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第27 讲 卫星变轨 多星 黑洞
一、 考点精讲练
考点01：卫星变轨和对接问题（必备知识+2 例+2 变式）
考点02：双星和多星问题（必备知识+2 例+2 变式）
考点03：瓦解和黑洞问题（必备知识+1 例+1 变式）
二、 巩固提升（精选10 道题）
1.卫星发射模型
人造卫星的发射过程一般要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，
有G Mm
r1
2 ＝mv
2
r1
。
(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G Mm
r1
2 <mv A
2
r1
，卫星做离心运动进入椭圆
轨道Ⅱ。
(3)在椭圆轨道B 点(远地点)，G Mm
r2
2 >mvB
2
r2
，将做近心运动，再次点火加速，使G Mm
r2
2 ＝mvB
'2
r2
，进入圆轨
道Ⅲ。
2.变轨过程中几个物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别v1、v3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点速率分别为vA、
vB，在A 点加速，则vA>v1，在B 点加速，则v3>vB，又因为v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速
度都相同。同理，经过B 点加速度也相同。
考点一
卫星的变轨和对接问题
本讲要点
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径为r1、r2(半长轴)、r3。由开普
勒第三定律r
3
T
2＝k，可知有T1<T2<T3。
(4)机械能：卫星在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能守恒。若在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为
E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ、从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1<E2<E3。
(5)引力势能：物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，
一个质量为m 的质点距质量为M 的引力源中心为r 时，其引力势能为Ep＝－GMm
r
(G 为引力常量)。设卫
星在A 点、B 点的引力势能分别为EpA、EpB，则EpA<EpB。
3.对接
航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星
的变轨运行问题。
【例1-1】（2025·北京·高考真题）2024 年6 月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，
探测器在圆形轨道1 上绕月球飞行，在A 点变轨后进入椭圆轨道2、B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下
列说法正确的是（ ）
A．在轨道2 上从A 向B 运动过程中动能逐渐减小
B．在轨道2 上从A 向B 运动过程中加速度逐渐变大
C．在轨道2 上机械能与在轨道1 上相等
D．利用引力常量和轨道1 的周期，可求出月球的质量
【答案】A
【详解】A．在轨道2 上从A 向B 运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能
定理，动能逐渐减小，A 正确；
B．探测器受到万有引力，由G Mm
r
2 =ma，解得a=G M
r
2
在轨道2 上从A 向B 运动过程中，r 增大，加速度逐渐变小，B 错误；
C．探测器在A 点从轨道1 变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2 上机械能大于在轨
道1 上的机械能，C 错误；
D．探测器在轨道1 上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r
解得M = 4 π
2r
3
GT
2
利用引力常量G 和轨道1 的周期T，还需要知道轨道1 的半径r，才能求出月球的质量，D 错误。
故选A。
【例1-2】（2025·河北·高考真题）随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。
从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均
匀的球体，半径为R0，表面重力加速度为g0。质量为m 的飞行器与星球中心距离为r 时，引力势能为
m g0 R0
2(
1
R0
−1
r)(r ⩾R0)。要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度
为（ ）
A．❑√g0 R0
B．❑√
3 g0 R0
2
C．❑√2 g0 R0
D．❑√3 g0 R0
【答案】B
【详解】飞行器在轨道半径r =2 R0处的总机械能包括动能和势能。
引力势能为E p= 1
2 m g0 R0
根据万有引力提供向心力GMm
(2 R0)
2 =m
v
2
(2 R0)
，在地球表面有GMm
R0
2 =m g0，解得轨道速度满足v
2= g0 R0
2
，
对应动能Ek = 1
2 mv
2= 1
4 m g0 R0，总机械能E总= 3
4 m g0 R0
根据机械能守恒，初始动能1
2 mv0
2= E总，解得v0=
❑√
3 g0 R0
2
。故选B。
【变式1-1】（2024·安徽·高考真题）2024 年3 月20 日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。
当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道
的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为
24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（ ）
A．周期约为144h
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
【答案】B
【详解】A．冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得T 1
2
R1
3 = T 2
2
R2
3
整理得T 2=T 1
❑√
R2
3
R1
3 =288h，A 错误；
B．根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B 正确；
C．近月点从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动，捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时
近月点的速度，C 错误；
D．两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行
时近月点的加速度，D 错误。故选B。
【变式1-2】（2025·浙江·模拟预测）神舟飞船若采用自主快速交会对接，发射升空后先进入停泊轨道（即
近地圆轨道），再进入转移轨道，最后在中国空间站轨道与空间站组合体对接。各个轨道的示意简图如图
所示，已知地球的半径为R，飞船在停泊轨道的运行周期为T，中国空间站轨道可视为圆形轨道且距地面
高度为ℎ。从神舟十七号开始，航天员出舱活动时会进行空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施例
行巡检等任务。若考虑在空间站运行轨道上存在静止、密度为ρ的均匀稀薄气体，为了维持空间站的运动
状态，需要对空间站施加一个与其速度方向相同的动力F。则下列说法正确的是（ ）
A．飞船在P点从停泊轨道进入转移轨道时需要减速
B．飞船在转移轨道上从P点运行至Q点所需的时间为R ❑√(1+ ℎ
2 R)
3
C．若空间站探测到在其运行轨道上不远处有同向运动的10cm 空间碎片，应立即变轨规避
D．假设空间站垂直速度方向的面积为S，稀薄气体碰到空间站后立刻与其速度相同，可得空间站运行
的速度大小为❑√
F
pS
【答案】D
【详解】A．飞船从低轨道（停泊轨道）进入高轨道（转移轨道），需要做离心运动。根据离心运动条件，
需要加速使所需向心力大于万有引力，而不是减速，故A 错误；
B．根据开普勒第三定律有R
3
T
2 =
( 2 R+ℎ
2
)
3
T 转移
2
飞船在转移轨道上从P 点运行至Q 点所需的时间为t = T 转移
2
联立解得t = T
2
❑√(1+ ℎ
2 R)
3，故B 错误。
C．若空间站探测到在其运行轨道上不远处有同向运动的10cm 空间碎片，不用立即变轨规避；不会相碰，
因为他们的运行速率一样。故C 错误；
D．以运动方向和空间站作用的一段稀薄气体为对象，根据动量定理可得F Δt = Δmv
其中Δm= ρSv Δt，解得v = ❑√
F
ρS
，故D 正确。故选D。
考点二
双星和多星模型
1.双星模型
(1)定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
Gm1m2
L
2
＝m1ω1
2r1，Gm1m2
L
2
＝m2ω2
2r2。
②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m1
m2
＝r2
r1
。
⑤双星的运动周期T＝2π❑√
L
3
G(m1＋m2)
。
⑥双星的总质量m1＋m2＝4 π
2 L
3
T
2G
。
2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相
同。常见的多星及规律如下:
常见的三星模型
G m
2
(2 R)
2 ＋GMm
R
2
＝ma 向
G m
2
L
2 ×cos 30°×2＝ma 向
常见的四星模型
Gm
2
L
2 ×cos 45°×2＋Gm
2
(❑√2 L)
2＝ma 向
G m
2
L
2 ×cos 30°×2＋
GmM
(
L
❑√3)
2＝ma 向
【例2-1】（2024·重庆·高考真题）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运
动，假设a、b 两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为
m（m << M），若c 处于a、b 连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c 可视为绕O 点做角速度相同的匀
速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（ ）
A．c 的线速度大小为a 的❑√3倍
B．c 的向心加速度大小为b 的一半
C．c 在一个周期内的路程为2πr
D．c 的角速度大小为❑√
GM
8r
3
【答案】A
【详解】D．a、b、c 三个天体角速度相同，由于m << M，则对a 天体有G MM
(2r )
2 = M ω
2r
解得ω= ❑√
GM
4 r
3
，故D 错误；
A．设c 与a、b 的连线与a、b 连线中垂线的夹角为α，对c 天体有
2G
Mm
(
r
sin α )
2 cosα =mω
2
r
tan α
解得α = 30°，则c 的轨道半径为rc =
r
tan30
° = ❑√3r
由v = ωr，可知c 的线速度大小为a 的❑√3倍，故A 正确；
B．由a = ω2r，可知c 的向心加速度大小是b 的❑√3倍，故B 错误；
C．c 在一个周期内运动的路程为s=2πr =2❑√3 πr，故C 错误。故选A。
【例2-2】（多选）（2025·河南·模拟预测）地球和月球可视作一个双星系统，它们同时绕转他们连线上的
A 点转动。同时在这个转动的平面内存在五个拉格朗日点，在这些点上的卫星能够在地球和月球的共同引
力作用下也绕A 点转动，并且在转动过程中与地球和月球的相对位置保持不变。如图所示，在拉格朗日点
L4处存在一个监测卫星，与地球球心、月球球心的连线恰构成一个等边三角形，其主要作用是监测其他月
球卫星的工作情况，已知监测卫星到A 点的距离大于月球到A 点的距离，地球的质量为月球的81 倍，则
稳定运行时（ ）
A．监测卫星周期小于月球周期
B．监测卫星速度小于月球速度
C．监测卫星加速度大于月球加速度
D．地球与月球运动半径之比为1:81
【答案】CD
【详解】A．地球、月球以及在任一拉格朗日点上的卫星都具有相同的运行周期，监测卫星的运行周期等
于监测卫星的运行周期，故A 错误；
B．根据v = 2πr
T
可知，监测卫星速度大于月球速度，故B 错误；
C．根据a= 4 π
2
T
2 r可知，监测卫星加速度大于月球加速度，故C 正确；
D．设地球质量为M，地球球心到A 点的距离为r1。月球质量为月球到月球球心到A 点的距离为r2。地球
和月球可视作一个双星系统，双星系统实际绕其质心转动，根据相互间万有引力提供向心力得
G Mm
L
2 = M ω
2r1=mω
2r2，可得r1
r2
= 1
81
即地球与月球运动半径之比为1:81，故D 正确。故选CD。
【变式2-1】（多选）（2023·福建·高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长
线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太
阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心
和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M 和m，航天器的质
量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r <<
R），在L2点的航天器绕O 点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（ ）[可能用到的近似
1
(R+r)
2 ≈1
R
2(1−2 r
R)
]
A．ω=[
G( M +m)
2 R
3 )
1
2
B．ω=[
G( M +m)
R
3
)
1
2
C．r =[
3m
3 M +m)
1
3 R
D．r =[
m
3 M +m)
1
3 R
【答案】BD
【详解】AB．设太阳和地球绕O 点做圆周运动的半径分别为r1、r2，则有
G Mm
R
2 = M ω
2r1
G Mm
R
2 =mω
2r2
r1＋r2 = R
联立解得ω=[
G( M +m)
R
3
)
1
2，故A 错误、故B 正确；
CD．由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有
G M m
′
( R+r )
2 +G mm
′
r
2 =m
′ ω
2(r +r2)
再根据选项AB 分析可知Mr1 = mr2，r1＋r2 = R，ω=[
G( M +m)
R
3
)
1
2
联立解得r =[
m
3 M +m)
1
3 R，故C 错误、故D 正确。故选BD。
【变式2-2】（2025·内蒙古包头·二模）在恒星形成后的演化过程中，一颗恒星可能在运动中接近并捕获另
外两颗恒星，逐渐形成稳定的三星系统。如图所示是由三颗星体构成的系统，星体B、C 的质量均为m，
星体A 的质量是星体B 的4 倍，忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分
别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内做圆周运动。星体A、B、C 的
向心加速度大小之比为（ ）
A．❑√7:7:7
B．4:7:7
C．1:4:4
D．1:7:7
【答案】A
【详解】由儿何关系知FBA= FCA
设B、A 间的距离为d，则FBA=G 4 m
2
d
2
A 所受的合力F A=2 FBAcos30
°
联立可得F A= 4 ❑√3G m
2
d
2
由几何对称性可知星体B、C 受力大小相等，根据牛顿第三定律F AB= FBA=G 4 m
2
d
2
又FCB=G m
2
d
2
设星体B 所受的合力为FB
，正交分解FB
，有FB x = FABcos60
°+ FCB= 3Gm
2
d
2
，
FB y = FABsin60
°= 2❑√3Gm
2
d
2
则FB=
❑√FB x
2 + FB y
2 =
❑√21Gm
2
d
2
则anA:anB:anC= FA
4 m : FB
m : FC
m = ❑√7:7:7，故选A。
1.星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，
进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即GMm
R
2
＝
mω2R，得ω＝❑√
GM
R
3 。当ω>❑√
GM
R
3 时，星球瓦解，当ω<❑√
GM
R
3 时，星球稳定运行。
2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天
体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的❑√2倍)超过光速时，该天体
就是黑洞。
【例3-1】2025 年2 月28 日，国际顶级学术期刊《自然·天文学》发表了安徽师范大学物理与电子信息学
院舒新文教授研究团队的一项重大科研成果。该团队发现了中等质量黑洞吞噬恒星发出的X 射线准周期振
荡信号，这是天体物理学家在世界上首次发现该类现象，提供了宇宙中存在中等质量黑洞的关键证据。黑
洞是一个非常致密的天体，会形成强大的引力场，连光也无法逃脱。某黑洞中心天体的质量是太阳的50
亿倍，太阳质量为2×10
30kg，光在真空中的传播速度c =3×10
8 m/s，引力常量
G =6.67×10
−11Nm
2/kg
2，第二宇宙速度是第一宇宙速度的❑√2倍，请估算该黑洞最大半径的数量级为（
）
A． 10
10 m
B． 10
11m
C． 10
12m
D． 10
13 m
【答案】D
【详解】设“黑洞”的可能半径为R，质量为M，根据逃逸速度（第二宇宙速度）的定义，结合第一宇宙
速度可知，须满足❑√
2GM
R
>c
即有R< 2GM
c
2
所以“黑洞”的可能最大半径Rmax = 2×6.67×10
−11×50×10
8×2×10
30
(3×10
8)
2
m=1.5×10
13 m，故选D。
【变式3-1】（多选）2019 年人类天文史上首张黑洞图片正式公布。在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑
洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸
入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X−1
考点三
卫星的瓦解和黑洞问题
就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。
在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是（ ）
A．两者之间的万有引力变大.
B．黑洞的角速度变大.
C．恒星的线速度变大.
D．黑洞的线速度变大.
【答案】AC
【详解】A．假设恒星和黑洞的质量分别为M、m，环绕半径分别为R、r，且m< M，两者之间的距离为
L，则根据万有引力定律G Mm
L
2 = F向
恒星和黑洞的距离不变，随着黑洞吞噬恒星，M、m 的乘积变大，它们的万有引力变大，故A 正确；
B．双星系统属于同轴转动的模型，角速度相等，根据万有引力提供向心力G Mm
L
2 =mω
2r = M ω
2 R
其中R+r = L
解得恒星的角速度ω= ❑√
G( M +m)
L
3
双星的质量之和不变，则角速度不变，故B 错误；
CD．根据mω
2r = M ω
2 R，得M
m = r
R
因为M 减小，m 增大，所以R 增大，r 减小由
v恒=ωR
v 黑=ωr
可得v恒变大，v 黑变小，故C 正确，D 错误。故选AC。
1．2025 年2 月11 日，我国新型火箭长征八号改进型运载火箭首飞成功，将低轨02 组9 颗卫星送入距离
巩固提升
地面高度约为1145km 的轨道，其发射过程简化如图所示：卫星从预定轨道I 的A 点第一次变轨进入椭圆
轨道Ⅱ，到达椭圆轨道Ⅱ的远地点B 时，再次变轨进入运行轨道Ⅲ并做匀速圆周运动。假设轨道I 和Ⅲ都
近似为圆轨道，不计卫星质量的变化，下列说法正确的是（ ）
A．卫星在椭圆轨道Ⅱ经过点B 的速度小于卫星在椭圆轨道Ⅱ经过点A 的速度
B．要实现从椭圆轨道Ⅱ的B 处进入圆轨道Ⅲ，发动机需要向前喷气
C．在轨道I 上卫星与地心连线单位时间内扫过的面积等于在轨道Ⅱ上卫星与地心连线单位时间内扫过
的面积
D．卫星在轨道I 上的机械能大于卫星在轨道Ⅲ上的机械能
【答案】A
【详解】A．根据开普勒第二定律可知卫星在椭圆轨道Ⅱ经过点B 的速度小于卫星在椭圆轨道Ⅱ经过点A
的速度，故A 正确；
B．要实现从椭圆轨道Ⅱ的B 处进入圆轨道Ⅲ，需要点火加速，发动机需要向后喷气，故B 错误；
C．根据开普勒第二定律可知在轨道I 上卫星与地心连线单位时间内扫过的面积不等于在轨道Ⅱ上卫星与地
心连线单位时间内扫过的面积，故C 错误；
D．卫星从轨道I 到轨道Ⅲ需要经过两次变轨，需要两次点火加速，除了万有引力外其他力对其做正功，机
械能变大，故D 错误。
故选A。
2．史瓦西半径是任何有质量的物质都存在的一个临界半径，该半径的含义是：该物质被压缩到此半径时，
就成为一个黑洞，即它的逃逸速度等于光速c、已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的❑√2倍，该星球
半径R=6400km，表面重力加速度g 取10m/s²，光速c =3×10
8m/ s,，不考虑星球的自转，则该星球的史
瓦西半径约为（ ）
A．6 毫米
B．9 毫米
C．6 米
D．9 米
【答案】B
【详解】对该星球，有GMm
r
2
=m
( c
❑√2 )
2
r
且由黄金代换公式，有GM = g R
2
联立得史瓦西半径r = 2 g R
2
c
2
≈9×10
−3 m，即9 毫米。
故选B
3．（2025·山东·二模）我国近地小行星防御系统能够监测、预警和应对近地天体的撞击，展现了从被动预
警到主动防御的科技跨越。如图所示，近地圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ相切于P点，椭圆轨道Ⅱ和同步轨道Ⅲ
相切于Q点。现有防御卫星在轨道Ⅰ处做匀速圆周运动，经变轨后运行到同步轨道Ⅲ的M点拦截小行星进
行干预，已知地球自转的角速度为ω，防御卫星在轨道Ⅰ和Ⅲ上运行的角速度为ω1和ω3，卫星在轨道Ⅰ、
Ⅲ和轨道Ⅱ上的P点、Q点运行的线速度分别为v1、v3、v P、vQ。下列说法正确的是（ ）
A．ω=ω1>ω3
B．v P= v1>vQ= v3
C．卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点过程中，机械能增大
D．卫星在轨道Ⅲ上从Q点到M点的运动时间大于在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点运动时间
【答案】D
【详解】A．卫星绕地球做匀速圆周运动，由GMm
r
2
=mω
2r，解得ω= ❑√
GM
r
3
可知同步轨道的角速度ω3小于近地轨道的角速度ω1，而地球自转的角速度ω和同步轨道的角速度ω3相同，
综合可知ω1>ω3=ω，故A 错误；
B．卫星绕地球做匀速圆周运动，由GMm
r
2
=m v
2
r
，解得v = ❑√
GM
r
❑
可知v1>v3
，由于卫星在轨道I 的P 点需要点火加速到轨道II，则有v P>v1
，同理在Q 点有v3>vQ
，综合可
知vP>v1>v3>vQ，故B 错误；
C．卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点过程中，机械能不变，故C 错误；
D．题图可知卫星在轨道III 的轨道半径大于在轨道II 的半长轴，根据开普勒第三定律易得卫星在轨道III 的
运行周期大于在轨道II 的运行周期，故卫星在轨道Ⅲ上从Q点到M点的运动时间大于在轨道Ⅱ上从P点运
动到Q点运动时间，故D 正确。故选 D。
4．2024 年10 月21 日，针对多地出现海水倒灌现象，专家分析，这一现象可能与天文大潮有关。潮汐是
月球和太阳对海水的引力变化产生的周期性涨落现象，常用引潮力来解释，月球对海水的引潮力大小与月
球质量、地月距离有关，随着地球自转，引潮力的变化导致了海水每天2 次的涨潮落，太阳对海水的引潮
力与月球类似，但大小约为月球引潮力的0.45 倍，大潮（引潮力最大）和小潮（引潮力最小）是太阳引潮
力与月球引潮力共同作用的结果。结合如图，下列说法正确的是（ ）
A．月球在位置2 出现大潮
B．月球在位置1 出现大潮
C．涨潮只能在夜晚出现
D．退潮只能在白天出现
【答案】B
【详解】AB．当月球处在地球和太阳之间的位置时，太阳和地球的引力潮叠加在一起，潮汐现象最明显，
称为大潮，故A 错误，B 正确；
CD．引潮力的变化导致了海水每天2 次的涨潮落，故退潮不总出现在白天，涨潮不总出现在夜晚，故CD
错误。故选 B。
5．（2025·广东广州·三模）所谓“双星”就是两颗相距较近的恒星，这两颗星在彼此之间万有引力作用下，
各自以一定的速率始终绕它们连线上的某点转动，则（ ）
A．两颗星做圆周运动的半径之比等于它们质量之比
B．两颗星速度大小之比等于它们质量的反比
C．两颗星的动能之比等于它们做圆周运动的半径的反比
D．两颗星的动量始终相同
【答案】B
【详解】A．令两恒星间距为L，质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，双星圆周运动的周期相等，
可知，角速度也相等，则有G m2m1
L
2
=m1ω
2r1
，G m1m2
L
2
=m2ω
2r2
，解得r1
r2
= m2
m1
即两颗星做圆周运动的半径之比等于它们质量的反比，故A 错误；
B．根据线速度与角速度的关系有v1=ωr1，v2=ωr2
结合上述解得v1
v2
= m2
m1
即两颗星速度大小之比等于它们质量的反比，故B 正确；
C．两恒星的动能Ek1= 1
2 m1v1
2，Ek2= 1
2 m2v2
2
结合上述解得Ek1
Ek2
= r1
r2
即两颗星的动能之比等于它们做圆周运动的半径之比，故C 错误；
D．两恒星的动量p1=m1v1，p2=m2v2
结合上述解得p1= p2
可知，两恒星动量大小相等，当动量的反向始终相反，可知，两颗星的动量不相同，故D 错误。故选B。
6．（2021·山东日照·二模）春分时，当太阳光直射地球赤道时，某天文爱好者在地球表面上某处用天文望
远镜恰好观测到其正上方有一颗被太阳光照射的地球静止卫星。下列关于在日落后的12 小时内，该观察
者看不见此卫星的时间的判断正确的是（已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转角
速度为ω，不考虑大气对光的折射）（ ）
A．t = 1
ω arcsin
3√
R ω
2
g
B．t = 2
ω arcsin 3√
g
R ω
2
C．t = 2
ω arcsin
3√
R ω
2
g
D．t = 1
ω arcsin 3√
g
R ω
2
【答案】C
【详解】根据光的直线传播规律，日落后的12 小时内有t 时间该观察者看不见此卫星，如图所示
静止卫星相对地心转过角度为θ =2α
且sin α = R
r
结合θ =ωt
解得t = θ
ω =
2arcsin R
r
ω
又对静止卫星有G Mm
r
2 =mr ω
2
地球表面有G Mm
R
2 =mg
所以t = 2
ω arcsin
3√
R ω
2
g
，故选C。
7．（2025·河北石家庄·模拟预测）1772 年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个
质量相差悬殊的天体（如地球和月亮）所在同一平面上有5 个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所
示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在地球与月球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃
料而保持与地球同步做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，跟地、月两个大天体保持相对静
止。设地球质量是月球的k倍，地月间距为L，拉格朗日点L2与月球间距离为d。下列说法正确的是
（ ）
A．该卫星绕地球运动周期大于月球公转周期
B．该卫星在L2点处于平衡状态
C．该卫星与月球绕地球运动的线速度之比为v卫:v月= L:(L+d)
D．k、L、d的关系式为
1
( L+d)
2 + 1
k d
2 = L+d
L
3
【答案】D
【详解】A．该卫星与月球同步绕地球运动，可知卫星绕地球运动周期等于月球公转周期，A 错误；
B．该卫星绕地球做匀速圆周运动，所受的合力为地球和月球对它引力的合力，这两个引力方向相同，合
力不为零，处于非平衡状态，故B 错误；
C．由A 选项可得卫星与月球的角速度相等，根据v =ωr，可知v卫：v月=(L+d)：d，故C 错误；
D．设地球的质量为M，月球的质量为m1
，卫星的质量为m2
，则对月球有G M m1
L
2
=m1ω
2 L
对卫星有G M m2
( L+d)
2 +G m1m2
d
2
=m2ω
2(L+d)
其中M =k m1
联立解得
1
( L+d)
2 + 1
k d
2 = L+d
L
3
故D 正确。故选D。
8．（2025·广东广州·三模）为保护地球免遭小行星撞击，2022 年9 月人类首次尝试在太空中改变一颗小行
星的运行轨道。研究团队选择了一对双小行星系统进行研究，该系统可简化为一颗质量较小的“孪小星”
围绕着一颗质量较大的“孪大星”做匀速圆周运动，如图所示。实验时，通过引导航天器与“孪小星”迎
面相撞并合为一体，使“孪小星”绕“孪大星”运动的轨道发生轻微偏移。已知“孪小星”在原轨道运行
的半径和周期，下列说法正确的是（ ）
A．可算出“孪大星”的质量和密度
B．“孪小星”撞击后会做离心运动
C．“孪小星”撞击后的线速度比撞击前大
D．“孪小星”在偏移轨道上的运行周期比原轨道小
【答案】D
【详解】A．根据G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r，可得M = 4 π
2r
3
GT
2
则已知“孪小星”在原轨道运行的半径和周期，可求解出“孪大星”的质量M，但是由于“孪大星”的半
径未知，则不能求解其密度，故A 错误；
BC．航天器与“孪小星”迎面相撞并合为一体，根据动量守恒m小v小−m器v器=(m小+m器)v
解得v = m小v小−m器v器
m小+m器
<v小
则整体的速度减小，会做向心运动，轨道半径减小，故BC 错误；
D．根据开普勒第三定律可知，因轨道半径减小，则周期比原轨道小，故D 正确。故选D。
9．（多选）近年科学研究发现，在宇宙中，三恒星系统约占所有恒星系统的十分之一，可见此系统是一
个比较常见且稳定的系统。在三恒星系统中存在这样一种运动形式：忽略其他星体对它们的作用，三颗星
体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在
平面内以相同角速度做匀速圆周运动。如图所示为A、B、C三颗星体质量mA、mB、mC大小不同时，星
体运动轨迹的一般情况。设三颗星体在任意时刻受到的万有引力的合力大小分别为F1、F2、F3，加速度
大小分别为a1、a2、a3，星体轨迹半径分别为R A、RB、RC，下列说法正确的是（ ）
A．图中星球B对A的万有引力大于星球C对A的万有引力
B．图中三颗星体质量大小关系为mA>mC>mB
C．F1、F2、F3的矢量和不一定为0，与星体质量有关
D．a1、a2、a3的矢量和不一定为0，与星体质量有关
【答案】BD
【详解】AB．星球B对A的万有引力F BA = G mBmA
r
2
星球C对A的万有引力FCA = GmC mA
r
2
FBA 与FCA 的合力指向AO 偏向C 一侧，可知FBA< FCA
则mC>mB，同理mA>mC，故A 错误，B 正确；
CD．根据万有引力定律可知F1=FBA+FCA
同理可得F2=FAB+FCB，F3=FAC+FBC
（此处的“+”号表示的是矢量的运算）则F1+F2+F3=FBA+FCA+FAB+FCB+FAC+FBC=0
而a1+a2+a3= F1
mA
+ F2
mB
+ F3
mC
当三颗星体的质量相等时，加速度的矢量和才等于0，故C 错误，D 正确；故选BD。
10．（多选）在天文观测中，科学家们发现有一些远离地球的双星系统的运动很奇怪——两个天体时而重
合，时而分开，如图甲所示；天文学家推测，这样的系统实际上是由如图乙所示的两个绕着二者连线上某
点做匀速圆周运动的天体组成，但地球正好与该双星系统的圆周轨道处在同一平面，所以在地球上只能观
测到它们的投影运动。天文学家已经测得某个这样的双星系统投影运动的振幅A1、A2，已知万有引力常
量G。对该双星系统，下列说法正确的有（ ）
A．天体1 的质量大于天体2 的质量
B．天体1、天体2 的质量之比为A1：A2
C．若测得该双星系统的运动周期为T，则该双星系统的总质量为4 π （A1+ A2）
GT
2
D．地球上观测到两个天体的投影运动均为简谐运动
【答案】AD
【详解】A．对于双星系统，两个天体绕连线上某点做匀速圆周运动，它们的角速度ω相等，设m1做圆周
运动的半径为r1，m2做圆周运动的半径为r2，则两个天体的球心间距为L=r1+r2
根据万有引力提供向心有G m1m2
L
2
=m1ω
2r1=m2ω
2r2
化简可得m1r1=m2r2
，即m1
m2
= r2
r1
由图可知，投影振幅A1、A2分别对应两天体做圆周运动的半径r1、r2，因为A1< A2，所以r1<r2，则
m1>m2，即天体1 的质量大于天体2 的质量，故A 正确；
B．根据选项A 可知m1
m2
= r2
r1
= A2
A1
，故B 错误；
C．因为r1= A1，r2= A2，所以L=r1+r2= A1+ A2
若测得该双星系统的运动周期为T，对天体1 列向心力方程有G m1m2
L
2
=m1(
2π
T )
2
r1
将上面数据代入解得m2= 4 π
2 L
2r1
GT
2
= 4 π
2( A1+ A2)
2 A1
GT
2
同理可得m1= 4 π
2 L
2r2
GT
2
= 4 π
2( A1+ A2)
2 A2
GT
2
所以该双星系统的总质量为m1+m2= 4 π
2( A1+ A2)
2 A2
GT
2
+ 4 π
2( A1+ A2)
2 A1
GT
2
= 4 π
2( A1+ A2)
3
GT
2
，故C 错误；
D．设两天体做圆周运动的圆心为O，以圆心O 在地球上的投影为坐标原点建立x轴，某时刻天体1 距圆心
O 的距离为r1，其在x轴上的投影位置坐标为x =r1cosθ = A1cosθ
其中θ为天体1 与圆心O 连线与x轴的夹角，设天体1 做圆周运动的角速度为ω，则有θ =ωt
代入上式得x = A1cosωt
满足简谐运动的表达式x = A cosωt
同理天体2 的投影运动也满足简谐运动的表达式，所以地球上观测到两个天体的投影运动均为简谐运动，
故D 正确。故选AD。
