文档文本内容
2025 年高考押题预测卷
高三数学（新高考Ⅱ卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
可解得
，所以
，
由
可解得
，又
，所以
，
所以
.
故选：A．
2．下列函数中，在区间
上为严格增函数的奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，
是偶函数，不符合奇函数要求，故A 错误；
对于B，
既不是奇函数也不是偶函数，故B 错误；
对于C，
是非奇非偶函数，故C 错误；
对于D，
，其定义域为
关于原点对称，且
，是奇函数，
同时在
上
是严格增函数，故D 正确.
故选：D.
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A．在1，3，6，7，9，10，12，15 这组数据中，第50 百分位数为8
B．分类变量A 与B 的统计量
越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大
C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为
，若
，
，
，则
D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好
【答案】D
【详解】对A：因为
，所以这组数据的第50 百分位数为：
，故A 选项内容正确；
对B：根据统计量
的意义可知，B 选项内容正确；
对C：根据线性回归方程必过
得：
，故C 选项内容正确；
对D：因为残差平方和越小，模型拟合的效果越好，故D 选项内容错误.
故选：D
4．已知向量
满足
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
所以
，
则
，
所以向量
在向量
上的投影向量为
.
故选：A.
5．已知正四棱台
，
，
分别是棱
，
的中点，平面
将正四棱
台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图，连接
，不妨设
，棱台的高设为，
所以
．
因为
，
分别是棱
，
的中点，则
，
．
又因为平面
∥平面
，可知几何体
是三棱台，
则
．
所以分割之后较大部分的体积为
，
所以较小部分与较大部分的体积之比为
．
故选：C．
6．已知函数
，若在其定义域内存在实数
满足
，则称函数
为“局部奇函数”，
若函数
是定义在
上的“局部奇函数”，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据“局部奇函数”的定义可知，方程
有解即可，
即
，所以
，
化为
有解，令
，
由基本不等式可知
，当且仅当
时取等，故
，
则有
在
上有解，设
，对称轴为
．
①若
，则
，满足方程在
上有解；
②若
，要使
在
时有解，则需
，
解得
．
综上可得，实数
的取值范围为
．
故选：B.
7．如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”
（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为
，
然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4 种颜色可供使用，则不
同的染色方法种数（ ）
A．24
B．48
C．60
D．84
【答案】D
【详解】根据牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为
，故
可转化为有公共点的4 个区域，如图所示：
1 号小方格可以从4 种颜色的染料中任取一种涂色，有4 种不同的涂法.
①当2 号，3 号小方格涂不同颜色的染料时，有
种不同的涂法，4 号小方格有2 种不同的涂法，故
由分步乘法计数原理，可知有
种不同的涂法.
②当2 号，3 号小方格涂相同颜色的染料时，有3 种不同的涂法，4 号小方格也有3 种不同的涂法，故由分
步乘法计数原理，可知有
种不同的涂法.
综上，由分类加法计数原理，可得共有
种不同的涂法.
故选：D.
8．已知
，若
在
上恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】①因
，则
，
则
得
；
得
，
则
在
上单调递增，
上单调递减，
因
，则
，
因
，则
，即
，
则
，
又
，
则由零点存在性定理可知
在
和
上分别存在一个零点，
②若
，则
在
上单调递增；
若
，则
在
上单调递减，在
上单调递增；
③因为
恒成立，
所以
和
有两个相同正根
，且
，
对于方程
，即
，
则
，且
，
；
由
和
，可得
，
两式相加得，
，即
，
令
，则
，
则
得
；
得
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
综上，
的最大值为
.
故选：B.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．设
为复数，下面四个命题中，真命题的是（ ）
A．若
，则
为纯虚数
B．
C．若
，则点
的集合构成的图形的面积为
D．若复数
满足
，则
【答案】BD
【详解】A：当
为实数时，满足
，故A 错；
B：令
且
，则
，故
，故B 对；
C：由
表示以
为圆心，1、2 为半径的两个圆所成的圆环，
所以点
的集合构成的图形的面积为
，故C 错；
D：因为
，又
，
，
所以
，则
，故D 对.
故选：BD
10．已知
，
，且
则下列选项正确的是（ ）
A．
且
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，由
得，
，
则
，解得
，
，解得
，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，故B 正确；
对于C，
，当且仅当
，即
时等号成
立，
又
，所以
，
当且仅当
时，
，故C 错误；
对于D，
，解得
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，故D 正确；
故选：ABD．
11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线
就是其中之一，下列选项中关于曲线
的说法正
确的有（ ）
A．当
时，曲线
与
轴有
个交点
B．曲线
的图象关于
对称
C．当
时，曲线
上的一点
到原点距离的最小值小于
D．当
时，曲线
上的一点
到原点距离的最小值大于
【答案】BCD
【详解】对于A 选项，当
时，在曲线
的方程中，令
，可得
，
解得
，所以当
时，曲线
与
轴有个交点，A 错；
对于B 选项，在曲线
上任取一点
，则点
关于直线
的对称点为
，
因为
，即点
也在曲线
上，
所以曲线
的图象关于直线
对称，B 对；
对于CD 选项，当
时，在曲线
上的一点
，则
，
则
，其中
，
令
，其中
，则
，
因为函数
、
在
上均为增函数，
故函数
在
上为增函数，
因为
，
，
所以，存在
使得
，则
，
当
时，
；当
时，
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以，
，
因为
，所以
，则
，
所以
，
所以，
，且
，
故
，CD 都对.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若圆
被直线
所截得的弦长为10，过点
作圆
的切线，
其中一个切点为
，则
的值为 .
【答案】
【详解】由弦长为
，结合垂径定理可得：
，解得
，
结合已知点
，可得：
所以
，
故答案为：
.
13．如图所示，将绘有函数
部分图像的纸片沿x 轴折成钝二面角，
夹角为
，此时A，B 之间的距离为
，则
．
【答案】
【详解】过
分别作
轴的垂线，垂足分别为
，过
分别作
轴、
轴的垂线相交于点
，
连接
，则
，
由余弦定理得
，
由上可知，
轴垂直于
，又
平面
，
所以
轴垂直于平面
，又
轴，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
的周期
，所以
，
由勾股定理得
，解得
，
由图知，
的图象过点
，且在递减区间内，
所以
，即
，
因为
，点
在递减区间内，所以
.
故答案为：
14．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
，点
是第一象限内双曲线
上的一点，满足
.记
的面积分别为
、
，则
.
【答案】8
【详解】
如图，设
的内切圆与三边分别相切于
，可得
，
又由双曲线定义可得
，则
，
又
，解得
，则
点横坐标为
，即内切圆圆心横坐标为
.
又
，可得
，化简得
，
即
，
即
是
的平分线，由于
，
，可得
即为
的内心，且半径为2，则
.即
.
故答案为：8.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
，
，求
内切圆的半径；
【答案】(1)
；(2)
；
【详解】（1）因为
，
所以
.
由正弦定理得
，所以
，
因为
，所以
.
（2）由（1）知
，代入数据得
.
因为
的面积
，
所以
内切圆的半径
.
16．为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召
开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和
建议，已知专家库中共有6 位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部
门均邀请2 位专家，收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议.
(1)设参加会议的专家代表共X 名，求X 的分布列与数学期望．
(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100 位热心市民中抽取
部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀
请的名单从这100 名热心市民中随机产生，两个部门都各自邀请了20 名代表，假设收到食品监督管理部门
或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，请利用极大似然估计法估计参加会议的群众代
表的人数.
（附：极大似然估计（MLE）即最大概率估计，是统计学用于估算模型参数的方法，通过观察数据使样本
出现的概率最大化，即当
时，概率
取得最大值，则X 的估计值为
）
【答案】(1)分布列见解析，
;(2)36
【详解】（1）
的可能取值为
，
则
，
，
，
则
的分布列为
2
3
4
.
（2）设食品监督管理部门邀请的代表记为集合
，卫生监督管理部门邀请的代表为集合
，则收到两个
部门邀请的代表的集合为
.
设参加会议的群众代表的人数为Y，则
．
设
，则
，
，
，
，
同理：
，
令
，得
，
即
，解得
，
又
，所以
，故由极大似然估计知参加会议的群众代表的人数为36.
17．在平面四边形
中，
，
，如图1 所示.现将图1 中的
沿
折起，使点
到达点
的位置，且平面
平面
，如图2 所示.
(1)求证：
；
(2)若
，二面角
的大小为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)1
【详解】（1）
作
与
，
平面
平面
，
平面
平面
,
平面
，
平面
,因为
平面
，
,
,
，
平面
,
平面
，又因为
平面
，
.
（2）
,
,
又
，
,
平面
,
平面
,
设
，
建立如图所示坐标系
则
，
，
，
，
，
，
,
,
设平面
的法向量
，
即
，
取
，则
，
，
设平面
的法向量
，
即
，
取
，则
，
，
,
二面角
的大小为
，
，
化简得：
解得：
即
，
18．已知函数
，
．
(1)求
的极值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
且
时，求证
．
【答案】(1)极小值
，无极大值；(2)答案见解析；(3)证明见解析
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
时，
，
时，
，
所以函数
在
处取得极小值
，无极大值.
（2）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
恒成立，函数
在
上单调递增；
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数
在
上单调递增，
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）当
时，
，不等式
，
令函数
，求导得
，
令
，求导得
，函数
在
上单调递增，
而
，则存在
，使
，即
，
此时
，
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此
，
所以当
时，
.
19．已知离心率
且焦点在
轴上的序列椭圆
，其中
的一个焦点为
．
过
上一点
作
的两条弦
，交
于另两点
，且
的内心在垂直
于
轴的一条直线上．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求直线
的斜率；
(3)若
为坐标原点，当
的面积为
时，直线
交
轴于
，证明：
.
【答案】(1)
；(2)
；(3)证明见解析
【详解】（1）由
，解得
．
的一个焦点为
，
，
．
（2）由（1）知
．
的内心在垂直于
轴的一条直线上，
．
设
的方程为
．
代入
中整理得：
．
，即
，
，
，
由
得
，
即
，
代入
与
整理得
，
当
时，
过点
，舍去．
．
（3）由（2）知
的方程为
，此时
，
，
，
到直线
的距离
，
的面积
，
解得
满足
，
．
，
，
则
，
．
