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第06讲 第七章 立体几何与空间向量 综合检测
本试卷满分150分，考试用时120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.）
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它
的母线长为8，则这个圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·山东济宁·高一统考期末）若水平放置的平面四边形 按斜二测画法得到如图所示的直观
图，其中 ， ， ， ，则原四边形 的边 的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
3．（2023春·北京东城·高一北京二中校考阶段练习）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，
称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个
位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬
30°，若将地球看成近似球体，其半径约为 ，则北纬30°纬线的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏·高二专题练习）已知平面α内两向量 ， 且 .若
为平面α的法向量，则m，n的值分别为（ ）
A．-1，2 B．1，-2
C．1，2 D．-1，-2
5．（2023春·贵州遵义·高一统考期末）已知长方体 中， ， ， ，则
直线 与直线 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·江苏徐州·高二徐州高级中学校考期中）在平行六面体 中， 是线段 上
一点，且 ，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．7．（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校联考期末）如图所示，在直三棱柱 中，棱柱的侧面均
为矩形， ， ， ， 是线段 上的一动点，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江苏·高二专题练习）如图，正方体 的棱长为2，线段 上有两个动点E，F
（E在F的左边），且 . 下列说法正确的是（ ）
A．当E，F运动时，存在点E，F使得
B．当E，F运动时，存在点E，F使得
C．当E运动时，二面角 的最小值为
D．当E，F运动时，二面角 的余弦值为定值
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023春·山东青岛·高一校考期末）已知 ， 是两个不重合的平面， ， 是两条不重合的直线，则
下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则 与 所成的角和 与 所成的角相等
10．（2023春·广东广州·高一广州市第一一三中学校考阶段练习）如图，正方体 中，
，点Q为 的中点，点N为 的中点，则下列结论正确的是（ ）A． 与 为异面直线 B．
C．直线 与平面 所成角为 D．三棱锥 的体积为
11．（2023春·山东潍坊·高一校联考期中）小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，
由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”.小明是《三体》的忠实读者，他利用几何作图
软件画出了他心目中水滴的轴截面（如图），该水滴轴截面由线段AB，AC和优弧BC围成，设优弧BC所
在圆的圆心为O，半径为R，其中 ，AB，AC与圆弧相切，已知水滴轴截面的水平宽度与竖直高
度之比为 ，则（ ）
A．优弧BC的长度 B．
C． D．“水滴”的轴截面的面积为
12．（2023·江苏·高一专题练习）如图，正方体 中，M，N，Q分别是AD， ， 的
中点， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 平面MPN
B．若 ，则 平面MPNC．若 平面MPQ，则
D．若 ，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023秋·高一单元测试） ，若 ，则 ．
14．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在边长为2的正方形 中， 分别为
线段 ， 的中点，连接 ，将 分别沿 折起，使 三点
重合，得到三棱锥 ，则该三棱锥外接球的表面积为 .
15．（2023春·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）已知正方体 的棱长为2，若 ，
分别是 ， 的中点，作出过 ， ， 三点的截面，则这截面的周长为 .
16．（2023·全国·高三专题练习）在长方体 中， ，线段 有一动点G，过CG
作平行于 的平面交BD与点F.
（1）当G是 的中点时，直线BD与平面CGF所成角的余弦值为 ；
（2）当直线BD与平面CGF所成角最大时，此时 .四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过
程或演算步骤.）
17．（2023春·上海徐汇·高一上海中学校考期末）如图， 为平面 外一点， 底面 ，四边
形 是矩形， ，点 是 的中点，点 在边 上移动．
(1)当点 为 中点时，求证： 平面 ；
(2)求证：无论点 在边 的何处，都有 ．
18．（2023春·贵州黔东南·高二统考期末）在四棱锥 中，底面 是矩形， 分别是棱
的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 平面 ，且 ， ，求二面角 的余弦值.19．（2023春·北京房山·高一统考期末）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面
平面 ， ， ， 为 的中点.
(1)求证： ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
20．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆市第二十三中学校考期末）如图，在正方体 中，E是
棱 上的点（点E与点C， 不重合）．
(1)在图中作出平面 与平面ABCD的交线，并说明理由；
(2)若正方体的棱长为1，平面 与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 ，求线段CE的长．21．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面
是边长为 的正三角形，平面 平面 ， ．
(1)求证：平行四边形 为矩形；
(2)若 为侧棱 的中点，且平面 与平面 所成角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离．
22．（2023·广西南宁·统考一模）如图1，平面图形 是一个直角梯形，其中
， 是 上一点，且 .将 沿着 折起使得平面
平面 ，连接 ， 分别是 的中点，如图2.
(1)证明：在图2中 四点共面，且平面 平面 ；
(2)在图2中，若是线段上一个动点，当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，求的长.
