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1．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
2．已知
在
处取得极小值
．
(1)求
的解析式；
(2)求
在
处的切线方程；
(3)若方程
有且只有一个实数根，求
的取值范围.
3．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
既存在极大值，又存在极小值，求实数
的取值范围.
4．设
，
.
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)已知
，
在
处取得极小值.求实数
的取值范围.
1
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5．如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
6．如图，在底面
是矩形的四棱锥
中，
，点
在底面
上的射影为点
与
在直线
的两侧，且
.
(1)求证：
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
7．如图，多面体
中，
和
均为等边三角形，平面
平面
2
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(1)求证：
;
(2)求平面ABD 与平面PBC 夹角的余弦值.
8．如图甲所示，在平面四边形
中，
，
，
，现将平面
沿
向上翻折，使得
，
为
的中点，如图
乙.
(1)证明：
；
(2)若点
在线段
上，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平
面
所成角的余弦值.
9．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段
由参赛队中一名队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0 分；若至
少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3 次，每次投篮投中
3
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得5 分，未投中得0 分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队
员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若
，
，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分的概
率．
(2)假设
，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
10．某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B 两类关键元素含量
指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A 元素指标达标的概率为
，B
元素指标达标的概率为
，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．
(1)一个食品经过检测，AB 两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；
(2)任意依次抽取该种食品4 个，设
表示其中合格品的个数，求
分布列及
．
11．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛
制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，
“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第
四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第
三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、
丙、丁获胜的概率均为
，且不同对阵的结果相互独立.
(1)若
，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
4
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(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败
者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
12．某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只
派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作
比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为
、
、
，假定
、
、
互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.
(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若
，
，
，求该小组比赛胜利的概率；
(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目
的分布，并求
的期望
；
(3)已知
，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试
确定甲、丙谁先派出.
13．已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．按照如下
方式依次构造点
：过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
，令
为
关于
轴的对称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意正整数
，
.
5
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14．在等比数列
中，已知
，
．
(1)若
，求数列
的前
项和
；
(2)若以数列
中的相邻两项
，
构造双曲线
，求证：双曲线系
中
所有双曲线的渐近线、离心率都相同．
15．已知有一系列双曲线
：
，其中
，
.记第
条双曲线的离心率
为
，且满足
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）求数列
的前
项和
.
16．已知数列
的首项为，
为数列
的前
项和，
，其中
，
.
(1)若
时，
成等差数列，求数列
的通项公式；
(2)设双曲线
的离心率为
，且
，求证：
.
6
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参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析
和
两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得
，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知
有零点，可得
，进而利用导数求
的单调性和极值，分析可得
，构建函数解不等
式即可.
【详解】（1）当
时，则
，
，
可得
，
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
所以切线方程为
，即
.
（2）解法一：因为
的定义域为
，且
，
若
，则
对任意
恒成立，
可知
在
上单调递增，无极值，不合题意；
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，
由题意可得：
，即
，
构建
，则
，
1
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可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
；
解法二：因为
的定义域为
，且
，
若
有极小值，则
有零点，
令
，可得
，
可知
与
有交点，则
，
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，符合题意，
由题意可得：
，即
，
构建
，
因为则
在
内单调递增，
可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
.
2．(1)
(2)
2
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(3)
【分析】（1）求出
，由题意可的
，由此即可求出答案；
（2）分别求出
，
的值，再利用点斜式写出直线；
（3）将问题转化为函数
与
有且只有一个交点，求出函数
的单调
性与极值，即可求出
的取值范围.
【详解】（1）由题意知
，
因为
在
处取得极小值
则
，解得：
经检验，满足题意，所以
，
所以
（2）由题意知
，
，
所以
所以切点坐标为
，斜率
所以切线方程为：
，即
.
（3）令
，解得
或
，
则
，
，
的关系如下表：
3
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+
0
0
+
单调递增
单调递减
单调递增
则
，
，
方程
有且只有一个实数根等价于
有且只有一个实数根，
等价于函数
与
有且只有一个交点，
即
或
，解得：
或
，
所以
.
3．(1)
；
(2)
.
【分析】（1）把
代入，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数
的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出
的范围.
【详解】（1）当
时，函数
，求导得
，则
，
而
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，
求导得
，
当
时，
，由
，得
，由
，得
，
4
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则函数
在
上递增，在
上递减，函数
只有极大值
，不合题意；
当
时，由
，得
或
，
①若
，即
，由
，得
或
，由
，得
，
则函数
在
上递增，在
上递减，
因此函数
的极大值为
，极小值为
，符合题意；
②若
，即
，由
，得
或
，由
，得
，
则函数
在
上递增，在
上递减，
因此函数
的极大值为
，极小值为
，符合题意；
③若
，即
，由
在
上恒成立，得
在
上递增，
函数
无极值，不合题意，
所以
的取值范围为
.
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义得到切线的斜率，结合点斜式得到方程；
（2）根据
的单调性，结合极小值的概念即可得到结果.
【详解】（1）若
，
，
，
.
曲线
在
处的切线方程为
，
即
；
（2）
，由
令
，则
，
5
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①当
时，
时，
，函数
单调递增；又
，所以当
时，
，
单调递减.当
时，
，
单调递增.
在
处取得极小值，符合题意.
②当
时，
时，
，函数
单调递增，
时，
，函数
单调递减.
（i）当
时，
，由②知
在
内单调递增，可得当
时，
，
时，
，所以
在(0，1)内单调递减，在
内
单调递增，
在
处取得极小值，符合题意
（ii）当
时，即
时，
在(0，1)内单调递增，在
内单调递减，
所以当
时，
，
单调递减，不合题意
（iii）当
时，即
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
在
取得极大值，不合题意.
综上可知，实数
的取值范围为
.
5．(1)证明见解析
(2)
6
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【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得
，利用勾股定理的逆定理可证得
，则
，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；
（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明
，建立如图空间直角坐标
系
，利用空间向量法求解面面角即可.
【详解】（1）由
，
得
，又
，在
中，
由余弦定理得
,
所以
，则
，即
，
所以
，又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
故
；
（2）连接
，由
，则
，
在
中，
，得
，
所以
，由（1）知
，又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，则
两两垂直，建立如图空间直角坐标系
，
则
，
由
是
的中点，得
，
所以
，
设平面
和平面
的一个法向量分别为
，
则
，
，
令
，得
，
所以
，
7
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所以
，
设平面
和平面
所成角为
，则
，
即平面
和平面
所成角的正弦值为
.
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，结合
为等腰直角三角形，进
而得到
平面
，得到答案；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到两个平面的法向量，由法向量夹角的余弦
公式求出答案.
【详解】（1）证明：连接
，
因为
平面
平面
，
所以
.
又
，所以
.
又
，故
，所以
为等腰直角三角形.
而
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
8
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（2）由（1）知，
两两垂直，
以
所在直线分别为
轴，
轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则
，
由
，得
，可得点
坐标为
，
同理得
.
所以
，
设
为平面
的法向量，
则
，即
令
，则
，得平面
的一个法向量
.
设
为平面
的法向量，
则
，即
，
令
，则
，得平面
的一个法向量
.
9
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设平面
与平面
的夹角为
，则
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取
的中点M，连接
，证明
平面
，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面ABD 与平面PBC 的法向量，根
据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）证明：取
的中点M，连接
，
因为
和
均为等边三角形，故
，
而
平面
，
故
平面
，
平面
，
故
；
（2）以M 为坐标原点，以
所在直线为
轴，过点M 作平面
的垂线为z 轴，
建立空间直角坐标系，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
，故
平面
，
和
均为等边三角形，
，
10
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，
，
设平面
的法向量为
，
，即
，令
，则
，
平面
的法向量可取为
，
设平面ABD 与平面PBC 夹角为
，
，
故平面ABD 与平面PBC 夹角的余弦值为
.
8．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）根据△ABC 为等腰三角形，可得
，利用长度可得
，可得
，然后利用线面垂直的判定定理可得
平面
，
最后可得结果.
（2）建立空间直角坐标系，首先根据直线BQ 与平面ADB 所成角的正弦值为
确定Q 点
位置，再利用平面与平面所成角的空间向量解法求平面ADB 与平面BQM 所成角的余弦值；
【详解】（1）证明：如图，
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连接DM，因为
，
，M 为AC 的中点，所以
，
，又因为
，所以
，所以
，
，所以
平面
， 而
平面
，所以
；
（2）取MC 的中点为O，BC 的中点为E，连接DO，OE，则
，因为
所以
，又因为O 为MC 的中点，所以
，由(1)知
平面
，
平面
，所以
，又
所以
平面
，以O 为
坐标原点，OA，OE，OD 所在直线分别为x，y，z 轴建立如图所示坐标系，
由题意知
，
，设平面DAB 的一个法向量为
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，则
，令
，得
，
设
，则
，所以
，所以
，化简得
，解得
(舍去)，所以点Q 是DC 上靠近D 的三等分
点，所以
设平面BQM 的一个法向量为
，
则
，令
，得
，
，
故平面ADB 与平面BQM 所成角的余弦值为
.
9．(1)
(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）（i）首先各自计算出
，
，再作差因式分解即
可判断；(ii)首先得到
和
的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再
次作差比较大小即可.
【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分，则甲第一阶段至少投中1 次，乙第二
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阶段也至少投中1 次，
比赛成绩不少于5 分的概率
.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率为
，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率为
，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩
的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩
的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
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因为
，则
，
，
则
，
应该由甲参加第一阶段比赛.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分
解从而比较出大小关系，最后得到结论.
10．(1)
；
(2)分布列见解析，期望值为
.
【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得.
（2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望.
【详解】（1）令M 为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则
是A，B
都不达标的事件，
因此
，
所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为
.
（2）依题意，A，B 两类元素含量指标都达标的概率为
，
的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然
，
因此
，
，
，
，
，
所以
的概率分布为：
0
1
2
3
4
P
数学期望
.
11．(1)
0.16
①
；②3.128
15
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(2)答案见解析..
【分析】（1）结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；
（2）结合对立事件概率和独立事件概率公式比较计算.
【详解】（1）①记“甲获得第四名”为事件
，则
；
②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量
，
则
的所有可能取值为2，3，4，
连败两局：
，
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，
；
故
的分布列如下：
2
3
4
故数学期望
；
（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率
，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为
，
由
，且
所以
时，
，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，
，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，两种赛制甲夺冠的概率一样.
12．(1)
16
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(2)
(3)先派出甲
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解；
（2）由题意可知，
的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应
的概率，进而得到
的分布，再结合期望公式求解；
（3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，
再利用作差法比较大小即可．
【详解】（1）设事件
表示“该小组比赛胜利”，
则
；
（2）由题意可知，
的所有可能取值为1，2，3，
则
，
，
，
所以
的分布为：
所以
；
（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为
，
由（2）可知，
，
若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为
，
则
，
则
，
因为
，所以
，
，
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所以
，即
，
所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．
13．(1)
，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出
的坐标即可；
（2）根据等比数列的定义即可验证结论；
（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明
的取值为与
无关的定值即可.
思路二：使用等差数列工具，证明
的取值为与
无关的定值即可.
【详解】（1）
由已知有
，故
的方程为
.
当
时，过
且斜率为
的直线为
，与
联立得到
.
解得
或
，所以该直线与
的不同于
的交点为
，该点显然在
的左支
上.
故
，从而
，
.
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（2）由于过
且斜率为
的直线为
，与
联立，得到方
程
.
展开即得
，由于
已经是直线
和
的公共点，故方程必有一根
.
从而根据韦达定理，另一根
，相应的
.
所以该直线与
的不同于
的交点为
，而注意到
的
横坐标亦可通过韦达定理表示为
，故
一定在
的左支上.
所以
.
这就得到
，
.
所以
.
再由
，就知道
，所以数列
是公比为
的等比数列.
（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点
，若
，
，
19
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则
.（若
在同一条直线上，约定
）
证明：
.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到
，
，
故
.
再由
，就知道
，所以数列
是公比为
的等比数列.
所以对任意的正整数
，都有
.
20
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而又有
，
，
故利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明
的取值是与
无关的定值，所以
.
方法二：由于上一小问已经得到
，
，
故
.
再由
，就知道
，所以数列
是公比为
的等比数列.
所以对任意的正整数
，都有
.
21
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这就得到
，
以及
.
两式相减，即得
.
移项得到
.
故
.
而
，
.
所以
和
平行，这就得到
，即
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方
面知识方可得解.
14．(1)
；
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合对数的运算性质、等比数列和等差数列前
项和公式进行求解即可；
（2）根据等比数列的通项公式，结合双曲线渐近线方程和离心率公式进行证明即可.
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，
因为
，所以
，因此
，
所以
，
所以
；
（2）由（1）知
，在双曲线
中，
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，所以得
，
因此双曲线的渐近线方程为：
，
双曲线的离心率为：
，
所以双曲线系
中所有双曲线的渐近线、离心率都相同.
15．（1）
；（2）
.
【分析】（1）因为
，
易得
，然后利用
与
的关系分析计算即可
得解.
（2）由题意，易得得
，所以
，然后利用
裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为
，
所以
，
两式对应相减，可得
，
所以
，
因为当
时，
，所以
，
所以
是以2 为首项，以2 为公差的等差数列，
所以
；
（2）由题意，得
，
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所以
，
所以
.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：裂项相消法，错位相减法，奇偶并项求和法，
倒序相加法等.
16．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用
得到数列
为等比数列，再结合
成等差数
列求出
的公比q，从而利用等比数列的通项公式求解；
（2）先利用双曲线的离心率得到
的表达式，再解出
的公比q 的值，最后利用等比数
列的求和公式计算证明.
【详解】（1）由已知由
，两式相减得到
，
又由
得
，故对所有的
都成立，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以数列
的通项公式为
，
因为
成等差数列，所以
，所以
，
解得
，所以数列
的通项公式为
；
（2）由(1)知
，所以双曲线
的离心率为
，
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由于
，则有
，解得
，
因为
，所以
，
则有
.
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