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专题02 空间向量与立体几何大题
（4 维精讲+3 维精练）
考前百日冲刺目录
引领风向--最新模考新颖题（5 题）............................................1
最新热点热搜题（5 题）......................................................3
最新高频经典题（5 题）......................................................5
最新高考真题回顾（5 题）....................................................7
最新模考基础练（5 题）......................................................9
最新模考能力练（5 题）.....................................................11
最新模考压轴练（5 题）.....................................................13
引领风向
-- 最新模考新颖题（
5 题）
【典例】1．（2025·广东广州·模拟预测）如图1，在正四棱锥
中，所有棱长均为
分别
是棱
和
上的动点，满足
.
(1)求证：
平面
；
(2)若异面直线
与
垂直，求
的值；
1
(3)如图2，现将棱长为2 的正四面体
与正四棱锥
进行拼接，使得顶点
分别与
重合，求证：
四点共面.
【典例】2．（2025·广东·模拟预测）如图，在三棱台
中，
，
，
，点
在底面的投影是
的重心
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)已知空间直角坐标系中的方程：
，它表示球心为
，半径为
的球
面．，
是棱
上两点，
，
是三棱台
表面上一点，且
．求满足
条件的
点轨迹的长度．
【典例】3．（2025·四川达州·一模）如图1，半圆的圆心为
，直径
为
中点，将扇形
沿着
翻折使
到
，如图2 所示，
，点
分别在
上且不与端点重合，
(1)求证
；
2
(2)当
时，求多面体
的体积；
(3)求平面
与平面
夹角余弦的最大值．
【典例】4．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在矩形
中，
，
，
，
分别是
，
的中点，点
，
分别是对角线
，
上的动点（不包括端点），且
，
将四边形
沿
翻折，使平面
平面
.
(1)求证：
平面
；
(2)求线段
的长（用
表示）；
(3)当线段
的长最小时，求平面
与平面
夹角的余弦值.
【典例】5．（2026·河北沧州·一模）如图，在圆台
中，四边形
为轴截面，上、下底面半径
分别为1，3，高为4，
位于圆
上，
，
为
上的点，连接
．
(1)若
成等比数列．
①求证：
平面
；
②求平面
与平面
夹角的余弦值；
3
(2)若
为
的中点，求三棱锥
的外接球半径．
最新热点热搜题（
5 题）
【典例】6．（2025·河北衡水·模拟预测）如图，圆柱
中，
是底面圆
上的一条直径，
，
分别是底面
，
圆周上的一点，
，
，且点
不与
，
两点重合.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若二面角
为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【典例】7．（2025·江苏南京·二模）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是
菱形，
，点
在线段
上，
平面
.
(1)证明：
为
的中点；
(2)若
，二面角
的余弦值为
，求
的长.
【典例】8．（2025·山东济宁·一模）底面为菱形的四棱锥
中，
与
交于点
，平面
平面
，平面
平面
．
4
(1)证明：
平面
；
(2)若
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平面
夹角的余弦
值．
【典例】9．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
是线段
上的动点.
(1)当
是线段
中点时，求证：
平面
；
(2)设
是
的中点，当二面角
的余弦值为
时，求点
到平面
的距离.
【典例】10．（2025·江苏盐城·三模）如图，在四棱锥
中，侧面
平面
，
是边长为2 的等边三角形，底面
为直角梯形，其中
，
，
，
为线段
中点，连接
．
(1)证明：
平面
；
(2)求M 到平面
的距离；
5
(3)线段
上是否存在一点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由．
最新高频经典题（
5 题）
【典例】11．（2025·四川·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为正方形，
，
.
(1)证明：
平面ABCD.
(2)若
，求二面角
的余弦值.
【典例】12．（2025·江苏·二模）如图，在三棱柱
中，
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，二面角
的大小为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【典例】13．（2025·浙江杭州·二模）在平面四边形
中，
，
，
将
沿
翻折至
，其中
为动点.
6
(1)设
，
（ⅰ）证明：
平面
；
（ⅱ）求三棱锥
的体积；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值.
【典例】14．（2025·广东广州·二模）如图，直四棱柱
的底面
是菱形，
为锐角，
分别为棱
的中点，点
在棱
上，且
，点
在直线
上.
(1)证明：
平面
；
(2)若直四棱柱
的体积为
，当直线
与平面
所成角的正弦值最大时，求
的长.
【典例】15．（2025·江苏·一模）如图，在四面体
中，
，
，点
为棱
的中点，点
为棱
上的动点．
7
(1)求证：平面
平面
；
(2)已知二面角
的大小为
，当直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为
时，求此
时四面体
的体积．
最新高考真题回顾（
5 题）
【典例】16．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥
中，
底面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，且点
，
，
，
均在球
的球面上．
（i）证明：点
在平面
内；
（ⅱ）求直线
与
所成角的余弦值．
【典例】17．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形
中，
，F 为CD
的中点，点E 在AB 上，
，
.将四边形
沿
翻折至四边形
，
使得面
与面EFCB 所成的二面角为
．
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(1)证明：
平面
；
(2)求面
与面
所成的二面角的正弦值．
【典例】18．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
．
【典例】19．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
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(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
【典例】20．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形
ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
最新模考基础练（
5 题）
21．（2025·陕西·一模）如图，在三棱台
中，
平面ABC，
，
，
，
，M 为
的中点．
(1)证明：
平面AMC；
10
(2)求平面
和平面AMC 夹角的余弦值．
22．（2025·江西南昌·一模）如图，在三棱锥
中，
平面
，
为
的中点．
(1)求证：
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值．
23．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，矩形
中，
，
，E 为BC 的中点，将
沿
翻折至
，平面
平面
．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
24．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台
中，下底面是边长为
的正方形，侧棱
与底面垂直，且
.
(1)证明：
平面
；
11
(2)求平面
与平面
的夹角的大小.
25．（2025·河北·一模）如图，在几何体
中，底面
为平行四边形，
平面
⊥平面
.
(1)证明:四边形
为菱形;
(2)若
，且
，
，求平面
与平面
的夹角的正弦值.
最新模考能力练（
5 题）
26．（2026·重庆·一模）如图，已知三棱台
的高为
为
的
中点，
，平面
平面
.
(1)求证：
平面
；
(2)求
与平面
所成角的大小.
27．（2026·河北·模拟预测）如图，该几何体是由半圆锥 PO 和三棱锥P-ABC 组合而成的，H 为半圆
弧AB 的中点，A，B，C，H 四点共面，△PAB 是边长为10 的正三角形，BC=8，AC=6，在半圆弧AB 上
取一点F，使得AF∥BC，连接PF，D，E 分别为线段PA，PF 的中点．
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(1)证明：平面ODE∥平面 PBC．
(2)求异面直线 BH 与OE 所成角的余弦值．
28．（2026·重庆·模拟预测）如图1，在
中，
两点分别为
（靠近
）､
（靠
近
）的三等分点，
.现将
沿
折起得到四棱锥
，在图2 中
.
(1)求证：
平面
；
(2)线段
上是否存在一点
，使得平面
与平面
夹角的正弦值为
？若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由.
29．（2026·湖北·模拟预测）如图，在平面四边形
中，
，
，将
沿
翻折至
，其中P 为动点.
(1)证明：
；
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(2)求二面角
余弦值的最小值.
30．（2026·辽宁大连·一模）如图，已知四棱锥
的底面为正方形，
底面
，设平面
与平面
的交线为直线.
(1)证明：
；
(2)
，点
在直线上.
（i）若
，且点
均在球
的球面上，证明：点
在球
的球面上；
（ii）若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长.
最新模考压轴练（
5 题）
31．（2026·河北沧州·一模）如图所示，在四棱锥
中，
平面
，
平面
，
是等边三角形．
(1)若
为棱
上一点，直线
与平面
交于点
，证明：
平面
；
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(2)若
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长．
32．（2026·河北邢台·一模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
.
(1)证明：平面
平面
.
(2)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
(3)在棱
上(不含端点)是否存在点
，使得
平面
?若存在，求出
的值；若不存在，请
说明理由.
33．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
，
，
，
(1)求证：
平面
；
(2)设平面
平面
，求与平面
所成角的正弦值．
(3)设
平面
，求当
周长最小时三棱锥
的体积．
34．（2025·四川成都·一模）如图所示，在直三棱柱
中，
，
，
点
是线段
上的动点（不与点
重合）.
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(1)求证：
(2)若平面
与平面
所成角的正弦值不小于
，求线段
的取值范围.
(3)设点
到面
的距离为，四面体
的外接球半径为
，求
的取值范围.
35．（2025·浙江台州·一模）已知正方体
的棱长为2，
是空间中的一点.
(1)证明：直线
平面
；
(2)若直线
平面
，则在平面
内是否存在点
，使得
的长为定值，若存在，指出点
的位置；若不存在，请说明理由.
(3)若点
在平面
内，且满足平面
平面
，请判断点
的轨迹，并说明理由.
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