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专题04 高等数学定理背景命题
【题型归纳目录】
题型一：泰勒公式
题型二：极大值点的第二充分条件定理
题型三：帕德逼近
题型四：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
题型五：伯努利、琴生不等式
题型六：微积分、洛必达
【方法技巧与总结】
1、泰勒公式有如下特殊形式：当
在
处的
阶导数都存在时，
．注：
表示
的2 阶导数，即为
的导数，
表示
的
阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
2、【极值点第二充分条件】已知函数
在
处二阶可导，且
（1）若
，则
在
处取得极小值；
（2）若
，则
在
处取得极大值.
3、帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，
n，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，…，
．（注：
，
，
，
，…；
为
的导数）.
4、拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数
在
上连续，且在
上可导，则必有
，使得
.
5、罗尔定理描述如下：如果
上的函数
满足以下条件：①在闭区间
上连续，②在开区间
内可导，③
，则至少存在一个
，使得
．
6、微积分
知识卡片1：一般地，如果函数
在区间
上连续，用分点
将区
间
等分成
个小区间，在每个小区间
上任取一点
，作和式
（其中
为小区间长度），当
时，上述和式无限接近某个常数，这个常
1
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数叫做函数
在区间
上的定积分，记作
即
.这里，
与
分别
叫做积分下限与积分上限，区间
叫做积分区间，函数
叫做被积函数，
叫做积分变量，
叫做被积式.从几何上看，如果在区间
上函数
连续且恒有
，那么定积分
表示由
直线
和曲线
所围成的曲边梯形的面积.
知识卡片2：一般地；如果
是区间
上的连续函数，并且
，那么
.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.
知识卡片3：在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数
，
的导函数分别为
，
，且
，则
.
7、伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种
不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数
，在
时，有不等式
成立；在
时，有不等式
成立．
8、设连续函数
的定义域为
，如果对于
内任意两数
，都有
，
则称
为
上的凹函数；若
，则称
为凸函数.若
是区间
上
的凹函数，则对任意的
，有琴生不等式
恒
成立（当且仅当
时等号成立）.
【典型例题】
题型一：泰勒公式
【典例1-1】（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在
处的
阶导数都存在时，
．注：
表示
的2 阶导数，即为
的导数，
表示
的
阶导数，该公式也称麦克劳林公
式．
(1)根据该公式估算
的值，精确到小数点后两位；
2
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(2)由该公式可得：
．当
时，试比较
与
的大小，并给出证明；
(3)设
，证明：
．
【解析】（1）令
，则
，
，
，
，
故
，
，
，
，
，
由麦克劳林公式可得
，
故
.
（2）结论：
，
证明如下：
令
，
令
，
故
在
上单调递增，
，
故
在
上单调递增，
，
即证得
，即
．
（3）由（2）可得当
时，
，且由
得
，
当且仅当
时取等号，故当
时，
，
，
而
，
即有
3
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故
而
，
即证得
.
【典例1-2】（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：
其
中
为自然对数的底数，
.以上公式称为泰勒公式.设
，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：
；
(2)设
，证明：
；
(3)设
，若
是
的极小值点，求实数
的取值范围.
【解析】（1）设
，则
.
当
时，
：当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
因此，
，即
.
（2）由泰勒公式知
，①
于是
，②
由①②得
所以
4
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即
.
（3）
，则
，设
，
由基本不等式知，
，当且仅当
时等号成立.
所以当
时，
，所以
在
上单调递增.
又因为
是奇函数，且
，
所以当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
因此，
是
的极小值点.
下面证明：当
时，
不是
的极小值点.
当
时，
，
又因为
是
上的偶函数，且
在
上单调递增,
所以当
时，
.
因此，
在
上单调递减.
又因为
是奇函数，且
，
所以当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
因此，
是
的极大值点，不是
的极小值点.
综上，实数
的取值范围是
.
【变式1-1】（2024·高一·四川成都·期末）已知函数
的最小值为
．
(1)求函数
的单调递减区间；
(2)英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了如下公式：
，其中
5
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，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的
准确性．运用上述思想，计算
的值：（结果精确到小数点后4 位，参考数据：
，
）
【解析】（1）
，
所以
，即
，
所以
，
令
，
，
即
，
，
所以函数
的单调递减区间
，
．
（2）由（1）知
，
所以
，
由泰勒公式得：
，
所以
．
题型二：极大值点的第二充分条件定理
【典例2-1】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）给出定义：设
是函数
的导函数，
是函
数
的导函数，若方程
有实数解
，则称
为函数
的“拐点”.经研究
发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
图象的
对称中心.
(1)若函数
，求函数
图象的对称中心；
(2)已知函数
，其中
.
6
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（ⅰ）求
的拐点；
（ⅱ）若
，求证：
.
【解析】（1）因为
，所以
，
所以
.令
，解得
，又
，
所以函数
的“拐点”为
，
所以函数
图象的对称中心为
.
（2）（ⅰ）因为
，
，
所以
，
，且
，
令
，则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，又
，
由零点存在性定理知，
有唯一的零点
，
所
，且
，当
时，
，
所以
的拐点为
.
（ⅱ）证明：由（i）可知，
在
上单调递增，
，
∴当
时，
；当
时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
∴
在
上恒成立，∴
在
上单调递增，
又
，
，
所以
.
【典例2-2】（2024·高二·广东东莞·阶段练习）记
，
为
的导函数.若对
，
7
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，则称函数
为D 上的“凸函数”.已知函数
，
.
(1)若函数
为
上的凸函数，求a 的取值范围；
(2)若函数
在
上有极值，求a 的取值范围.
【解析】（1）由
，得
，
，
由于函数
为
上的凸函数，故
，
即
，令
，则
，
当
时，
；当
时，
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
故
，
故a 的取值范围为
；
（2）由
，得
，
函数
在
上有极值，即
在
上有变号零点，
即
在
上有解，
令
，
令
，则
，
即
在
上单调递增，
且当x 无限趋近于1 时，
无限接近于-1，
，
故存在
，使得
，
且
时，
，
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，由于
，
故
，
，
而
在
时单调递减，故
，
8
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故
，即a 的取值范围为
.
【变式2-1】（2024·上海普陀·一模）若函数
同时满足下列两个条件，则称
在
上具有性质
．
①
在
上的导数
存在；
②
在
上的导数
存在，且
（其中
）恒成立．
(1)判断函数
在区间
上是否具有性质
？并说明理由．
(2)设
、
均为实常数，若奇函数
在
处取得极值，是否存在实数，使得
在区间
上具有性质
？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设
且
，对于任意的
，不等式
成立，求
的最大值．
【解析】（1）令
，
，
则
，
，
，
，
当
时，
恒成立，
∴函数
在区间
上具有性质
；
（2）∵
，
∴
，
∵
在
处取得极值，且
为奇函数，
∴
在
处也取得极值，
∴
，解得
，
∴
，
，
当
时，令
，解得
；令
，解得
；
故
在
单调递减，在
单调递增，满足
在
处取得极值，
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∴
，
当
时，
恒成立，
∴存在实数
，使
在区间
上恒成立，
∴存在实数，使得
在区间
上具有性质
，的取值范围是
；
（3）∵
，
∴
，
令
，
则
，
令
，
则
，
当
时，
，
在区间
上单调递增，
又∵
，
，
∴存在
，使
，
∴当
时，
，
，
在区间
上单调递减，
当
时，
，
，
在区间
上单调递增，
∴当
时，
的最小值为
，
由
，有
，
∴
，
∵
，∴
，
又∵
恒成立，
∴
，
∵
且
，
∴
的最大值为.
题型三：帕德逼近
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【典例3-1】（2024·山东菏泽·一模）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数
的方法．给定两个正整数m，n，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，
且满足：
，
，
，…，
．（注：
，
，
，
，…；
为
的导数）已知
在
处的
阶帕德近似为
．
(1)求实数a，b 的值；
(2)比较
与
的大小；
(3)若
在
上存在极值，求
的取值范围．
【解析】（1）由
，
，有
，
可知
，
，
，
，
由题意，
，
，所以
，所以
，
．
（2）由（1）知，
，令
，
则
，
所以
在其定义域
内为增函数，又
，
时，
；
时，
；
所以
时，
；
时，
．
（3）由
，
．
由
在
上存在极值，所以
在
上存在变号零点．
令
，则
，
．
①
时，
，
为减函数，
，
在
上为减函数，
，无
零点，不满足条件．
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②当
，即
时，
，
为增函数，
，
在
上为增函数，
，无零点，不满足条件．
③当
，即
时，令
即
，
．
当
时，
，
为减函数；
时，
，
为增函数，
；
令
，
，
，
在
时恒成立，
在
上单调递增，
，
恒成立；
，
，
，则
，
，
；
，
令
，
令
，
，
则
在
是单调递减，
，所以
，
，
令
，则
，
，
．
，即
．
由零点存在定理可知，
在
上存在唯一零点
，
又由③知，当
时，
，
为减函数，
，
所以此时，
，在
内无零点，
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在
上存在变号零点，综上所述实数m 的取值范围为
．
【典例3-2】（2024·高二·山东济南·期中）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定
函数的方法．给定两个正整数
，
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，
．
已知
在
处的
阶帕德近似为
．注：
(1)求实数
，
的值；
(2)求证：
；
(3)求不等式
的解集，其中
．
【解析】（1）因为
，所以
，
，
，则
，
，
由题意知，
，
，
所以
，解得
，
.
（2）由（1）知，即证
，
令
，则
且
，
即证
时
，
记
，
，
则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递增，
当
时
，即
，即
成立，
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当
时
，即
，即
成立，
综上可得
时
，
所以
成立，即
成立.
（3）由题意知，欲使得不等式
成立，
则至少有
，即
或
，
首先考虑
，该不等式等价于
，即
，
又由（2）知
成立，
所以使得
成立的
的取值范围是
，
再考虑
，该不等式等价于
，
记
，
，
则
，所以当
时
，
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
，
，
所以
，
，
当
时由
，可知
成立，
当
时由
，可知
不成立，
所以使得
成立的
的取值范围是
，
综上可得不等式
的解集为
.
【变式3-1】（2024·高三·重庆·阶段练习）帕德近似（Pade approximation）是有理函数逼近的一种方法.已
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知函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，….又函数
，其中
.
(1)求实数
，，
的值；
(2)若函数
的图象与
轴交于
，
两点，
，且
恒成立，求实数
的取值
范围.
【解析】（1）
，
，
则
，所以
，
，
，则
，
，
由题意知，
，
，
所以
，解得
，
，
故
，
，
.
（2）由（1）可知
，函数定义域为
，
，
，
时，
；
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减.
函数
的图像与
轴交于两点
，
，
，
，即
，
令
，则
，
，
时，
；
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，
，使
，
即
，
，
当
时，
，当
时，
.
15
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，
，
.
，
，
，
，
，
，
令
，则
恒成立.
令
，则
，
，
令
，
则
在
上单调递减，
，
在
上单调递减，则
，
即
，
在
上单调递减，
当
时.
.
，故
.
所以实数
的取值范围为
.
题型四：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
【典例4-1】（2024·高一·四川内江·阶段练习）已知函数
．
(1)当
，且
时，求
的值;
(2)若存在区间
（
为函数定义域），使
在区间
上的值域也为
，则称
为
上
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的精彩函数，
为函数
的精彩区间．求
是否存在精彩区间?如不存在，说明理由;
(3)若存在实数
使得函数
的定义域为
时，值域为
，则称区间
为
的一个“罗尔”区间．已知函数
存在“罗尔”区间，求实数
的范围．
【解析】（1）∵由已知可得
，
∴
在
上为减函数，在
上为增函数，
由
且
，可得
且
，得
．
（2）若存在满足条件的实数a、b，则
．
当
时，
在
上为减函数，
故
，即
，解得
，故此时不存在符合条件的实数a、b．
当
时，
在
上是增函数，
故
，即
，又
．
此时，a、b 是方程
的根，此方程无实根，故此时不存在符合条件的实数a、b．
当
时，
由于
，而
，故此时不存在符合条件的实数a、b．
综上可知，不存在符合条件的实数a、b．
（3）若存在实数
，使得函数
的定义域为
时，值域为
，且
．
①当
时，由于
在
上是减函数，故
，
此时得
，得
与条件矛盾，所以a、b 不存在．
②当
，
时，
，
，所以a、b 不存在．
③故只有a，
．
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∵
在
上是增函数，∴
，即
又
，故a、b 是方程
的两个不等根．
即关于x 的方程
有两个大于1 的不等实根．
设这两个根为
、
，则
，
．
∴
，即
，解得
．
综上，m 的范围是
．
【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数
在
上连续，
且在
上可导，则必有
，使得
.证明不等式：
．
【解析】证明：设
，
，则
符合拉格朗日中值定理的条件，
即存在
，使
，
因为
，由
，
，
可知
，
，
，
即
，
可得
，
即有
，
令
，可得
，
即有
．
【变式4-1】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数
在
上连续，且在
上可导，则必有
，使得
.已知函数
，求实数
的最大值
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A．1
B．
C．
D．0
【答案】C
【解析】由题意得，
，不妨设
，
则存在
，使得
，
又
，故
，
其中
，
故
，
由于
，
令
，
，
则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取得极大值，也是最大值，
，
故实数
的最大值为
.
故选：C
【变式4-2】（2024·安徽六安·模拟预测）罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理
之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．罗尔定理描述如下：如果
上的函数
满足以下条件：①在闭区间
上连续，②在开区间
内可导，③
，则至少存在一个
，使得
．据此，解决以下问题：
(1)证明方程
在
内至少有一个实根，其中
；
(2)已知函数
在区间
内有零点，求
的取值范围．
【解析】（1）设
，
则
，
所以函数
在
上连续，在区间
上可导，
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又
，故
，
所以由罗尔中值定理可得至少存在一个
，使得
，
所以
，
所以方程
在
内至少有一个实根，
（2）因为函数
在区间
内有零点，
不妨设其零点为
，则
，
，
由
可得
，
所以函数
在
上连续，在
上可导，
又
，
，
由罗尔中值定理可得至少存在一个
，使得
，
因为函数
在
上连续，在
上可导，
又
，
，
由罗尔中值定理可得至少存在一个
，使得
，
所以方程
在
上至少有两个不等的实数根，
设
，
则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以方程
在
上至多有一个根，矛盾，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
所以方程
在
上至多有一个根，矛盾，
当
时，由
，可得
，
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以当
时，函数
取最小值，
又
，
所以
，
20
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又
，
，
由零点存在性定理可得
，
，
所以
，
，又
，
所以
，
所以
的取值范围
．
题型五：伯努利、琴生不等式
【典例5-1】（2024·高三·贵州·阶段练习）伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并
提出. 伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应
用. 伯努利不等式的一种常见形式为：
当
，
时，
，当且仅当
或
时取等号.
(1)假设某地区现有人口100 万，且人口的年平均增长率为
，以此增长率为依据，试判断6 年后该地区
人口的估计值是否能超过107 万？
(2)数学上常用
表示
，
，
，
的乘积，
，
.
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）已知直线
与函数
的图象在坐标原点处相切，数列
满足：
，
，证明：
.
【解析】（1）依题意，年后该地区人口的估计值为
万人，
由伯努利不等式可得
，
所以年后该地区人口的估计值能超过
万.
（2）（ⅰ）根据伯努利不等式可知
，
所以
，
所以
.
（ⅱ）由
，则
，所以
，
又直线
与函数
的图象在坐标原点处相切，
21
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所以直线
的斜率为，且过点
，
所以直线
的方程为
，
所以
，则
，
所以
，
由（ⅰ）可知
，所以
，
又因为
，
即
，
所以
，
所以
.
【典例5-2】（2024·高一·江苏苏州·期末）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬
链线.
年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为
，其中为参数.当
时，该方程就
是双曲余弦函数
，类似的我们有双曲正弦函数
.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数
的最小值；
①
；
②
；
22
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③
.
(2)求证：
，
.
【解析】（1）证明：选①，
；
选②，
；
选③，
.
，令
，
因为函数
、
均为
上的增函数，故函数
也为
上的增函数，
故
，则
，所以
，
所以
，当且仅当
时取“
”，
所以
的最小值为
.
（2）证明：
，
，
当
时，
，
，所以
，
所以
，所以
成立；
当
时，则
，且正弦函数
在
上为增函数，
，所以
，
，
所以
成立，
综上，
，
.
【变式5-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）设连续函数
的定义域为
，如果对于
内任意
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两数
，都有
，则称
为
上的凹函数；若
，
则称
为凸函数.若
是区间
上的凹函数，则对任意的
，有琴生不等式
恒成立（当且仅当
时等号成立）.
(1)证明：
在
上为凹函数；
(2)设
，且
，求
的最小值；
(3)设
为大于或等于1 的实数，证明：
.（提示：可设
）
【解析】（1）设
，
则
，
所以
在
上为凹函数.
（2）令
，由（1）知
在
上为凹函数，所以函数
在
上
也为凹函数.
由琴生不等式，得
，
即
，
所以
，当且仅当
时取等号，
故
的最小值为
.
（3）设
，因为
，所以
，
24
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要证
，只需证
，
由琴生不等式，只需证
在
上为凹函数.
设
，则
，
下证
，即证
，
即证
，
化简得
，
即证
又
式显然成立，
所以
成立，
在
上为凹函数，
则
得证.
题型六：微积分、洛必达
【典例6-1】（2024·湖北·二模）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代
数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数
在区间
上的图像连续不断，从几何上看，定积分
便是由直线
和曲线
所围成的区
域（称为曲边梯形
）的面积，根据微积分基本定理可得
，因为曲边梯形
的
面积小于梯形
的面积，即
，代入数据，进一步可以推导出不等式：
．
25
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(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：
；
(2)已知函数
，其中
．
①证明：对任意两个不相等的正数
，曲线
在
和
处的切线均不重合；
②当
时，若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）
在曲线
取一点
．
过点
作
的切线分别交
于
，
因为
，
可得
，即
．
（2）①由函数
，可得
，
不妨设
，曲线
在
处的切线方程为
，即
同理曲线
在
处的切线方程为
，
假设与
重合，则
，
代入化简可得
，
两式消去
，可得
，整理得
，
由（1）的结论知
，与上式矛盾
即对任意实数
及任意不相等的正数
与
均不重合．
②当
时，不等式
恒成立，
26
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所以
在
恒成立，所以
，
下证：当
时，
恒成立．
因为
，所以
设
（i）当
时，由
知
恒成立，
即
在
为增函数，所以
成立；
（ii）当
时，设
，可得
，
由
知
恒成立，即
在
为增函数．
所以
，即
在
为减函数，所以
成立，
综上所述，实数
的取值范围是
【典例6-2】（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有
结论：若函数
，
的导函数分别为
，
，且
，则
.
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函数
为区间
上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)证明：
，
.
【解析】（1）设
，
由于
，
所以
不成立，
故
不是区间
上的2 阶无穷递降函数.
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（2）设
，则
，
设
，
则
，
所以
，得
.
（3）令
，则原不等式等价于
，
即证
，
记
，则
，
所以
，
即有对任意
，均有
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，证毕!
【过关测试】
1．（2024·湖南永州·三模）已知函数
，
.
(1)若
是函数
的极小值点，讨论
在区间
上的零点个数.
(2)英国数学家泰勒发现了如下公式：
28
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这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性.
现已知
，
利用上述知识，试求
的值.
【解析】（1）由题意得：
，
因为
为函数
的极值点，
所以，
，
知：
，
，
，
（i）当
时，
由
，
，
，
，得
，
所以
在
上单调递减，
，
所以
在区间
上不存在零点；
（ii）当
时，设
，
则
.
①若
，令
，
则
，
所以
在
上单调递减，
因为
，
，
所以存在
，满足
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
②若
，令
，
，
则
，所以
在区间
上单调递减，
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所以
，
又因为
，
所以
，
在
上单调递减；
③若
，则
，
在
上单调递减.
由（a）（b）（c）得，
在
上单调递增，
在
单调递减，
因为
，
，
所以存在
使得
，
所以，当
时，
，
在
上单调递增，
，
当
时，
，
在
上单调递减，
因为
，
，
所以
在区间
上有且只有一个零点.
综上，
在区间
上的零点个数为
个；
（2）因为
，（*）
对
，
两边求导得：
，
，
所以
，（**）
比较（*）（**）式中
的系数，得
所以
.
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）给出以下三个材料：①若函数
可导，我们通常把导函数
的导数
叫做
的二阶导数，记作
.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作
，三阶导数的导数
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叫做四阶导数……一般地，
阶导数的导数叫做
阶导数，记作
.②若
，
定义
.③若函数
在包含
的某个开区间
上具有
阶的导数，那
么对于任一
有
，我们将
称为
函数
在点
处的
阶泰勒展开式.例如，
在点
处的
阶泰勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出
在点
处的阶泰勒展开式
，并直接写出
在点
处的阶泰勒
展开式
；
(2)比较（1）中
与
的大小.
(3)证明：
.
【解析】（1）
，
，
，
，
，
，
，即
；
同理可得：
；
（2）由（1）知：
，
，
令
，则
，
，
，
在
上单调递增，又
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
，
，
在
上单调递增，又
，
当
时，
；当
时，
；
综上所述：当
时，
；当
时，
；当
时，
；
（3）令
，则
，
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，
在
上单调递增，
又
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
；
在点
处的
阶泰勒展开式为：
，
，当且仅当
时取等号，
①当
时，由（2）可知，
，当且仅当
时取等号，所以
；
②当
时，设
，
，
，
，
当
，由（2）可知
，所以，
，即有
；
当
时，
，
所以，
时，
单调递减，从而
，即
．
综上所述：
.
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在高等数学中，我们将
在
处可以用一个多项式函数近
似表示，具体形式为：
（其中
表示
的n 次导数），以上公式我们称为函数
在
处的泰勒展开式.
(1)分别求
，
，
在
处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x 可以推广至复数域，试证明：
.（其中为虚数单位）；
(3)若
，
恒成立，求a 的范围.（参考数据
）
【解析】（1）因为函数
在
处的泰勒展开式为
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（其中
表示
的n 次导
数），
所以
，
，
在
处的泰勒展开式分别为：
，
，
；
（2）证明：把
在
处的泰勒展开式中的
替换为
，可得
，
所以
，即
；
（3）由
在
处的泰勒展开式，先证
，
令
，
，易知
，所以
在
上单调递增，
所以
，所以
在
上单调递增，所以
，
所以
在
上单调递增，所以
，
再令
，
，易得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
，
所以
恒成立，
当
时，
，所以
成立，
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当
时，令
，
，易求得
，
所以必存在一个区间
，使得
在
上单调递减，
所以
时，
，不符合题意.
综上所述，
.
4．（2024·高一·江苏·课时练习）计算器是如何计算
，
，
，
，
等函数值的？计算器使用
的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原
函数的值，如
，
，
其中
.
英国数学家泰勒（B．Taylor，1685―1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得到的
和
的值也就越精确.例如，我们用前三项计算
，就得到
.
像这些公式已被编入计算器内，计算器利用足够多的项就可确保其显示值是精确的.
试用你的计算器计算
，并与上述结果进行比较.
【解析】用计算器计算
得
，
和数值
比较发现，
通过
计算的答案只能精确到小数点后第3 位.
5．（2024·高一·福建福州·期末）英国数学家泰勒发现了如下公式：
，其中
，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当
时，
，
.
(1)证明：当
时，
；
(2)设
，若区间
满足当
定义域为
时，值域也为
，则称为
的“和谐区
间”.
（i）
时，
是否存在“和谐区间”？若存在，求出
的所有“和谐区间”，若不存在，请说
明理由；
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（ii）
时，
是否存在“和谐区间”？若存在，求出
的所有“和谐区间”，若不存在，请
说明理由.
【解析】（1）由已知当
时，
，
得
，
所以当
时，
.
（2）（i）
时，假设存在，则由
知
，注意到
，
故
，所以
在
单调递增，
于是
，即
是方程
的两个不等实根，
易知
不是方程的根，
由已知，当
时，
，令
，则有
时，
，即
，
故方程
只有一个实根0，故
不存在“和谐区间”.
（ii）
时，假设存在，则由
知
若
，则由
，知
，与值域是
矛盾，
故不存在“和谐区间”，
同理，
时，也不存在，
下面讨论
，
若
，则
，故
最小值为
，于是
，
所以
，
所以
最大值为2，故
，此时
的定义域为
，值域为
，符合题意.
若
，当
时，同理可得
，舍去，
当
时，
在
上单调递减，所以
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，于是
，
若
即
，则
，故
，
与
矛盾；
若
，同理，矛盾，
所以
，即
，
由（1）知当
时，
，
因为
，所以
，从而，
，从而
，矛盾，
综上所述，
有唯一的“和谐区间”
.
6．（2024·湖南邵阳·三模）给出定义：设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，
若方程
有实数解
，则称点
为函数
拐点.已知
.
（1）求证：函数
的拐点
在直线
上；
（2）
时，讨论
的极值点的个数.
【解析】（1）
，
，
，
，
．
而
．
点
，
在直线
上．
（2）令
，得
，
作出函数
，
与函数
的草图如下所示：
由图可知，
36
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当
或
时，
无极值点；
当
时，
有一个极值点；
当
或
时，
有两个极值点．
7．（2024·甘肃·二模）已知函数
（
且
为常数）．
（1）当
时，讨论函数
在
的单调性；
（2）设
可求导数，且它的导函数
仍可求导数，则
再次求导所得函数称为原函数
的二阶函数，记为
，利用二阶导函数可以判断一个函数的凹凸性．一个二阶可导的函数在区间
上是凸函数的充要条件是这个函数在
的二阶导函数非负．
若
在
不是凸函数，求
的取值范围．
【解析】(1)
令
得
设
则
当
时，
，
在
上是单调增函数，
故而，
是
在
内的唯一零点，即
是
在
内的唯一零点．
所以当
时，
，即
在
上是单调减函数;
当
时，
，即
在
上是单调增函数．
（2）
如果
在
是凸函数，那么
都有
令
，即得
当
时，
当
时，
即
在
单调递增，在
单调递减，所以
即
又
在
不是凸函数，所以
8．（2024·高三·安徽淮南·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数
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的方法.给定两个正整数
，
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，
且满足：
，
，
，
.已知
在
处
的
阶帕德近似为
.注：
(1)求实数
，
的值；
(2)求证：
.
【解析】（1）因为
，所以
，
，
，则
，
，
由题意知，
，
，所以
，解得
，
.
（2）由（1）知，即证
，
令
，则
且
，即证
时
，
记
，
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递增，
当
时
，即
，即
成立，
当
时
，即
，即
成立，
综上可得
时
，
所以
成立，即
成立.
9．（2024·高一·湖南郴州·期末）若函数
自变量的取值区间为
时，函数值的取值区间恰为
，就称区间
为
的一个“罗尔区间”.已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
.
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（1）求
的解析式；
（2）求函数
在
内的“罗尔区间”；
（3）若以函数
在定义域所有“罗尔区间”上的图像作为函数
的图像，是否存在实数
，使
集合
恰含有2 个元素.若存在，求出实数
的取值集合；若不存在，说明
理由.
【解析】（1）因为
为
上的奇函数，∴
，
又当
时，
，
所以当
时，
，
所以
,
所以
.
（2）设
，∵
在
上单调递减，
∴
，即
，
是方程
的两个不等正根，
∵
，
∴
，
∴
在
内的“罗尔区间”为
.
（3）设
为
的一个“罗尔区间”，则
，∴
，
同号.
当
时，同理可求
在
内的“罗尔区间”为
，
∴
，
依题意，抛物线
与函数
的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，
所以
应当使方程
在
内恰有一个实数根，
且使方程
，在
内恰有一个实数根，
由方程
，即
在
内恰有一根，
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令
，则
，解得
；
由方程
，即
在
内恰有一根，
令
，则
，解得
.
综上可知，实数
的取值集合为
.
10．（2024·高三·北京·强基计划）已知罗尔中值定理：若函数
满足：①
在
上连续；②
在
上可异；③
，则存在
，使得
．
(1)试证明拉格朗日中值定理：若函数
满足：①
在
们上连续；②
在
上可导，则存在
，使得
．
(2)设
的定义域与值域均为
且
在其定义域上连续且可导．求证：对任意正整
数n，存在互不相同的
，使得
．
【解析】（1）构造函数
，
则
，
由罗尔中值定理可得：存在
，使得
，
即
即
.
（2）把区间
划分为n 个区间：
，
对
在每个区间应用拉格明日中值定理，
可得存在
，使得
，
其中
，把这n 个等式相加即得
．
11．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数
、
，
的图象在
处的切线
与
轴平行．
(1)求
，
的关系式并求
的单调减区间；
(2)证明：对任意实数
，关于
的方程：
在
,
恒有实数解；
(3)结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数
是在闭区间
,
上连续不断的函数，且
40
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在区间
内导数都存在，则在
内至少存在一点
，使得
．如我们所学过的指、对
数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当
时，
（可不用证明函数的连续性和可导性）．
【解析】（1）因为
，
由已知有
，所以
即
，
即
，由
知
．
当
时，由
得
，则
的减区间为
，
当
时，由
得
或
，
的减区间为
和
，
综上所述：当
时，
的减区间为
；
当
时，
的减区间为
和
；
（2）
，
可化为
，
令
，
则
，
，
即
，
又
，所以
，
，即
，
由零点的存在性定理知方程
在区间
,
内必有解，
即关于
的方程
在
,
恒有实数解
（3）令
，
，
则
符合拉格朗日中值定理的条件，即存在
，
使
，
因为
，由
，
可知
，
即
，
.
12．（2024·高三·全国·专题练习）已知
，
，
(1)若
在
处取得极值，试求的值和
的单调增区间；
41
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(2)如图所示，若函数
的图象在
连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在
，
使得
，利用这条性质证明：函数
图象上任意两点的连线斜率不小于
．
【解析】（1）因为
，则
，
依题意，有
，即
．
所以
，
，
令
，得
或
，
令
，得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
满足题意，同时，
的单调增区间为
和
；
（2）猜想如下：
因为
表示的
两端点连线的斜率，
而由题可知，
上必然存在点
，使得其切线的斜率为
，即
，
所以一定定存在
，使得
；
证明如下：
因为
，
则
．
由猜想可知，对于函数
图象上任意两点
，
在
之间一定存在一点
，使得
，
又
，故有
.
13．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不
等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数
，在
时，有不等式
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成立；在
时，有不等式
成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当
时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知
是大于
的实数（全部同号），证明
【解析】（1）猜想：伯努利不等式等号成立的充要条件是
，或
．
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，其他值均不能保证等号成立，
猜想，伯努利不等式等号成立的充要条件是
，或
；
（2）当
时，我们需证
，
设
，注意到
，
，令
得
，
即
，
是
的一个极值点．
令
，则
，
所以
单调递增．
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
所以在
处
取得极小值
，
即
恒成立，
．
伯努利不等式对
得证．
（3）当
时，原不等式即
，显然成立．
当
时，构造数列
：
，
则
，
若
，由上式易得
，即
；
若
，则
，所以
，
故
，
即此时
也成立．
所以
是一个单调递增的数列（
），
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由于
，所以
，
故原不等式成立．
14．（2024·河北石家庄·一模）伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数
且
，正整数n 不小于2，那么
．研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下
问题．
(1)证明：当
时，
对任意
恒成立；
(2)证明：对任意
，
恒成立．
【解析】（1）证明：令
，
当
时，
，原不等式成立；
当
时，
当
时，
，
，
单调递减；
当
单调递增；
所以
，即
.
（2）要证对任意
，
恒成立，只需证
即证
，
由（1）知对于任意正整数
所以
那么
下面证明
成立，
要证
成立，只需证
令
，即证明
成立；
令
则
；
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当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
又
所以当
时，
，
所以
.
所以上面（*）式可化为
.
所以命题得证.
15．（2024·高一·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20 班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数
的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数
和
，虽然它们都是
增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概
念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为
，如果对于
内任意两数
，都有
，则称
为
上的凹函数；若
，则
为凸函数.
对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen 不等式）：若f（x）是区间
上的凹函数，则对任意的
,有不等式
恒成立（当且仅当
时等号成立）. 小组成员通
过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是
构造函数.小组成员选择了反比例型函数
和对数函数
，研究函数的凹凸性.
(1)设
，求W=
的最小值.
(2)设
为大于或等于1 的实数，证明
（提示：可设
）
(3)若a>1，且当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）记函数
，首先证明其凹凸性：
,则
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所以
在
为凹函数.
由琴生不等式，得
，
即
所以
，当
时，W 的最小值为
.
（2）设
,因为
故
要证
只需证
由琴生不等式，只需证
在
为凹函数.
设
，
下证
，即证
，
即证
,
化简得
.
即证
式显然成立，所以
成立，
在
为凹函数，则
得证.
（3）当
时，不等式
恒成立，即
，因为
,即
恒成
立，
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可得
在
时恒成立．
因为
，所以
，
，所以
．
由
，及
，可得
，所以
．
故
．
16．（2024·高一·北京·期中）无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门
广场三千人合唱的磅礴震撼，“930 烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严
金帆合唱团，
这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开
学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1 就是金帆排练厅，大家都亲
切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱
台（图3），正六棱柱的侧棱
交
的延长线于点
，经测量
，且
(1)写出三条正六棱台的结构特征.
(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，
估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：
）
(3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的
数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数
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，你看这多美妙!”
“小迷糊”：“.....”
亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下
的最大值吧.
注：可以参考（不限于）下面公式：
①
元均值不等式：
②琴生不等式：
若函数
在
上为“凸函数”，且
为
上任意
个实数，则
注：
在
是“凸函数”
③柯西不等式：
注：其二元形式为
【解析】（1）类似于上下底面平行，相似，都是正六边形，侧棱等长，侧棱延长交于一点，侧面都是等
腰梯形，等等.
（2）在
中，可求
，
所以排练厅上底面为边长10 的正六边形，下底面为边长9 的正六边形，高为
，
所以
，
所以
.
（3）法1.四元均值不等式
.
48
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当且仅当
，即
时取等号.
所以
最大值为
.
法2.琴生不等式法
，
当且仅当
，即
取等号.
所以
最大值为
.
法3.二元均值不等式推广
，
，
当且仅当
时取等号.
所以
最大值为
.
法4.柯西不等式
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，根据二次函数知识可知当
取得最大值
，
所以
；
柯西不等式等号成立时与二次函数取到最值时相同，当且仅当
.
所以
最大值为
.
17．（2024·高三·重庆·开学考试）如果函数
的导数
，可记为
．若
，则
表示曲线
，直线
以及
轴围成的“曲边梯形”的
面积．
(1)若
，且
，求
；
(2)已知
，证明：
，并解释其几何意义；
(3)证明：
，
．
【解析】（1）当
时，因为
，所以设
，
又
，代入上式可得
，
所以，当
时，
；
当
时，设
，同理可得
，
综上，
.
（2）因为
，所以
，
设
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增，所以
，故
，即
；
设
，
，
则
恒成立，所以
在
上单调递增，
，
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所以
，
综上，
.
几何意义：当
时，曲线
与直线
（
轴），
以及
轴围成的“曲边面积”大于直
线
（
轴），
以及
轴，直线
围成的矩形面积，小于
（
轴），
以及
轴，
直线
围成的矩形面积.
（3）因为
，
所以
，
设
，则
，
所以
，
故
.
18．（2024·高二·重庆·阶段练习）阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：知识卡片1：一般地，如
果函数
在区间
上连续，用分点
将区间
等分成
个小区
间，在每个小区间
上任取一点
，作和式
（其中
为小区
间长度），当
时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数
在区间
上的定积分，
记作
即
.这里，
与
分别叫做积分下限与积分上限，区间
叫做积
分区间，函数
叫做被积函数，
叫做积分变量，
叫做被积式.从几何上看，如果在区间
上
函数
连续且恒有
，那么定积分
表示由直线
和曲线
所围成的曲边梯形的面积.知识卡片2：一般地；如果
是区间
上的连续函数，并且
，
那么
.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.
(1)用定积分表示曲线
及
所围成的图形的面积，并确定
取何值时，使所围图形的
面积最小；
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(2)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度
（单位：
）紧急
刹车至停止.求：
①求火车在刹车4 秒时速度的瞬时变化率（即4 秒时的瞬时加速度）；
②紧急刹车后至停止火车运行的路程.
【解析】（1）
，
当
时，由曲线围成的图形面积最小．
（2）①
，则
，
故火车在刹车4 秒时速度的瞬时变化率为
；
②当火车的速度
时火车完全停止，即
，
，解得
或
（舍去）；
即从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为
．
根据定积分的物理意义，紧急刹车后火车运行的路程就是从0 到10 对应函数
的定积分，
，
即紧急刹车后火车运行的路程为
．
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