第06讲 第七章 立体几何与空间向量 综合检测
本试卷满分150分，考试用时120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.）
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它
的母线长为8，则这个圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的母线长为8，
所以这个圆台的侧面积为 ，
故选：B
2．（2023春·山东济宁·高一统考期末）若水平放置的平面四边形 按斜二测画法得到如图所示的直观
图，其中 ， ， ， ，则原四边形 的边 的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【详解】由斜二测画法的直观图知：
， ， ， ， ，
原图形 中， ， ， ， ， ，
,
故选：C
3．（2023春·北京东城·高一北京二中校考阶段练习）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，
称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬
30°，若将地球看成近似球体，其半径约为 ，则北纬30°纬线的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】按照纬线的垂直方向，作图如下， 为所求纬线圈的直径，
过圆心作 的垂线，垂足为 ，连接 ，
在直角三角形 中， ，
则北纬 纬线的长为 ．
故选：A．
4．（2023·江苏·高二专题练习）已知平面α内两向量 ， 且 .若
为平面α的法向量，则m，n的值分别为（ ）
A．-1，2 B．1，-2
C．1，2 D．-1，-2
【答案】A
【详解】
，
由 为平面α的法向量，得 ,即
解得
故选：A.
5．（2023春·贵州遵义·高一统考期末）已知长方体 中， ， ， ，则
直线 与直线 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】连接 ， ，如图所示，因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
则 或其补角即为直线 与直线 所成的角，
因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即直线 与直线 所成角的余弦值为 ．
故选：C．
6．（2023春·江苏徐州·高二徐州高级中学校考期中）在平行六面体 中， 是线段 上
一点，且 ，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【详解】因为 是线段 上一点，且 ,
所以 ，
所以 ,
又 ，所以 ，
又因为 ,
所以 ，所以 ，化简得： .
故选：B
7．（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校联考期末）如图所示，在直三棱柱 中，棱柱的侧面均
为矩形， ， ， ， 是线段 上的一动点，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】连接 ，得 ，以 所在直线为轴，将 所在平面旋转到平面 ，
设点 的新位置为 ，连接 ，则有 ，如图，当 三点共线时，则 即为 的最小值.
在三角形ABC中， ， ，
由余弦定理得： ,
所以 ，即 ,
在 中， ， ，
由勾股定理可得： ,且 .
同理可求： ，因为 ，
所以 为等边三角形，所以 ，
所以在 中， , ,
由余弦定理得： .
故选：B.
8．（2023·江苏·高二专题练习）如图，正方体 的棱长为2，线段 上有两个动点E，F
（E在F的左边），且 . 下列说法正确的是（ ）
A．当E，F运动时，存在点E，F使得
B．当E，F运动时，存在点E，F使得
C．当E运动时，二面角 的最小值为
D．当E，F运动时，二面角 的余弦值为定值【答案】C
【详解】对于A，以C为坐标原点， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
由于 ，设 ，
则 ，
则 ，
所以当E，F运动时，故存在点E，F使得 ，A错误；
对于B，若 ，则 四点共面，与 与 是异面直线矛盾，B错误；
对于C，设平面 的法向量为 ，又 ，
故 ，令 ，则 ，
平面 的法向量可取为 ，
故 ，
因为 ，且函数 在 上单调递降，所以 ，
当且仅当 时， 取到最大值，
设二面角 的平面角为 ，则 最大值为 ，
即二面角 的最小值为 ，C正确；
对于D，连接 ，平面 即为平面 ,平面 即为平面 ,平面 的法向量可取为 ,
设平面 的法向量为 ，又 ，
故 ，令 ，则 ，
故 ，
由图知二面角 为锐角，
则二面角 的余弦值为定值 ，D错误，
故选：C
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023春·山东青岛·高一校考期末）已知 ， 是两个不重合的平面， ， 是两条不重合的直线，则
下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则 与 所成的角和 与 所成的角相等
【答案】BD
【详解】对于A，根据已知条件，可得如下图的反例：
故A错误；
对于B，若 ，则 垂直于平面 内的任意一条直线，又 ，
由等角定理可知， ，故B正确；
对于C，根据已知条件，可得如下图的反例，n在面α内：
故C错误；
对于D，若 ， ，根据等角定理以及线面角的定义可知，与 所成的角和 与 所成的角相等，故D正确.
故选：BD.
10．（2023春·广东广州·高一广州市第一一三中学校考阶段练习）如图，正方体 中，
，点Q为 的中点，点N为 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． 与 为异面直线 B．
C．直线 与平面 所成角为 D．三棱锥 的体积为
【答案】AB
【详解】对A，由图可得， 共面，且 不在平面内，则 与 为异面直线,故A正确；
对B，由正方体性质可得 平面 ，又 平面 ，故 ,故B正确；
对C，由 平面 可得直线 与平面 所成角为 ，
又 ，则 ，
故 ，故 ，故C错误；
对D， ，故D错误.故选：AB
11．（2023春·山东潍坊·高一校联考期中）小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，
由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”.小明是《三体》的忠实读者，他利用几何作图
软件画出了他心目中水滴的轴截面（如图），该水滴轴截面由线段AB，AC和优弧BC围成，设优弧BC所
在圆的圆心为O，半径为R，其中 ，AB，AC与圆弧相切，已知水滴轴截面的水平宽度与竖直高
度之比为 ，则（ ）
A．优弧BC的长度 B．
C． D．“水滴”的轴截面的面积为
【答案】BCD
【详解】
连接 ，
因为水滴轴截面的水平宽度与竖直高度之比为 ，水平宽度为 ，竖直高度为 ，
所以 ，所以 ，故B正确，
因为AB，AC与圆弧相切，所以 ，
在 中， ， ， ，所以可得 ，故C正确，
所以优弧BC的长度 ，故A错误，
“水滴”的轴截面的面积为 ，故D正确，
故选：BCD
12．（2023·江苏·高一专题练习）如图，正方体 中，M，N，Q分别是AD， ， 的
中点， ，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 平面MPN
B．若 ，则 平面MPN
C．若 平面MPQ，则
D．若 ，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形
【答案】ACD
【详解】对于A,连接 ,在正方体中，可知 ，
当 时， 是 的中点，则 ,所以 ，由于 平面 , 平面 ,所以
平面MPN，故A正确，
对于B, 当 时， 与点 重合，连接 交 于点 ,连接 ,
若 平面MPN,则 平面 ,且平面 平面 ,则 ，
由于 是 的中点，则 为 中点，这显然不符合要求，故B错误，对于C, 若 平面MPQ，则 ,由于 平面 平面 ,又
, 平面 ,
所以 平面 , 平面 ,则 ,
显然 与平面 不垂直，故 ,则 ,
由于 为 中点，所以 为 中点，故 ，C正确，
对于D，取 中点 ,在 上取点 ,使得 ，在棱 取 ,使得 ，在棱 上取
由于 分别为 的中点，所以 ,
同理
连接 即可得到截面多边形，故D正确，
故选：ACD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023秋·高一单元测试） ，若 ，则 ．
【答案】-4
【详解】解：因为 ，且 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：-4
14．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在边长为2的正方形 中， 分别为
线段 ， 的中点，连接 ，将 分别沿 折起，使 三点
重合，得到三棱锥 ，则该三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【详解】由题意可知 两两垂直，且 ，
将三棱锥 补成一个长方体，如图所示，
则长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，设外接球的半径为 ，
，得 ，
所以三棱锥外接球的表面积为 ，
故答案为：15．（2023春·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）已知正方体 的棱长为2，若 ，
分别是 ， 的中点，作出过 ， ， 三点的截面，则这截面的周长为 .
【答案】
【详解】连接 ，因为平面 //平面 ，所以截面与两平面的交线平行，
过点N作 // 交 于点 ，连接 ，
同理过点 作 // 交 于 ，连接 ，
则五边形 即为所求截面，
设BM与NE交于点P，BF与NE交于点Q，
因为 // ，M是 的中点，所以 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
可得 ，
因为 // ，所以 ，所以 ，
所以 ，
，
所以这截面五边形BMENF的周长为 .
故答案为： .16．（2023·全国·高三专题练习）在长方体 中， ，线段 有一动点G，过CG
作平行于 的平面交BD与点F.
（1）当G是 的中点时，直线BD与平面CGF所成角的余弦值为 ；
（2）当直线BD与平面CGF所成角最大时，此时 .
【答案】 /0.6 /0.2
【详解】设 ，以D为原点，分别以 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系，
则 ， ，
因为 平面CGF，又 平面 ， 平面 ，
平面 与平面CGF相交于 ，所以 ，所以 平面 ，当G是 的中点时， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，
设直线BD与平面CGF所成角 ，此时 ，
则 ，所以 ；
当G不是 的中点时，设 ，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
此时 ，
所以当 时， 有最小值 ， 有最大值1，
此时 ，所以 .
故答案为： ；
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过
程或演算步骤.）
17．（2023春·上海徐汇·高一上海中学校考期末）如图， 为平面 外一点， 底面 ，四边
形 是矩形， ，点 是 的中点，点 在边 上移动．
(1)当点 为 中点时，求证： 平面 ；(2)求证：无论点 在边 的何处，都有 ．
【答案】(1)详见解析.
(2)详见解析.
【详解】（1） 点 是 的中点,当点 为 中点时，
可得 ，又 平面 平面
平面 .
（2） 点 是 的中点,
又 底面 ， 平面 , ,
又四边形 是矩形， 又
平面 平面 ,
又 平面
又 平面 ,
无论点 在边 的何处，都有 .
18．（2023春·贵州黔东南·高二统考期末）在四棱锥 中，底面 是矩形， 分别是棱
的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 平面 ，且 ， ，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，取 中点 ，连接 、 ，根据题意，因为点 为 中点，
所以 且 ，又因为四边形 为矩形， 为 的中点，
所以 且所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
显然二面角 为锐二面角，设其平面角为 ，
则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
19．（2023春·北京房山·高一统考期末）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面
平面 ， ， ， 为 的中点.
(1)求证： ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，且 ，理由见解析
【详解】（1）因为 ， 为 的中点，所以 ，
又底面 为矩形，所以 ，所以 .
（2） 底面 为矩形， ．
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， 平面 ，
又 平面 ， ．
又 ， ， 、 平面 ， 平面 ，
而 平面 ， 平面 平面 ；
（3）存在，且 ，理由如下：
连接 、 ， ，连接 ，
因为 是矩形，且 为 的中点，所以 ，所以 ，
又 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，
所以 .
20．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆市第二十三中学校考期末）如图，在正方体 中，E是
棱 上的点（点E与点C， 不重合）．
(1)在图中作出平面 与平面ABCD的交线，并说明理由；(2)若正方体的棱长为1，平面 与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 ，求线段CE的长．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）
如图1，分别延长 ，交于 点，连接 ，则 即为所求交线.
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ， 平面 .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以，平面 平面 .
（2）
如图2，以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，
.
则 ， ， ， ，
所以， ， ， .
根据正方体的性质可知， 平面 ，
所以 即为平面 的一个法向量.设 是平面 的一个法向量，
所以， ，即 ，
令 ，则 ， ，
所以， 是平面 的一个法向量.
由已知可得， ，
即 ，即 ，
整理可得， ，解得 或 （舍去），
所以， ，即 .
21．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面
是边长为 的正三角形，平面 平面 ， ．
(1)求证：平行四边形 为矩形；
(2)若 为侧棱 的中点，且平面 与平面 所成角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取 中点 ，连接 ， 为正三角形，则 ，
面 面 ，面 面 ， 面 ，则 面 ，
面 ，故 ，又 ， 面 ， ，所以 面 ， 面 ，故 ，则平行四边形 为矩形.
（2）如下图，以 为原点， 为 轴， 为 轴建立坐标系，设 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ，
设面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
设面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
由 ，解得 ，
则面 的法向量为 ， ，
点 到平面 的距离 .
22．（2023·广西南宁·统考一模）如图1，平面图形 是一个直角梯形，其中
， 是 上一点，且 .将 沿着 折起使得平面
平面 ，连接 ， 分别是 的中点，如图2.
(1)证明：在图2中 四点共面，且平面 平面 ；
(2)在图2中，若 是线段 上一个动点，当直线 与平面 所成角的正弦值取得最大值时，求 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 ，
∵ 分别是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故 四点共面.
在图1中，由 ，可得 ，
，
故四边形 是正方形，则 ，
在图2中，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
平面 ，可得 ，
又∵ 平面 ，
∴ 平面 ，
且 平面 ，故平面 平面 .
（2）如图以 为原点，分别以 所在直线为 轴､ 轴､ 轴，建立空间直角坐标系 ，则
，
设 ，
可得 ，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
取 ，则 ，即 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
∵ ，当且仅当 ，即当 取等号，
∴ ，故当 ，即 为 中点时，直线 与平面 所成角的正弦值取得最大值为 .
