北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
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一、单项选择题
1.(2021全国Ⅰ卷地区3月联考,4)宋代著名类书《太平御览》记载:“伏羲坐于方坛之上,听八风
之气,乃画八卦.”乾为天,坤为地,震为雷,坎为水,艮为山,巽为风,离为火,兑为泽,象征八种自然现象,
以类万物之情.如图所示为太极八卦图,八卦分据八方,中绘太极,古代常用此图作为除凶避灾的吉
祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成,其中“ ”为阳爻,“ ”为阴爻.现从
八卦中任取两卦,已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻,则另一卦至少有两个阳爻的概率为 (
)
4 3 5 2
A. B. C. D.
7 7 6 3
答案 D 由八卦图可知,八卦中有1卦有三个阳爻,有3卦恰有一个阳爻,有3卦恰有两个阳爻,有
1卦没有阳爻.设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件A,“另一卦至少有两个阳爻”为
事件B.
解法一:因为P(A)=1-P( A )=1- C 5 2 = 9 ,P(AB)= C1 3 C1 4=3 ,所以P(B|A)=P(AB) =2 ,选D.
C2 14 C2 7 P(A) 3
8 8
n(AB) 12 2
解法二:因为n(A)=C1C1+C2=18,n(AB)=C1C1=12,所以P(B|A)= = = ,选D.
3 5 3 3 4 n(A) 18 3
1
2.(2021安徽蚌埠二模,6)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<1)·P(X>3)= ,则P(1<X<2)=
9
( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 4 3 2
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1 1
答案 A 由正态分布X~N(2,σ2)知,对称轴为μ=2,由对称性,知P(X<1)=P(X>3)= ,则P(1<X<2)=
3 2
P(1<X<3)=1×( 1 1)=1.
1- -
2 3 3 6
3.(2021四川顶级名校模拟,10)下列正确命题的序号为 ( )
①若随机变量X~B(100,p),且E(X)=20,则D(1 )=5.
X+1
2
②在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3,则A与B∪C∪D
是互斥事件,也是对立事件.
③一只袋内装有m个白球,n-m个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出
(n-m)A2
了ξ个白球,P(ξ=2)等于 m.
A3
n
④由一组样本数据(x,y),(x,y),…,(x,y)得到回归直线方程^=bx+a,那么直线^=bx+a至少经过
1 1 2 2 n n
y y
(x,y),(x,y),…,(x,y)中的一个点.
1 1 2 2 n n
A.②③ B.①②
C.③④ D.①④
答案 A ①因为随机变量X~B(100,p),且E(X)=20,
所以100p=20,解得p=0.2,
所以D(X)=100×0.2×(1-0.2)=16,
所以D(1 )=1D(X)=1×16=4,
X+1
2 4 4
故①错误;
②因为在一次随机试验中,
彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3,四个事件的概率和为
0.2+0.2+0.3+0.3=1,
所以当A与B∪C∪D是互斥事件时,也是对立事件,
故②正确;
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③依题意,ξ=2表示一共取出了3个球,且前两次取的都是白球,第三次取出的是黑球,
因为袋中一共有m+n-m=n(个)球,
从中任取出3个球有 种不同的方法,
A3
n
(n-m)A2
前两次取出白球,第三次取出黑球有(n-m) A2种不同的方法,所以P(ξ=2)= m,
m A3
n
故③正确;
④由回归直线过样本点的中心(x,y),而不一定过样本数据中的各点,知④错误.
故选A.
4.(2021天津河北二模,5)某小区为了解居民用水情况,通过随机抽样得到部分家庭月均用水量(单
位:t),将所得数据分为6组:[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14),[14,16],并整理得到如下频率分布直方图,
若以频率替代概率,从该小区随机抽取5个家庭,则月均月水量在区间[8,12)内的家庭个数X的数
学期望为( )
A.3.6 B.3 C.1.6 D.1.5
答案 B 由题中频率分布直方图知一个家庭月均用水量在8~12吨的概率为(0.16+0.14)×2=0.6.
X~B(5,0.6),∴E(X)=5×0.6=3.故选B.
5.(2021浙江台州二模,7)已知m,n∈(0,1),离散型随机变量ξ的分布列如下表:
ξ 0 3m 2
5
P m n
12
若P( 1)=1,则Eξ= ( )
ξ≤
2 3
3 5 11 9
A. B. C. D.
4 12 12 5
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答案 C 因为P( 1)=1,所以m=1.
ξ≤
2 3 3
5 1 1 5 1 11
由m+ +n=1可知n= ,所以Eξ=0× +1× +2× = ,故选C.
12 4 3 12 4 12
2
6.(2021浙江湖丽衢三地市4月联考,7)设0<p< .随机变量ξ的分布列是
3
ξ -1 0 1
1 2
P p -p
3 3
则当p在( 2)内增大时, ( )
0,
3
A.D(ξ)增大 B.D(ξ)减小
C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小
答案 D 由题表得E(ξ)=2-2p,E(ξ2)=2,则D(ξ)=E(ξ2)-[E(ξ)]2=2-(2 ) 2 =-4( 1) 2 +2,所以
-2p p-
3 3 3 3 3 3
D(ξ)在( 1)上递增,在(1 2)上递减,故选D.
0, ,
3 3 3
7.(2021浙江新高考研究卷(三),8)一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球m个、黑球n
个,m,n∈N*,m≥2,n≥2.现随机取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ;当无
1
放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ,则 ( )
2
A.E(ξ)=E(ξ),D(ξ)>D(ξ)
1 2 1 2
B.E(ξ)<E(ξ),D(ξ)<D(ξ)
1 2 1 2
C.E(ξ)=E(ξ),D(ξ)<D(ξ)
1 2 1 2
D.E(ξ)>E(ξ),D(ξ)>D(ξ)
1 2 1 2
答案 A 当有放回依次取出两个小球时,P(ξ=0)= n2 ,P(ξ=1)= 2mn ,P(ξ=2)=
1 1 1
(m+n)2 (m+n)2
m2
,
(m+n)2
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2m 2mn
所以E(ξ)= ,D(ξ)= .
1 m+n 1 (m+n)2
n(n-1) 2mn
当无放回依次取出两个小球时,P(ξ=0)= ,P(ξ=1)=
2 (m+n)(m+n-1) 2 (m+n)(m+n-1)
m(m-1) 2m 2mn m+n-2
,P(ξ=2)= ,所以E(ξ)= ,D(ξ)= · .
2 (m+n)(m+n-1) 2 m+n 2 (m+n)2 m+n-1
综上,E(ξ)=E(ξ),D(ξ)>D(ξ),故选A.
1 2 1 2
1 1
小题巧解 利用赋值法,如取m=n=2,则E(ξ)=E(ξ)=1,D(ξ)= ,D(ξ)= .D(ξ)>D(ξ),故选A.
1 2 1 2 1 2
2 3
二、多项选择题
8.(2021届湖北荆州中学8月月考,12)已知某校高三年级有1 000人参加一次数学模拟考试,现把
这次考试的分数转换为标准分,标准分的分数转换区间为[60,300],若使标准分X服从正态分布
N(180,900),则 ( )
(参考数据:①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 3)
A.这次考试标准分超过180分的约有450人
B.这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997
3
C.甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
8
D.P(240<X≤270)=0.042 8
1
答案 BC 由已知得:标准分超过180分的约有1 000× =500人,故A不正确.
2
标准分在(90,270]内的人数约为0.997 3×1 000≈997,故B正确.
1 1
因为每个人的标准分超过180分的概率为 ,不超过180分的概率为 ,所以甲、乙、丙三人恰有
2 2
2人的标准分超过180分的概率为 C2 ×(1) 2 ( 1- 1)=3,故C正确.
3 2 2 8
0.997 3-0.954 5
P(240<X≤270)≈ =0.021 4,故D不正确.故选BC.
2
三、填空题
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9.(2021江西重点中学4月联考,15)已知某农场某种植物高度ξ~N(μ,0.04),且P(ξ<6)=P(ξ≥6),如果这
个农场有这种植物10 000棵,那么估计该农场这种植物高度在区间(6.2,6.4]上的棵数为 .
参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.997
3.
答案 1 359
解析 由P(ξ<6)=P(ξ≥6),得μ=6,
又ξ~N(μ,0.04),
∴σ=0.2,
则P(6.2<ξ≤6.4)=P(μ+σ<ξ≤μ+2σ)
1
= [P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ<ξ≤μ+σ)]
2
1
= ×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9,
2
∴估计该农场这种植物高度在区间(6.2,6.4]上的棵数为10 000×0.135 9=1 359.
3
10.(2021天津和平一模,13)甲、乙两名同学进行篮球投篮练习,甲同学一次投篮命中的概率为 ,
4
2
乙同学一次投篮命中的概率为 ,假设两人投篮命中与否互不影响,则甲、乙两人各投篮一次,至少
3
有一人命中的概率是 .
11
答案
12
解析 甲、乙两人各投篮一次,至少有一人命中的概率P=1-( 3)( 2)=11.故答案为11.
1- 1-
4 3 12 12
11.(2021天津十二校一模,13)一个盒子里有1个红1个绿4个黄六个相同的球,每次拿一个,共拿三
次,记拿到黄色球的个数为X.
(1)若取球过程是无放回的,则事件“X=2”的概率为 ;
(2)若取球过程是有放回的,则E(X)= .
3
答案 (1) (2)2
5
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解析 (1)无放回取球时,6个球任取三个,有 种不同的取法,其中取到黄球的个数为2的取法有
C3
6
C2C1种,故P(X=2)=
C2
4
C1
2=3.
4 2 C3 5
6
(2)有放回取球时,每次取到黄球的概率都是4=2,由题意得X~B( 2),∴E(X)=3×2=2.
3,
6 3 3 3
12.(2021天津河北一模,12)袋子中有5个大小质地完全相同的小球,其中有3个红球,2个黄球,从袋
中一次性随机取出3个小球后,再将小球放回.则“取出3个小球中有2个红球,1个黄球”的概率
为 ,记“取出的3个小球中有2个红球,1个黄球”发生的次数为X,若重复5次这样的实
验,则X的数学期望为 .
3
答案 ;3
5
解析 设事件A为“取出的3个球中有2个红球,1个黄球”,则P(A)= C 3 2C1 2=3 ,由题意可得,X~B
C3 5
5
( 3),则E(X)=5×3=3.故答案为3;3.
5,
5 5 5
四、解答题
13.(2021河南新乡一模,18)某射击小组由两名男射手与一名女射手组成,射手的每次射击都是相互
2 1
独立的,已知每名男射手每次的命中率为 ,女射手每次的命中率为 .
3 3
(1)当每人射击2次时,求该射击小组共射中目标4次的概率;
(2)当每人射击1次时,规定两名男射手先射击,如果两名男射手都没有射中,那么女射手失去射击
资格.一个小组共射中目标3次得100分,射中目标2次得60分,射中目标1次得10分,没有射中目
标得-50分.用随机变量X表示这个射击小组的总得分,求X的分布列及数学期望.
解析 (1)记“该射击小组共射中目标4次”为事件A,
则P(A)=(2) 4 ×(2) 2 + C3(2) 3 ×1× C1(1)×2+
C2
×(2) 2 ×(1) 2 ×(1) 2 =216= 8 .
3 3 4 3 3 2 3 3 4 3 3 3 729 27
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(2)X的可能取值为100,60,10,-50,
P(X=100)=(2) 2×1= 4 ,
3 3 27
P(X=60)= C2(2) 2×2+
C1
×2×1×1=12=4,
2 3 3 2 3 3 3 27 9
2 1 2 8
P(X=10)=C1× × × = ,
2 3 3 3 27
P(X=-50)=(1) 2=1,
3 9
所以X的分布列为
X 100 60 10 -50
4 4 8 1
P
27 9 27 9
4 4 8 1 350
故X的数学期望E(X)=100× +60× +10× -50× = .
27 9 27 9 9
14.(2021四川南充重点高中月考,18)为了了解扬州市高中生周末运动时间,随机调查了3 000名学
生,统计了他们的周末运动时间,制成如下的频率分布表:
周末运动
[30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90]
时间t(分钟)
人数 300 600 900 450 450 300
(1)从周末运动时间在[70,80)的学生中抽取3人,在[80,90]的学生中抽取2人,现从这5人中随机推
荐2人参加体能测试,记推荐的2人中来自[70,80)的人数为X,求X的分布列和数学期望;
(2)由频率分布表可认为:周末运动时间t服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为周末运动时间的平均数t,σ
近似为样本的标准差s,并已求得s≈14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率,现从扬州市所有高
中生中随机抽取10名学生,记周末运动时间在(43.9,87.7]之外的人数为Y,求P(Y=2)的值.(精确到
0.001)
参考数据1:当t~N(μ,σ2)时,P(μ-σ<t<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<t<μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<t<μ+3σ)=0.997 3.
参考数据2:0.818 68≈0.202,0.181 42≈0.033.
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解析 (1)随机变量X的可能取值为0,1,2,P(X=0)= C 3 0C 2 2 = 1 ,P(X=1)= C1 3 C1 2=3 ,P(X=2)= C 3 2C 2 0 =
C2 10 C2 5 C2
5 5 5
3
,
10
所以X的分布列为
X 0 1 2
1 3 3
P
10 5 10
1 3 3 6
所以E(X)=0× +1× +2× = .
10 5 10 5
1
(2)μ=t= ×(35×300+45×600+55×900+65×450+75×450+85×300)=58.5,
3 000
又43.9=58.5-14.6=μ-σ,87.7=58.5+14.6×2=μ+2σ,
0.682 7+0.954 5
所以P(43.9<t≤87.7)=P(μ-σ<t≤μ+2σ)= =0.818 6,
2
所以P(t≤μ-σ或t>μ+2σ)=1-0.818 6=0.181 4,
所以Y~B(10,0.181 4),
所以P(Y=2)= ×0.181 42×0.818 68≈45×0.033×0.202≈0.300.
C2
10
15.(2021东北三省四市第二次模拟,18)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇,特别在疫
情期间,电子商务更被群众广泛认可,2020年双11期间,某平台的销售业绩高达3 568亿人民币.与
此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务评价体系.现从评价系统中选出200次成功的
交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都作
出好评的交易为80次.
(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关?
(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务都作出好评的次数
为随机变量X.
①求对商品和服务都作出好评的次数X的分布列(概率用组合数算式表示);
②求X的数学期望和方差.
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
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(
n(ad-bc)2
)
K2= ,其中n=a+b+c+d
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
解析 (1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表:
对服务好评 对服务不满意 合计
对商品好评 80 40 120
对商品不满意 70 10 80
合计 150 50 200
200×(80×10-40×70)2
K2的观测值k= ≈11.111>10.828,
150×50×120×80
所以可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关.
2
(2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为 ,且X的取值可以是0,1,2,3,4,5.
5
其中P(X=0)=(3) 5 ;P(X=1)= C1(2) 1 (3) 4 ;P(X=2)= C2(2) 2 (3) 3 ;P(X=3)= C3(2) 3 (3) 2 ;P(X=4)=
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
C4(2) 4 (3) 1 ;P(X=5)=(2) 5.
5 5 5 5
X的分布列为:
X 0 1 2
P
(3) 5 C1(2) 1 (3) 4 C2(2) 2 (3) 3
5 5 5 5 5 5 5
X 3 4 5
P
C3(2) 3 (3) 2 C4(2) 4 (3) 1 (2) 5
5 5 5 5 5 5 5
②由于X~B( 2),所以E(X)=5×2=2,D(X)=5×2×( 2)=6.
5, 1-
5 5 5 5 5
10 / 10
