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2025 年高考数学全真模拟卷02
参考答案
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
A
D
A
C
D
C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
ABC
ABD
ACD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
【详解】（1）在三棱柱
中，四边形
是平行四边形，而
，
则平行四边形
是菱形，连接
，
如图，则有
，
因为
，
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，则
，
由
，得
，又
，
平面
，
从而得
平面
，又
平面
，所以平面
平面
；
1
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（2）在平面
内过
作
，
由（1）知平面
平面
，平面
平面
，
平面
则
平面
，
以
为原点，以射线
分别为
轴，
轴，
轴正半轴建立空间直角坐标系，
如图，因为
，
，
所以
为等边三角形，
又
是
的中点，则
⊥
，故
，
由勾股定理得
，
又
，
则
，
，
，
，
，
则有
，
．
设平面
的一个法向量
，则有
，解得：
，
2
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令
得
，而平面
的一个法向量
，
依题意，
，
设平面
和平面
的夹角的夹角是
，
则
，
，
所以平面
和平面
的正弦值为
16．（15 分）
【详解】（1）由题意得在数列
中，
令
，得到
，令
，得到
，
，
因为
依次成等差数列，所以
，
即
，解得
.
（2）由题意得首项为
，
因为
，
所以
，故
是首项为1，公比为2 的等比数列.
（3）由（2）可得
，则
，
由等比数列前
项和公式得
，
，
.
3
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17．（15 分）
【详解】（1）红色外观共
个，
，
米色内饰共
个，
，
红色外观且米色内饰有2 个，
，
，
相互独立．
（2）当外观和内饰均同色，则每种情况中抽2 个，概率为
，
当外观和内饰均异色，则各种情况抽1 个，概率为
，
外观和内饰恰有1 个同色，则概率为
，
，
一等奖：外观和内饰均异色；二等奖：外观和内饰均同色，三等奖：外观和内饰恰有1 个同色．
，
，
其分布列为
X
150
300
600
P
．
18．（17 分）
【详解】（1）
的定义域为
，
，
当
时，
，所以
的单调递减区间为
，无单调递增区间；
当
时，
，
随
的变化情况如下表所示：
4
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0
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
综上，当
时，
的单调递减区间为
，无单调递增区间；
当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
（2）当
时，
，所以
在区间
内单调递减，无最小值，不合题意．
当
时，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
处取得最小值．
当
时，
，所以
在区间
内单调递增，无最小值，不合题意．
综上，
的取值范围为
．
（3）证明：不妨设
，
由题意得
消去
得
，
设
，代入上式得
，
，
下证
，
即证
．
设
，则
，
5
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令
，则
，
所以
在区间
内单调递增，即
，
所以
在区间
内单调递增，即
，
所以
，所以
，
因为
，
，所以
．
19．（17 分）
【详解】（1）依得，
，又由
得，
，
解得
，故椭圆
方程为
.
又椭圆
在点
处的切线方程为
，则
.
又
，因此
.
（2）（i）设
，则
，代入
的楠圆方程得：
.
又直线
的斜率
，而
.
则由（1）可知
，可知
.
因此
，即
，可得
，
又
，因此
.
同理可知：
，即
.
故
.
6
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（ii）①若直线的斜率不为0 时，则设直线
，与椭圆
联
立可知，
，可得
，即
.
因此
.
从而
.
.
②若直线的斜率为0，则
，
故
.
7
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