文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题04 五大类概率与统计题型-2024 年高考数学大
题秒杀技巧及专项训练（解析版）
【题型1 独立性检验问题】
【题型2 线性回归及非线性回归问题】
【题型3 超几何分布问题】
【题型4 二项分布问题】
【题型5 正态分布问题】
独立性检验问题
分层抽样
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取
一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。分
层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的。
注：①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式
进行计算．
③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝”
频率分布直方图
（1）频率、频数、样本容量的计算方法
①×组距＝频率．
②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 .
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为
，利用
左（右）侧
矩形面积之和等于
，即可求出
．
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘
以小长方形底边中点的横坐标之和，即有
，其中
为每个小长方
形底边的中点，
为每个小长方形的面积．
独立性检验
（1）定义：利用独立性假设、随机变量
来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有
关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．
（2）公式：
，其中
为样本容量．
（3）独立性检验的具体步骤如下：
①计算随机变量
的观测值
，查下表确定临界值
：
0.5
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
②如果
，就推断“
与
有关系”，这种推断犯错误的概率不超过
；否
则，就认为在犯错误的概率不超过
的前提下不能推断“
与
有关系”．
注意：算出的k2在那个区间内，从而求出k0在那个区间
4 月15 日是全民国家安全教育日．以人民安全为宗旨也是“总体国家安全观”的核心价值.
只有人人参与，人人负责，国家安全才能真正获得巨大的人民性基础，作为知识群体的青
年学生，是强国富民的中坚力量，他们的国家安全意识取向对国家安全尤为重要.某校社团
随机抽取了600 名学生，发放调查问卷600 份（答卷卷面满分100 分）．回收有效答卷560
份，其中男生答卷240 份，女生答卷320 份.有效答卷中75 分及以上的男生答卷80 份，女
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
生答卷80 份，其余答卷得分都在10 分至74 分之间．同时根据560 份有效答卷的分数，绘
制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m 的值，并求出这560 份有效答卷得分的中位数和平均数n（同一
组数据用该组中点值代替）.
(2)如果把75 分及以上称为对国家安全知识高敏感人群，74 分及以下称为低敏感人群，请
根据上述数据，完成下面2×2 列联表，并判断能否有
的把握认为学生性别与国家安全
知识敏感度有关．
高敏感
低敏感
总计
男生
80
女生
80
总计
560
附：独立性检验临界值表
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
公式：
，其中
．
破解：（1）第一步：因为
，
所以
．又
，
第二步：从频率分布直方图求算中位数及平均数
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故设中位数为x，则
，所以
．
平均数
.
（2）由题意可得列联表如下：
高敏感
低敏
感
总计
男生
80
160
240
女生
80
240
320
总计
160
400
560
代入公式即可：
,
故有
的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关．
某市阅读研究小组为了解该城市中学生阅读与语文成绩的关系，在参加市中学生语文综合
能力竞赛的各校学生中随机抽取了500 人进行调查，并按学生成绩是否高于75 分（满分
100 分）及周平均阅读时间是否少于10 小时，将调查结果整理成列联表.现统计出成绩不低
于75 分的样本占样本总数的
，周平均阅读时间少于10 小时的人数占样本总数的一半，
而不低于75 分且周平均阅读时间不少于10 小时的样本有100 人.
周平均阅读时间少于10 小时
周平均阅读时间不少于10 小时
合计
75 分以下
不低于75 分
100
合计
500
(1)根据所给数据，求出表格中和的值，并分析能否有
以上的把握认为语文成绩与
阅读时间是否有关；
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)先从成绩不低于75 分的样本中按周平均阅读时间是否少于10 小时分层抽样抽取9 人进
一步做问卷调查，然后从这9 人中再随机抽取3 人进行访谈，记抽取3 人中周平均阅读时
间不少于10 小时的人数为
，求
的分布列与均值.
参考公式及数据：
.
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
破解：（1）第一步：根据已知条件，列联表如下：
周平均阅读时间少于10 小时
周平均阅读时间不少于10 小时
合计
75 分以下
200
150
350
不低于75 分
50
100
150
合计
250
250
500
所以
，
第二步：由表知
，
所以有
的把握认为语文成绩与阅读时间有关.
（2）第一步：由题意得：成绩不低于75 分的学生中周平均阅读时间少于10 小时和不少于
10 小时的人数比是1:2，
第二步：分层抽样按比例抽取：按分层抽样抽取9 人，则周平均阅读时间少于10 小时有3
人，不少于10 小时的有6 人，
第三步：列出分布列从这9 人中再随机抽取3 人进行访谈，则
可能的取值为
，
，
.
分布列如下：
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
0
1
2
3
第四步：利用公式求算期望
.
1．某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活
动的参与情况，统计了如下数据：
文化艺术类
体育锻炼类
合计
男
女
合计
(1)通过计算判断，有没有
的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？
(2)为收集学生对课外活动建议，在参加文化艺术类活动的学生中按性别用分层抽样的方法
抽取了名同学.若在这名同学中随机抽取
名，求所抽取的
名同学中至少有名女生的
概率.
附表及公式：
其中
，
.
【答案】(1)有
的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)
【详解】（1）由表格数据可得：
，
有
的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关.
（2）抽取的名同学中，男生有
人，女生有
人，
记事件
为“抽取的
名同学中至少有名女生”，
则
，
，
即抽取的
名同学中至少有名女生的概率为
.
2．软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为
我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智
力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越
多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数
（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：
书体
楷书
行书
草书
隶书
篆书
人数
24
16
10
20
10
(1)该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中
.
认真完成
不认真完成
总计
男生
女生
总计
60
若根据小概率值
的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，
求该培训机构学习软笔书法的女生的人数.
(2)现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10 人，再从这10 人中随机抽
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
取4 人，记4 人中学习行书的人数为
，求
的分布列及数学期望.
参考公式及数据：
.
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
【答案】(1)20(2)分布列见解析，
【详解】（1）根据题意，完成列联表如下：
认真完成
不认真完成
总计
男生
女生
总计
60
20
80
由题意可得
，
得
.
易知
为5 的倍数，且
，所以
，
所以该培训机构学习软笔书法的女生有
（人）.
（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为
，
所以用分层随机抽样的方法抽取的10 人中，学习楷书的有
（人），学习行书
的有
（人），
所以
的所有可能取值为
，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
，
，
.
的分布列为：
0
1
2
3
4
所以
.
3．甲、乙两医院到某医科大学实施“小小医生计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，
模拟诊断这3 项程序后直接签约一批毕业生，已知3 项程序分别由3 个部门独立依次考核，
且互不影响，当3 项程序全部通过即可签约．假设该校口腔医学系170 名毕业生参加甲医
院的“小小医生计划”的具体情况如下表（不存在通过3 项程序考核后放弃签约的现象）．
性别
参加考核但未能签约的人数
参加考核并能签约的人数
合计
男生
58
27
85
女生
42
43
85
合计
100
70
170
(1)判断是否有
的把握认为这170 名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与
性别有关；
(2)该校口腔医学系准备从专业成绩排名前5 名的毕业生中随机挑选2 人去参加乙医院的考
核，求专业排名第一的小华同学被选中的概率．
参考公式与临界值表：
，
．
0.100
0.050
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)有
的把握认为这170 名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与
性别有关.(2)
【详解】（1）因为
，
所以有
的把握认为这170 名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有
关.
（2）分别记专业成绩排名前5 名的毕业生依次为
,则从这5 人中随机选取2 人
的基本事件有：
共10 个，
其中选出的这2 人中包含专业成绩排名第一的基本事件有
共4
个，
故所求概率为
4．某大学保卫处随机抽取该校1000 名大学生对该校学生进出校园管理制度的态度进行了
问卷调查，结果见下表：
男生（单位：人）
女生（单位：人）
总计
赞成
400
300
700
不赞成
100
200
300
总计
500
500
1000
(1)根据小概率值
的独立性检验，分析该校大学生赞成学生进出校园管理制度与学
生的性别是否有关；
(2)为答谢参与问卷调查的同学，参与本次问卷调查的同学每人可以抽一次奖，获奖结果及
概率如下：
奖金（单位：元）
0
10
20
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
获奖概率
若甲､乙两名同学准备参加抽奖，他们的获奖结果相互独立，记两人获得奖金的总金额为
（单位：元），求
的数学期望
.
附：
，其中
.
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)有关(2)16.
【详解】（1）零假设为
：该校大学生赞成学生进出校园管理制度与学生的性别无关联.
由已知得
根据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，即认为该校大学生赞成学生
进出校园管理制度与学生的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）由题意可知
的取值为
.
记事件
表示甲同学中奖的金额为
元，
；
事件
表示乙同学中奖的金额为
元，
，且事件
与事件
相互独立.
则
，
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故
的数学期望
5．民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学员，据统计某校高三
在校学生有1000 人，其中男学生600 人，女学生400 人，男女各有100 名学生有报名意向．
(1)完成给出的列联表，并分别估计男、女学生有报名意向的概率；
有报名意向
没有报名意向
合计
男学生
女学生
合计
(2)判断是否有
的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关．
附：
，其中：
，
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【答案】(1)列联表见解析，男学生有报名意向的概率为
，女学生有报名意向的概率为
(2)有
的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关
【详解】（1）列联表如下：
有报名意向
没有报名意向
合计
男学生
女学生
合计
男学生有报名意向的概率为
，
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
女学生有报名意向的概率为
；
（2）因为
，
所以有
的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关.
6．“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称.在2023 年火爆“出
圈”后，“村超”热度不减.2024 年1 月6 日，万众瞩目的2024 年“村超”新赛季在“村
味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路
子”.为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取
年龄超过35 周岁和年龄不超过35 周岁各200 人作为样本，每位参与调查的游客都对“村
超”给出满意或不满意的评价.设事件
“游客对“村超”满意”，事件
“游客年龄
不超过35 周岁”，据统计，
，
.
(1)根据已知条件，填写下列
列联表并说明理由；
年龄
满意度
合计
满意
不满意
年龄不超过35 周
岁
年龄超过35 周岁
合计
(2)由（1）中
列联表数据，依据小概率值
的独立性检验，能否认为游客对“村
超”的满意度与年龄有关联？
附：
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)列联表见详解(2)没有关联
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】（1）根据题意，由
，可得不超过35 岁的人中，对“村超”满意且有
160 人，
又由
，可得对“村超”满意的人中超过35 岁的有140 人，
由此列联表如下.
年龄
满意度
合计
满意
不满意
不超过35
岁
160
40
200
超过35 岁
140
60
200
合计
300
100
400
（2）由
.
依据小概率值
的独立性检验，，即认为性别与满意度没有关联.
7．某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活
动的参与情况，统计了如下数据：
文化艺术类
体育锻炼类
合计
男
100
300
400
女
50
100
150
合计
150
400
550
(1)通过计算判断，有没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？
(2)“投壶”是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪．该校文化艺术类课外活
动中，设置了一项“投壶”活动．已知甲、乙两人参加投壶活动，投中1 只得1 分，未投
中不得分，据以往数据，甲每只投中的概率为
，乙每只投中的概率为
，若甲、乙两人
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
各投2 只，记两人所得分数之和为
，求
的分布列和数学期望．
附表及公式：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中
，
．
【答案】(1)有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关，
(2)分布列见解析，期望为
【详解】（1）零假设
没有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关，
，
故有90%的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关，
（2）
的可能取值为
，
,
，
，
，
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
故
的分布列为：
0
1
2
3
4
数学期望
8．随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015 年，国家开始大力推行
科技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息
化工作的指导意见（征求意见稿）》为选拔和培养科技创新型人才做好准备.某调研机构调
查了
两个参加国内学科竞赛的中学，从
两个中学的参赛学员中随机抽取了60 人统
计其参赛获奖情况，并将结果整理如下：
未获得区前三名及以上名次
获得区前三名及以上名次
中学
11
6
中学
34
9
(1)试判断是否有
的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？
(2)用分层抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5 人，再从这5 人
中任选3 人进行深度调研，求所选的3 人中恰有2 人来自
中学的概率.
附：
，其中
.
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】(1)没有
的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关(2)
【详解】（1）补全
列联表如下：
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
未获得区前三名及以上名
次
获得区前三名及以上名次
总计
中学
11
6
17
中学
34
9
43
总计
45
15
60
所以
，
故没有
的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关.
（2）由题知，用分层抽样抽取的5 人中，来自
中学的有2 人，记为
，
来自
中学的有3 人，记为
，
从这5 人中任选3 人进行深度调研，所有的结果有
，共10 种，
其中恰有2 人来自
中学的结果有
，共6 种，
故所求概率
.
线性回归及非线性回归问题
线性回归
线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法．
对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程
的求法为
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
其中，
，
，（
，
）称为样本点的中心．
非线性回归
建立非线性回归模型的基本步骤
（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性
关系）；
（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比
例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）；
（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；
（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；
（6）消去新元，得到非线性回归方程；
（7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否
合适等．
2023 年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了
企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，
极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4 月份
接到的订单数量.
月份t
1
2
3
4
订单数量y（万件）
5.2
5.3
5.7
5.8
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
附：相关系数，
回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，
，
.
(1)试根据样本相关系数r 的值判断订单数量y 与月份t 的线性相关性强弱（
，
则认为y 与t 的线性相关性较强，
，则认为y 与t 的线性相关性较弱）.（结果保留
两位小数）
(2)建立y 关于t 的线性回归方程，并预测该企业5 月份接到的订单数量.
破解：（1）第一步：
，
，
第二步：
，
，
，
第三步：
，
订单数量y 与月份t 的线性相关性较强；
（2）第一步：
，
第二步：
，
线性回归方程为
，
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，
（万件），
即该企业5 月份接到的订单数量预计为6.05 万件.
数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场
将持续扩大，下表为2018—2022 年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份
2018—2022 对应的代码分别为1—5．
年份代码x
1
2
3
4
5
车载音乐市场规模y
2.8
3.9
7.3
12.0
17.0
(1)由上表数据知，可用指数函数模型
拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方
程（a，b 的值精确到0.1）；
(2)综合考虑2023 年及2024 年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y
关于x 的回归方程后，通过修正，把b-1.3 作为2023 年与2024 年这两年的年平均增长率，
请根据2022 年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024 年的中国车载音
乐市场规模．
参考数据：
1.94
33.82
1.7
1.6
其中
，
．
参考公式：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的
最小二乘法估计公式分别为
．
破解：（1）解：第一步：因为
，
所以两边同时取常用对数，得
，
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
第二步：设
，
所以
，设
，
因为
，
第三步：所以
，
第四步：所以
所以
所以
（2）由（1）知2023 年与2024 年这两年的年平均增长率
，
2022 年中国车载音乐市场规模为17，
故预测2024 年的中国车载音乐市场规模
（十亿元）.
某新能源汽车公司对其产品研发投资额x（单位：百万元）与其月销售量y（单位：千辆）
的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.
x
1
2
3
4
5
y
0.69
1.61
1.79
2.08
2.20
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)通过分析散点图的特征后，计划用
作为月销售量y 关于产品研发投资额x
的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出y 关于x 的回归方程；
(2)公司决策层预测当投资额为11 百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据
以往的经验，当投资11 百万元进行产品促销后，月销售量
的分布列为：
3
4
5
P
p
结合回归方程和
的分布列，试问公司的决策是否合理.
参考公式及参考数据：
，
，
.
y
0.69
1.61
1.79
2.08
2.20
（保留整
数）
2
5
6
8
9
破解：（1）第一步：因为
，令
，所以
.
由题可得
，
，
第二步：则
，
，
所以
，所以回归方程为
.
（2）第一步：当
时，
.
第二步：因为
且
，所以
，
所以
,
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以公司的决策合理.
1．某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入
（万
元）与科技升级直接收益
（万元）的数据统计如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
6
8
10
13
13
22
31
42
50
56
58
根据表格中的数据，建立了
与
的两个回归模型：模型①：
模型②：
.
(1)根据下列表格中的数据，比较模型①②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高更可
､
､
靠的模型；
(2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100 万元时的直接收益.
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2
（附：刻画回归效果的相关指数
越大，模型的拟合效果越好）
【答案】(1)模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高､更
可靠.(2)198.6
【详解】（1）由表格中的数据，
，
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以，模型①的相关指数小于模型②的相关指数，
即模型②的拟合效果精度更高更可靠
､
.
（2）当
万元时，科技升级直接收益的预测值为：
（万元）
2．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了
解年研发资金投入额
（单位：亿元）对年盈利额
（单位：亿元）的影响，通过对“十
二五”和“十三五”规划发展10 年期间年研发资金投入额
和年盈利额
数
据进行分析，建立了两个函数模型：
；
，其中
、
、
、均为常数，
为自然对数的底数，令
，
，经计算得如下数据：
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？
(2)根据（1）的选择及表中数据，建立
关于
的回归方程．（系数精确到0.01）
附：相关系数
回归直线
中：
，
．
【答案】(1)模型
拟合度更好(2)
【详解】（1）设模型
的相关系数为
，模型
的相关系数为
，
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
对于模型
，令
，即
，
所以
，
对于模型
，有
，令
，即
，
所以
，
因为
，所以模型
拟合度更好.
（2）因为
，
，
所以
关于
的回归方程为
.
3．一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等
的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化
发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间
经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022 年中国夜间经济的市场发展规模
（单位：万亿元），设2017—2022 年对应的年份代码依次为1~6．
年份代码x
1
2
3
4
5
6
中国夜间经济的市场发展规模y/万亿
元
20.5
22.9
26.4
30.9
36.4
42.4
(1)已知可用函数模型
拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程（a，b 的值精
确到0.01）；
(2)某传媒公司发布的2023 年中国夜间经济城市发展指数排行榜前10 名中，吸引力超过90
分的有4 个，从这10 个城市中随机抽取5 个，记吸引力超过90 分的城市数量为X，求X 的
分布列与数学期望．
参考数据：
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3.366
73.282
17.25
1.16
其中
．
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和
截距的最小二乘法估计分别为
，
．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，2
【详解】（1）将
的等号两边同时取对数得
，
所以
．
，
．
所以
，
．
所以
，即
，
所以
．
（2）由题可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
．
所以X 的分布列为
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
X
0
1
2
3
4
P
．
4．当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智
能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领
域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额
（单位：百万元）与其年销
售量y（单位：千件）的数据统计表．
1
2
3
4
5
6
1
1.5
3
6
12
(1)公司拟分别用①
和②
两种方案作为年销售量
关于年投入额
的回归
分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（
计算过程保留
到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）
(2)根据下表数据，用决定系数
（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，
并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少?
经验回归方程
残差平方和
参考公式及数据：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【答案】(1)
，
(2)②的拟合效果好，预测销售量是
千件
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】（1）
，
所以
，
所以
.
由
，两边取以为底的对数得
，即
，
，
所以
，所以
.
（2）
，
对于
，
；对于
，
，
所以②的拟合效果好，当
时，预测值
千件.
5．碳排放是引起全球气候变暖问题的主要原因．2009 年世界气候大会，中国做出了减少
碳排放的承诺，2010 年被誉为了中国低碳创业元年．2020 年中国政府在联合国大会发言提
出：中国二氧化碳排放力争于2030 年前达到峰值，努力争取2060 年前实现碳中和．碳中
和是指主体在一定时间内产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排
等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对“零排
放”．如图为本世纪来，某省的碳排放总量的年度数据散点图．该数据分为两段，2010 年
前该省致力于经济发展，没有有效控制碳排放；从2010 年开始，该省通过各种举措有效控
制了碳排放．用x 表示年份代号，记2010 年为
．用h 表示2010 年前的的年度碳排放
量，y 表示2010 年开始的年度碳排放量．
表一：2011~2017 年某省碳排放总量年度统计表（单位：亿吨）
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
年份代号x
1
2
3
4
5
6
7
年度碳排放量y（单位：亿
吨）
2.54
2.635
2.72
2.80
2.885
3.00
3.09
(1)若关于x 的线性回归方程为
，根据回归方程估计若未采取措施，2017
年的碳排放量；并结合表一数据，说明该省在控制碳排放举措下，减少排碳多少亿吨？
(2)根据
，设2011~2017 年间各年碳排放减少量为
，建立z
关于x 的回归方程
．
①根据
，求表一中y 关于x 的回归方程（精确到0.001）；
②根据①所求的回归方程确定该省大约在哪年实现碳达峰？
参考数据：
．
参考公式：
．
【答案】(1)3.3（亿吨），0.21（亿吨）
(2)①
；②大约在2026 年实现碳达峰
【详解】（1）2017 年的估计值：
（亿吨），
从而估计减少碳排放量为
（亿吨）．
（2）①设
，则
，
，
∴
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∴
∴
，
②∵y 的对称轴为
，
∴大约在2026 年实现碳达峰，
6．近三年的新冠肺炎疫情对我们的生活产生了很大的影响，当然也影响着我们的旅游习惯，
乡村游、近郊游、周边游热闹了许多，甚至出现“微度假”的概念．在国家有条不紊的防
疫政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某乡村抓住机遇，依托良好的生态环
境、厚重的民族文化，开展乡村旅游．通过文旅度假项目考察，该村推出了多款套票文旅
产品，得到消费者的积极回应．该村推出了六条乡村旅游经典线路，对应六款不同价位的
旅游套票，相应的价格x 与购买人数y 的数据如下表．
旅游线路
奇山秀水游
古村落游
慢生活游
亲子游
采摘游
舌尖之旅
套票型号
A
B
C
D
E
F
价格x/元
39
49
58
67
77
86
经数据分析、描点绘图，发现价格x 与购买人数y 近似满足关系式
，即
，对上述数据进行初步处理，其中
，
，
，
2，…，6．
附：①可能用到的数据：
，
，
，
．
②对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最
小二乘估计值分别为
，
．
(1)根据所给数据，求
关于x 的回归方程．
(2)按照相关部门的指标测定，当套票价格
时，该套票受消费者的欢迎程度更高，
可以被认定为“热门套票”．现有三位游客，每人从以上六款套票中购买一款旅游，购买
任意一款的可能性相等．若三人买的套票各不相同，记三人中购买“热门套票”的人数为
X，求随机变量X 的分布列和期望．
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)
；(2)分布列见解析，
.
【详解】（1）散点
集中在一条直线附近，
设回归直线方程为
，
，
，
则
，
，
所以回归直线方程为
．
因为
，
，所以
，则
，
，所以
．
综上，y 关于x 的回归方程为
．
（2）由题意知B，C，D，E 为“热门套票”，则三人中购买“热门套票”的人数X 服从超
几何分布，
X 的可能取值为1，2，3，且
，
，
．
X 的分布列如下．
X
1
2
3
P
．
7．数独是源自18 世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9 盘面上的已知数字，推理
出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，
且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
参考数据
：
1 750
0.37
0.55
参考公式：对于一组数据
，其经验回归方程
的斜率和截
距的最小二乘估计分别为
，
.
(1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y(秒/题)与训练天数x(天)有关，
经统计得到如下数据：
x(天)
1
2
3
4
5
6
7
y(秒/题
)
910
800
600
440
300
240
210
现用
作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；(
，
用分数表示)
(2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存
在平局，两人约定先胜3 局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为
，且各局之间相互独
立，设比赛X 局后结束，求随机变量X 的分布列及均值．
【答案】(1)
.(2)分布列见解析，均值
【详解】（1）解:因为
，所以
.
因为
，
所以
，
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，
所以
，
所以所求回归方程为
.
（2）
解：随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，
，
，
.
所以随机变量X 的分布列为
X
3
4
5
P
.
8．为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1
是该公司2013 年至2022 年的年份代码x 和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年
份代码1 10
∼
分别对应年份2013 2022.
∼
根据散点图，分别用模型①
，②
作为年研发投入y（单位：亿元）关
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
于年份代码x 的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2 所示的残差图.结合数据，
计算得到如下表所示的一些统计量的值：
75
2.25
82.5
4.5
120
28.35
表中
，
.
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于
年份代码x 的经验回归方程模型?并说明理由；
(2)（i）根据（1）中所选模型，求出y 关于x 的经验回归方程；
（ii）设该科技公司的年利润
（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足
（
且
），问该科技公司哪一年的年利润最大?
附：对于一组数据
，
，…，
，其经验回归直线
的斜率和截
距的最小二乘估计分别为
，
.
【答案】(1)选择模型②更适宜，理由见解析
(2)（i）
；（ii）该公司2028 年的年利润最大
【详解】（1）根据图2 可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型②的残差波动性很小，基本分布在0 的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更
适宜.
（2）（i）设
，所以
，
所以
，
，
所以
关于
的经验回归方程为
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（ii）由题设可得
，
当取对称轴即
，即
时，年利润L 有最大值，
故该公司2028 年的年利润最大.
超几何分布问题
超几何分布
（1）在含有
件次品的
件产品中，任取
件，其中恰有
件次品，则事件
发
生的概率为
，
，1，2，…，
，其中
，且
，
，
，
，
，称分布列为超几何分布列．如果随机变量
的分布列为超几
何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．
0
1
…
…
超几何分布和二项分布的区别
区别1：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
区别2：超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣､亲近自然､寻味乡愁的美好追求.某镇在旅游旺
季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8 家规模较大的乡
村民宿，统计得到各家的房间数如下表：
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
民宿点
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
普通型民
宿
16
8
12
1
4
13
18
9
20
品质型民
宿
6
16
4
1
0
11
10
9
12
(1)从这8 家中随机抽取3 家，在抽取的这3 家的普通型民宿的房间均不低于10 间的条件下，
求这3 家的品质型民宿的房间均不低于10 间的概率；
(2)从这8 家中随机抽取4 家，记X 为抽取的这4 家中普通型民宿的房间不低于15 间的家数，
求X 的分布列和数学期望.
破解：（1）由题可知这8 家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于10 间的有6 家，品质型
民宿和普通型民宿的房间均不低于10 间的有4 家.
第一步：记“这3 家的普通型民宿的房间均不低于10 间”为事件
，“这3 家的品质型民
宿的房间均不低于10 间”为事件
，
第二步：则
，所以
.
（2）这8 家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15 间的有3 家，
第一步：故
的所有可能取值为
.
第二步：
，
，
所以
的分布列如下表：
0
1
2
3
第三步：所以
.
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
已知某排球特色学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7 人、6
人、2 人．
(1)若从该校队随机抽取3 人拍宣传海报，求抽取的3 人中恰有1 人来自高三年级的概率．
(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3 个动作技术进行训练，且在训练阶段进
行了多轮测试，规定：在一轮测试中，这3 个动作至少有2 个动作达到“优秀”，则该轮
测试记为“优秀”．已知在某一轮测试的3 个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概
率均为
，乙同学每个动作达到“优秀”的概率均为
，且每位同学的每个动作互不影响，
甲、乙两人的测试结果互不影响．记X 为甲、乙二人在该轮测试结果为“优秀”的人数，
求X 的分布列和数学期望．
破解：（1）设事件A 为“抽取的3 人中恰有1 人来自高三年级”，则有
（2）第一步：设甲同学在一轮测试中3 个动作“优秀”的个数为Y，则有
；
第二步：设乙同学在一轮测试中3 个动作“优秀”的个数为Z，则有
；
所以甲同学在一轮测试结果为优秀的概率
，
乙同学在一轮测试结果为优秀的概率
．
第三步：由题意，得X 可取0，1，2；
则有
；
；
．
所以X 的分布列为：
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
X
0
1
2
P
第四步：因此X 的数学期望
．
2023 年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关
键之年，今年春季以来，各地出台了促进经济发展的各种措施，经济增长呈现稳中有进的
可喜现象.服务业的消费越来越火爆，绍兴一些超市也纷纷加大了广告促销.现随机抽取7 家
超市，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）数据如下：
超市
A
B
C
D
E
F
G
广告支
出
1
2
4
6
1
0
13
20
销售额
19
32
44
40
5
2
53
54
(1)建立
关于
的一元线性回归方程（系数精确到0.01）；
(2)若将超市的销售额
与广告支出
的比值称为该超市的广告效率值
，当
时，称
该超市的广告为“好广告”.从这7 家超市中随机抽取4 家超市，记这4 家超市中“好广
告”的超市数为
，求
的分布列与期望.
附注：参考数据
，回归方程
中斜率和截距
的最小二乘估计公式分别为：
.
破解：（1）第一步：由数据可得
；
，
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
第二步：又
，
,
第三步：
.
.
（2）第一步：由题知，7 家超市中有3 家超市的广告是“好广告”，X 的可能取值是0，
1，2，3
第二步：
.
.
所以
的分布列为
0
1
2
3
第三步：所以
.
1．当AIGC（生成式人工智能）领域的一系列创新性技术有了革命性突破，全球各大科技
企业积极拥抱AIGC，我国有包括A 在内的5 家企业加码布局AIGC 生成算法赛道，有包括
B、C 在内的5 家企业加码布局AIGC 的自然语言处理赛道，某传媒公司准备发布（2023 年
中国AIGC 发展研究报告），先期准备从上面的10 家企业中随机选取4 家进行采访.
(1)若在布局不同的赛道中各选取2 家企业，求选取的4 家企业中，企业A，B，C 至少有2
家的概率.
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)记选取的4 家科技企业中布局AIGC 的是生成算法赛道的企业个数为X，求X 的分布列
与期望.
【答案】(1)
；(2)分布列见解析，2.
【详解】（1）因为从上面的10 家科技企业布局的两条赛道中各随机选取2 家共有
种不同的选法，
选取的4 家科技企业中，企业
至少有2 家共有
种不同的选法，
所以选取的4 家科技企业中，企业
至少有2 家的概率为
．
（2）
可以取
，
，
，
所以
的分布列为
0
1
2
3
4
所以
.
2．某校高三年级
名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中
成绩分组区间是
、
、
、
、
、
．
(1)求图中
的值，并根据频率分布直方图，估计这
名学生的这次考试数学成绩的第
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
百分位数；
(2)从这次数学成绩位于
、
的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽
取人，再从这人中随机抽取人，该人中成绩在区间
的人数记为
，求
的
分布列及数学期望．
【答案】(1)
，第
分位数为
(2)分布列答案见解析，
【详解】（1）解：由频率分布直方图可得
，解得
.
前四个矩形的面积之和为
，
前五个矩形的面积之和为
，
设这
名学生的这次考试数学成绩的第
百分位数为
，
则
，解得
，
因此，这
名学生的这次考试数学成绩的第
百分位数为
.
（2）解：数学成绩位于
、
的学生人数之比为
，
所以，所抽取的人中，数学成绩位于
的学生人数为
，
数学成绩位于
的学生人数为
人，
由题意可知，随机变量
的可能取值有、、
、，
则
，
，
，
，
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以，
.
3．水果按照果径大小可分为四类：标准果优质果精品果礼品果
､
､
､
.某采购商从采购的一批
水果中随机抽取100 个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
个
10
25
40
25
(1)若将频率视为概率，从这100 个水果中有放回地随机抽取4 个，求恰好有2 个水果是礼
品果的概率；
(2)用分层抽样的方法从这100 个水果中抽取20 个，再从抽取的20 个水果中随机地抽取2
个，用
表示抽取的是精品果的数量，求
的分布列及数学期望
.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，0.8
【详解】（1）设“从100 个水果中随机抽取一个，抽到礼品果”为事件
，则
，
现有放回地随机抽取4 个，设抽到礼品果的个数为
，则
，
故恰好抽到2 个礼品果的概率为
；
（2）用分层抽样的方法从100 个水果中抽取20 个，则其中精品果8 个，非精品果12 个，
现从中抽取2 个，则精品果的数量
服从超几何分布，
所有可能的取值为
，
则
，
所以
的分布列为：
0
1
2
42
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故
的数学期望
.
4．某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250 名顾客，采取100 分制
对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分
服从正态分布
，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分
90 分以上（不含90 分）视为非常满意.
(1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取
整数）
(2)若这250 人中对两项都非常满意的有2 人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常
满意的人中随机抽取3 人，设3 人中两项都非常满意的有X 人，求X 的分布列和数学期望.
（附：若
，则
，
）
【答案】(1)6 人，6 人(2)分布列见解析，
.
【详解】（1）因为对产品功能满意程度的评分服从正态分布
，
其中
，
设对产品功能满意程度的评分为
，
所以
，
所以本次调查对产品功能非常满意的顾客约有
（人）.
根据频率分布直方图得，对产品外观非常满意的频率为
，
则本次调查对产品外观非常满意的顾客约有
（人）.
43
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）根据题意，这
人中对两项都非常满意的有
人，则只对产品功能非常满意的有
人，
只对产品外观非常满意的有
人，
的可能取值为
，
，
，
则
的分布列为
数学期望
.
5．吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3 轮比赛，每轮比赛结
果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式
面点和中式热菜各2 道，若有不少于3 道得到评委认可，将获得一张通关卡，3 轮比赛中，
至少获得2 张通关卡的选手将进入决赛．为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进
行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4 道，其中有
3 道中式面点和2 道中式热菜得到认可．
(1)若从小李训练中所抽取的8 道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2 道，由此来估
计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；
(2)若以小李训练中所抽取的8 道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评
委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每
道中式热菜被评委认可的概率增加了
，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测
小李能否进入决赛？
【答案】(1)
(2)小李能进入决赛
【详解】（1）设
“在一轮比赛中，小李获得通关卡”，则事件A 发生的所有情况有：
①得到认可的中式面点入选1 道，中式热菜入选2 道的概率为
②得到认可的中式面点入选2 道，中式热菜入选1 道的概率为
44
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
③得到认可的中式面点和中式热菜各入选2 道的概率为
所以
；
（2）由题知，强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率为
，每道中式热菜被评委认
可的概率为
，则强化训练后，在一轮比赛中，小李获得通关卡的概率为
，
因为每轮比赛结果互不影响，所以进行3 轮比赛可看作3 重伯努利试验．
用X 表示小李在3 轮比赛中获得通关卡的次数，则
，
∴
，
∴小李能进入决赛.
6．某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B 两名同学中产生，测试方案如下：A，B 两
名学生各自从给定的4 个问题中随机抽取3 个问题作答，在这4 个问题中，已知A 能正确
作答其中的3 个，B 能正确作答每个问题的概率都是
，A，B 两名同学作答问题相互独立．
(1)求A，B 两名同学恰好共答对2 个问题的概率；
(2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由．
【答案】(1)
(2)应该选择学生
，理由见解析
【详解】（1）设
同学答对的题数为
，则随机变量
的所有可能取值为
，.
则
，
；
设
同学答对的题数为
，则随机变量
的所有可能取值为，，
，.
，
，
45
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
.
所以
，
两名同学恰好共答对
个问题的概率为
.
（2）由（1）知，
，
；
而
，
.
因为
，
<
．所以应该选择学生
．
7．一袋中有个均匀硬币，其中有
个普通硬币，普通硬币的一面为面值，
另一面为花朵图案，如下图，其余
个硬币的两面均为面值.每次试验从袋中随机摸出两
个硬币各掷一次，用事件
表示“两个硬币均是面值朝上”，用事件
表示“两个硬币均
是花朵图案朝上”，又把两个硬币放回袋中，如此重复次试验.
(1)若
，
①求次试验中摸出普通硬币个数
的分布列；
②求次试验中事件
发生的次数
的期望；
(2)设次试验中事件
恰好发生次的概率为
，当
取何值时，
最大？
【答案】(1)①分布列答案见解析；②
.(2)
【详解】（1）解：当
时，
①由题意可知，随机变量
的可能取值有、、
，
46
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
，
，
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
②由题意可知，一次试验中事件
发生的概率为
，
所以，
，则
.
（2）解：一次试验中，事件
发生的概率为
，
所以，次试验中事件
恰好发生次的概率
，
令
，其中
，则
，
当
时，
，此时，函数
单调递增，
当
时，
，此时，函数
单调递减，
所以，当
时，函数
取最大值，
因为
且
时，
，
故当
时，
取最大值.
8．2023 年9 月26 日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园
博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5 个省内展园､26 个省外展园和7 个国际展
园，开园面积近3.23 平方公里.游客可通过乘坐观光车骑自行车和步行三种方式游园
､
.
(1)若游客甲计划在5 个省内展园和7 个国际展园中随机选择2 个展园游玩，记甲参观省内
47
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
展园的数量为
，求
的分布列及数学期望
；
(2)为更好地服务游客，主办方随机调查了500 名首次游园且只选择一种游园方式的游客，
其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：
游园方式
游园结果
观光车
自行车
步行
参观完所有展园
80
80
40
未参观完所有展园
20
120
160
用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参
观完所有展园的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)0.4
【详解】（1）由题意知：
所有可能取值为
，则有：
，
，
，
可知
的分布列为：
0
1
2
所以
的数学期望为：
.
（2）记事件A 为“游客乙乘坐观光车游园”，事件
为“游客乙骑自行车游园”，事件
为“游客乙步行游园”，事件
为“游园结束时，乙能参观完所有展园”，
由题意可知：
，
，
由全概率公式可得
，
所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4.
48
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
二项分布问题
二项分布
（1）一般地，在
次独立重复试验中，用
表示事件
发生的次数，设每次试验中事件
发生的概率为
，不发生的概率
，那么事件
恰好发生
次的概率是
（
，，
，…，
）
于是得到
的分布列
…
…
…
…
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型
随机变量
服从参数为
，
的二项分布，记作
，并称
为成功概率．
注：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这
次独立重复试验中事件发生的次数．
④二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
（2）若
，则
，
．
为进一步加强学生的文明养成教育，推进校园文化建设，倡导真善美，用先进人物的先进
事迹来感动师生，用身边的榜样去打动师生，用真情去发现美，分享美，弘扬美，某校以
争做最美青年为主题，进行“最美青年”评选活动，最终评出了10 位“最美青年”，其中
6 名女生4 名男生。学校准备从这10 位“最美青年”中每次随机选出一人做事迹报告.
49
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)若每位“最美青年”最多做一次事迹报告，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男
生为事件B，求
，
；
(2)根据不同需求，现需要从这10 位“最美青年”中每次选1 人，可以重复，连续4 天分别
为高一、高二、高三学生和全体教师做4 场事迹报告，记这4 场事迹报告中做报告的男生
人数为X，求X 的分布列和数学期望.
破解：（1）解：第一步：由题意得，第二次抽到男生的概率为
，
“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件
发生的条件下，事件
B 发生的概率，
第二步：而
，
，所以
.
（2）解：第一步：被抽取的4 次中男生人数X 的取值为0，1，2，3，4 且
.
第二步：可得
；
；
；
；
，
所以随机变量
的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
第三步：所以随机变量
的期望为：
.
某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8 个大小相同的小球，
其中4 个为红色，4 个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱
50
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色
不同即为不中奖．
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数
的分布列和数
学期望．
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数
的分布列
和数学期望．
(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理
由．
破解：（1）第一步：若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的
概率为
，
第二步：因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数
服从二项分布，即
，所第
三步：以
的所有可能取值为
，则
，
，
，
所以
的分布列为
0
1
2
所以
的数学期望
．
（2）第一步：若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数
的所
有可能取值为
，
第二步：则
，
，
，
51
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
第三步：所以
的分布列为
0
1
2
所以
的数学期望为
.
（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，
即
，
第（1）问中不中奖的概率比第
问小，即
，
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行
抽；
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖．
某公司对新生产出来的300 辆新能源汽车进行质量检测，每辆汽车要由甲、乙、丙三名质
检员各进行一次质量检测，三名质检员中有两名或两名以上检测不合格的将被列为不合格
汽车，有且只有一名质检员检测不合格的汽车需要重新由甲、乙两人各进行一次质量检测，
重新检测后，如果甲、乙两名质检员中还有一人或两人检测不合格，也会被列为不合格汽
车.假设甲、乙、丙三名质检员的检测相互独立，每一次检测不合格的概率为
.
(1)求每辆汽车被列为不合格汽车的概率
；
(2)公司对本次质量检测的预算支出是4 万元，每辆汽车不需要重新检测的费用为60 元，需
要重新检测的前后两轮检测的总费用为100 元，所有汽车除检测费用外，其他费用估算为
1 万元，若300 辆汽车全部参与质量检测，实际费用是否会超出预算?
破解：（1）第一步：由题意知，每辆汽车第一轮质量检测被列为不合格汽车的概率为
，
第二步：每辆汽车重新检测被列为不合格汽车的概率为
，
综上可知，每辆汽车被列为不合格汽车的概率为
52
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
.
（2）第一步：设每辆汽车质量检测的费用为
元，则
的可能取值为60，100，
第二步：由题意知
，
，
第三步：所以随机变量
的数学期望为
（元），
，
第四步：转化为函数处理令
，
，
则
，
所以当
时，
；当
时，
；
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
（元）.
所以此方案的最高费用为
（万元），
综上可知，实际费用估计不会超过预算.
1．某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由
位
成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，
则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员
第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力
去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结
束.已知
团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为
和
，且每位成员闯关是否成
功互不影响，每关结果也互不影响.
53
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)若
，用
表示
团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求
的均值；
(2)记
团队第
位成员上场且闯过第二关的概率为
，集合
中元素的最小值为
，规定团队人数
，求
.
【答案】(1)
；(2)7.
【详解】（1）依题意，
的所有可能取值为
，
，
，
所以
的分布列为：
1
2
3
数学期望
.
（2）令
，若前
位玩家都没有通过第一关测试，
其概率为
，
若前
位玩家中第
位玩家才通过第一关测试，
则前面
位玩家无人通过第一关测试，其概率为
，第位玩家通过第一关测试，
但没有通过第二关测试，其概率为
，
第
位玩家到第
位玩家都没有通过第二关测试，其概率为
，
所以前面
位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：
54
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
因此第
位成员闯过第二关的概率
，
由
，得
，解得
，则
，所以
.
2．在某公司举办的职业技能竞赛中，只有甲､乙两人晋级决赛，已知决赛第一天采用五场
三胜制，即先赢三场者获胜，当天的比赛结束，决赛第二天的赛制与第一天相同.在两天的
比赛中，若某位选手连胜两天，则他获得最终冠军，决赛结束，若两位选手各胜一天，则
需进行第三天的比赛，第三天的比赛为三场两胜制，即先赢两场者获胜，并获得最终冠军，
决赛结束.每天每场的比赛只有甲胜与乙胜两种结果，每场比赛的结果相互独立，且每场比
赛甲获胜的概率均为
.
(1)若
，求第一天比赛的总场数为4 的概率；
(2)若
，求决出最终冠军时比赛的总场数至多为8 的概率.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若第一天比赛的总场数为4，且甲获胜，
故前3 场甲赢了2 场，第4 场甲获胜，则概率为
，
若第一天比赛的总场数为4，且乙获胜，
故前3 场乙赢了2 场，第4 场乙获胜，则概率为
，
故第一天比赛的总场数为4 的概率为
；
（2）设决出最终冠军时比赛的总场数为
，
其中
最小为6，即决赛第一天和第二天均比赛3 场结束，且两场均为甲胜或乙胜，
故
，
55
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，即决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且一天比赛了4 场，另一天比赛了3
场，
其中比赛了4 场的概率为
，比赛了3 场的概率为
，
结合可能第一天比赛了4 场，可能第二天比赛了4 场，且可能甲胜，可能乙胜，
则
，
当
时，分为三种情况，
第一种，决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且两天均比赛了4 场，
此时概率为
，
第二种，决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且一天比赛了5 场，另一天比赛了3 场，
此时概率为
，
第三种，决赛第一天和第二天，甲乙分别胜一场，且两天均比赛了3 场，
决赛第三天比赛了2 场，甲胜或乙胜，
此时概率为
则
，
故
.
3．为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊
杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类
图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为
，
若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为
.
(1)设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X 的分布列与数学期望；
(2)若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说
56
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由见解析
【详解】（1）设
表示第次借阅“期刊杂志”，
表示第次借阅“文献书籍”，
，
则
.
依题意，随机变量
的可能取值为0，1，2.
，
，
.
随机变量
的分布列为
0
1
2
所以
.
（2）若小明第二次借阅“文献书籍”，则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大．理由
如下：
．
若第一次借阅“期刊杂志”，则
．
57
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
若第一次借阅“文献书籍”，则
．
因为
，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大.
4．已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布
．其电压通常有3 种
状态：①不超过200V；②在200V~240V 之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生
产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n（
）件，记其中恰有2 件不合格品的概率为
，
求
取得最大值时n 的值．
附：若
，取
，
．
【答案】(1)0.09；(2)
.
【详解】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V 之间”、“超过240V”分别为事
件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D．
因为
，所以
，
，
．
所以
，
所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09．
（2）从该机器生产的零件中随机抽取n 件，设不合格品件数为X，则
，
所以
．
由
，解得
．
58
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以当
时，
；
当
时，
；所以
最大．
因此当
时，
最大．
5．某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投
掷3 枚质地均匀的股子．若3 枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮
乐”；若3 枚骰子的点数之和为6 的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他
情况不获得“刮刮乐”．
(1)据往年统计，顾客消费额
（单位：元）服从正态分布
．若某天该商场有
20000 位顾客，请估计该天消费额
在
内的人数；
附：若
，则
．
(2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为
，刮出乙奖品的概率为
．
①求顾客获得乙奖品的概率；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．
【答案】(1)16372(2)①
；②
【详解】（1）由题意
，
若某天该商场有20000 位顾客，
估计该天消费额
在
内的人数为
；
（2）设事件
“顾客中龙腾奖”， 事件
“顾客中旺旺奖”， 事件
“顾客获得
乙奖品”，
由题意知
，
事件
包括的事件是：“3 枚骰子的点数之和为6”，“3 枚骰子的点数之和为12”，“3 枚
骰子的点数之和为18”，
59
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则（i）若“3 枚骰子的点数之和为6”，则有“1 点，1 点，4 点”， “1 点，2 点，3 点”，
“2 点，2 点，2 点”，三类情况，
共有
种；
（ii）若“3 枚骰子的点数之和为12”，则有“1 点，5 点，6 点”， “2 点，5 点，5 点”，
“2 点，4 点，6 点”， “3 点，4 点，5 点”， “3 点，3 点，6 点”， “4 点，4 点，4
点”，六类情况，
共有
种；
（iii）若“3 枚骰子的点数之和为18”，则有“6 点，6 点，6 点”，一类情况，
共有1 种；
所有
，
①由全概率公式可得
，
即顾客获得乙奖品的概率为
；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是
，
所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是
.
6．某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200 名的顾客，均可获得
3 次抽奖机会.每次中奖的概率为
，每次中奖与否相互不影响. 中奖1 次可获
得100 元奖金，中奖2 次可获得300 元奖金，中奖3 次可获得500 元奖金.
(1)已知
，求顾客甲获得了300 元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率.
(2)在（1）的条件下，已知该商场开业促销活动的经费为4.5 万元，问该活动是否会超过预
算? 请说明理由.
【答案】(1)
(2)不会，说明见解析
60
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】（1）设顾客甲获得了300 元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，
则
，
，故
；
（2）设一名顾客获得的奖金为X 元，则X 的取值可能为
，
则
，
，
，
，
则
（元），
故
，
故该活动不会超过预算.
7．一座小桥自左向右全长100 米，桥头到桥尾对应数轴上的坐标为0 至100，桥上有若干
士兵，一阵爆炸声后士兵们发生混乱，每个士兵爬起来后都有一个初始方向（向左或向
右），所有士兵的速度都为1 米每秒，中途不会主动改变方向，但小桥十分狭窄，只能容
纳1 人通过，假如两个士兵面对面相遇，他们无法绕过对方，此时士兵则分别转身后继续
前进（不计转身时间）.
(1)在坐标为10，40，80 处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3 个士兵全部
离开桥面的最长时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号
互换）；
(2)在坐标为10、20、30、……、90 处各有一个士兵，初始方向向右的概率为
，设最后
一个士兵离开独木桥的时间为
秒，求
的分布列和期望；
(3)若初始状态共
个士兵
，初始方向向右的概率为
，计算自左向右的第
个
61
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
士兵（命名为指挥官）从他的初始方向离开小桥的概率
，以及当
取得最大值时
取值．
【答案】(1)90 秒(2)分布列见解析；期望86.68 秒
(3)
当
取得最大值时
取值为1
【详解】（1）由于两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换，所以
在最长时间下，坐标为10 处的士兵必须向右，最长时间为
秒，
所以3 个士兵全部离开桥面的最长时间为90 秒.
（2）T 的可能取值为50，60，70，80，90，
，
所以T 的分布列
T
50
60
70
80
90
P
期望
秒
（3）
设
，
62
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
函数的对称轴
，函数开口向下，
所以
最大值
对应
取值为1.
当
取得最大值时
取值为1
8．某校为高三学生举办了一场以“学宪法，做有为青年”为主题的成人礼仪式.仪式结束
后学校为了了解学生对宪法的学习情况，对全体高三学生进行了一次线上测试：每位同学
随机抽取3 道题（均为选择题）作答.若答对2 道或3 道，则测试合格，否则测试不合格.若
测试不合格，则需要再做20 道习题进行巩固训练，已知线上测试时，小明答对每道题的概
率均为
，小强答对每道题的概率均为
，且每道题是否答对相互独立.
(1)分别求小明和小强测试合格的概率；
(2)记小明、小强两位同学需要做的巩固训练的习题数之和为X，求X 的分布列与数学期望.
【答案】(1)
，
(2)分布列见解析，
【详解】（1）小明测试合格的概率为
，
小强测试合格的概率为
.
（2）由题意可知，随机变量
的所有可能取值为
，（由[1]可得）
，
，
所以
的分布列为
0
20
40
故
.
63
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
正态分布问题
随机变量
落在区间
的概率为
，即由正态曲线，过点
和点
的两条
轴的垂线，及
轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部
分所示，就是
落在区间
的概率的近似值．
一般地，如果对于任何实数
，
，随机变量
满足
，则
称随机变量
服从正态分布．正态分布完全由参数
，
确定，因此正态分布常记作
．如果随机变量
服从正态分布，则记为
．
其中，参数
是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；
是
衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
原则
若
，则对于任意的实数
，
为下图中
阴影部分的面积，对于固定的
和
而言，该面积随着
的减小而变大．这说明
越小，
落在区间
的概率越大，即
集中在
周围的概率越大
特别地，有
；
；
64
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
．
由
，知正态总体几乎总取值于区间
之内．
而在此区间以外取值的概率只有
，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，
即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布
的随机变量
只取
之间的值，并简称之为
原则．
某手机APP 公司对喜欢使用该APP 的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100 名喜欢使用
该APP 的用户，年龄均在
周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方
图：
(1)根据频率分布直方图，估计使用该视频APP 用户的平均年龄的第
分位数（小数点后
保留2 位）；
(2)若所有用户年龄
近似服从正态分布
，其中
为样本平均数的估计值，
，试估计喜欢使用该APP 且年龄大于61 周岁的人数占所有喜欢使用该APP 的比例；
(3)用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP 的用户中随机抽取8 名用户，用
表示这8 名用户中恰有
名用户的年龄在区间
岁的概率，求
取
最大值时对应的
的值；
附：若随机变量
服从正态分布
，则：
破解：（1）
由直方图可知，第
分位数位于区间
，
65
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
第
分位数
（岁）.
（2）
（岁）
使用该APP 且年龄大于61 周岁的人数占所有喜欢使用该APP 的
.
（3）根据题意
，
要使
取最大值，利用结论则
，
，解得
，
因为
，所以
.
3D 打印即快速成型技术的一种，又称增材制造，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉
末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．中国的3D 打印
技术在飞机上的应用已达到规模化、工程化，处于世界领先位置．我国某企业利用3D 打
印技术生产飞机的某种零件，8 月1 日质检组从当天生产的零件中抽取了部分零件作为样
本，检测每个零件的某项质量指标，得到下面的检测结果：
质量指
66
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
标
频率
(1)根据频率分布表，估计8 月1 日生产的该种零件的质量指标的平均值
和方差
（同一
组的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)由频率分布表可以认为，该种零件的质量指标
，其中
近似为样本平均数
，
近似为样本方差
．
①若
，求
的值；
②若8 月1 日该企业共生产了500 件该种零件，问这500 件零件中质量指标不少于
的
件数最有可能是多少？
附参考数据：
，若
，则
，
，
．
破解：（1）由题意可得：第一步：面积乘以中间值
，
第二步：
（2）第一步：由（1）可得：
，即
.
第二步：①因为
，
所以
.
②由①可知：
，
设这500 件零件中质量指标不少于
的件数为
，则
，
可得
，
令
，即
67
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
解得
，
且
，则
，即当
时，概率最大，
所以这500 件零件中质量指标不少于
的件数最有可能是489.
某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000 名学生进行针
对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100 名学生的初试成绩，绘制了频率分布
直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值;
(2)若所有学生的初试成绩
近似服从正态分布
，其中
为样本平均数的估计值，
．初试成绩不低于90 分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数;
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三
等奖;全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为
，
第三道题答对的概率为
．若他获得一等奖的概率为
，设他获得二等奖的概率为
，求
的最小值．
附：若随机变昰
服从正态分布
，则
，
破解：（1）设样本平均数的估计值为
则
．
解得
．所以样本平均数的估计值为62．
68
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）第一步：因为学生的初试成绩
近似服从正态分布
，其中
．
所以
．
第二步：所以
．
所以估计能参加复试的人数为
．
（3）第一步：由该学生获一等奖的概率为
可知：
．
则
．
第二步：转化为函数角度处理令
．
．
当
时，
;当
时，
．
所以
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数．
所以
．所以
的最小值为
．
1．某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛，一共收到500 篇作品，由评委会给每篇作品打
分，下面是从所有作品中随机抽取的9 篇作品的得分：82，70，58，79，61，82，79，
61，58．
(1)计算样本平均数
和样本方差
；
(2)若这次征文比赛作品的得分
服从正态分布
，其中
和
的估计值分别为样
本平均数
和样本方差
，该报社计划给得分在前50 名的作品作者评奖，则评奖的分数线
约为多少分？
69
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
参考数据：
．
【答案】(1)样本平均数为
，样本方差为
.(2)
分
【详解】（1）由题意可得，
，
，
所以样本平均数为
，样本方差为
.
（2）因为得分
服从正态分布
，且
，
，则
，
所以
，又
，即
，
所以
，
又
，即
，
所以
，
所以前50 名的作品作者评奖总共50 篇，获奖率为
，
因为
，则
，
所以
，
即分数线约为
分.
2．2024 年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，
抽查了一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本并称出
它们的质量（单位：克），质量的分组区间为
，
，…，
，由
此得到样本的频率分布直方图，如图所示.
70
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)根据频率分布直方图，求质量超过515 克的产品数量和样本平均值
；
(2)由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值
服从正态分布
，其中
近似为（1）中的样本平均值
，计算该批产品质量指标值
的概率；
(3)从该流水线上任取2 件产品，设Y 为质量超过515 克的产品数量，求Y 的分布列和数学
期望.
附：若
，则
，
，
.
【答案】(1)26，
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
质量超过515 克的产品的频率为
，
质量超过515 克的产品数量为
（件）.
.
（2）由题意可得
，
则
，
则该批产品质量指标值
的概率：
.
（3）根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，
该产品的质量超过515 克的概率为
.
71
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以，从流水线上任取2 件产品互不影响，该问题可看作二项分布.
故，质量超过515 克的件数Y 可能的取值为0，1，2，且
,
,
，
，
，
的分布列为
Y
0
1
2
P
Y 的均值为
或者
3．某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000 名学生参考．根据经验，该
省及各市本次模拟考试成绩（满分100 分）都近似服从正态分布
．
(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65 分，87 分以上共有228 人．甲市学生
的成绩为
76 分，试估计学生
在甲市的大致名次；
(2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40 人，记
表示在本次考试中化学成绩在
之外的人数，求
的概率及
的数学期望．
参考数据：
参考公式：若
，有
，
【答案】(1)1587 名(2)0.0989；期望为
【详解】（1）解：已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布
，
由题意可得
．
72
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
，解得
．
甲市学生
在该次考试中成绩为76 分，且
，
又
，即
．
学生
在甲市本次考试的大致名次为1587 名．
（2）在本次考试中，抽取1 名化学成绩在
之内的概率为0.9974．
抽取1 名化学成绩在
之外的概率为0.0026．
随机变量
服从二项分布，即
．
．
的数学期望为
．
4．地区生产总值(地区
)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019
年-2023 年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464 亿元增长到了
3008 亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019 年对应的 x 值为1，2020 年对应的x
值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表：
年份编号x
1
2
3
4
5
地区生产总值y(百亿
元)
14.64
17.42
20.72
25.20
30.08
(1)该地区2023 年的人均生产总值为9.39 万元，若2023 年全国的人均生产总值X(万元)服
从正态分布
，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量
Y 为“2023 年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求
的概率；
(2)该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x 的回归方程可以近似为
，根据上
述的回归方程，估算该地区年份编号x 与人均生产总值(人均
)u(万元)之间的线性回归
方程
.
参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数；
73
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
线性回归方程
中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是：
，
若
，则
.
【答案】(1)
；(2)
【详解】（1）易知
，所以根据正态分布区间公式有
，
即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为
，
则
，所以：
；
（2）因为
，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：
，
，
所以
，
则
，
由公式可知
，
即
.
5．某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若该同学共投篮4 次，求在投中2 次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)设随机变量
服从二项分布
，记
则当
时，可认为η 服从
74
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
标准正态分布
.若保证投中的频率在区间
的概率不低于
，求该同学至少
要投多少次.
附: 若
，则
，
.
【答案】(1)
(2)68
【详解】（1）该同学投篮了四次，设
分别表示“第二次没有投中”和“恰投中两次”.
则有
.
（2）随机变量
代表
次投篮后命中的次数，则
服从二项分布
，
然后令随机变量
，并近似视为其服从正态分布
.
题目条件即为
，即
的概率至少为
.
由于我们有
，
故命题等价于
，解得
.
综上，该同学至少要投
次.
6．树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体
体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000 名学生参加了遴选活动，遴选活动分
以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．
第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值
时体能指标合格；
第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B
两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两
次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次
测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测
试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．
经过统计，该校学生身体体能指标
服从正态分布
．
75
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
参考数值：
，
，
．
(1)请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；
(2)学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A 类试题，每次测试合
格的概率为
，作答B 类试题，每次测试合格的概率为
，且每次测试相互独立．
①在解答A 类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3 次的概率．
②若解答A、B 两类试题测试合格的类数为X，求X 的分布列和数学期望．
【答案】(1)68(2)①
；②分布列见解析，
.
【详解】（1）
．
所以符合该项指标的学生人数为：
人．
（2）①记
表示解答A 类试题第一次测试合格，
，
分别表示解答B 类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3 次记为事件M，
则
，
．
②设X 的取值为0，1，2，
，
，
，
所以X 的分布列为
X
0
1
2
P
76
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
数学期望
．
7．统计学中有如下结论：若
，从
的取值中随机抽取
个数据，
记这
个数据的平均值为
，则随机变量
．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃
披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨
的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质
量服从期望为500g，标准差为25g 的正态分布．
(1)假设老板的说法是真实的，随机购买
份披萨，记这
份披萨的平均值为
，利用上
述结论求
；
(2)希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，
天后，得到的数据都落在
上，
并经计算得到
份披萨质量的平均值为
，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从
概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．
附：①随机变量
服从正态分布
，则
，
，
；
②通常把发生概率小于0.05 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
【答案】(1)
(2)理由见解析
【详解】（1）依题意
，又
，
所以
，
，
且
，
所以
.
（2）由（1）可得
，
又希尔伯特计算
份披萨质量的平均值为
，
，
而
，
所以
份披萨质量的平均值为
为小概率事件，小概率事件基本不会发生，
77
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以希尔伯特认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的理由.
8．为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测
分为初试和复试），共有4 万名学生参加初试.组织者随机抽取了200 名学生的初试成绩，
绘制了频率分布直方图，如图所示.
(1)根据频率分布直方图，求
的值及样本平均数的估计值；
(2)若所有学生的初试成绩
近似服从正态分布
，其中
为样本平均数的估计值，
.规定初试成绩不低于90 分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答
对每一道数学题的概率均为
，答对物理题的概率为
.若小明全部答对的概率为
，答对
两道题的概率为
，求概率
的最小值.
附：若随机变量
服从正态分布
，则
，
.
【答案】(1)0.02；69；(2)910（人）(3)
.
【详解】（1）
，
.
样本平均数的估计值为
.
（2）
.
.
能参加复试的人数约为
（人）.
78
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（3）由题意有
.
答对两道题的概率
.
而
.
令
，则
，
当
时，
在
内单调递减；
时，
在
内单调递增.
当
时，
.故概率
的最小值为
.
79
