北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
第十三章 数系的扩充与复数的引入
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021江西九校联考,2)复数z满足:z(1+i)=|1-i|,则复数z的实部是 ( )
√2 √2
A.-1 B.1 C.- D.
2 2
√2 √2(1-i) √2 √2 √2
答案 D z(1+i)=|1-i|⇒z(1+i)=√2⇒z= = = - i,故z的实部是 .
1+i (1+i)(1-i) 2 2 2
2.(2021东北三省三校模拟,2)复数z=i(1-i)(i为虚数单位)的共轭复数z= ( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
答案 B ∵z=i(1-i)=1+i,
∴z=1-i,故选B.
知识链接 复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z=a-bi.
2z-3
3.(2021安徽安庆一模,2)已知复数z满足 =i,则|z|= ( )
4-z
A.√5 B.5 C.2 D.4
3+4i
答案 A 由题意得z= =2+i,所以|z|=√5,故选A.
2+i
4.(2021陕西榆林模拟,1)(i4-4i)(4+i)= ( )
A.8-15i B.15i
C.8+15i D.-15i
答案 A (i4-4i)(4+i)=(1-4i)(4+i)=8-15i,故选A.
3-2i
5.(2021黑龙江齐齐哈尔模拟,2)若i为虚数单位,则 = ( )
2+2i
1 5 1 5
A. + i B.- - i
4 4 4 4
1 5 1 5
C.- + i D. - i
4 4 4 4
3-2i (3-2i)(2-2i) 2-10i 1 5
答案 D = = = - i,故选D.
2+2i (2+2i)(2-2i) 8 4 4
6.(2021黑龙江顶级名校模拟,2)复数z满足(z+i)i=-3+i,i为虚数单位,则z等于 ( )
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A.1+2i B.1-2i
C.-1+2i D.-1-2i
答案 A ∵(z+i)i=-3+i,
∴-i·i(z+i)=-i(-3+i),
∴z+i=3i+1,∴z=2i+1,故选A.
7.(2021河南信阳质检,2)已知复数z=i+i2 020,则|z|等于 ( )
A.√2 B.1 C.0 D.2
答案 A ∵z=i+i2 020=i+i4×505=i+1,
∴|z|=√2,故选A.
8.(2021山西怀仁一模,1)已知i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=|√3-i|,则z的虚部为 ( )
A.-1 B.-2 C.-i D.-2i
答案 A ∵复数z满足(1+i)z=|√3-i|,
|√3-i| 2 2(1-i)
∴z= = = =1-i,
1+i 1+i (1+i)(1-i)
∴z的虚部为-1,故选A.
i
9.(2021安徽池州模拟,2)复数z= 在复平面内对应的点在 ( )
2-5i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
i i(2+5i) -5+2i 5 2 i
答案 B z= = = =- + i,所以复数z= 在复平面内对应
2-5i (2-5i)(2+5i) 29 29 29 2-5i
的点( 5 2 )在第二象限.
- ,
29 29
10.(2021四川顶级名校二诊,2)已知i是虚数单位,若复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点位于
第四象限,则复数zi在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A ∵复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点位于第四象限,∴a>0,b<0,
则z·i=(a+bi)i=-b+ai,∴-b>0,又a>0,
∴复数z·i在复平面内对应的点位于第一象限.
故选A.
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11.(2021甘肃顶级名校联考,2)复数z=2+i,若复数z,z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,则zz=
1 1 2 1 2
( )
A.-5 B.5 C.-3+4i D.3-4i
答案 A 由题意可知,z=-2+i,
2
所以zz=(2+i)(-2+i)=-4-1=-5.
1 2
故选A.
-2+bi
12.(2021四川遂宁月考,2)已知z= (b∈R),其中i为虚数单位,若z=-bi,则|z-1|= ( )
1-i
A.1 B.2 C.√5 D.√3
-2+bi
答案 C 解法一:∵z=-bi,∴z= =bi,
1-i
∴-2+bi=bi·(1-i)=b+bi,
∴b=-2,∴z=bi=-2i,∴|z-1|=|-1-2i|=√5.
故选C.
-2+bi -2-b+(b-2)i
解法二:由已知得z= = ,
1-i 2
-2-b b-2
∵z= - i=-bi,
2 2
-2-b b-2
由复数相等的充要条件可得 =0,且- =-b,
2 2
∴b=-2,∴z=bi=-2i,∴|z-1|=|-1-2i|=√5.
故选C.
1-2i
13.(2021河南十所名校第四次联考,2)若复数z= +a(a∈R)在复平面内对应的点在第三象限,
2+i
且|z|=√5,则a=( )
1
A.2 B.- C.-1 D.-2
2
(1-2i)(2-i)
答案 D z= +a=-i+a,由|z|=√5,得√a2+(-1)2=√5,解得a=±2.又因为复数z在
(2+i)(2-i)
复平面内对应的点在第三象限,所以a=-2.
二、多项选择题
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14.(2020山东青岛期初调研检测,11)欧拉公式eix=cos x+isin x(其中i为虚数单位,x∈R)是由瑞士
著名数学家欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关
联,在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确
的是( )
π √2 √2 π
A.
e4
i= - i B.
e2
i为纯虚数
2 2
π 1 √3
C.复数eπi的模等于1 D.复数 e3 i的共轭复数为
2
-
2
i
答案 BCD 本题主要考查学生获取信息的能力,同时考查了复数及三角函数的运算,考查的核心
素养是数学运算与逻辑推理.
因为eix=cos x+isin x,
π π π √2 √2
所以 e4 i=cos
4
+isin
4
=
2
+
2
i,A不正确;
π π π π π
i=cos +isin =i是纯虚数,B项正确;eπi=cos π+isin π=-1,其模为1,C项正确; i=cos +isin
e2
2 2
e3
3
π 1 √3 1 √3
= + i,其共轭复数为 - i,D项正确,故选BCD.
3 2 2 2 2
15.(2021届山东泰安东平高级中学第二次质量检测,10)在复平面内,下列说法正确的是 ( )
1+i
A.若复数z= (i为虚数单位),则z30=-1
1-i
B.若复数z满足z2∈R,则z∈R
C.若复数z=a+bi(a,b∈R),则z为纯虚数的充要条件是a=0
D.若复数z满足|z|=1,则复数z在复平面内对应点的集合是以原点O为圆心,以1为半径的圆
1+i (1+i)2
答案 AD 对于A:z= = =i,因为i2=-1,i4=1,
1-i (1-i)(1+i)
所以z30=i30=i4×7+2=i2=-1,故A正确;
对于B:设z=a+bi,a,b∈R,所以z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,若z2∈R,则2ab=0,即a=0,b≠0或b=0,a≠0或
a=b=0,只有当b=0时,z∈R,故B错误;
对于复数z=a+bi(a,b∈R),z为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0,故C错误;
若复数z满足|z|=1,则复数z在复平面内,对应点的集合是以原点O为圆心,以1为半径的圆,故D正
确.故选AD.
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2
16.(2021届山东师范大学附属中学一模)若复数z= ,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是
1+i
( )
A.z的虚部为-1 B.|z|=√2
C.z2为纯虚数 D.z的共轭复数为-1-i
2 2(1-i)
答案 ABC z= = =1-i.
1+i (1+i)(1-i)
对于A,由z=1-i得复数z的虚部为-1,故A正确;
对于B,|z|=|1-i|=√2,故B正确;
对于C,由于z2=(1-i)2=-2i,所以z2为纯虚数,故C正确;
对于D,z=1-i的共轭复数z=1+i,故D不正确.故选ABC.
17.(2020山东济南6月模拟)已知复数z=1+cos 2θ+isin 2θ( π π ),
- <θ< ,其中i为虚数单位
2 2
下列说法正确的是 ( )
A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B.z可能为实数
C.|z|=2cos θ
1 1
D. 的实部为
z 2
π π
答案 BCD 因为- <θ< ,
2 2
所以-π<2θ<π,所以-1<cos 2θ≤1,
所以0<1+cos 2θ≤2,故复数z在复平面上对应的点不可能落在第二象限,所以A选项错误;
当sin 2θ=0,即θ=0∈( π π)时,复数z是实数,故B选项正确;
- ,
2 2
因为θ∈( π π),所以|z|= = =2cos θ,故C选项正确;
- , √(1+cos2θ)2+(sin2θ)2 √2+2cos2θ
2 2
1 1
因为 =
z 1+cos2θ+isin2θ
1+cos2θ-isin2θ
=
(1+cos2θ+isin2θ)(1+cos2θ-isin2θ)
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1+cos2θ-isin2θ
= ,
2+2cos2θ
1 1+cos2θ 1
所以 的实部是 = ,故D选项正确.故选BCD.
z 2+2cos2θ 2
三、填空题
1-i
18.(2021吉林调研测试,13)已知i是虚数单位,复数z= ,则z的虚部为 .
|i|
答案 -1
1-i
解析 因为|i|=1,所以z= =1-i,
|i|
故z的虚部为-1.
易错警示 复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为b,而不是bi.
19.(2021浙江宁波二模,11)若复数z=m2-1+(m-1)i为纯虚数(其中i为虚数单位),则实数m=
;|2+i+z|= .
答案 -1;√5
解析
由纯虚数的充要条件可知{m2-1=0,解得m=-1,
m-1≠0,
所以z=-2i,
所以2+i+z=2-i,所以|2-i|=√5.
20.(2021浙江温州二模,11)已知i是虚数单位,若复数z满足(1-i)z=2,则z的虚部为 ;z·z=
.
答案 1;2
2
解析 由题得z= =1+i,所以z的虚部为1,z·z=2.
1-i
21.(2021浙江名校协作体高三下联考,12)1748年,瑞士数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的
关系,并写出以下公式:eix=cos x+isin x,这个公式在复变论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中
3
的天桥”.根据此公式,则eiπ+1= ;(1 √3 ) = .
+ i
2 2
答案 0;-1
解析 由题可得:eiπ+1=cos π+isin π+1=0;
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(1 √3 ) 3 =( π π) 3 =( π)3=eiπ=cos π+isin π=-1.
+ i cos +isin i
2 2 3 3 e 3
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