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第07讲 第六章 数列 章节综合检测
本试卷满分150分，考试用时120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.）
1．（2023春·广东·高二统考阶段练习）数列 ， ， ， ，…的一个通项公式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A， ，A错误；
对于B， ，B错误；
对于C， ，C错误；
对于D， ，D符合题意.
故选：D
2．（2023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，
，则 取最大值时 的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【详解】 等差数列 ， ， ，
， ，则 取最大值时， .
故选：A.
3．（2023·全国·高二专题练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、
戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由
“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此
类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新
开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的
2080年为（ ）
A．戊戌年 B．辛丑年 C．己亥年 D．庚子年
【答案】D
【详解】由题意得，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于 ，余数为0，故100年后天干为庚，
由于 ，余数为4，故100年后地支为子，
综上：100年后的2080年为庚子年.
故选：D.
4．（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）在等比数列 中， ，则 的值
为（ ）
A．48 B．72 C．147 D．192
【答案】C
【详解】数列 是等比数列，则 ，
，故 ．
故选：C．
5．（2023·全国·高三专题练习）若两个等差数列 ， 的前n项和 满足 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，
得 .
故选：B.
6．（2023春·陕西安康·高二统考期末）已知数列 满足 ，且 （
），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】（ ），
，解得 .
故选：A
7．（2023·上海青浦·统考二模）已知数列 满足 ，存在正偶数 使得
，且对任意正奇数 有 ，则实数 的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当 时，
，
所以 ，
易得，当 为奇数时， 单调递减；当 为偶数时， 单调递增，
又当 为正偶数时，存在 ，即 ，
所以 ，此时有 ，所以 ，
又对于任意的正奇数 ， ，即 ，
所以 或 恒成立，所以 或 ，
综上，实数 的取值范围是 ，
故选：D．8．（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）已知数列 满足：
，设 表示数列 的前n项和．下列结论正确的是（ ）
A． 和 都存在 B． 和 都不存在
C． 存在， 不存在 D． 不存在， 存在
【答案】A
【详解】当 时， ，
当 时，
所以 ， .
即 和 都存在.
故选：A.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023春·江西宜春·高二江西省清江中学校考期中）已知无穷等差数列 的前 项和为 ，
且 ，则（ ）
A．在数列 中， 最大； B．在数列 中， 最大
C． D．当 时，
【答案】AD
【详解】由题知，无穷等差数列 的前 项和为 ， 且 ，
所以 ，
所以等差数列 为递减数列，
所以在数列 中， 最大；当 时， ；
故选：AD
10．（2023春·高二校考课时练习）已知数列 的通项公式为 若该数列是递减数列,则实数
的值可能是( )
A．4 B．5 C．6 D．7【答案】AB
【详解】依题意, ,则 ,
所以 恒成立,
即 对任意的 恒成立.
所以 ,
因为 ,所以 的最小值是6,
因此 ,选项AB满足题意.
故选:AB.
11．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》
中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是
逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数
列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列，现有高阶等差数列 ､其前7项分别
为5，9，17，27，37，45，49，设通项公式 .则下列结论中正确的是（ ）
（参考公式： ）
A．数列 为二阶等差数列
B．数列 的前11项和最大
C．
D．
【答案】AC
【详解】设 ，
所以数列 前6项分别为 ，
设 ，
所以数列 前5项分别为 ，显然数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，由题中定
义可知数列 为二阶等差数列，因此选项A正确；
，
于是有
，因此有
，
因为
，
所以数列 的前11项和最大不正确，因此选项B不正确；
因此选项C正确；
，因此选项D不正确；
故选：AC
12．（2023春·江西·高二校联考期中）在如图所示的数表中，第1行是从1开始的正整数，从第2行开始
每个数是它肩上两个数之和，则（ ）
1 2 3 4 5 6 …
3 5 7 9 11 …
8 12 16 20 …
…
A．第2023行第1个数为
B．第2023行的数从左到右构成公差为 的等差数列
C．第2023行第2023个数为
D．数表中小于50的数有89个
【答案】ACD
【详解】数表中，每行是等差数列，且第一行的公差为1，第二行的公差为2，第三行的公差为4，第 行
的公差为 .
设每一行的第一个数构成数列 ，由数表可得 ，即
所以， ， ，即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，即 ，
所以，第2023行第1个数为 ，A正确.
第2023行的数从左到右构成公差为 的等差数列，B错误.第2023行第2023个数为 ，C正确.
第1行小于50的数有49个；
第2行的数构成的数列的通项公式为 ，令 ，解得 ，则第2行小于50的数
字有24个；
第3行的数构成的数列的通项公式为 ，令 ，解得 ，则第3行小于50的数
有11个；
第4行的数构成的数列的通项公式为 ，令 ，解得 ，则第4行小于50的
数有4个；
第5行的数构成的数列的通项公式为 ，令 ，解得 ，则第5行小于50
的数有1个.
故数表中小于50的数有89个，D正确.
故选：ACD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{ }的通项公式 ＝___．
① ；②
【答案】 （答案不唯一）
【详解】依题意， 是等比数列，设其公比为 ，
由于① ，所以 ，
由于② ，所以 ，
所以 符合题意.
故答案为： （答案不唯一）
14．（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益
智游戏.在某种玩法中，用 表示解下 个圆环所需移动的最少次数， 满足 ，且
，则解下4个圆环需最少移动__________次
【答案】7
【详解】由条件可得 ， ， ,
所以解下4个圆环需最少移动7次.
故答案为:7.15．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ，若 ，则正整数
____________．
【答案】10
【详解】由 ， ，令 ，则 ，
所以数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，即 ，
又 为正整数，所以 ，即 ，解得 或 （舍去）．
故答案为：10．
16．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有
一张半径为 的圆形纸，对折 次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第 次对折后，就会得到
三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第 次对折后，就会得到四个图形，其中依
然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把 次对折后得到的不同规格的
图形面积和用 表示，由题意知 ， ，则 ________；如果对折 次，则
________.
【答案】
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 .
.
故答案为： ；
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过
程或演算步骤.）17．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）在① ,② ,③ 这三个条件中选择
两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列 的前 项和为 ,______,______.
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ,求数列 的前 项和 .
注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由于 是等差数列,设公差为 ,
当选①②时: ,解得 ,
所以 的通项公式 .
选①③时: ,解得 ,
所以 的通项公式 .
选②③时: ,解得 ,
所以 的通项公式 .
（2）由(1)知, ,
所以 ,
所以
.
18．（2023·山东潍坊·三模）已知数列 和 满足 ．
(1)证明： 和 都是等比数列；
(2)求 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ， ，
又由 ， 得 ， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（2）由（1）得 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
19．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， 且
.
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，满足上式，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 .（2）因为 ，
所以 .
20．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知 ①，
当 时， ，即 ，解得 ，
当 时， ②，
① ②得 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ；
（2）因为 ，
所以
.
21．（2023·上海崇明·统考一模）已知数列 满足 .
(1)若数列 的前4项分别为4，2， ，1，求 的取值范围；
(2)已知数列 中各项互不相同.令 ，求证：数列 是等差数列的充要条
件是数列 是常数列；
(3)已知数列 是m（ 且 ）个连续正整数1，2，…，m的一个排列.若 ，求
m的所有取值.
【答案】(1)(2)证明见解析
(3)4或5
【详解】（1）由题意， ，令 ，得 ，即 ，则 或
，此时解得 或 ；令 ，得 ，即 ，两边同时平方解得
.则求交集可得， ，即
（2）必要性：若数列 是等差数列，设公差为d，
则 ，所以数列 是常数列.
充分性：若数列 是常数列，
则 ，即 .
所以 或 .
因为数列 的各项互不相同，所以 .
所以数列 是等差数列.
（3）当 时，因为 ，所以 ，不符合题意；
当 时，数列为3，2，4，1，此时 ，符合题意；
当 时，数列为2，3，4，5，1，此时 ，符合题意；
下证当 时，不存在m满足题意.
令 ，
则 ，且 ，
所以 有以下三种可能：
① ；
② ；
③ .
当 时，因为 ，由（2）知： ， ，…， 是公差为1（或－1）的等差数列.
当公差为1时，由 得 或 ，
所以 或 ，与已知矛盾.
当公差为－1时，同理得出与已知矛盾.
所以当 时，不存在m满足题意.
其它情况同理可得.
综上可知，m的所有取值为4或5.
22．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知 是单调递增的等差数列，其前 项和
为 . 是公比为 的等比数列. .
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
由题意可得： ，解得 或 （舍去），
所以 .
（2）由（1）可得 ，
当 为奇数时，则 ，
设 ，
则 ，
两式相减得，
所以 ；
当 为偶数时，则 ，
设 ，
所以 ；
综上所述： ，
当 为奇数时，则
；
当 为偶数时，则
；
综上所述： .
