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培优点5 平面向量奔驰定理与三角形四心问题
分值：52 分
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.点P 在△ABC 内部，满足⃗PA+2⃗PB+3⃗PC=0，则S△ABC∶S△APC为( )
A.2∶1 B.3∶2 C.3∶1 D.5∶3
2.已知点G，O，H 在△ABC 所在平面内，满足⃗GA+⃗GB+⃗GC=0，|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|，⃗AH·⃗BH=⃗BH·⃗CH=⃗
CH·⃗AH，则点G，O，H 依次为△ABC 的( )
A.重心、外心、内心
B.重心、内心、外心
C.重心、外心、垂心
D.外心、重心、垂心
3.已知G 是△ABC 的重心，若⃗GC=x⃗AB+y⃗AC，x，y∈R，则x+y 等于( )
A.-1
B.1
C.1
3
D.-1
3
4.设O 是平面α 内一定点，A，B，C 是平面α 内不共线的三点，平面α 内的动点P 满足⃗OP=⃗OA+λ
(⃗
AB
|⃗AB|cos B
+⃗
AC
|⃗AC |cosC)，λ∈[0，+∞)，则点P 的轨迹经过△ABC 的( )
A.内心B.外心
C.垂心D.重心
5.已知点A，B，C，P 在同一平面内，⃗PQ=1
3⃗PA，⃗QR=1
3⃗QB，⃗RP=1
3⃗RC，则S△ABC∶S△PBC等于( )
A.14∶3
B.19∶4
C.24∶5
D.29∶6
6.如图，已知O 是△ABC 的垂心，且⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0，则cos∠ACB 等于( )
A.3√10
10
B.√10
10
C.2√5
5
D.√5
5
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.若O，P 是锐角△ABC 内的点，A，B，C 是△ABC 的三个内角，且满足⃗PA+⃗PB+⃗PC=1
3⃗CA，⃗OA·⃗OB=⃗
OB·⃗OC=⃗OC·⃗OA，则( )
A.S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=4∶3∶2
B.∠A+∠BOC=π
C.|⃗OA|∶|⃗OB|∶|⃗OC|=cos A∶cos B∶cos C
D.tan A·⃗OA+tan B·⃗OB+tan C·⃗OC=0
8.设锐角△ABC 内部的一点O 满足OA=OB=OC，角A，B，C 是△ABC 的三个内角，且
1
2cos A⃗OA+
cos B
sinC⃗AB+cosC
sin B⃗AC=0，则角A 的大小可能为( )
A. π
12
B.π
6
C.π
3
D.5 π
12
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知P 为△ABC 的外心，角A，B，C 是△ABC 的三个内角，且⃗PA+⃗PB=λ⃗PC，tan C=12
5 ，则实数λ 的值
为 .
10.已知I 为△ABC 的内心，且5⃗IA=4(⃗BI+⃗CI).记R，r 分别为△ABC 的外接圆、内切圆的半径，若r=15，
则R= .
答案精析
1.C [根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3，所以S△ABC∶S△APC=3∶1.]
2.C [因为⃗GA+⃗GB+⃗GC=0，所以⃗GA+⃗GB=-⃗GC，
设AB 的中点为D，则⃗GA+⃗GB=2⃗GD，
所以-⃗GC=2⃗GD，
所以C，G，D 三点共线，即G 为△ABC 的中线CD 上的点，
且GC=2GD，
所以G 为△ABC 的重心；
因为|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|，所以OA=OB=OC，所以O 为△ABC 的外心；
因为⃗AH·⃗BH=⃗BH·⃗CH=⃗CH·⃗AH，所以⃗BH·(⃗AH-⃗CH)=0，即⃗HB·⃗AC=0，
所以⃗HB⊥⃗AC，同理可得⃗HA⊥⃗BC，⃗HC⊥⃗AB，所以H 为△ABC 的垂心.]
3.C [由⃗GC=x⃗AB+y⃗AC，可得⃗GC=x(⃗GB-⃗GA)+y(⃗GC-⃗GA)，
即(x+y)⃗GA-x⃗GB+(1-y)⃗GC=0.
因为G 是△ABC 的重心，
所以x+y=-x=1-y，
解得x=-1
3，y=2
3，
则x+y=1
3.]
4.C [⃗OP·⃗BC=⃗OA·⃗BC+λ(⃗
AB
|⃗AB|cos B
+⃗
AC
|⃗AC |cosC)·⃗BC=⃗OA·⃗BC+λ(-|⃗BC|+|⃗BC|)=⃗OA·⃗BC，
则⃗OP·⃗BC-⃗OA·⃗BC=0，
即⃗AP·⃗BC=0，故AP⊥BC，
即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心.]
5.B [由⃗QR=1
3⃗QB可得⃗PR-⃗PQ
=1
3 (⃗PB-⃗PQ)，
整理可得⃗PR=1
3⃗PB+2
3⃗PQ
=1
3⃗PB+2
9⃗PA，
由⃗RP=1
3⃗RC可得⃗RP=1
3 (⃗PC-⃗PR)，
整理可得⃗PR=-1
2⃗PC，
所以-1
2⃗PC=1
3⃗PB+2
9⃗PA，
整理得4⃗PA+6⃗PB+9⃗PC=0，
由奔驰定理可得
S△ABC∶S△PBC=(4+6+9)∶4
=19∶4.]
6.B [由题意知，△ABC 为锐角三角形，如图，延长CO 交AB 于点P，
∵O 是△ABC 的垂心，∴OP⊥AB，
设△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为S1，S2，S3，
∴S1∶S2=(
1
2 ·OC·BP)∶(
1
2 ·OC·AP)
=BP∶AP=(OPtan∠POB)∶(OPtan∠POA)
=tan∠COB∶tan∠COA
=tan(π-∠BAC)∶tan(π-∠ABC)=tan∠BAC∶tan∠ABC，
同理可得S1∶S3=tan∠BAC∶tan∠ACB，
∴S1∶S2∶S3=tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB.
由奔驰定理可知，S1·⃗OA+S2·⃗OB+S3·⃗OC=0，
∴tan∠BAC·⃗OA+tan∠ABC·⃗OB+tan∠ACB·⃗OC=0.
又⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0，
∴tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3.
不妨设tan∠BAC=k，tan∠ABC=2k，tan∠ACB=3k，其中k≠0，
∵tan∠BAC=-tan(∠ABC+∠ACB)=- tan∠ABC + tan∠ACB
1- tan∠ABC tan∠ACB ，
∴k=- 2k +3k
1-2k·3k ，解得k=±1.
当k=-1 时，此时tan∠BAC<0，
tan∠ABC<0，tan∠ACB<0，则∠BAC，∠ABC，∠ACB 都是钝角，不合题意，舍去，
故k=1，则tan∠ACB=3>0，故∠ACB 为锐角，
∴{
sin ∠ACB
cos∠ACB =3,
sin
2∠ACB+co s
2∠ACB =1,
解得cos∠ACB=√10
10 .]
7.BCD [因为⃗PA+⃗PB+⃗PC=1
3⃗CA，所以⃗PA+⃗PB+⃗PC=1
3 (⃗PA-⃗PC)，即2
3⃗PA+⃗PB+4
3⃗PC=0，所以⃗PB=-
2
3⃗PA-4
3⃗PC，
又由奔驰定理S△PBC⃗PA+S△PCA·⃗PB+S△PAB⃗PC=0，得⃗PB
=-S△PBC
S△PCA⃗
PA- S△PAB
S△PCA⃗
PC，
因为⃗PA，⃗PC不共线，所以-S△PBC
S△PCA
=-2
3，- S△PAB
S△PCA
=-4
3 ，
所以S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=4∶2∶3，故A 错误；
延长AO，BO，CO 分别与角A，B，C 的对边交于点D，E，F，如图，
由⃗OA·⃗OB=⃗OB·⃗OC，得⃗OB·(⃗OA-⃗OC)=⃗OB·⃗CA=0，所以OB⊥AC，同理OC⊥AB，OA⊥BC，所以O 是
△ABC 的垂心，
在四边形AEOF 中，∠A+∠EOF=π，∠EOF=∠BOC，所以∠A+∠BOC=π，故B 正确；
由⃗OA·⃗OB=⃗OB·⃗OC=⃗OC·⃗OA，得|⃗OA||⃗OB|cos∠AOB
=|⃗OB||⃗OC|cos∠BOC
=|⃗OC||⃗OA|cos∠AOC，
所以|⃗OA|∶|⃗OB|∶|⃗OC|
=cos∠BOC∶cos∠AOC∶cos∠AOB，
由选项B 得cos∠BOC=-cos A，
同理，cos∠AOC
=-cos B，cos∠AOB=-cos C，
所以|⃗OA|∶|⃗OB|∶|⃗OC|=cos A∶cos B∶cos C，故C 正确；
由上述解析知，
S△OBC=1
2OB·OCsin∠BOC
=1
2OB·OCsin A，
S△OAC=1
2OA·OCsin∠AOC
=1
2OA·OCsin B，
S△OAB=1
2OA·OBsin∠AOB
=1
2OA·OBsin C，
所以S△OBC∶S△OAC∶S△OAB
=sin A
OA ∶sin B
OB ∶sinC
OC ，
又|⃗OA|∶|⃗OB|∶|⃗OC|
=cos A∶cos B∶cos C，
得S△OBC∶S△OAC∶S△OAB= sin A
cos A ∶sin B
cos B ∶sinC
cosC =tan A∶tan B∶tan C，
由奔驰定理S△OBC·⃗OA+S△OAC·⃗OB+S△OAB·⃗OC=0，得tan A·⃗OA+tan B·⃗OB+tan C·⃗OC=0，故D 正确.]
8.AD [锐角△ABC 内部的一点O 满足OA=OB=OC，则O 为△ABC 的外接圆的圆心，设外接圆的半径为
R，
因为
1
2cos A⃗OA+cos B
sinC⃗AB+cosC
sin B⃗AC=0，
所以
1
2cos A⃗OA+cos B
sinC (⃗OB-⃗OA)+cosC
sin B (⃗OC-⃗OA)=0，
从而
1
2cos A⃗OA
2+cos B
sinC (⃗OB·⃗OA-⃗OA
2)+cosC
sin B (⃗OC·⃗OA-⃗OA
2)=0，
即
1
2cos A R2+cos B
sinC (R2cos∠AOB-R2)+cosC
sin B (R2cos∠AOC-R2)=0，
进而得
1
2cos A +cos B
sinC (cos 2C-1)+cosC
sin B (cos 2B-1)=0，
即
1
2cos A +cos B
sinC (-2sin2C)+
cosC
sin B (-2sin2B)=0，
所以
1
2cos A
=2sin Ccos B+2sin Bcos C
=2sin(B+C)=2sin A，
即2sin Acos A=1
2，
所以sin 2A=1
2，
因为0<A<π
2 ，0<2A<π，
所以2A=π
6 或5 π
6 ，
所以A= π
12或5 π
12 .]
9.-10
13
解析 由题意知，△ABC 为锐角三角形，由P 为△ABC 的外心，
可知sin 2A·⃗PA+sin 2B·⃗PB+sin 2C·⃗PC=0，
又由题设得⃗PA+⃗PB=λ⃗PC，
即⃗PA+⃗PB-λ⃗PC=0，
比较两式，可知sin 2A∶sin 2B∶sin 2C
=1∶1∶(-λ)，
得到sin 2A=sin 2B，
所以2A=2B 或2A=π-2B.
若2A=π-2B，则A+B=π
2 ，
此时△ABC 为直角三角形，不符合题意；
若2A=2B，则A=B，
由A+B+C=π 知2A=π-C，
sin 2A=sin(π-C)=sin C.
由sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=1∶1∶(-λ)，
可得λ=-sin 2C
sin 2 A =-sin 2C
sinC =-2cos C，
由tan C=12
5 ，C 为锐角，可得cos C= 5
13，所以λ=-10
13.
10.32
解析 依题意，有5⃗IA+4⃗IB+4⃗IC=0.
由三角形内心的向量表示，若a，b，c 分别为△ABC 的内角A，B，C 的对边的边长，I 为△ABC 的内心，
则a⃗IA+b⃗IB+c⃗IC=0，
得a∶b∶c=5∶4∶4，可设a=10k(k>0)，则b=c=8k.
作AD⊥BC 于点D(图略)，
则AD=√39k，
S△ABC=1
2a·AD=5√39k2，
又r=15，
S△ABC=1
2(a+b+c)r=195k，
所以k=√39.
因为sin B= AD
c =√39
8 ，
所以2R=
b
sin B = 8k
sin B =8√39× 8
√39=64，所以R=32.
