中， 分别为侧棱 上的点，且 ，
过 的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（ ）
A．2 B． C． D．
9．（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）（多选）如图，在正三棱柱 中， ， ，
是 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 与平面 成 角 B．若 ，则平面 平面
C．若 ，则 D．若 ，则三棱柱有内切球10．（24-25高三下·天津蓟州·开学考试）在直三棱柱 中， ， ，
， 分别是BC， 的中点， 在线段 上，则下面说法中不正确的是（ ）
A． 平面
B．直线EF与平面ABC所成角的余弦值为
C．直三棱柱 的外接球半径为
D．直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为
11．（2025·江苏·模拟预测）（多选）六氟化硫（ ）分子结构为正八面体（可看作是将两个棱长均相等
的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图，正八面体 的棱长为 ，下列说法中正确的有
（ ）
A．异面直线AE与BF所成的角为45°
B．此八面体的外接球与内切球的体积之比为C．若点P为棱 上的动点，则 的最小值为
D．若点 为四边形 的中心，点 为此八面体表面上动点，且 ，则动点 的轨迹长度为
题型三 几何体与球的切接问题
1．（2025高一·全国·专题练习）在四棱锥 中， 平面 ， ，且二面角
的大小为 ， ．若点 均在球O的表面上，则球O的体积的最小值为
.
2．（2025·黑龙江·一模）已知正四棱柱 的所有顶点均在球 的球面上，若该四棱柱的体
积为1，则球 的表面积的最小值为 ．
3．（24-25高二下·广东阳江·阶段练习）已知正三棱柱的侧棱长为 ，底面边长为 ，若该正三棱柱的外接
球的体积为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知棱长为 的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平
面的交线都为一个面积为 的圆，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·四川广安·二模）已知正方形 的中心为 ， ，现将其沿对角线 翻折，使得 在
面 内的射影为 的中点，且 ， ， ，再将 绕直线 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为 .
6．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为 ，高为 ，且该圆锥内切球（球与圆锥的
底面和侧面均相切）的半径为1，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2025·天津滨海新·模拟预测）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上
盒盖．可放小球的最大半径为 ．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）四棱锥 的底面 为正方形， 平面 ，且
， ．四棱锥 的各个顶点均在球O的表面上， ， ，则该四棱锥外接球
半径为 ；直线l与平面 所成夹角的范围为 ．
题型四 空间中的角度问题（小题）1．（2025·宁夏石嘴山·一模）正四棱台 的体积为 ， ， ，则直线AB 与
1
直线BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·上海·阶段练习）在三棱锥 中， 平面ABC， ，
，则点 到平面 的距离等于 .
3．（2025高三·全国·专题练习）已知 是圆锥的顶点， 是底面圆的直径， 是底面圆周上一点， 是
线段 的中点， ，则 ．
4．（24-25高二下·全国·开学考试）如图．在二面角 中， ， ， ， ，
， ，且 ， ，则二面角 的大小为 ．
5．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在直三棱柱 中， ，
，D，E，F分别是棱 ，BC， 的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为
．6．（2025·新疆喀什·二模）《九章算术》中将正四棱台称为方婷，如图，在方婷 中，
，其体积为 ，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川南充·二模）已知正三棱锥 底面边长为2，其内切球的表面积为 ，则二面角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
题型五 立体几何开放题
1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作， 成书于公元一世纪左
右， 是《算经十书》中最重要的一部. 书中商功章第二题至第七题涉及到城、 垣、堤、沟、堑、渠这些
建筑，其形状都是底面为等腰梯形的直四棱柱. 以“城”为例，有如下问题:“今有城下广四丈，上广二丈，
高五丈，袤一百二十六丈五尺. 问积几何？答曰:（ ）立方丈. ”（注:一丈等于十尺）A．1265.5 B．1897.5 C．2846.5 D．3795.5
2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的原理:“幂势既同，则积不
容异”，这句话的意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体. 被平行于这两个平面的任意平面所截.
如果截得的这两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.一段弯曲的水管，如图（1），其横
截面为圆面，最大纵截面是由曲线 与两直线 围成的平面区域，如图（2），
根据祖暅原理，计算该段水管的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）利用祖暅原理，可以计算抛物体的体积：在 坐标系中，设抛物线 的
方程为 ，将曲线 围绕 轴旋转，得到的旋转体称为抛物体．利用祖暅原理可计算得
该抛物体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·辽宁·期中）刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角
度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 ，则其各个顶点的曲率均为
.若正四棱锥 的侧面与底面所成角的正切值为 ，则四棱锥 在顶点 处的
曲率为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的
建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为6m，高为4m，则该屋顶的面积约
为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是 的几何体，左边是圆柱挖去
一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面
的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为 ，截得半球的截面面积为 ，则（ ）
A． B．C． D． 与 的大小关系不确定
7．（23-24高二下·江西萍乡·期末）我市某中学高二学生到一工厂参加劳动实践，欲将一个底面直径为 ，
高为 的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面上，若不考虑损耗，
则得到的圆柱体的最大侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23高一下·北京东城·阶段练习）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理
坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其
中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬30°，若
将地球看成近似球体，其半径约为 ，则北纬30°纬线的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，
潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位： ），那
么该壶的容积约为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·云南·模拟预测）我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱
台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4
分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为（ ）
A． B．C． D．
题型六 空间位置关系的证明与线面角（解答题）
1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）如图，在多面体 中， 为正三角形， 平面
， 平面 ， 平面 ， ， ， 分别为 与 的重心.
(1)求证： ，且平面 平面 ；
(2)若 ， ，直线 与平面 所成的角为 ，求 到平面 的距离.
2．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）如图，在多面体 中， 为正三角形， 平面
， 平面 ， 平面 ， ， ， 分别为 与 的重心.(1)求证： ，且平面 平面 ；
(2)若 ， ，直线 与平面 所成的角为 ，求 到平面 的距离.
3．（2025·湖北武汉·一模）已知四棱锥 的底面 为平行四边形， ， ，
， ， .
(1)求三棱锥 外接球的表面积.
(2)设 为线段 上的点.
（i）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
（ii）平面 过点 ， ，且 平面 ，探究：是否存在点 ，使得平面 与平面 之间所成角的正
切值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
4．（24-25高三下·甘肃白银·开学考试）如图，在三棱柱 中，平面 平面
， 为线段 上一点．(1)求证： ；
(2)是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由.
5．（2025·江西鹰潭·一模）如图，在三棱柱 中， ， ，
(1)求证： ；
(2)侧棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，确定点 的位
置；若不存在，说明理由.6．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ，
与 相交于点 ，点 在 上，且 ， .
(1)证明：平面 平面 .
(2)点 是线段 上的一动点，是否存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，
指出点 的位置；若不存在，请说明理由.
7．（2025高三·全国·专题练习）如图，平面四边形 中，点 是线段 上一点， ， ，
沿着 将 折叠得到四棱锥 ．
(1)求证：平面 平面 ．
(2)若 ，且 ， ，折叠后 ．
①求平面 与平面 夹角的余弦值的最大值．
②若三棱锥 的四个顶点均在以 为球心的球上，试问三棱锥 的外接球的体积是否存在最
小值？若存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由．8．（2025·河南焦作·二模）球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所
组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫
做球面三角形的一个内角.如图（1），球 的半径 为球 的球面上的四点.
(1)若球面三角形 的三条边长均为 ，求此球面三角形一个内角的余弦值.
(2)在球 的内接三棱锥 中， 平面 ，直线 与平面 所成
的角为 .
（i）若 分别为直线 上的动点，求线段 长度的最小值；
（ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大
时，求线段的长.
