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1．已知
和
为椭圆
上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线交C 于另一点B，且
的面积为9，求的方程．
2．已知椭圆C：
的离心率为
，且过点
．
(1)求C 的标准方程；
(2)过C 的左焦点且斜率为
的直线l 与C 交于A，B 两点，O 为坐标原点，当
的面积为
时，求k 的值．
3．已知椭圆
的离心率为
，且过点
．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线
与椭圆交于B，C 两点，若
面积为
，求m．
4．已知椭圆
经过点
，其右焦点为
.
(1)求椭圆
的离心率；
(2)若点
在椭圆
上，右顶点为
，且满足直线
与
的斜率之积为
.求
面
1
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积的最大值.
5．如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
．
6．已知四棱锥
如图所示，其中
，点M，N 分别是
线段SC，AB 的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若二面角
为直二面角，则
，
，求四面体SBDM 的体积．
7．如图，三棱锥
中，
底面ABC，
，
，
，点M 满足
，N 是PC 的中点．
2
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(1)请写出一个
的值使得
平面AMN，并加以证明；
(2)若二面角
大小为45°，且
，求点M 到平面PAC 的距离．
8．如图，在四棱锥P－ABCD 中，PB＝PD，PA⊥PC，M，N 分别为PA，BC 的中点底面四
边形ABCD 是边长为2 的菱形，且∠DAB＝60°，AC 交BD 于点O．
(1)求证：MN∥平面PCD；
(2)二面角B－PC－D 的平面角为θ，若
．
①求PA 与底面ABCD 所成角的大小；
②求点N 到平面CDP 的距离．
9．已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
3
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(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
10．设
(1)求证：
；
(2)若
恒成立，求整数
的最大值．（参考数据
，
）
11．已知函数
，其中
．
(1)当
时，证明：
；
(2)若对任意
，都有
，求k 的取值范围．
12．已知函数
，
.
(1)求证：
；
(2)若
，问
是否恒成立?若恒成立，求a 的取值范围；若
不恒成立，请说明理由
13．设m 为正整数，数列
是公差不为0 的等差数列，若从中删去两项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
4
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是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中一次任取两个数和
，记数列
是
可分数列
的概率为
，证明：
．
14．已知{
}是公差不为0 的无穷等差数列．若对于{
}中任意两项
，
，在{
}中
都存在一项
，使得
，则称数列{
}具有性质P．
(1)已知
，判断数列{
}，{
}是否具有性质P；
(2)若数列{
}具有性质P，证明：{
}的各项均为整数；
(3)若
，求具有性质P 的数列{
}的个数．
15．设
和
是两个等差数列，记
，
其中
表示
，
，
，
这个数中最大的数．
(1)若
，
，求
，
，
的值；
(2)若
为常数列，证明
是等差数列；
(3)证明：或者对任意正数
，存在正整数
，当
时，
；或者存在正整数
，
5
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使得
，
，
，
，
是等差数列．
16．设
为无穷数列，给定正整数
，如果对于任意
，都有
，则称数列
具有性质
．
(1)判断下列两个数列是否具有性质
；（结论不需要证明）
①等差数列
：5，3，1，…；②等比数列
：1，2，4，…．
(2)已知数列
具有性质
，
，
，且由该数列所有项组成的集合
，求
的通项公式；
(3)若既具有性质
又具有性质
的数列
一定是等差数列，求
的最小值．
6
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参考答案：
1．(1)
(2)直线的方程为
或
.
【分析】（1）代入两点得到关于
的方程，解出即可；
（2）方法一：以
为底，求出三角形的高，即点
到直线
的距离，再利用平行线距
离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到
点坐标，则得到直线的方程；方法二：
同法一得到点
到直线
的距离，再设
，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方
程组，解出即可；法三：同法一得到点
到直线
的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；
法四：首先验证直线
斜率不存在的情况，再设直线
，联立椭圆方程，得到点
坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线
斜率不存在的情况，再设
，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与
法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘
表达面积即可.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
所以
.
（2）法一：
，则直线
的方程为
，即
，
，由（1）知
，
设点
到直线
的距离为
，则
，
1
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则将直线
沿着与
垂直的方向平移
单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点
，
设该平行线的方程为：
，
则
，解得
或
，
当
时，联立
，解得
或
，
即
或
，
当
时，此时
，直线的方程为
，即
，
当
时，此时
，直线的方程为
，即
，
当
时，联立
得
，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线的方程为
或
.
法二：同法一得到直线
的方程为
，
点
到直线
的距离
，
设
，则
，解得
或
，
2
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即
或
，以下同法一.
法三：同法一得到直线
的方程为
，
点
到直线
的距离
，
设
，其中
，则有
，
联立
，解得
或
，
即
或
，以下同法一；
法四：当直线
的斜率不存在时，此时
，
，符合题意，此时
，直线的方程为
，即
，
当线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
联立椭圆方程有
，则
，其中
，即
，
解得
或
，
，
，
令
，则
，则
同法一得到直线
的方程为
，
点
到直线
的距离
，
3
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则
，解得
，
此时
，则得到此时
，直线的方程为
，即
，
综上直线的方程为
或
.
法五：当的斜率不存在时，
到
距离
，
此时
不满足条件.
当的斜率存在时，设
，令
，
，消
可得
，
，且
，即
，
，
到直线
距离
，
或
，均满足题意，
或
，即
或
.
法六：当的斜率不存在时，
到
距离
，
此时
不满足条件.
当直线斜率存在时，设
，
4
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设与
轴的交点为
，令
，则
，
联立
，则有
，
，
其中
，且
，
则
，
则
，解的
或
，经代入判别式验证均满
足题意.
则直线为
或
，即
或
.
2．(1)
；
(2)
.
【分析】（1）依据题给条件列方程求得
的值，进而求得C 的标准方程；
（2）先设直线l 的方程为
，与椭圆方程联立，利用设而不求的方法列出关
于
的面积的方程，解之即可求得k 的值.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，由题意得，
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，解得
，∴C 的标准方程为
；
（2）由（1）得，椭圆C 的左焦点为
，
∴设直线l 的方程为
， 令
，
，
联立
，整理得
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
解得
.
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得
，求出
即可得解；
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（2）设
，联立
，消
，利用韦达定理求得
，
再利用弦长公式求得
，求出点
到直线
的距离
，再根据
，即可得出答案.
【详解】（1）解：根据题意可知：
，解得
，
所以椭圆的方程为
；
（2）解：设
，
联立
，消
整理得
，
则
，解得
，
，
则
，
点
到直线
的距离
，
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则
，解得
，
所以若
面积为
，
.
4．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得
，从而可求出
，进而可求出离心率，
（2）设
，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与
系数的关系，再由
可得
或
，可得直线
经过定点
，然后
表示出
面积，求其最大值即可.
【详解】（1）依题可得，
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.
所以离心率
.
（2）易知直线
与
的斜率同号，所以直线
不垂直于
轴，
故可设
，
8
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由
可得，
，
所以
，
，而
，即
，
化简可得
，
，
化简得
，
所以
或
，
所以直线
或
，
因为直线
不经过点
，
所以直线
经过定点
.
设定点
，
因为
，所以
，
设
，
9
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所以
，
当且仅当
即
时取等号，即
面积的最大值为
.
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证出
平面
，即可得
，由勾股定理逆定理可得
，从而
，再根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）过点D 作
于
，再过点
作
于
，连接
，根据三垂线法可知，
即为二面角
的平面角，即可求得
，再分别用
的长度表
示出
，即可解方程求出
．
【详解】（1）（1）因为
平面
，而
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
而
平面
，所以
.
因为
，所以
， 根据平面知识可知
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）如图所示，过点D 作
于
，再过点
作
于
，连接
，
因为
平面
，所以平面
平面
，而平面
平面
，
所以
平面
，又
，所以
平面
，
根据二面角的定义可知，
即为二面角
的平面角，
即
，即
．
因为
，设
，则
，由等面积法可得，
，
又
，而
为等腰直角三角形，所以
，
10
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故
，解得
，即
．
6．(1)证明见解析；
(2)4．
【分析】（1）取SD 的中点P，则四边形MPNB 为平行四边形，得
，结合线面平
行的判定定理即可证明；
（2）取AD 的中点O，则
，根据面面、线面垂直的性质可得
，求出
，
易知点S 到平面BDM 的距离等于点C 到平面BDM 的距离，利用等体积法和棱锥的体积公
式计算即可求解.
【详解】（1）取SD 的中点P，连接MP，NP，则
，且
，
故
，
，则四边形MPNB 为平行四边形，
故
，而
平面
，
平面
，
故
平面
．
（2）取AD 的中点O，连接OS，因为
为等边三角形，故
，
因为平面
平面
，且平面
平面
，
平面
故
平面
，而
平面
，所以
，
又
，故
，
因为M 为SC 的中点，故M 到平面BDC 的距离为
，
在菱形ABCD 中，
，故
为等边三角形，
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又
，故
，
故
，
由M 为SC 的中点可得，点S 到平面BDM 的距离等于点C 到平面BDM 的距离，
故
，即四面体SBDM 的体积为4．
7．(1)
，证明见解析
(2)
．
【分析】（1）根据题意得到
，利用中位线的性质得到
，然后根据线面平
行的判定定理证明即可；
（2）根据二面角的平面角的定义得到
就是二面角
的平面角，即可得到
，将点
到平面
的距离转化为点
到平面
的距离的
，然后求距
离即可.
【详解】（1）
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当
时，满足题意．
是
的中点，又因为
是
的中点，
所以
，
又
平面
，且
平面
，
所以
∥平面
．
（2）由勾股定理得
，
因为
平面
，
平面ABC，
所以
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
，
而
平面
，故
，
故
就是二面角
的平面角，所以
，
所以
为等腰直角三角形，且
，
过
作
于
，则
平面
，易得
，
所以点
到平面
的距离等于
，为
．
8．(1)证明见解析；
(2)①
②
.
【分析】（1）取PD 得中点E，连接ME，CE，证明
，然后证明
平面
PCD；
（2）①作出二面角的平面角，利用二面角的余弦值求出
，
，再由条件可证明所求
线面角为
，利用直角三角形求大小即可；
②由
平面PAC 转化为求O 到平面距离，作出垂线段，利用等积法求解即可.
【详解】（1）取PD 得中点E，连接ME，CE，如图，
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为PA 的中点，
，
为
的中点且四边形ABCD 为菱形，
.
，
四边形MNCE 为平行四边形，
,
又MN
平面PCD, CE
平面PCD,
MN∥平面PCD.
（2）①连接PO，过
作
于
，连接
，
由PB＝PD，
是
的中点，
，
由菱形
知
，又
，
平面
，
平面
，
平面
平面
，且交线为
，
直线
在平面
上的射影为
，即PA 与底面ABCD 所成角为
.
平面
，
，且
在平面
上的射影为
，
，又PA⊥PC，
，
是
的中点，
是PC 的中点，
，
由
知，
,
，
为二面角B－PC－D 的平面角，
,
14
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即
，解得
，
,
，
，
，
即PA 与底面ABCD 所成角的大小为
.
②连接
，过
作
于
，
由
，
平面
，
平面
，
平面
点N 到平面CDP 的距离即点
到平面CDP 的距离，
，
平面
，
平面
平面
,且
是交线，
，
平面
，
在
中，
，
，
，
由等积法可得
，即
，
即点N 到平面CDP 的距离为
.
9．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出
后根据
可求
的最小值；
（2）设
为
图象上任意一点，可证
关于
的对称点为
也在函数的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断
即
，再根据
在
上恒成立可求得
.
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【详解】（1）
时，
，其中
，
则
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
故
，而
成立，故
即
，
所以
的最小值为
.，
（2）
的定义域为
，
设
为
图象上任意一点，
关于
的对称点为
，
因为
在
图象上，故
，
而
，
，
所以
也在
图象上，
由
的任意性可得
图象为中心对称图形，且对称中心为
.
（3）因为
当且仅当
，故
为
的一个解，
所以
即
，
先考虑
时，
恒成立.
此时
即为
在
上恒成立，
设
，则
在
上恒成立，
16
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设
，
则
，
当
，
，
故
恒成立，故
在
上为增函数，
故
即
在
上恒成立.
当
时，
，
故
恒成立，故
在
上为增函数，
故
即
在
上恒成立.
当
，则当
时，
故在
上
为减函数，故
，不合题意，舍；
综上，
在
上恒成立时
.
而当
时，
而
时，由上述过程可得
在
递增，故
的解为
，
即
的解为
.
综上，
.
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解
的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围
时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
10．(1)证明见解析
(2)2
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【分析】（1）将问题转化成求证，
，构造函数
，通过求导，
利用导数与函数单调性间的关系，得出
的单调区间，从而求出
的最小值，即可
证明结果；
（2）通过取值
，得出
，再利用（1）结果，证明
时，
，
再通过构造函数，求出函数最值即可得出结果.
【详解】（1）要证：
，（
，
），
只要证：
，又当
时，
，当
时，
，
即
与
同号，故只要证：
，即证：
，
令
，（
，
），则
，
当
时，
，
时，
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以
，故原不等式得证．
（2）因为
，当
时，有
，
则
，所以整数
．
当
时，由（1）可得
，
下证：
，
，只要证：
．
18
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令
，
，
因为
，
所以
在
上单调递减，故
，所以得证,
综上所述，整数
的最大值为2．
【点睛】证明不等式或恒（能）成立问题，常通过构造函数，利用导数与函数单调性间的
关系，求出函数的单调区间，将问题转化成求函数最值.
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用导数求得
的单调区间，进而证得不等式成立.
（2）将不等式
转化为
，利用构造函数法，
结合多次求导的方法来求得
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，所以
，
当
时，
，
，
，
单调递减；
当
时，
，
，
，
单调递增，
所以
，即不等式成立．
（2）由题意得对任意
，都有
，
即
，即
．
令
，可得
恒成立，
，
令
，所以
．
19
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当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
，即
，所以
在
上单调递增，
所以
恒成立，即
恒成立，故只需
．
令
，则
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
，所以只需
，解得
，所以k 的取值范围是
．
【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：（1）确定
的定义域；（2）计算导数
；（3）求出
的根；（4）用
的根将
的定义域分成若干个区间，
考查这若干个区间内
的符号，进而确定
的单调区间.如果一次求导无法求得函数
的单调区间，可考虑利用多次求导的方法来求解.
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接作差令
，求导判定差函数单调性及最小值即可得出结论；
（2）令
，利用端点效应即
得出
时恒成立，
再证明充分性即可.
【详解】（1）令
，
，
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当
，
，所以此时
单调递减；
当
，
，所以此时
单调递增；
即当
时，
取得极小值也是最小值
，所以
，得证；
（2）设
，
即证
在
上恒成立，
易得
，
当
时，若
，
下面证明：当
时，
，在
上恒成立，
因为
，设
，
令
，
所以
在
上是单调递增函，所以
，
又因为
，则
所以
在
上是单调递增函数，
所以
，所以
在
上是严格增函数，
若
时，
，即
在
右侧附近单调递减，此时必存在
，
不满足
恒成立，
故当
时，不等式恒成立.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范
围；
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（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到
分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，
就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
13．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据
可分数列的定义即可；
（2）根据
可分数列的定义即可验证结论；
（3）证明使得原数列是
可分数列的
至少有
个，再使用概率的定义.
【详解】（1）首先，我们设数列
的公差为
，则
.
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差
数列，
故我们可以对该数列进行适当的变形
，
得到新数列
，然后对
进行相应的讨论即可.
换言之，我们可以不妨设
，此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题，第1 小问相当于从
中取出两个数和
，使得剩下四个数是等
差数列.
那么剩下四个数只可能是
，或
，或
.
所以所有可能的
就是
.
（2）由于从数列
中取出
和
后，剩余的
个数可以分为以下两个部分，
共
组，使得每组成等差数列：
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①
，共组；
②
，共
组.
（如果
，则忽略②）
故数列
是
可分数列.
（3）定义集合
，
.
下面证明，对
，如果下面两个命题同时成立，
则数列
一定是
可分数列：
命题1：
或
；
命题2：
.
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果
，且
.
此时设
，
，
.
则由
可知
，即
，故
.
此时，由于从数列
中取出
和
后，
剩余的
个数可以分为以下三个部分，共
组，使得每组成等差数列：
①
，共
组；
②
，
共
组；
③
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，
共
组.
（如果某一部分的组数为，则忽略之）
故此时数列
是
可分数列.
第二种情况：如果
，且
.
此时设
，
，
.
则由
可知
，即
，故
.
由于
，故
，从而
，这就意味着
.
此时，由于从数列
中取出
和
后，剩余的
个数可以分为
以下四个部分，共
组，使得每组成等差数列：
①
，共
组；
②
，
，
共
组；
③全体
，其中
，共
组；
④
，
共
组.
（如果某一部分的组数为，则忽略之）
这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含
个行，
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个列的数表以后，
个列分别是下面这些数：
，
，
，
.
可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍
中除开五个集合
，
，
，
，
中的十个元素以外的所有数.
而这十个数中，除开已经去掉的
和
以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的
八个数.
这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列
是
可分数列.
至此，我们证明了：对
，如果前述命题1 和命题2 同时成立，则数列
一定是
可分数列.
然后我们来考虑这样的
的个数.
首先，由于
，
和
各有
个元素，故满足命题1 的
总共有
个；
而如果
，假设
，则可设
，
，代入得
.
但这导致
，矛盾，所以
.
设
，
，
，则
，即
.
所以可能的
恰好就是
，对应的
分别是
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，总共
个.
所以这
个满足命题1 的
中，不满足命题2 的恰好有
个.
这就得到同时满足命题1 和命题2 的
的个数为
.
当我们从
中一次任取两个数和
时，总的选取方式的个数等于
.
而根据之前的结论，使得数列
是
可分数列的
至少有
个.
所以数列
是
可分数列的概率
一定满足
.
这就证明了结论.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用
定义验证或探究结论.
14．(1)数列
具有性质
，数列
不具有性质
(2)证明见解析
(3)12 个
【分析】（1）根据数列{
}具有性质P 的定义即可求解；
（2）设数列
的公差为
，由题意，存在
使得
，同理，存在
使得
，两式相减，根据等差数列的定义即可得证；
（3）由题意结合（2）知
的各项均为整数，所以
为整数，首先证明
为正整数，其
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次证明
为
的约数，从而即可求解.
【详解】（1）解：因为
，所以
，
所以对于{
}中任意两项
，
，在{
}中都存在一项
，使得
，
所以数列
具有性质
，
因为
，所以取
，则
，
因为
，
所以不存在一项
，
所以数列
不具有性质
；
（2）证明：设数列
的公差为
，
因为数列
具有性质
，所以存在
使得
，同理，存在
使得
，
两式相减，得
，即
，
因为
，所以
，
所以
的各项均为整数．
（3）解：由题意结合（2）知
的各项均为整数，所以
为整数，
首先证明
为正整数，否则假设
为负整数，则
为递减数列，所以
中各项的最大
值为
，
由题设，
中存在某项
，且
，所以
，
从而对任意正整数，
，这与
具有性质
矛盾；
其次证明
为
的约数，
由
得，
，
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所以
，
所以
为整数，即
为
的约数，
由
为正整数，所以
为
的正约数，
因为
，所以
的正约数共有
个，
对于首项为
，
的正约数为公差的等差数列，易知其满足性质
，
所以具有性质
的数列
共有
个．
【点睛】关键点点睛：解决本题（3）问需结合（2）的结论，得
的各项均为整数，所
以
为整数，进而证明
为正整数，然后再证明
为
的约数，这里牢牢抓住性质P
的定义及等差数列的通项公式是解题的关键.
15．(1)
，
，
；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）分别求得
，
，
，
，
，
，代入即可求得
，
，
；
（2）根据
，
，即可作差得
，即可根据
时，则
，以及
时，
，此时
为常数，所
以
是等差数列；
（3）方由
，分类讨论
，
，
三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得
，
，
，
是等差数列；
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【详解】（1）已知
，
，
，
，
，
，
，
，
当
时，
，
当
时，
,
,
，
当
时，
,
,
,
，
（2）设
（
为常数），
的通项公式为
.
，
先考虑
，
则
时，
，
所以
.
当
时，则
，
，
此时
为常数，所以
是等差数列；
当
时，则，
，
此时
是常数列，也是等差数列；
综上所述：
是等差数列；
（3）设数列
和
的公差分别为
，
则
，
所以
，
①当
时，取正整数
，则当
时，
，因此
，
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此时，
是等差数列；
②当
时，对任意
，
此时，
是等差数列；
③当
时，当
时，有
，
所以
，
对任意正数
，取正整数
，
故当
时，
.
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元
算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
16．(1)数列
具有性质
；数列
不具有性质
(2)
的通项公式为
或
(3)5
【分析】（1）性质
即
，通过代入验证即可判断；
（2）通过转化得到数列
：
，
，
，
，
⋯
是等差数列且公差
，数列
：
，
，
，
，
⋯
，是等差数列且公差
，进而分类讨论
的正负情况进而求
解
的通项公式；
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（3）由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3，
，
，
，
，不是等差数列，且其既具有
性质
又具有性质
，得
．所以
的最小值大于或等于5，然后证明
的最小值
等于5 即可.
【详解】（1）由题意知，数列
通项公式为
，满足
，所以数列
具有性质
；
数列
中，代入
，
，所以不满足
，所以数列
不具有
性质
.
（2）由数列
具有性质
，得
，
所以
，即
，
所以数列
：
，
，
，
，
，是等差数列．
又因为
，
，
所以数列
的公差
，
同理，得数列
：
，
，
，
，
⋯
，是等差数列，公差
．
①若
且
，则数列
的最小项是
，数列
的最小项是
，
所以数列
的最小项为1，这与
矛盾；
②若
且
，同理，得
的最大项为2，这与
矛盾；
③若
且
，则
为递减数列，
为递增数列．
由
，得3 为数列
中的项，
所以只能是
，且
；
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同理，可得0 为数列
中的项，
所以只能
，
．
此时，
的通项公式为
．
④若
，
，类似③的讨论可得
，
．
此时，
的通项公式为
．
综上，
的通项公式为
或
（3）由数列1，1，2，2，3，3，
，
⋯
，
，
，
，
，
，不是等差数列，
且其同时具有性质
，
，
，得
且
．
类似的，由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3，
，
⋯
，
，
，不是等差数列，且其既具
有性质
又具有性质
，得
．
所以
的最小值大于或等于5．
以下证明
的最小值等于5，即证“既具有性质
又具有性质
的数列
一定是等
差数列”．
因为
具有性质
，即
，
所以对于
，
是等差数列；
同理，由
具有性质
，得对于
，
是等差数列．
由
，
，
，
，
，
，为等差数列（记公差为
），且
，
，
，
，
，
，
为等差数列（记公差为），得
，
，所以
．
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令
，则
，
，
．
同理，由
，
，
，
⋯
，为等差数列，且
，
，
，
，
，
，
，
，为
等差数列（记公差为
），得
，
，
所以
，且
．
所以
．
同理，由
，
，
，
，
⋯
，为等差数列，且
，
，
，
，
⋯
，为等差数列，
得
；
由
，
，
，
，
，
⋯
，为等差数列，且
，
，
，
，
，
⋯
，为等差数列，
得
；
由
，
，
，
，
，
，
⋯
，为等差数列，且
，
，
，
，
，
，
⋯
，
为等差数列，得
．
综上，
．
故数列
是公差为
的等差数列．
即既具有性质
又具有性质
的数列
一定是等差数列．
所以
的最小值等于5
【点睛】方法点睛：本题考查数列的综合问题.要通过转化与化归的技巧，将问题进行转化，
结合分类讨论等常见方法进行问题的求解.
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