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专题07 立体几何常考题型全归纳
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题型01 线面角..............................................................................................................................................................1
题型02 线面角中的探索性问题..................................................................................................................................1
题型03 二面角、面面角..............................................................................................................................................2
题型04 二面角、面面角中的探索性问题.................................................................................................................2
题型05 距离问题（含等积法）..................................................................................................................................2
题型01 线面角
【解题规律·提分快招】
一、用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为
，平面
的法向量为
，直线与平面所成的角为
，
与
的角为
，则有
①
②
.（注意此公式中最后的形式是：
）
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三下·湖北·开学考试）如图，在三棱柱
中，
，四边形
，
均为菱形，平面
底面
，平面
底面
，M 是
延长线上一点，且
，D 为
中点，连接
.
1
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(1)证明：
平面
；
(2)取
中点Q，求
与平面
夹角的正弦值.
2．（24-25 高三下·湖南·开学考试）如图四棱锥
中，
平面
，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
3．（2025·山东·模拟预测）如图所示的多面体是由正四棱台
和正四棱柱
（正四棱柱下底面与正四棱台上底面重合）构成．已知
，
是
上一动点．
(1)证明：
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的余弦值．
4．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在三棱锥
中，侧面
是边长为2 的等边三角形，底面
是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
．
2
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(1)当
时，求证：平面
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值．
题型02 线面角中的探索性问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·四川德阳·二模）如图，在四棱锥
中，
，底面
是边长为
的菱形，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正切值为
，求二面角
夹角的余弦值．
2．（24-25 高三上·甘肃酒泉·期末）如图，四棱锥
的底面
是边长为3 的正方形，
，
.
3
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(1)证明：
平面
；
(2)已知点
在线段
上，且
（
），若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
3．（24-25 高三上·天津西青·期末）如图，在三棱锥
中，
平面
，点
在棱
上，且
为棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)在线段
上是否存在点
满足直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求出
的值，
若不存在，请说明理由.
4．（24-25 高三上·河南·期末）如图，在多面体
中，四边形
为直角梯形，且满足
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求出
点的
位置；若不存在，说明理由.
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题型03 二面角、面面角
【解题规律·提分快招】
一、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若
于A，
于B，平面PAB 交于E，则∠AEB 为二面角
的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.
若
分别为面
，
的法向量
①
②
根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则
；
若二面角为顿二面角（取负），则
；
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·山西·一模）如图，已知四棱锥
中，底面
为菱形，
，
，
平面
，
分别是
的中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
2．（24-25 高三下·河北·开学考试）在平面四边形
中,
将
沿AC 翻折至
且满足
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(1)求证：
平面
(2)求二面角
的正弦值.
3．（24-25 高三上·贵州贵阳·期末）如图，
过球心
，图中画出的以
为直径的圆记为圆O，C 为圆
上不同于
，
的动点，
是球面上不在圆
上的动点，
为
的重心，
在线段
上且
．
(1)证明：
平面
；
(2)当三棱锥
体积最大时，求平面
与平面
夹角的余弦值．
4．（2025·山东·模拟预测）如图①，在等腰梯形
中，
为
边
的中点．将
沿
翻折，使点
到达点的位置，得到四棱锥
，如图②．
(1)证明：在翻折过程中，始终满足
；
(2)当
时，求平面
与平面
夹角的正弦值．
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题型04 二面角、面面角中的探索性问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，
和
都垂直于平面
，且
，
是线段
上一点.
(1)若
平面
，证明
是
的中点；
(2)若
，
，平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
.
2．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，且
平面
为棱
的中点，
为棱
上的动点.
(1)求证：平面
平面
.
(2)是否存在点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，求出点
的位置；若不存在，
请说明理由.
3．（2024·江西上饶·一模）如图1，在矩形
中，
，连接
，将
沿
折
起到
的位置，使得平面
平面
，如图2，若点
在线段
上且
.
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(1)求证：
平面
；
(2)若点
在线段
上，且使得平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
.
4．（2024·全国·一模）如图，在三棱锥
中，
平面
为棱
上的动点．
(1)求证：
平面
；
(2)是否存在点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，请求出点
的位置；若不存
在，请说明理由．
题型05 距离问题（含等积法）
【解题规律·提分快招】
一、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为
，
是直线上的定点，
是直线外一点.设
，则向量
在直线
上的投影向量
，在
中，由勾股定理得：
2、点到平面的距离
如图，已知平面
的法向量为
，
是平面
内的定点，
是平面
外一点.过点
作平面
的垂线，
交平面
于点
，则
是直线的方向向量，且点
到平面
的距离就是
在直线上的投影向量
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的长度.
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25 高三上·云南保山·期末）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，点
是
的中点，且
，
．
(1)求证：
；
(2)求点
到平面
的距离．
2．（23-24 高三上·河南周口·期末）如图，将圆
沿直径
折成直二面角，已知三棱锥
的顶点
在半圆周上，
在另外的半圆周上，
.
(1)若
，求证：
；
(2)若
，
，直线
与平面
所成的角为
，求点
到直线
的距离.
3．（24-25 高三下·浙江·开学考试）如图，在三棱锥
中，
平面
为锐角，动点
在
的边
上，
，三棱锥
的体积为
.
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(1)证明：平面
平面
.
(2)当点
到直线
的距离为
时，求
与平面
所成的角.
4．（2024 高三·全国·专题练习）如图1，在直角梯形
中，
，
点
，
分别为
的中点．如图2，将四边形
沿
折起到
的位置，使得二面角
的大小为
，其中
，连接
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)当点
到直线
的距离最大时，求二面角
的正弦值．
5．（24-25 高三上·河南驻马店·期末）图1 是等腰梯形
，
，
，
是
中点，
以
为折痕，将
折起，使点
到达点
的位置，如图2.
(1)求证：
；
(2)若
（i）求二面角
的平面角的正弦值；
（ii）在棱
上存在点
，使得
到平面
的距离为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
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6．（2024·湖北·一模）如图，在平行四边形
中，
为
的中点，沿
将
翻折至
位置得到四棱锥
为
上一动点.
(1)若
为
的中点，证明：在翻折过程中均有
平面
；
(2)若
，①证明：平面
平面
；
②记四棱锥
的体积为
，三棱锥
的体积为
，若
，求点
到平面
的距离.
一、解答题
1．（2024·西藏拉萨·二模）如图，在四棱台
中，
平面
，两底面均为正方形，
，点
在线段
上，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离.
2．（2025·安徽合肥·一模）如图，在正三棱台
中，
，
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(1)若
，证明：
平面
；
(2)若三棱台的高为
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
3．（2024·河南·模拟预测）如图，在三棱锥
中，
，
，
的中点分别为
，点
在
上，
.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面
；
(3)求二面角
的大小.
4．（24-25 高三上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥
中，
底面ABCD，底面ABCD 为菱形，
且
，点
为棱DP 的中点.
(1)在棱BC 上是否存在一点
，使得
∥平面PAN？如果存在，确定点N 的位置，如果不存在，请并说
明理由；
(2)若二面角
的余弦值为
时，求棱DP 的长度，并求点A 到平面BCM 的距离．
5．（2024·浙江台州·一模）如图，已知四边形
为平行四边形，
为
的中点，
，
．将
沿
折起，使点
到达点
的位置．
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(1)若平面
平面
，求证：
；
(2)若点A 到直线
的距离为
，求二面角
的平面角的余弦值．
6．（24-25 高三上·湖北黄冈·期中）如图，四棱台
中，上、下底面均是正方形，且侧面是
全等的等腰梯形，
分别为DC，BC 的中点，上下底面中心的连线
垂直于上下底面，
且
与侧棱所在直线所成的角为
.
(1)求证：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)在线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成的角为
，若存在，求出线段BM 的长；
若不存在，请说明理由.
7．（24-25 高三上·山东烟台·期末）如图，四棱锥
中，底面
为梯形，
，
为等边三角形.
(1)证明：
；
(2)若二面角
的大小为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
8．（24-25 高三上·全国·课后作业）如图，在四棱锥
中，
，且
．
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(1)若点
在
上，且
平面
，证明：
为
的中点；
(2)已知二面角
的大小为
，求平面
与平面
夹角的正切值．
9．（24-25 高三上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，四棱锥
的底面
为正方形，侧面
底面
．设平面
与平面
的交线为．
(1)证明：
平面
；
(2)已知
，
，
为上的点，求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
10．（24-25 高三上·黑龙江大庆·期中）如图在斜三棱柱
中，
，
，
，平面
平面ABC，E 是棱
上一点，D，F 分别是AC，AB 的中点.
(1)当
，证明：
平面BED；
(2)判断当
的值为多少时，锐二面角
的余弦值为
11．（24-25 高三上·青海·期末）如图，已知
和
都是等边三角形，
，平面
平面
，点
在线段
上（不含线段的端点）．
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(1)证明：
；
(2)点
、
分别在线段
、
上，且
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
12．（24-25 高三上·浙江·期中）如图，三棱锥
中，
，平面
平面
，平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
为钝角，且二面角
的大小为
，求
.
13．（24-25 高三上·吉林长春·开学考试）在如图①所示的平面图形中，四边形
为菱形，现沿
进
行翻折，使得
平面
，过点
作
，且
，连接
，所得图形如图②
所示，其中
为线段
的中点，连接
.
(1)求证：
平面
;
(2)若
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求平面
与平面
所成角的余弦值.
14．（2024·山西吕梁·三模）如图，
为圆锥的顶点，
为圆锥底面的圆心，
为底面直径，
为
底面圆
的内接正三角形，且
的边长为
，点
在母线
上，且
，
.
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(1)求证：
，并求三棱锥
的体积；
(2)若点
为线段
上的动点，当直线
与平面
所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面
的距离.
16
