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专题12 常见函数模型的应用
有一些常见的函数，如
等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中
或利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并
有目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决.
(一)常见对数型函数模型
1.函数
在
上是增函数，在
是减函数，
在
处取得最大值0，
2.
的图象与直线
在
相切，以直线
为切线的函数有：
，
，
，
，
.
3.与对数型函数有关的常见不等式有：
，
，
.
4.利用
可得到
，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.
【例1】（2024 届陕西省学林高考全真模拟考试）已知函数
（
），
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)证明：
（
）；
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(3)证明：
（
）.
【解析】（1）函数
的定义域为
，
，
①当
时，
恒成立，
所以函数
的单调递减区间为
；
②当
时，由
，得
，
当
时，
；当
时，
.
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
综上，当
时，函数
的单调递减区间为
；
当
时，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）
，
恒成立，
在
上单调递减，又
，
，
.
（3）由（1）知，当
时，
，即
，
，
，
（当
时“=”成立）.
令
（
），
，即
，
，从而
，
，…，
，
累加可得
，
即
.
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由（2）知，
在
是递减函数，
，即
，
.
（
）.
(二)常见指数型函数模型
1.函数
在
上是减函数，在
上是增函数，
在
处取得最小值0，
2.与对数型函数有关的常见不等式有：
，
，
.
【例2】（2024 届河北省衡水市部分示范性高中高三下学期三模）已知
．
(1)求
的单调区间和最值；
(2)定理：若函数
在
上可导，在
上连续，则存在
，使得
．该定
理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：
若
，求证：
．
【解析】（1）
，令
，解得
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增．
当
时，
取得最小值1，无最大值；
（2）要证
，只需证
，因为
，
故只需证
．
令
，显然
在
上可导，在
上连续，
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故由拉格朗日中值定理知存在
，使得
，
而
在
上单调递增，
因为
，故
，即
，
故只需证
即可，因为
，故只需证
．
由（1）知
恒成立，因此原命题得证．
(三) 常见三角函数模型
1.函数
在
上是减函数，函数
在
上是增函数
，
2.与三角函数有关的常见不等式有：
，
，
.
【例3】（2024 届江西省宜丰中学高三下学期模拟）设
，
.
(1)当
时，证明：
；
(2)证明：
.
【解析】（1）因为
定义域为
，
所以
，
所以
为定义在
上的偶函数，下取
，
可知
，令
则
在
内单调递增，可得
，
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即
在
内恒成立，可知
在
内单调递增，
所以
在
内的最小值为
，结合偶函数性质可知：
.
（2）由（1）可得：
，当且仅当
时，等号成立，
即
，令
，则
，当
时，
，即
，
则有：
，
，
，
，
相加可得：
，
因为
，则
，所以
，
即
.
(四)
或
.
在
上是增函数，在
上是减函数，
时取得最大值
，利用
性质解题易错点
是该在
上是减函数，但该函数在
上没有零点，因为
时
.
【例4】（2024 届海南省定安县高三上学期考试）已知函数
.
(1)若
是
的极值点，求
的值；
(2)若a=1，讨论函数
的单调性；
(3)若
恒成立，求a 的取值范围；
【解析】（1）由
，得
，
因为
是
的极值点，
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所以
，即
，所以
，经检验符合题意.
（2）若a=1，
.
当
，即
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，
；在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
（3）
的定义域为
，若
恒成立，则
恒成立，
即
恒成立，令
，只需
，又
，
令
得
，
时，
，则
单调递增；
时，
，则
单调递减；
所以
，解得：
；
(五)
或
讨论
的性质要注意
，该在
和
单调递减，在
单调递增
【例5】（2024 届上海市格致中学高三下学期三模）已知
，
，是自然对数的底数.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若关于
的方程
有两个不等实根，求
的取值范围；
(3)当
时，若满足
，求证：
.
【解析】（1）当
时，
，定义域为
，求导可得
，
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令
，得
，当
时，
，函数
在区间
上单调递减，
当
时，
，函数
在区间
上单调递增，
所以
在
处取到极小值为0，无极大值.
（2）方程
，当
时，显然方程不成立，
所以
，则
，方程有两个不等实根，即
与
的图象有2 个交点，
，当
或
时，
，
在区间
和
上单调递减，
并且
时，
，当
时，
，
当
时，
，
在区间
上单调递增，
时，当
时，
取得最小值，
，
作出函数
的图象，如图所示：
因此
与
有2 个交点时，
，故
的取值范围为
.
（3）证明：
，由
，得
，
当
时，
，当
时，
，
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所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
由题意
，且
，则
，
.
要证
，只需证
，
而
，且函数
在
上单调递减，
故只需证
，又
，所以只需证
，
即证
，令
，
即
，
，由均值不等式可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立.所以函数
在
上单调递增.
由
，可得
，即
，
所以
，又函数
在
上单调递减，
所以
，即
得证.所以
，即
,即
.
【例1】（2024 届江苏省连云港市东海县石高三下学期5 月模拟）已知函数
.
(1)求函数
在
处的切线方程.
(2)证明：
.
【解析】（1）由
，可得
，
，又
，
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所以函数
在
处的切线方程为
，即
.
（2）由
，可得
，令
，可得
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
又
，即
，
所以
在
上单调递增，
所以
，当
时，
，
当
时，
，综上所述：
.
【例2】（2025 届河北省“五个一”名校联盟高三第一次联考）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
.
【解析】（1）由题函数定义域为
，
，
故当
时，
恒成立，所以函数
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，令
，则
时，
；
时，
，所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上，当
时，函数
在
上单调递减；当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
上恒成立，
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故证
证
，
即
，
令
，则
，
故当
时，
；
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上恒成立，故
，
所以当
时，
.
【例3】已知函数
．
(1)证明：
．
(2)已知
，证明：
．
【解析】（1）函数
的定义域为R，
，
由
得
，由
得
，
故
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
故
的最小值是
，所以
．
（2）由（1）得，
．令
，其中
，则
，即
，
令
，则
，
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所以
，
．
令
，则
且
不恒为零，
所以函数
在
上单调递增，故
，则
．
所以
，
．
所以
，问题得证．
【例4】（2024 届江苏省苏州市八校高三三模）已知函数
.
(1)
时，求
的零点个数;
(2)若
恒成立，求实数
的最大值;
(3)求证:
.
【解析】（1）当
时，
，则
，
所以
，令
，则
，
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增，
当
时，
，所以
在
上为增函数，
当
时，
，所以
在
上为减函数，
又
，
，
且
时，
，则存在
，
，使得
，
所以
有两个零点.
（2）令
由
，得
，
令
所以
，
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令
，可得
，
所以
在
上为增函数，所以
，
所以
，所以
，
所以
在
上单调递增，所以
，即
，
所以
恒成立，所以实数
的最大值是实数
；
（3）因为
，
由（2）可得
，所以
，
所以
，
所以
，
又
，
所以
.
【例5】（2024 届河南省部分名校高三上学期核心模拟）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间;
(2)若
,当
时,证明:
.
【解析】（1）
的定义域为
,
当
时,
,
所以
,
当
时,
;当
时,
,
所以
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
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（2）由
,得
,
所以
,
则
,
要证
,只需证
,
即证
,需证
.
令
,设
,则
,
设
,则
,
所以
在
上单调递增,则
,
所以
,所以
在
上单调递增,
由
,得
,则
,
所以
,
所以需证
,即证
.
令
，则
,即证
,设
,
则
,
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所以
在
上单调递减,则
,
所以
,即
成立,
故
.
1．（2024 届广西壮族自治区贵港市高考模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，请判断
的极值点的个数并说明理由；
(2)若
恒成立，求实数a 的取值范围．
2．（2024 届广东省东莞市东华高级中学 东华松山湖高级中学高三下学期三模）已知常数
，设
，
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)是否存在
，且
依次成等比数列，使得
、
、
依次成等差数列？请
说明理由．
(3)求证：当
时，对任意
，
，都有
．
3．（2024 届辽宁省部分高中2023-2024 学年高三下学期三模）已知函数
，其在
处的
切线斜率为
．
(1)求
的值；
(2)若点
在函数
的图象上，求
的取值范围．
4．（2024 届河北省部分中学高三下学期考点评估）已知函数
．
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(1)若
在
恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)证明：
．
5．（2024 届四川省内江市高三三模）已知函数
．
(1)若
的图象不在
轴的下方，求
的取值集合；
(2)证明：
．
6．（2024 届河北省沧州市沧县中学高三下学期模拟）已知函数
．
(1)求
的值域；
(2)求证：当
时，
．
7．（2024 届山东省菏泽第一中学高三下学期5 月月考）已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(3)证明：
.
8.（2024 届广西百色市贵百联考高三上学期9 月月考）已知函数
．
(1)当
时，讨论
在区间
上的单调性；
(2)当
时，
，求a 的取值范围．
9.已知函数
.
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若
存在两个极小值点
，求实数
的取值范围.
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10.已知函数
．
(1)当
时，若
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
(2)设
为
的两个不同零点，证明：
．
11.（2024 届陕西省西安市第一中学高三下学期高考预测）已知函数
．
(1)若函数
在
上单调递增，求实数
的值；
(2)求证：
．
12．（2024 届四川省江油中学高三上学期9 月月考）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在区间
上的最大值；
(2)若
为函数
的极值点，求证：
13.（2024 届黑龙江省哈尔滨市高三上学期9 月月考）已知函数
．
(1)若函数
的图象与直线
相切，求实数
的值；
(2)若函数
有且只有一个零点，求实数
的取值范围．
14.（2023 届四川省成都市高三上学期摸底）已知函数
．
(1)记函数
的导函数是
．证明：当
时，
；
(2)设函数
，
，其中
．若0 为函数
存在非负的极小
值，求a 的取值范围．
15．（2024 届海南省琼中县高三上学期9 月高考全真模拟）已知函数
，且
在
处取得极值．
(1)求a；
(2)求证：
．
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16．（2024 届河南省周口市项城市高三5 校青桐鸣大联考9 月）已知函数
，
.
(1)求实数
的值；
(2)证明：
时，
.
