北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§11.4 抽样方法与总体分布的估计
【5 年高考】
1.(2020新高考Ⅰ,5,5分)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜
欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 ( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
答案 C
2.(2020课标Ⅲ文,3,5分)设一组样本数据x,x,…,x 的方差为0.01,则数据10x,10x,…,10x 的方差为 ( )
1 2 n 1 2 n
A.0.01 B.0.1 C.1 D.10
答案 C
3.(2020天津,4,5分)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),
[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间
[5.43,5.47)内的个数为( )
A.10 B.18 C.20 D.36
答案 B
4.(多选题)(2020新高考Ⅱ,9,5分)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化,各地有序推动复工复产,下面是某地连
续11天的复工、复产指数折线图.根据该折线图,( )
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.在这11天期间,复产指数的增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天,复工指数和复产指数都超过80%
D.第9天至第11天,复产指数的增量大于复工指数的增量
答案 CD
5.(2019课标Ⅲ,3,5分)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国
古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游
记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红
楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 C
6.(2018课标Ⅰ,3,5分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该
地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是 ( )
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
答案 A
7.(2017课标Ⅲ,3,5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至
2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是 ( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
答案 A
8.(2020江苏,3,5分)已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是 .
答案 2
9. (2017江苏,3,5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检
验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取
件.
答案 18
10.(2020课标Ⅰ文,17,12分)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等
级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂
家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分
厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并
统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工
业务?
11.(2019课标Ⅲ,17,12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分
成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积
相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据
分别得到如下直方图:
记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
[教师专用题组]
【5 年高考】
1.(2019课标Ⅰ文,6,5分)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生
中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是
( )
A.8号学生 B.200号学生
C.616号学生 D.815号学生
答案 C 本题考查系统抽样;考查了数据处理能力;考查的核心素养为数据分析.
将1 000名学生分成100组,每组10人,则每组抽取的号码构成公差为10的等差数列{a},由题意知a=46,则
n 5
a=a+(n-5)×10=10n-4,n∈N*,易知只有C选项满足题意.故选C.
n 5
解题关键 明确系统抽样的方法是解决本题的关键.
2.(2015湖南文,2,5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的
运动员人数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 B 从35人中用系统抽样方法抽取7人,则可将这35人分成7组,每组5人,从每一组中抽取1人,而成
绩在[139,151]上的有4组,所以抽取4人,故选B.
3.(2015北京文,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,
在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为 ( )
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1 800
青年教师 1 600
合计 4 300
A.90 B.100 C.180 D.300
答案 C 本题考查分层抽样,根据样本中的青年教师有320人,且青年教师与老年教师人数的比为1
9
600∶900=16∶9,可以得到样本中的老年教师的人数为 ×320=180,故选C.
16
4.(2014重庆文,3,5分)某中学有高中生3 500人,初中生1 500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法
从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为 ( )
A.100 B.150 C.200 D.250
70 n
答案 A 由分层抽样的特点可知 = ,解之得n=100.
3 500 3 500+1 500
5.(旧课标)(2014湖南文,3,5分)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样
和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p,p,p,则 ( )
1 2 3
A.p=p<p B.p=p<p C.p=p<p D.p=p=p
1 2 3 2 3 1 1 3 2 1 2 3
n
答案 D 在简单随机抽样、系统抽样和分层抽样中,每个个体被抽中的概率均为 ,所以p=p=p,故选D.
1 2 3
N
评析 随机抽样的要求是每个个体被抽中的概率相等,与具体的方法无关.
6.(旧课标)(2014广东文,6,5分)为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的
样本,则分段的间隔为( )
A.50 B.40 C.25 D.20
1 000
答案 C 由系统抽样的定义知,分段间隔为 =25.故答案为C.
40
7.(旧课标)(2013课标Ⅰ理,3,5分)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学
生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情
况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( )
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样 D.系统抽样
答案 C 因为男女生视力情况差异不大,而各学段学生的视力情况有较大差异,所以应按学段分层抽样,故
选C.
评析 本题考查了分层抽样,准确理解分层抽样的意义是解题关键.
8.(2013江西理,4,5分)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取
方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的
编号为 ( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B.07 C.02 D.01
答案 D 由题意知依次选取的编号为08,02,14,07,01,…(第2个02需剔除),所以选出来的第5个个体的编号
为01,选D.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
9.(2013陕西理,4,5分)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840
随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
答案 B 因为840∶42=20∶1,故编号在[481,720]内的人数为240÷20=12.
10.(2017山东文,8,5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组
数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为 ( )
A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7
答案 A 由茎叶图,可得甲组数据的中位数为65,从而乙组数据的中位数也是65,所以y=5.
由乙组数据59,61,67,65,78,可得乙组数据的平均值为66,
56+62+65+74+70+x
故甲组数据的平均值也为66,从而有 =66,解得x=3.故选A.
5
11.(2016山东理,3文3,5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分
布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据
直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ( )
A.56 B.60 C.120 D.140
答案 D 由频率分布直方图知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1-
(0.02+0.10)×2.5=0.7,则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140,故选D.
12.(2016课标Ⅲ理,4,5分)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均
最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.
下面叙述不正确的是( )
A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 D 由雷达图易知A、C正确;七月的平均最高气温超过20 ℃,平均最低气温约为12 ℃,一月的平均
最高气温约为6 ℃,平均最低气温约为2 ℃,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,故B正确;由雷达图
知平均最高气温超过20 ℃的月份有3个月.故选D.
13.(2015课标Ⅱ理,3,5分)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下
结论中不正确的是 ( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
答案 D 由柱形图可知:A、B、C均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年
份负相关,∴D不正确.
14.(2015陕西理,2,5分)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女
教师的人数为 ( )
A.167 B.137 C.123 D.93
答案 B 初中部女教师的人数为110×70%=77,高中部女教师的人数为150×(1-60%)=60,则该校女教师的人
数为77+60=137,故选B.
15.(2015安徽理,6,5分)若样本数据x,x,…,x 的标准差为8,则数据2x-1,2x-1,…,2x -1的标准差为 ( )
1 2 10 1 2 10
A.8 B.15 C.16 D.32
答案 C 设样本数据x,x,…,x 的标准差为s,则s=8,可知数据2x-1,2x-1,…,2x -1的标准差为2s=16.
1 2 10 1 2 10
16.(2014陕西文,9,5分)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x,x,…,x ,其均值和方差分别为x和s2,若从下月
1 2 10
起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为 ( )
A.x,s2+1002 B.x+100,s2+1002
C.x,s2 D.x+100,s2
1
答案 D 设增加工资后10位员工下月工资均值为x',方差为s'2,则x'= [(x+100)+(x+100)+…+(x +100)]=
1 2 10
10
1 1 1
(x+x+…+x )+100=x+100;方差s'2= [(x+100-x')2+(x+100-x')2+…+(x +100-x')2]= [(x-x)2+(x-x
1 2 10 1 2 10 1 2
10 10 10
)2+…+(x -x)2]=s2.故选D.
10
17.(旧课标)(2018课标Ⅲ文,14,5分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了
解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最
合适的抽样方法是 .
答案 分层抽样
解析 本题考查抽样方法.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,所以根据三种抽样方法的特点可知最合适的抽样方法是
分层抽样.
18.(2015福建文,13,4分)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年
级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为 .
答案 25
45 x
解析 男生人数为900-400=500.设应抽取男生x人,则由 = 得x=25.即应抽取男生25人.
900 500
19.(2014天津理,9,5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从
该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年
级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名学生.
答案 60
4
解析 ×300=60(名).
20
20.(2012天津理,9,5分)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取
30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取 所学校,中学中抽取 所学校.
答案 18;9
150
解析 应从小学中抽取 ×30=18(所).
150+75+25
75
应从中学中抽取 ×30=9(所).
150+75+25
评析 本题考查分层抽样及数据处理能力.
21.(2011江苏,6,5分)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差s2=
.
16
答案
5
x +x +x +x +x 10+6+8+5+6
解析 记星期一到星期五收到的信件数分别为x,x,x,x,x,则x= 1 2 3 4 5=
1 2 3 4 5 5 5
=7.
1 1 16
∴s2= [(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2]= [(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]= .
1 2 3 4 5
5 5 5
评析 本题主要考查方差的公式,考查学生的运算求解能力.公式记忆准确,运算无误是解答本题的关键,属中
等难度题.
22.(2012福建文,14,4分)一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方
法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是 .
答案 12
56 4
解析 男女运动员人数比例为 = ,
98-56 3
分层抽样中男女人数比例不变,则女运动员人数为
3
28× =12.故应抽取女运动员人数是12.
7
评析 本题考查分层抽样方法.考查学生运算求解能力.
23.(2018江苏,3,5分)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的
平均数为 .
8 9 9
9 0 1 1北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 90
解析 本题考查茎叶图、平均数.
5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,
1
则这5位裁判打出的分数的平均数为 ×(89+89+90+91+91)=90.
5
方法总结 要明确“茎”处数字是十位数字,“叶”处数字是个位数字,正确写出所有数据,再根据平均数的
概念进行计算.
24.(2015湖北文,14,5分)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费
金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a= ;
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 .
答案 (1)3 (2)6 000
解析 (1)由频率分布直方图可知:
0.1×(0.2+0.8+1.5+2.0+2.5+a)=1,解得a=3.
(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的频率为0.1×(3.0+2.0+0.8+0.2)=0.6,所以所求购物者的人数为0.6×10
000=6 000.
25.(2014江苏,文6,5分)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所
得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部
周长小于100 cm.
答案 24
解析 60×(0.015+0.025)×10=24(株).
26.(2019课标Ⅱ理,13文14,5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次
的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次
的平均正点率的估计值为 .
答案 0.98
解析 本题考查离散型随机变量的均值计算;考查抽象概括能力和运算求解能力;考查的核心素养为数学抽
象和数学运算.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正点率为0.99的事件
10 1 20 1 10 1
为C,则用频率估计概率有P(A)= = ,P(B)= = ,P(C)= = ,所以经
10+20+10 4 10+20+10 2 10+20+10 4
1 1 1
停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97× +0.98× +0.99× =0.98.
4 2 4
27.(2019课标Ⅱ文,19,12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到
这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)
企业数 2 24 53 14 7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确
到0.01)
附:√74≈8.602.
解析 本题考查了统计的基础知识、基本思想和方法,考查学生对频数分布表的理解与应用,考查样本的平
均数,标准差等数字特征的计算方法,以及对现实社会中实际数据的分析处理能力.
14+7
(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为 =0.21.
100
2
产值负增长的企业频率为 =0.02.
100
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业
比例为2%.
1
(2)y= (-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,
100
1 5
s2= ∑n(y-y)2
i i
100
i=1
1
= [2×(-0.40)2+24×(-0.20)2+53×02+14×0.202+7×0.402]=0.029 6,
100
s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.
方法总结 利用频数分布表求平均数估计值的方法:各组区间中点值乘该组频数,并求和,再除以样本容量.利
用频数分布表求标准差估计值的方法:用各组区间中点值代表该组,代入标准差公式即可.
28.(2018课标Ⅰ文,19,12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头
50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水
[0,0.1) [0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)
量
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6)
频数 1 5 13 10 16 5
(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;
