北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§2.5 函数的图象
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021安徽六安示范高中质检,4)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为 (
)
1 1
A.f(x)= x-sin x B.f(x)= x+sin x
2 2
1 1
C.f(x)= x-cos x D.f(x)= x+cos x
2 2
1
答案 A 由图象关于原点对称,可知函数f(x)为奇函数,排除C,D;又因为当x>0时, f(x)= x+sin
2
x>0恒成立,排除B.故选A.
2.(2021安徽滁州重点高中质监,3)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[0,2]时, f(x)=(x-1)2,如果
g(x)=f(x)-log|x-1|,则函数y=g(x)的所有零点之和为( )
5
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 D 函数g(x)=f(x)-log|x-1|的零点即函数f(x)与y=log|x-1|的图象交点的横坐标.在同一平面
5 5
直角坐标系中,画出函数f(x)以及y=log|x-1|的图象,根据y=log|x-1|的图象和f(x)的图象都关于直线
5 5
x=1对称,且有8个交点,得函数g(x)=f(x)-log|x-1|的所有零点之和为2×4=8,故选D.
5
1-x
3.(2021四川顶级名校月考,6)函数y=ln +sin x的图象大致为( )
1+x
1 / 9北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
A B C D
1-x 1+x 1-x
答案 A 函数的定义域为(-1,1),令y=f(x)=ln +sin x,则f(-x)=ln +sin(-x)=-ln -sin x=-
1+x 1-x 1+x
f(x),
所以f(x)是奇函数,排除C,D,
当x=π时, f(π)=ln6-π+1.
6 6 6+π 2
1 1 6-π 1
∵- =ln >ln >ln =-1,
2 √e 6+π e
∴f(π)=ln6-π+1<0.故选A.
6 6+π 2
4.(2021四川内江二模,8)函数f(x)=e|x|-ln|x|-2的大致图象为( )
A B C D
答案 D 函数的定义域为{x|x≠0}.易知f(x)为偶函数,排除A选项;
1
当x>0时, f(x)=ex-ln x-2,则f '(x)=ex- ,
x
1
易知f '(x)=ex- 在(0,+∞)上为增函数,
x
因为f '(1)=e-1>0, f '(1)= -2<0,
√e
2
所以f '(1)·f '(1)<0,
2
所以存在x
0
∈(1
,1
),使得f '(x
0
)=0,
2
所以f(x)在(0,x)上单调递减,在(x,+∞)上单调递增,
0 0
所以f(x) =f(x),故排除BC.故选D.
min 0
2 / 9北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
5.(2021江西八所重点中学月考,7)函数f(x)=( 1)·cos(π )的图象可能为 ( )
x- x
x 2
A B
C D
答案 A 函数f(x)=( 1)cos(π )的定义域为{x|x≠0}, f(-x)=( 1 )cos( πx)=-
x- x -x- -
x 2 -x 2
( 1)·cos(πx)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除BC选项;
x-
x 2
当0<x<1时,x-1=x2-1<0,0<πx<π,则cos(πx)>0,所以f(x)<0,排除D选项.故选A.
x x 2 2 2
6.(2021全国Ⅰ卷地区联考,6)函数f(x)=4x+2+1的图象关于(
)
2x
A.点(-2,0)对称 B.直线x=-2对称
C.点(2,0)对称 D.直线x=2对称
答案 B f(x)=22x+4+1=2x+4+ 1 =4( 2x+2+ 1 ).设g(x)=4( 2x+ 1 ),则f(x)=g(x+2).因为
2x 2x 2x+2 2x
x∈R,g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=-2对称.选B.
7.(2021福建福州质检,5)已知函数f(x)=ln x,则函数y=f( 1 )的图象大致为 ( )
1-x
A B C D
3 / 9北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
答案 D ∵f(x)=ln x,∴y=f( 1 )=ln 1 =-ln(1-x),∵1-x>0,∴x<1,即函数f( 1 )的定义域为(-∞,
1-x 1-x 1-x
1),排除选项A和B,当x=-1时,y=-ln 2<0,排除选项C,故选D.
8.(2021四川顶级名校二诊,9)已知在R上的函数f(x)满足如下条件:
①函数f(x)的图象关于y轴对称;
②对于任意x∈R, f(2+x)-f(2-x)=0;
③当x∈[0,2]时, f(x)=x;
④函数f (x)=f(2n-1·x),n∈N*.若过点(-1,0)的直线l与函数f (x)的图象在x∈[0,2]上恰有8个交点,则
(n) (4)
直线l斜率k的取值范围是 ( )
A.( 8 ) B.( 11) C.( 8 ) D.( 19)
0, 0, 0, 0,
11 8 19 8
答案 A ∵函数f(x)的图象关于y轴对称,∴函数f(x)是偶函数,由f(2+x)-f(2-x)=0得f(2+x)=f(2-
x)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数,当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],∵当x∈[0,2]时,
f(x)=x,
∴当-x∈[0,2]时, f(-x)=-x,∵函数f(x)是偶函数,
∴f(-x)=-x=f(x),即f(x)=-x,x∈[-2,0],
则函数f(x)在一个周期[-2,2]上的表达式为
{ x,0≤x≤2,
f(x)=
-x,-2≤x<0,
∵f (x)=f(2n-1·x),n∈N*,∴f (x)=f(23·x)=f(8x),n∈N*,
(n) (4)
1 1
故f (x)的周期为 ,其图象可由f(x)的图象压缩为原来的 得到,作出f (x)的图象如图:
(4)
2 8
(4)
易知过M(-1,0)直线的斜率存在,
则要使过点(-1,0)的直线l与f (x)的图象在[0,2]上恰有8个交点,则0<k<k ,
(4) MA
2-0
(7 ) 8 8
∵A ,2 ,∴k =7 = ,故0<k< ,故选A.
4 MA +1 11 11
4
4 / 9北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
9.(2021北京顺义二模,6)已知函数f(x)=|x|-1-log|x|,则不等式f(x)<0的解集是 ( )
2
A.(0,1)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)
D.(-2,-1)∪(1,2)
答案 D 解法一:由题可知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).易知f(x)是偶函数,所以可只分析x>0时
的情况.当x>0时,由f(x)<0得x-1-logx<0,从而有x-1<logx,画出函数y=x-1与y=logx的图象,如图
2 2 2
所示.
观察图象得,x-1<logx的解集是(1,2).
2
由f(x)是偶函数,得f(x)<0的解集是(-2,-1)∪(1,2).故选D.
解法二:令g(t)=t-1-logt,t∈(0,+∞),
2
( 1 )
1 t- ln2 ( 1 )
g'(t)=1- = ln2 ,t∈ 0, 时,g'(t)<0.
tln2 ln2
tln2
此时函数g(t)单调递减,t∈( 1 )时,g'(t)>0,此时函数g(t)单调递增.
,+∞
ln2
1
又g(1)=g(2)=0, ∈(1,2),∴1<t<2时,g(t)<0,
ln2
则1<|x|<2时, f(x)<0,解得-2<x<-1或1<x<2.
10.(2021天津南开中学月考,9)已知函数f(x)=x(a|x|-2)(a∈R).设关于x的不等式f(x+2a)<f(x)的解集
为集合A.若(-1,1)⊆A,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1-√5 )∪( √5-1) B.( √5-1]
,0 0, 0,
2 2 2
C.( √5-1) D.(√5-1 )
0, ,1
2 2
5 / 9北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
答案 B
f(x)={ax2-2x,x≥0,
∵关于x的不等式f(x+2a)<f(x)的解集为集合A,(-1,1)⊆A,
-ax2-2x,x<0,
∴在(-1,1)上,函数y=f(x+2a)的图象应在函数y=f(x)的图象的下方.
①当a=0时,显然不满足条件.
②当a<0时,函数y=f(x+2a)的图象是把函数y=f(x)的图象向右平移-2a个单位得到的,此时函数
y=f(x+2a)的图象在函数y=f(x)的图象的上方,不满足条件.
③当a>0时,如图所示,要使在(-1,1)上,函数y=f(x+2a)的图象在函数y=f(x)的图象的下方,只要
f(1+2a)≤f(1)即可,
即a(1+2a)2-2(1+2a)≤a-2,
-1-√5 -1+√5
化简可得a2+a-1≤0,解得 ≤a≤ ,
2 2
故此时a的范围为( -1+√5 ].
0,
2
综上,a的范围为( -1+√5 ].故选B.
0,
2
x+a
11.(2021浙江金华十校4月模拟,8)函数y= 的图象不可能是( )
|ln(x-a)|
答案 D 由题可知:函数的定义域为(a,a+1)∪(a+1,+∞).
x
当a=0时,y= ,其图象如选项A中的图象所示;
|lnx|
当a<0时,若x∈(a,-a),则y<0,故B正确,D错误;
当a>0时,其图象如选项C中的图象所示.
6 / 9北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
综上,选D.
12.(2021浙江“9+1”联盟4月联考,5)函数y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当a变动时,函数
b=g(a)的图象可以是 ( )
答案 B 根据选项可知a≤0,
a变动时,函数y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],
令2|x|=16,解得x=±4,所以-4≤a≤0,所以a=-4,b=4必有一个恒成立,结合四个选项中的图象可知选B.
13.(2021浙江嘉兴二模,5)函数f(x)=( 1 1 )cos x的图象可能是 ( )
+
x-1 x+1
答案 C 由题意知f(x)的定义域为{x∈R|x≠±1},关于原点对称.f(-x)=( 1 1 )cos(-x)=-
+
-x-1 -x+1
1 1
( 1 1 )cos x=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除B;f(1)= ( + ) cos1=(2 )cos1
+ 1 1 -2
x-1 x+1 2 -1 +1 2 3 2
2 2
<0,排除A,D.故选C.
二、多项选择题
7 / 9北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
3x-1
14.(2021届福建连城第一中学月考(一))已知函数f(x)满足f(2-x)+f(2+x)=6,g(x)= ,且f(x)与g(x)
x-2
图象的交点为(x,y),(x,y),…,(x,y),则集合{x+x+…+x,y+y+…+y}的元素有 ( )
1 1 2 2 8 8 1 2 8 1 2 8
A.16 B.24
C.32 D.48
答案 AB 因为函数f(x)满足f(2-x)+f(2+x)=6,
所以函数f(x)的图象关于点(2,3)中心对称.
3x-1 3(x-2)+5 5
g(x)= = =3+ ,
x-2 x-2 x-2
所以函数g(x)的图象关于点(2,3)中心对称,
所以f(x)与g(x)图象的交点(x,y),(x,y),…,(x,y)关于点(2,3)中心对称,
1 1 2 2 8 8
所以x+x+…+x=4×2×2=16,
1 2 8
y+y+…+y=4×2×3=24.
1 2 8
所以集合{x+x+…+x,y+y+…+y}的元素有16,24.故选AB.
1 2 8 1 2 8
三、填空题
15.(2021四川联合诊断,16)设函数f(x)=ln x-mx2+2x,若存在唯一的整数x 使得f(x)>0,则实数m的
0 0
取值范围是 .
答案 [ln2 )
+1,2
4
lnx lnx
解析 显然,当m≤0时,不符合题意,当m>0时,由于x>0,所以 >mx-2,作出函数y= 的大致图
x x
象(如图),过点(0,-2)的直线y=mx-2介于(1,0)、(
2,
ln2)(
包括点
(
2,
ln2))之间时满足条件,直
2 2
线y=mx-2过点(1,0)时,m的值为2;直线y=mx-2过点( ln2)时,m的值为ln2+1,由图知m的取
2,
2 4
值范围是[ln2 ).
+1,2
4
8 / 9北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
9 / 9
