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专题04 导数及其应用
目录一览
2023 真题展现
考向一 导数与单调性
考向二 利用导数研究函数的极值、最值
真题考查解读
近年真题对比
考向一 导数的运算
考向二 利用导数研究函数的极值、最值
考向三 利用导数研究曲线上某点切线方程
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 导数与单调性
1．（2023•新高考Ⅱ•第6 题）已知函数f（x）＝aex﹣lnx 在区间（1，2）上单调递增，则a
的最小值为（ ）
A．e2
B．e
C．e﹣1
D．e﹣2
考向二 导数与极值、最值
2．（2023•新高考Ⅱ•第11 题）（多选）若函数f（x）＝alnx+ b
x + c
x
2（a≠0）既有极大值也有
极小值，则（ ）
A．bc＞0
B．ab＞0
C．b2+8ac＞0
D．ac＜0
【命题意图】
考查原函数和导函数的关系，考查求导公式，导数几何意义及导数的应用，利用导数研究函数的单调
性、极值最值、函数零点问题．体会数形结合思想，分类讨论思想，化归和转化思想．
【考查要点】
函数与导数是高考必考知识点，考查运用函数的导数解决问题：求切线方程、单调区间、极值最值、
零点等．
1
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【得分要点】
1.利用导数判断函数单调性：设函数
在某个区间内可导，
①
该区间内为增函数；
②
该区间内为减函数；
注意：当
在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，
在这个区间上仍是递增
（或
递减）的。
③
在该区间内单调递增
在该区间内恒成立；
④
在该区间内单调递减
在该区间内恒成立；
2.利用导数求极值：
（1）定义：设函数
在点
附近有定义，如果对
附近所有的点，都有
，就说是
函数
的一个极大值。记作
＝
，如果对
附近所有的点，都有
，就
说是
函数
的一个极小值。记作
＝
。极大值和极小值统称为极值。
（2）求函数
在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数
；（ii）求方程
的
根
；（iii）检查
在方程
的根
的左右的符号：“左正右负”
在
处取极
大值；“左负右正”
在
处取极小值。
特别提醒：
①
是极值点的充要条件是
点两侧导数异号，而不仅是
＝0，
＝0 是
为极值点的
必要而不充分条件。
②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑
，又要考虑检验“左正右负”(“左负右
正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
3.利用导数求最值：比较端点值和极值
（1）定义：函数
在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；
函数
在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。
（2）求函数
在[
]上的最大值与最小值的步骤：
①求函数
在（
）内的极值（极大值或极小值）；
②将
的各极值与
，
比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
考向一．导数的运算
（多选）1．（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′
2
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（x）．若f（
﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（ ）
A．f（0）＝0
B．g（
）＝0
C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）
考向二 利用导数研究函数的极值
（多选）2．（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（ ）
A．f（x）有两个极值点
B．f（x）有三个零点
C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心
D．直线y＝2x 是曲线y＝f（x）的切线
考向三．利用导数研究曲线上某点切线方程
3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
．
4．（2022•新高考Ⅱ）曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为
，
．
5．（2021•新高考Ⅰ）若过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则（ ）
A．eb＜a
B．ea＜b
C．0＜a＜eb
D．0＜b＜ea
6．（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝|ex﹣1|，x1＜0，x2＞0，函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1））
和点B（x2，f（x2））的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，N 两点，则
的取值范围是
．
从近三年的新高考试题来看，多集中于考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式证明等问题，
常结合函数的零点、最值等问题综合考查，比如含函数单调性问题、恒成立问题等。复习时，重点把握导
数的应用，加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值，导数与函数的最值的认知，理解划归与转化思
想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用。
3
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一．变化的快慢与变化率（共2 小题）
1．（2023•河南模拟）某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15 米．假设在该海湾某一固
定点，大海水深d（单位：m）与午夜后的时间t（单位：h）之间的关系为d（t）＝10+4cos
t，则下
午5：00 时刻该固定点的水位变化的速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023•奉贤区校级三模）函数y＝x3在区间[0，2]的平均变化率与在x＝x0（0≤x0≤2）处的瞬时变化率
相同，则正数x0＝ ．
二．导数及其几何意义（共2 小题）
3．（2023•平顶山模拟）曲线
在点
处的切线的斜率为0，则实数
a＝（ ）
A．
B．
C．﹣1
D．1
4．（2023•定西模拟）已知函数f（x）＝x2lnx 的图象在（1，f（1））处的切线与直线x+ay﹣1＝0 垂直，
则实数a＝ ．
三．导数的运算（共3 小题）
5．（2023•大埔县三模）设函数f（x）在R 上可导，且f（lnx）＝x+lnx，则f′（0）＝（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
6．（2023•湖北模拟）函数
的导函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
7 ．（2023• 南关区校级模拟）已知函数
，其导函数记为f' （x ），则f
（389）+f'（389）+f（﹣389）﹣f'（﹣389）＝（ ）
A．2
B．﹣2
C．3
D．﹣3
四．利用导数研究函数的单调性（共14 小题）
8．（2023•东莞市校级三模）已知
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a＞c＞b
B．c＞b＞a
C．b＞a＞c
D．a＞b＞c
4
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9．（2023•湖南模拟）函数f（x）的定义域为D，导函数为f′（x），若对任意x∈D，f′（x）＜f（x）成
立，则称f（x）为“导减函数”．下列函数中，是“导减函数”的为（ ）
A．y＝x2
B．y＝cosx
C．y＝logπx
D．y＝2x
10．（2023•辽阳二模）现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，
曲线的曲率定义如下：若f'（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f'（x）的导函数，则曲线y＝f（x）在
点（x，f（x））处的曲率
．函数f（x）＝3lnx 的图象在（1，f（1））处的曲
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023•射洪市校级模拟）设函数f（x），g（x）在R 的导函数存在，且f′（x）＜g′（x），则当
x∈（a，b）时（ ）
A．f（x）＜g（x）
B．f（x）＞g（x）
C．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）
D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）
12．（2023•江宁区校级二模）若函数f（x）＝lnx 与g（x）＝ax﹣1（a＞0）的图像有且仅有一个交点，则
关于x 的不等式f（x﹣3）＜a﹣3x﹣4的解集为（ ）
A．（﹣∞，4）
B．（4，+∞）
C．（3，4）
D．（3，5）
13
．
（
2023•
浙
江
模
拟
）
已
知
a
，
b
，
c∈
（
﹣
1
，
0
）
，
且
满
足
，则（ ）
A．c＜b＜a
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．a＜b＜c
14．（2023•华龙区校级模拟）函数f（x）＝ln2x 的图象与函数
的图象交点的横坐
标为x0，则
＝（ ）
A．﹣ln2
B．﹣
C．
D．ln2
15．（2023•扬州三模）已知函数f（x）的导函数为g（x），f（x）和g（x）的定义域均为R，g（x）为偶
函数，f（x）﹣ex﹣sinx 也为偶函数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．f（0）＝0
B．g（0）＝0
C．f（x）＜f（ex）
D．g（x）＜g（ex）
16．（2023•九江模拟）设函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x），且满足f（x）＞f′（x）+1，f
（0）＝2023，则不等式e﹣xf（x）＞e﹣x+2022（其中e 为自然对数的底数）的解集是（ ）
A．（2022，+∞）
B．（﹣∞，2023）
C．（0，2022）
D．（﹣∞，0）
17．（2023•邵阳三模）定义在R 上的可导函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）＝x（ex+e﹣x），且在
（0，+∞）上有
，若实数a 满足f（2a）﹣f（a+2）﹣2ae﹣2a+ae﹣a﹣2+2e﹣a﹣2≥0，
5
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则a 的取值范围为（ ）
A．
B．a≥2
C．
或a≥2
D．a≤2
18．（2023•安徽模拟）设5a+1＝5ln5，b+e﹣3＝3，
，则（ ）
A．b＜c＜a
B．a＜b＜c
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
19．（2023•驻马店三模）设
，则（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞b＞a
C．a＞c＞b
D．c＞a＞b
20．（2023•海淀区校级三模）已知函数f（x）＝x﹣asinx 在R 上不是单调函数，且其图象完全位于直线x
﹣y﹣3＝0 与x﹣y+4＝0 之间（不含边界），则a 的一个取值为 ．
21．（2023•吕梁三模）若a＝e0.7，b＝
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＞c＞b
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．b＞c＞a
五．函数在某点取得极值的条件（共1 小题）
22．（2023•常德二模）已知函数f（x）＝ax3+x2﹣ax（a∈R，且a≠0）．如果存在实数a∈（﹣∞，﹣1]，
使函数g（x）＝f（x）+f′（x），x∈[﹣1，b]（b＞﹣1）在x＝﹣1 处取得最小值，则实数b 的最大值为
．
六．利用导数研究函数的极值（共10 小题）
23．（2023•禅城区模拟）已知函数f（x）＝x2﹣4x﹣a（ex﹣2+e﹣x+2）有唯一零点，则a＝（ ）
A．﹣
B．﹣2
C．
D．2
24．（2023•金凤区校级一模）已知函数
的极值点为x1，函数
的最大值
为x2，则（ ）
A．x2＞x1
B．x2≥x1
C．x1＞x2
D．x1≥x2
25．（2023•阜新模拟）已知函数
，则f（x）的极大值为（ ）
A．﹣3
B．1
C．27
D．﹣5
26．（2023•石嘴山一模）若函数
有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．（﹣∞，1）
B．（0，1）
C．（0，2）
D．（2，+∞）
27．（2023•翠屏区校级模拟）若函数f（x）＝x（x+a）2在x＝1 处有极大值，则实数a 的值为（ ）
A．1
B．﹣1 或﹣3
C．﹣1
D．﹣3
28．（2023•烟台模拟）若函数
有两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）≤﹣5，则
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（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（2023•武威模拟）若函数f（x）＝（x﹣1）2+alnx 有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则f（x2）的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（2023•洪山区校级模拟）已知函数f（x）＝axex﹣ax+a﹣ex（a＞0），若有且仅有两个整数xi（i＝1，
2），满足f（xi）＜0，则实数a 的取值范围为 ．
31．（2023•镇安县校级模拟）函数
在x＝
2
处取得极小值，且极小值为 ．
32．（2023•云南模拟）若函数f（x）＝alnx+bx 在x＝1 处取得极值3，则b﹣a＝ ．
七．利用导数研究函数的最值（共8 小题）
33．（2023•泸县校级模拟）若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则a
的值为（ ）
A．2
B．1
C．3
D．5
34．（2023•松江区二模）已知函数
，a∈R，在区间（t﹣3，t+5）上有最大值，则实数
t 的取值范围是（ ）
A．﹣6＜t＜0
B．﹣6＜t≤0
C．﹣6＜t＜2
D．﹣6＜t≤2
35．（2023•北流市模拟）已知x＝1 为函数
的极值点，则f（x）在区间
上的
最大值为（ ）（注：ln2≈0.69）
A．3
B．7﹣ln2
C．5
D．
36 ．（2023• 河北模拟）已知a∈R ，函数
．若存在t∈R ，使得
，则当a 取最大值时f（x）的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
37．（2023•四川模拟）若ex+e2x≥a（x2﹣xlnx）（a＞0），则a 的取值范围为（ ）
A．（0，e2]
B．
C．
D．
38．（2023•安庆二模）已知函数f（x）＝eax﹣ax，其中a＞0，若不等式
对任
意x＞1 恒成立，则a 的最小值为 ．
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39．（2023•三明三模）已知不等式x﹣alnx﹣a﹣2b≥3 恒成立，其中a≠0，则
的最大值为 ．
40．（2023•江西模拟）当x≥1 时，不等式ax﹣sin（x﹣1）≥lnx+a 恒成立，则a 的范围为 ．
八．利用导数研究曲线上某点切线方程（共15 小题）
41．（2023•湖南模拟）已知函数f（x）＝alnx+x2在x＝1 处的切线与直线x+y﹣1＝0 垂直，则a 的值为（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
42．（2023•泸县校级模拟）已知曲线y＝axex+lnx 在点（1，ae）处的切线方程为y＝3x+b，则（ ）
A．a＝e，b＝﹣2
B．a＝e，b＝2
C．a＝e﹣1，b＝﹣2
D．a＝e﹣1，b＝2
43．（2023•锦江区校级模拟）已知曲线y＝xlnx+ae﹣x 在点x＝1 处的切线方程为2x﹣y+b＝0，则b＝（
）
A．﹣1
B．﹣2
C．﹣3
D．0
44．（2023•梅河口市校级三模）若过点（a，b）可作曲线y＝x2﹣2x 的两条切线，则点（a，b）可以是（
）
A．（0，0）
B．（1，1）
C．（3，0）
D．（3，4）
45．（2023•湖北模拟）已知m＞0，n＞0，直线
与曲线y＝lnx﹣n+2 相切，则
的最小值是
（ ）
A．16
B．12
C．8
D．4
46．（2023•河南三模）已知函数f（x）＝x3﹣x+a 的图象关于原点对称，则与曲线y＝f（x）和
均相切的直线l 有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
47．（2023•青羊区校级模拟）若过原点与曲线f（x）＝x2ex+ax2﹣2x 相切的直线，切点均与原点不重合的
有2 条，则a 的取值范围是（ ）
A．（e﹣2，+∞）
B．（﹣∞，e﹣2）
C．（0，e﹣2）
D．（0，e﹣2]
48．（2023•博白县模拟）若曲线
有三条过点（0，a）的切线，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
49．（2023•新疆模拟）已知函数f（x）＝x2+alnx 有两条与直线y＝2x 平行的切线，且切点坐标分别为P
（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2）），则
的取值范围是 ．
50．（2023•佛山模拟）已知函数f（x）＝（x﹣3）ex，若经过点（0，a）且与曲线y＝f（x）相切的直线
有三条，则（ ）
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A．﹣3＜a＜﹣e
B．a＞﹣e
C．a＜﹣3
D．a＜﹣3 或a＞﹣e
51．（2023•湖南一模）已知函数f（x）＝2+lnx，
，若总存在两条不同的直线与函数y＝f
（x），y＝g（x）图象均相切，则实数a 的取值范围为（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（1，2）
D．（1，e）
52．（2023•重庆二模）已知f（x）＝ax2（a＞0）的图象在x＝1 处的切线与函数g（x）＝ex的图象也相切，
则该切线的斜率k＝ ．
53．（2023•鲤城区校级模拟）已知函数
过点A（2，0）作曲线y＝f（x）的切线，
则切线的条数为 ．
54．（2023•安徽模拟）若过点P（1，m）（m∈R）有3 条直线与函数f（x）＝xex的图象相切，则m 的取
值范围是 ．
55．（2023•禹王台区校级模拟）已知函数f（x）＝ax2+（x2﹣2x+3）ex，无论a 取何值，曲线y＝f（x）均
存在一条固定的切线，则该切线方程为 ．
九．不等式恒成立的问题（共5 小题）
56．（2023•黄州区校级三模）随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主
流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假
设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为
，从第二次推送起，若前一次不购
买此商品，则此次购买的概率为
；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为
．记第n 次推送
时不购买此商品的概率为Pn，当n≥2 时，Pn≤M 恒成立，则M 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
57．（2023•湖北二模）已知不等式
在
上恒成立，则实数a 的最小值为
．
58．（2023•青羊区校级模拟）若关于x 的不等式xex﹣ax﹣alnx≥0 对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a
的最大值是 ．
59．（2023•大庆三模）已知函数
，则f（x）+f（﹣x）＝
3
；若∀x∈（0，+∞），不等式
f（4﹣ax）+f（x2）≥3 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
60．（2023•广西模拟）若不等式ax2＞x2﹣x﹣1 对x∈（﹣∞，0）恒成立，则a 的取值范围是 ．
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一.常见函数的导数公式:
①
'
0
C =
；②
'
1
(
)
n
n
x
nx
-
=
；③
'
(sin )
cos
x
x
=
；④
'
(cos )
sin
x
x
= -
；
⑤
'
(
)
ln
x
x
a
a
a
=
；⑥
x
x
e
e
')
(
；⑦
'
1
(log
)
ln
a x
x
a
=
；⑧
x
x
1
)
(ln
'
。
二.导数的四则运算和复合函数的求导法则：
（1）
(2)
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（3）
2)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（4）
x
u
u
f
x
u
f
))
(
(
10
